Длина волны определяется соотношением де бройля. Волны де Бройля. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. Кинетическая теория плазмы в процессе переноса

1) функция Y должна быть конечной , непрерывной и однозначной ;

2) производные должны быть непрерывны ;

3) функция должна быть интегрируема , т.е. интеграл должен быть конечным .

Уравнение (8) является общим уравнением Шредингера. Его также называют временным уравнением Шредингера , так как оно содержит производную от функции Y по времени. Однако для большинства физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (8) можно упростить, исключив зависимость Y от времени, иными словами найти уравнение Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии . Это возможно, если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, т.е. функция явно не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая – только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что

где Е – полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя это в (8), получим

откуда придем к уравнению, определяющему функцию y :

. (9)

Уравнение (9) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний . В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются упомянутые выше условия регулярности волновых функций. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е , а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными . Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями . Собственные значения Е могут образовать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном , или сплошном , спектре, во втором – о дискретном спектре .

4. Ядерная модель атома.

Общепринятую сегодня ядерную (планетарную) модель атома предложил Э. Резерфорд. Согласно этой модели, вокруг положительного ядра, имеющего заряд Ze (Z – порядковый номер элемента в системе Менделеева, е – элементарный заряд), размер 10 -15 -10 -14 м и массу, практически равную массе атома, в области с линейными размерами порядка 10 -10 м по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Так как атомы нейтральны, то заряд ядра равен суммарному заряду электронов, т.е. вокруг ядра вращается Z электронов.

Попытки построить модель атома в рамках классической физики не привели к успеху. Преодоление возникших трудностей потребовало создания качественно новой – квантовой – теории атома. Первая попытка построения такой теории была предпринята Нильсом Бором. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний) : в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состоянием атома соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон, двигаясь по круговой орбите, должен иметь дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющее условию

где m e – масса электрона, v – его скорость по n -ой орбите радиуса r n .

Второй постулат Бора (правило частот) : при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

равной разности энергий соответствующих стационарных состояний (E n и E m – соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения)). При E n <E m происходит излучение фотона (переход атома из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергией, т.е. переход электрона с более удаленной от ядра орбиты на более близлежащую), при E n >E m – его поглощение (переход атома в состояние с большей энергией, т.е. переход электрона на более удаленную от ядра орбиту). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов определяет линейчатый спектр атома.

Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем – систем, состоящих из ядра с зарядом Ze и одного электрона (например, ионы He + , Li 2+). Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в такой системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Решая совместно уравнение , предложенное Резерфордом, и уравнение (10), получим выражение для радиуса n -й стационарной орбиты:

.

Откуда следует, что радиусы орбит растут пропорционально квадратам целых чисел. Для атома водорода (Z =1) радиус первой орбиты электрона при n =1, называемый первым боровским радиусом (а ), равен

,

что соответствует расчетам на основании кинетической теории газов.

Кроме этого, учитывая квантованные для радиуса n -й стационарной орбиты значения, можно показать, что энергия электрона может принимать только следующие дозволенные дискретные значения:

,

где знак минус означает, что электрон находится в связанном состоянии.

5. Атом водорода в квантовой механике.

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия He + , двукратно ионизированного лития Li ++ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z =1),

,

где r – расстояние между электроном и ядром.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией y , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (9), учитывающему предыдущее значение потенциальной энергии:

, (12)

где m – масса электрона, Е – полная энергия электрона в атоме. Так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, то для решения уравнения (12) обычно используют сферическую систему координат: r , q , j . Не вдаваясь в математическое решение этой задачи, ограничимся рассмотрением важнейших результатов, которые из него следуют.

1. Энергия . В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения типа (27) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции y , только при собственных значениях энергии

, (13)

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии. Самый нижний уровень Е 1 , отвечающий минимальной возможной энергии, - основной , все остальные (E n >E 1 , n =1, 2, 3, …) – возбужденные . При E <0 движение электрона является связанным , а при E >0 – свободным ; область непрерывного спектра Е >0 соответствует ионизированному атому . Выражение (13) совпадает с формулой, полученной Бором для энергии атома водорода. Однако если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа . В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (12) удовлетворяют собственные функции , определяемые тремя квантовыми числами: главным n , орбитальным l и магнитным m l .

Главное квантовое число n , согласно (13), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения начиная с единицы:

n =1, 2, 3, …

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется , т.е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой

где l – орбитальное квантовое число , которое при заданном n принимает значения l =0, 1, …, (n -1), т.е. всего n значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнения Шредингера следует также, что вектор L l момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L lz на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные:

Рис. 1

где m l – магнитное квантовое число , которое при заданном l может принимать значения m l =0, ±1, ±2, …, ±l , т.е. всего 2l +1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число m l определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление , причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 2l +1 ориентаций.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома различна. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа n и l характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число m l характеризует ориентацию электронного облака в пространстве .

3. Спектр . Светящиеся газы дают линейчатые спектры испускания. В соответствии с законом Кирхгофа спектры поглощения газов также имеют линейчатую структуру. Все сериальные формулы спектра водорода могут быть выражены единой формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера :

, (16)

где R =3,293×10 15 с -1 – постоянная Ридберга , m и n – целые числа, причем для данной серии n =m +1, m +2, m +3 и т.д. Всего различают шесть серий спектральных линий: серия Лаймана (m =1), серия Бальмера (m =2), серия Пашена (m =3), серия Брэкета (m =4), серия Пфунда (m =5), серия Хэмфри (m =6) (рис. 1).

6. Спин электрона. Принцип Паули. Принцип неразличимости

тождественных частиц.

В 1922 г. было обнаружено, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса электрона равен нулю (14). Магнитный момент атома, связанный с орбитальным движением электрона, пропорционален механическому моменту, поэтому он равен нулю и магнитное поле не должно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно.

Для объяснения этого явления, а также ряда других трудностей в атомной физике было предложено, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве, – спином . Спин электрона (и всех других частиц) – квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L s , то ему соответствует собственный магнитный момент. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

,

где s – спиновое квантовое число .

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция L sz спина квантуется так, что вектор L s может принимать 2s +1 ориентаций. Так как в опытах наблюдались только две ориентации, то 2s +1=2, откуда s =1/2. Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, аналогичным (15):

где m s – магнитное спиновое квантовое число ; оно может иметь только два значения: .

Распределение электронов в атоме подчиняется квантово-механическому закону, называемому принципом Паули или принципом исключения . В своей простейшей формулировке он гласит: «В любом атоме не может быть двух электронов, находящихся в двух одинаковых стационарных состояниях, определяемых набором четырех квантовых чисел: главного n , орбитального l , магнитного m l и спинового m s », т.е. Z(n, l, m l , m s) =0 или 1, где Z(n, l, m l , m s) – число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: n, l, m l , m s . Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число n , называют электронной оболочкой . В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам , соответствующим данному l . Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения от 0 до n -1, число подоболочек равно порядковому номеру n оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно 2(2l +1).

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлементным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналога в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например, электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства – массу, электрический заряд, спин и другие внутренние характеристики. Такие частицы называются тождественными .

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе квантовой механики – принципе неразличимости тождественных частиц , согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы. В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам, т.е. классические частицы обладают индивидуальностью.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность () нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно говорить лишь о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

7. Квантовые статистики. Вырожденный газ.

Основная задача статистической физики в квантовых статистиках состоит в нахождении функции распределения частиц системы по тем или другим параметрам – координатам, импульсам, энергиям и т.п., а также в отыскании средних значений этих параметров, характеризующих макроскопическое состояние всей системы частиц. Для систем фермионов и бозонов эти задачи решаются единообразно, но несколько различно в связи с тем, что бозоны не подчиняются принципу Паули. В соответствии с этим различаются две квантовые статистики: Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, в рамках которых определен вид функции распределения частиц системы по энергиям.

Напомним, что функция распределения по энергиям представляет собой долю от общего числа частиц, которые имеют энергию в интервале значений от W до W+dW :

,

где N – общее число частиц, f(W) – функция распределения по энергиям.

Для системы из n невзаимодействующих фермионов с энергией W (идеальный Ферми-газ) или системы из n невзаимодействующих бозонов с энергией W (идеальный Бозе-газ) были определены похожие функции распределения:

, (17)

где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура, m - химический потенциал, представляющий собой изменение энергии системы при изменении на единицу числа частиц системы при изохорном или изоэнтропийном процессе. В рамках статистики Ферми-Дирака в (32) берут знак «+», т.е. в этом случае . Соответственно для Бозе-газа – знак «-» и .

Газ называется вырожденным , если его свойства отличаются от свойств классического идеального газа. В вырожденном газе происходит взаимное квантово-механическое влияние частиц газа, обусловленное неразличимостью тождественных частиц. Поведение фермионов и бозонов различно при вырождении.

Для характеристики степени вырождения газа вводится параметр вырождения А :

Функция распределения с помощью параметра вырождения для обеих квантовых статистик запишется в виде:

.

Если параметр вырождения мал A<<1, то и функция распределения превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана , лежащую в основе классической статистики невырожденного газа:

Температурой вырождения называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц. Сравнительно легко можно грубо оценить температурный критерий вырождения газа. Вырождение обычных газов сказывается при низких температурах. Для фотонного и электронного газа в металлах это не справедливо. Электронный газ в металлах практически всегда вырожден. Только при температурах выше нескольких десятков тысяч градусов электроны металла подчинялись бы классической статистике Максвелла-Больцмана. Но существование металлов в конденсированном состоянии при таких температурах невозможно. Поэтому классическое описание поведения электронов в металлах приводит в электродинамике в ряде случаев к законам, резко противоречащих опыту. В полупроводниках концентрация электронного газа много меньше, чем в металлах. В этих условиях температура вырождения составляет порядка 10 -4 К и электронный газ в полупроводниках является невырожденным и подчиняется классической статистике. Примером вырожденного газа служит фотонный газ. Так как масса фотона равна нулю, то температура вырождения стремится к бесконечности. Фотонный газ при любой температуре является вырожденным. Атомные и молекулярные газы имеют весьма малые температуры вырождения. Например, для водорода при нормальных условиях температура вырождения составляет около 1 К. Для остальных газов, более тяжелых, чем водород, она еще меньше. Газы при нормальных условиях не бывают вырождены. Вырождение, связанное с квантовыми свойствами газов, проявляется значительно меньше, чем отклонение газов от идеальности, вызванное межмолекулярными взаимодействиями.

Максимальная энергия, которую могут иметь электроны проводимости в кристалле при 0 К называется энергией Ферми и обозначается E F . Наивысший энергетический уровень, занятый электронами, называется уровнем Ферми . Уровню Ферми соответствует энергия Ферми, которую имеют электроны на этом уровне. Уровень Ферми, очевидно, будет тем выше, чем больше плотность электронного газа. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

8. Понятие о зонной теории твердых тел.

Используя уравнение Шредингера, в принципе можно рассмотреть задачу о кристалле, например найти возможные значения его энергии, а также соответствующие энергетические состояния. Однако как в классической, так и в квантовой механике отсутствуют методы точного решения такой задачи для случая многих частиц. Поэтому эта задача решается приближенно сведением задачи многих частиц к одноэлектронной задаче об одном электроне, движущемся в заданном внешнем поле. Подобный путь приводит к зонной теории твердого тела .

Рис. 2

Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней. При образовании кристаллической решетки, т.е. при сближении атомов до межатомных расстояний решетки, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны, образуя зонный энергетический спектр . На рис. 2 показано расщепление энергетических уровней в зависимости от расстояния между атомами. Видно, что заметно расщепляются и расширяются лишь уровни внешних, валентных электронов, наиболее слабо связанных с ядром и имеющих наибольшую энергию, а также более высокие уровни, которые в основном состоянии атома вообще электронами не заняты. Уровни же внутренних электронов либо совсем не расщепляются, либо расщепляются слабо. Таким образом, в твердых телах внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны «коллективизированы» – принадлежат всему твердому телу.

Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах закрашенных на рис. 2 областей, называемых разрешенными энергетическими уровнями . Каждая разрешенная зона «вмещает» в себя столько близлежащих дискретных уровней, сколько атомов содержит кристалл: чем больше в кристалле атомов, тем теснее расположены уровни в зоне. Расстояние между соседними энергетическими уровнями столь ничтожно (порядка 10 -22 эВ), что зоны можно считать практически непрерывными, однако факт конечного числа уровней в зоне играет важную роль для распределения электронов по состояниям. Разрешенные энергетические зоны разделены зонами запрещенных значений энергий, называемыми запрещенными энергетическими зонами . В них электроны находиться не могут. Ширина зон (разрешенных и запрещенных) не зависит от размера кристалла. Разрешенные зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с атомами.

Зонная теория твердых тел позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах, во-первых, неодинаковым заполнением электронами разрешенных зон и, во-вторых, шириной запрещенных зон. Степень заполнения электронами энергетических уровней в зоне определяется заполнением соответствующих атомных уровней. В общем случае можно говорить о валентной зоне , которая полностью заполнена электронами и образована из энергетических уровней внутренних электронов свободных атомов, и о зоне проводимости (свободной зоне) , которая либо частично заполнена электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних «коллективизированных» электронов изолированных атомов. В зависимости от степени заполнения зон электронами и ширины запрещенной зоны возможны четыре случая (рис. 3).

На рис. 3, а самая верхняя зона, содержащая электроны, заполнена лишь частично, т.е. в ней имеются вакантные уровни. В данном случае электрон, получив сколь угодно малую энергетическую «добавку» (например, за счет теплового движения или электрического поля), сможет перейти на более высокий энергетический уровень той же зоны,

В 1924 году молодой французский физик-теоретик Луи де Бройль ввел в научный оборот понятие о волнах материи. Это смелое теоретическое предположение распространило свойство корпускулярно-волнового дуализма (двойственности) на все проявления материи - не только на излучение, но и на любые частицы вещества. И хотя современная квантовая теория понимает «волну материи» иначе, нежели автор гипотезы, этот физический феномен, связанный с вещественными частицами, носит его имя - волна де Бройля.

История рождения понятия

Предложенная в 1913 году Н. Бором полуклассическая модель атома была основана на двух постулатах:

1. Момент количества движения (импульса) электрона в атоме не может быть каким угодно. Он всегда пропорционален величине nh/2π, где n - любое целое число начиная с 1, а h - постоянная Планка, присутствие которой в формуле ясно свидетельствует о том, что момент импульса частицы квантован. Следовательно, в атоме существует набор разрешенных орбит, по которым только и может двигаться электрон, и, пребывая на них, он не излучает, то есть не теряет энергию.
2. Излучение или поглощение энергии атомным электроном происходит при переходе с одной орбиты на другую, и количество его равно разности энергий, соответствующих этим орбитам. Поскольку промежуточных состояний между разрешенными орбитами нет, излучение также строго квантуется. Частота его равна (E 1 - E 2)/h, это прямо следует из формулы Планка для энергии E = hν.

Итак, боровская модель атома «запретила» электрону излучать на орбите и находиться между орбитами, однако движение его рассматривала классически, подобно обращению планеты вокруг Солнца. Де Бройль искал ответ на вопрос, почему электрон ведет себя именно так. Нельзя ли естественным образом объяснить наличие допустимых орбит? Он предположил, что электрону обязательно должна сопутствовать некоторая волна. Именно ее присутствие заставляет частицу «выбирать» только такие орбиты, на которых эта волна укладывается целое число раз. В этом и заключался смысл целочисленного коэффициента в постулированной Бором формуле.

Из гипотезы следовало, что, электронная волна де Бройля - не электромагнитная, и волновые параметры должны быть свойственны любым частицам материи, а не только электронам в атоме.

Расчет длины волны, связанной с частицей

Молодой ученый получил чрезвычайно интересное соотношение, позволяющее определить, каковы же эти волновые свойства. Что представляет собой в количественном отношении волна де Бройля? Формула для ее расчета имеет простой вид: λ = h/p. Здесь λ - длина волны, а p - импульс частицы. Для нерелятивистских частиц данное отношение можно записать как λ = h/mv, где m - масса, а v - скорость частицы.

Почему эта формула представляет особый интерес, видно из величин, стоящих в ней. Де Бройлю удалось объединить в одном соотношении корпускулярную и волновую характеристики материи - импульс и длину волны. А связывающая их постоянная Планка (величина ее приблизительно равна 6,626 × 10 -27 эрг∙с или 6,626 × 10 -34 Дж∙с) задает масштаб, на котором проявляются волновые свойства вещества.

«Волны материи» в микро- и макромире

Итак, чем больше импульс (масса, скорость) физического объекта, тем меньше длина волны, связанной с ним. В этом и заключается причина того, что макроскопические тела не проявляют волновой составляющей своей природы. В качестве иллюстрации достаточно будет определить длину волны де Бройля для объектов различного масштаба.

• Земля. Масса нашей планеты - около 6 × 10 24 кг, скорость движения по орбите относительно Солнца - 3 × 10 4 м/с. Подставив эти значения в формулу, получим (приближенно): 6,6 × 10 -34 /(6 × 10 24 × 3 × 10 4) = 3,6 × 10 -63 м. Видно, что длина «земной волны» - исчезающе малая величина. К какой-либо возможности ее регистрации нет даже отдаленных теоретических предпосылок.
• Бактерия массой порядка 10 -11 кг, движущаяся со скоростью около 10 -4 м/с. Произведя аналогичный подсчет, можно узнать, что дебройлевская волна одного из мельчайших живых существ имеет длину порядка 10 -19 м - также слишком мало для того, чтобы ее обнаружить.
• Электрон, имеющий массу 9,1 × 10 -31 кг. Пусть электрон разогнан разностью потенциалов 1 В до скорости 10 6 м/с. Тогда длина электронной волны будет примерно 7 × 10 -10 м, или 0,7 нанометра, что сопоставимо с длинами рентгеновских волн и вполне поддается регистрации.

Масса электрона, как и прочих частиц, настолько мала, неощутима, что заметной становится другая сторона их природы - волнообразность.

Скорость распространения

Различают такие понятия, как фазовая и групповая скорость волн. Фазовая (скорость перемещения поверхности одинаковых фаз) для волн де Бройля превышает скорость света. Этот факт тем не менее не означает противоречия с теорией относительности, поскольку фаза не относится к числу объектов, посредством которых может передаваться информация, так что принцип причинности в данном случае никоим образом не нарушается.

Групповая же скорость меньше скорости света, она связана с перемещением суперпозиции (наложения) множества волн, образованных вследствие дисперсии, и именно она отражает скорость электрона или какой-либо иной частицы, с которой связана волна.

Экспериментальное обнаружение

Величина длины волны де Бройля позволила физикам осуществить опыты, подтверждающие предположение о волновых свойствах вещества. Ответить на вопрос, реальны ли электронные волны, мог эксперимент по выявлению дифракции потока этих частиц. Для рентгеновских лучей, близких по длине волны к электронам, не подходит обычная дифракционная решетка - период ее (то есть расстояние между штрихами) слишком велик. Подходящий размер периода имеют атомные узлы кристаллических решеток.

Уже в 1927 году К. Дэвиссоном и Л. Джермером был поставлен эксперимент по обнаружению дифракции электронов. В качестве отражательной решетки использовался монокристалл никеля, при помощи гальванометра фиксировалась интенсивность рассеяния электронного пучка на разных углах. Характер рассеяния выявил четкую дифракционную картину, подтвердившую предположение де Бройля. Независимо от Дэвиссона и Джермера, в том же году дифракцию электронов опытным путем обнаружил Дж. П. Томсон. Несколько позднее появление дифракционной картины было установлено для протонных, нейтронных, атомных пучков.

В 1949 году группа советских физиков под руководством В. Фабриканта провела успешный эксперимент с использованием не пучка, а отдельных электронов, что позволило неопровержимо доказать: дифракция не является каким-либо эффектом коллективного поведения частиц, а волновые свойства принадлежат электрону как таковому.

Развитие представлений о «волнах материи»

Сам Л. де Бройль волну представлял как реальный физический объект, неразрывно связанный с частицей и управляющий ее движением, и называл ее «волной-пилотом». Однако, продолжая рассматривать частицы как объекты, обладающие классическими траекториями, он не в силах был сказать что-либо о природе таких волн.

Развивая идеи де Бройля, Э. Шредингер пришел к представлениям о полностью волновой природе вещества, по сути, игнорируя корпускулярную ее сторону. Любая частица в понимании Шредингера представляет собой некий компактный волновой пакет и ничего более. Проблемой такого подхода стало, в частности, хорошо известное явление быстрого расплывания подобных волновых пакетов. В то же время частицы, например электрон, вполне стабильны и не «размазываются» по пространству.

В ходе бурных дискуссий середины 20-х годов XX века квантовая физика выработала подход, примиряющий корпускулярную и волновую картины в описании материи. Теоретически он был обоснован М. Борном, а суть его в нескольких словах можно выразить так: волна де Бройля отражает распределение вероятности нахождения частицы в определенной точке в некоторый момент времени. Поэтому ее также называют волной вероятности. Математически она описывается Шредингера, решение которой позволяет получить величину амплитуды этой волны. Квадрат модуля амплитуды и определяет вероятность.

Значение волновой гипотезы де Бройля

Вероятностный подход, усовершенствованный Н. Бором и В. Гейзенбергом в 1927 г., лег в основу так называемой копенгагенской интерпретации, которая стала чрезвычайно продуктивной, хотя принятие ее и далось науке ценой отказа от наглядно-механистических, образных моделей. Несмотря на наличие ряда спорных вопросов, таких как знаменитая «проблема измерения», с копенгагенской интерпретацией связано дальнейшее развитие квантовой теории с ее многочисленными приложениями.

Между тем следует помнить, что одной из основ бесспорного успеха современной квантовой физики явилась гениальная гипотеза де Бройля, теоретическое прозрение почти столетней давности о «волнах материи». Сущность его, невзирая на изменения первоначального толкования, остается неоспоримой: вся материя имеет двойственную природу, различные стороны которой, проявляясь всегда отдельно одна от другой, тем не менее тесно взаимосвязаны.

Французский ученый Луи де Бройль выдвинул в гипотезу, что все частицы должны обладать волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия Е и импульс р , а с другой - волновые характеристики - частота n и длина волны l. Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов:

E = hn, p = h/l . (3.6.1)

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляют волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

Гипотеза де Бройля была подтверждена экспериментально. В 1927 г. американские физики К.Дэвиссон и Л.Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки - кристалла никеля,- дает отчетливую дифракционную картину.

Одним из основных признаков элементарных частиц является их неделимость. Например, заряд может быть передан от одного тела к другому только в количестве, кратном заряду электрона. Таким свойствам, как неделимость, волны не обладают.

Если целостность частиц (электронов, в частности) при таких процессах как преломление, отражение, – сохраняется, то можно утверждать, что при падении на поверхность раздела частица либо отражается, либо преломляется. Но в таком случае волновые свойства частиц могут быть истолкованы только статистически .

В этом случае поведение каждой отдельной частицы не может быть определено с достоверностью, а может быть лишь указана вероятность того или иного поведения частицы.

Рассмотрим упрощённую схему опыта по дифракции на одной щели шириной d.

Оценим неопределённости в координате и импульсе, появляющиеся после попадания микрочастицы в щель преграды. Пусть щель располагается перпендикулярно к направлению движения микрочастицы. До взаимодействия со щелью Δp x = 0, а координата х микрочастицы является полностью неопределённой. При прохождении частицей щели вследствие дифракции появляется неопределённость:

Δp x = p sin a (3.6.3)

Условие первого минимума при дифракции на одной щели.

d sina = l (3.6.4)

C учётом, что d = Δх имеем:

Откуда воспользовавшись формулой де Бройля (3.6.2), получаем соотношение:

Δх·Δp x = h (3.6.6)

Полученное выражение является частным случаем соотношений неопределённостей Гейзенберга (1927 г.), и устанавливающих количественную связь между неопределённостями в определении координаты и соответствующей этой координате составляющей импульса (принцип неопределённости – нельзя одновременно точно определить значение координаты и импульса микрочастицы).

(3.6.7)

Соотношение неопределённостей работает и для неопределённостей в энергии какой либо системы ΔЕ и времени Δt существования этой системы в состоянии с данной энергией Е:

Физический смысл соотношения (3.6.8) заключается в том, что из-за конечности времени жизни атомов в возбуж­денном состоянии энергия возбужденных состояний атомов не является точно определенной, а поэтому соответствующий энергетический уровень характери­зуется конечной шириной. Из-за размытости возбужденных уровней энергия излучаемых фотонов характеризуется некоторым разбросом.

Физически разумная неопределённость Δp или Δx, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса p или координаты x, таким образом Δp £ p; Δx £ x.

Важно понять, что принцип неопределённости является сугубо физическим принципом и никак не связан с особенностями измерительных приборов. Из него вытекают очень важные следствия, характеризующие всю квантовую механику:

1. Микрочастицы не могут покоиться (например, электроны движутся вокруг ядра).

2. Для микрочастиц отсутствует понятие траектории (обычно избегают понятия скорости, ускорения, силы – нет точки её приложения).

Принцип неопределённостей играет роль фундамента квантовой механики, так как не только устанавливает физическое содержание и структуру её математического аппарата, но и правильно предсказывает результаты многих задач, связанных с движением микрочастиц. Является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

Похожая информация:

1. B. Призма поглощает белый свет одной длины волны, а излучает свет с разными длинами волн. Г. Призма поглощает белый свет одной частоты, а излучает свет разных частот

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества - электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

- волна де Бройля

p =mv - импульс частицы, h - постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер (амер. физик) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа - Брэггов 2dsin   n , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е  50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества - нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами (m = 1кг, следовательно,   ·  м - невозможно обнаружить современными методами - поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

Т.к. c > v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (v ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой).

Групповая скорость

следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

Для фотона

т.е. групповая скорость равная скорости света.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р . Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок мы сможем определить импульс частицы. Чем больше , тем точнее р и наоборот, чем меньше , тем больше неопределенность в нахождении р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

(иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m, тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг, ? = 10 -6 и Δx = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δx  -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27·  м/с. По классической механике при движении по радиусу r  ,·  м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизниt , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность =  h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину  h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.