W y xi выполнены ли условия коши. Функции комплексной переменной. Дифференцирование функций комплексной переменной. Условия Коши-Римана

Последовательность { x n } удовлетворяет условию Коши , если для любого положительного действительного числа ε > 0 существует такое натуральное число N ε , что
(1) |x n - x m | < ε при n > N ε , m > N ε .

Последовательности, удовлетворяющие условию Коши, также называют фундаментальными последовательностями .

Условие Коши можно представить и в другом виде. Пусть m > n . Если m < n , то поменяем n и m местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем:
;
.
Здесь p - натуральное число.

Тогда условие Коши можно сформулировать так:

Последовательность удовлетворяет условию Коши , если для любого существует такое натуральное число , что
(2) при и любых натуральных p .

Число , фигурирующее в условии Коши, зависит от ε . То есть оно является функцией от действительной переменной ε , областью значений которой является множество натуральных чисел. Число также можно записать в виде , как это принято для обозначения функций.

Критерий Коши сходимости последовательности

Для того, чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши.

Доказательство критерия Коши сходимости последовательности

Доказательство необходимости

Пусть последовательность сходится к конечному пределу a :
.
Это означает, что имеется некоторая функция , так что для любого выполняются неравенства:
(1.1) при .
См. Определение предела последовательности .

Покажем, что последовательность удовлетворяет . Для этого нам нужно найти такую функцию , при которой, для любого , выполняются неравенства:
при .
Воспользуемся свойствами неравенств и применим (1.1):
.
Последнее неравенство выполняется при .

Заменим на . Тогда для любого имеем:
при ,
где .

Необходимость доказана.

Доказательство достаточности

Пусть последовательность удовлетворяет . Докажем, что она сходится к конечному числу. Доказательство разделим на три части. Сначала докажем, что последовательность ограничена. Затем применим , согласно которой у ограниченной последовательности существует подпоследовательность, сходящаяся к конечному числу. И наконец, покажем, что к этому числу сходится вся последовательность.

Докажем, что последовательность , удовлетворяющая , ограничена. Для этого, в условии Коши, положим . Тогда существует такое натуральное число , при котором выполняются неравенства:
(2.1.1) при .

Возьмем любое натуральное число и зафиксируем член последовательности . Обозначим его как , чтобы подчеркнуть, что это постоянное, не зависящее от индекса n число.

Подставляем в (2.1.1) и выполняем преобразования. При имеем:
;
;
;
;
.
Отсюда видно, что при , члены последовательности ограничены. Поскольку, при , имеется только конечное число членов, то и вся последовательность ограничена.

Применим теорему Больцано – Вейерштрасса . Согласно этой теореме, у ограниченной последовательности, существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому конечному числу a . Обозначим такую подпоследовательность как . Тогда
.

Покажем, что к числу a сходится вся последовательность.
Поскольку последовательность удовлетворяет , то имеется некоторая функция , при которой для любого выполняются неравенства:
при .
В качестве возьмем член сходящейся подпоследовательности и заменим ε 1 на ε/2 :
(2.3.1) при .

Зафиксируем n . Тогда (2.3.1) является неравенством, содержащим последовательность , у которой исключено конечное число первых членов с . Конечное число первых членов не влияет на сходимость (см. Влияние конечного числа членов на сходимость последовательности). Поэтому предел при усеченной последовательности по прежнему равен a . Применяя свойства пределов, связанные с неравенствами и арифметические свойства пределов , при , из (2.3.1) имеем:
при .
Воспользуемся очевидным неравенством: . Тогда
при .


То есть для любого существует натуральное число , так что
при .
Это означает, что число a является пределом всей последовательности (а не только ее подпоследовательности .

Теорема доказана

Использованная литература:
О.В. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.

Транскрипт

1 Условия Коши-Римана.) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w zi e. Функция, имеющая производную в точке z, называется дифференцируемой в этой точке. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z Если z i выполняются равенства, u v u v Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: zi ii i i we e e e e e cos isin e cos isin e cos ie sin Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, e cos v, e sin Вычисляем частные производные: u cos e e cos v e sin e cos u e cos e sin v e sin e sin - условия Коши-Римана выполняются. Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример);) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 006, стр. 530, стр (условия Эйлера-Даламбера, аналитичность функции).) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции w z 4iz. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: w i 4i i i 4 i i

2 Выделим действительную u и мнимую v части функции w: u, 4 v, 4 Вычисляем частные производные: u 4 v 4 u 4 4 v условия Коши-Римана выполняются. 3) Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции sin iz. Выразим тригонометрическую функцию sin z через показательную: iz iz e e sin z i и примем во внимание, что z i: ii ii ii ii i i e e e e e e e e sin iz i i i e i i e e e e e cos isin e cos isin e sin icose sin icos e sin icose sin icos e sin ie cose sin ie cos sin cos e e i e e Действительная и мнимая части числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Вычисляем частные производные: u sin sin e e e e v cos e e sin e e sin e e и u sin cos e e e e cos cos e e e e v Как видим, условия Коши-Римана u v u v sin iz выполняются. для функции 4) Пользуясь условиями Коши-Римана, проверить, будет ли аналитической функция w f z: Функция wsin z3 z. w f z называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w f z, дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области. Условия Коши - Римана (Даламбера - Эйлера, Эйлера - Даламбера): Если z i w f z u, iv, то в каждой точке дифференцируемости функции f z выполняются равенства u v u v,. Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i 3 i w sin ii ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i i e e e e 3i3 i e cos isin e cosisin 3i3 i e cos ie sin e cos i e sin 3 i3 i 3

4 cos e e i e e sin 3i3 i cos i e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формулы, использованные в преобразованиях: iz iz e e sin z i, zc e e sh, R e e ch, R Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Вычисляем частные производные: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin v sh cos 3 sh sin Итак, условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция sin w f z z3 z является аналитической. 4

5 5) Доказать аналитичность функции и найти производную: z z e w e Запишем данную функцию в алгебраической форме, полагая z i: i i e e w e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin e cos ie sin e cos ie sin cos e e i e e sin e e e e cos i sin ch cos ish sin Выделим действительную и мнимую части w z u, i v, u, chcos v, shsin Вычисляем частные производные: u ch cos sh cos v sh sin sh cos u ch cos ch sin v sh sin ch sin: Условия Коши-Римана u v u v, выполнены; следовательно, функция w f z e z e z является аналитической. Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i Вычисляем производную функции производные функций u, и v, : z выражается через f z, используя выражение производной функции w z z z e e u v w z i sh cos ich sin z через частные 5

6 или непосредственно: z z e e z z z z w e e z e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos sin e e i e e e e e e cos i sin sh cos ich sn i 6) Представить iz w, где z i e, в виде w u, i v,. Проверить, будет ли она аналитической, если да, то найти производную в точке z0 6. Выделим в данном числе в явном виде действительную u, и мнимую части, ep ep ep ep e cos i sin e cos i e sin v: i w iz i i i i e e - получено комплексное число в алгебраической форме записи. Re w u, e cos Im w v, e sin Для всякой аналитической функции f z u, i v, частные производные функций u u, и v v, : производная f u v v u u u v v f z i i i i z выражается через Вычислим частные производные u, e cos, sin v e u e cos sin e u cos e cos e v e sin sin e v sin e cos e Поскольку условия Коши-Римана выполняются (u v, u v) для всех точек плоскости O, исследуемая функция является аналитической на всей плоскости, и её производная 6

7 u v w z i e i e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 В точке z0 i0: Литература:) Гусак А.А. "Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление", 00, стр. 59 (пример 9), стр. 0 (пример). Вычислить значение функции. 7) Вычислить значение функции комплексного переменного w cos z в точке z0 i. e Для любого z C: cos z iz e iz Тогда ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Ответ: i cos ch cos ish sin Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр) Вычислить значение функции комплексного переменного w th z в точке z 0 ln 3 в алгебраической форме. z z e e Для любого z C: th z z z e e Значит i i ln 3 i ln 3 i e 4 e w z 0 i e e th ln ln 3 i ln 3 i i i e 4 e 4 e 4 3 e 4 3 i 4, ответ записать 7

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 40 9i 40 9 i 54i54i результат вычисления в алгебраической форме. 9) Вычислить значение функции комплексного переменного Ln z в точке z 0. Указать главное значение функции. Логарифмическая функция Ln ln arg z z i z k kz Главным значением логарифма числа z называют значение, соответствующее главному значению аргумента числа z ; т.е. главное значение логарифма получим при k 0: ln z ln z i arg z Модуль и аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Следовательно Ln ln i k 0k i kz - значения функции комплексного переменного в точке z 0, записанные в алгебраической форме. (логарифмическая функция Ln z является многозначной) Главное значение логарифма числа z ln 0 i 8

9 0) Вычислить значение функции комплексного переменного i z в точке z i 0. При любых, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль и аргумент числа w i: i arg iarctg 4 ln i ln i ki i k i k i i ln i iarg i ki ln i i e e 4 e 4 e 4 ln k i k 4 ln ln e e e 4 cos isin, kz - значения функции комплексного переменного z в точке z0 i, записанные в тригонометрической форме (функция многозначная).) Вычислить значение функции комплексного переменного arcctg z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. i z i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z) z0 i ii i i3i i3i3 4i i z i ii 3i 3i3i z0 i Ln Ln iln iarctg k z i ln iarctg k ln 5iarctg k, kz 5 и z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (главное значение Arcctg i) 9

10 ) Вычислить значение функции комплексного переменного arccos z в точке z0 i, ответ записать в алгебраической форме. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 получаем главное значение логарифма ln z ln z i arg z и главное значение арккосинуса arccos z arg z z iln z z Квадратный корень из комплексного числа даёт два значения; для главного значения функции выбираем одно, аргумент которого попадает в промежуток 0 ;. В данном случае: arccos ln ln iln i i Корень из числа i i i i i i i i принимает два значения. Найдём их: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Используя формулы cos cosarctg 5, получим: cos и sin, и принимая во внимание, что arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 и тогда i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 и 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k Из двух значений выбираем второе, т.к. его аргумент попадает в промежуток 0 ;. Итак, i i 5 i arccos z arg z z iln z z arctg 5 5 iln i 5 5 arctg 5 5 i ln 5 arctg 5 i l n 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (главное значение Arccos i) Литература:) Морозова В.Д. "Теория функций комплексной переменной", 009, том 0, изд. МГТУ, стр. 06;) Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. "Функции комплексного переменного", 00, стр. 40.

1 Основные понятия функций комплексного переменного Основные понятия, связанные с функцией комплексного переменного, находятся так же, как и в действительной области. Пусть заданы два множества комплексных

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В результате изучения данной темы студент должен научиться: находить тригонометрическую и показательную формы комплексного числа по

ВАРИАНТ ЗАДАЧА ВЫЧИСЛИТЬ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ (ОТВЕТ ДАТЬ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ФОРМЕ: а Arch; б РЕШЕНИЕ А БУДЕМ ВЫЧИСЛЯТЬ ARH ПО ФОРМУЛЕ Arch(L(В ДАННОМ ПРИМЕРЕ ZI, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, Arch L(± L(± ДАЛЕЕ ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ

Комплексный анализ Функции комплексного переменного Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

В. Д. Михайлов Функции комплексной переменной в примерах и задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функции комплексной переменной в примерах и задачах: Учебное пособие. СПб., 04. 30 с. Учебное пособие

Лекция 2 2.1 Последовательности комплексных чисел Комплексное число a называется пределом последовательности комплексных чисел {z n }, если для любого числа ε > 0 найдется такой номер n 0 n 0 (ε), что

1 Комплексные функции 1.1 Комплексные числа Напомним, что комплексные числа можно определить как множество упорядоченных пар вещественных чисел C = {(x, y) : x, y R}, z = x + iy, где i мнимая единица (i

Понятие комплексного переменного Предел и непрерывность комплексного переменного Пусть дано два множества комплексных чисел D и Δ и каждому числу z D поставлено в соответствие число ω Δ которое обозначается

Светличная В. Б., Агишева Д. К., Матвеева Т. А., Зотова С. А. Специальные главы математики. Теория функций комплексного переменного Волгоград 0 г. Министерство образования и науки РФ Волжский политехнический

СА Зотова, ВБ Светличная ПРАКТИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенты- дф-мн, проф Горяинов ВВ к ф-мн, доц Кульков ВГ Зотова СА, Светличная ВБ Практическое

Комплексные числа, функции и действия над ними y модуль R действительная часть действ число, yim мнимая часть действительное число iy алгебраическая форма записи компл числа Главное значение аргумента

Производные основных элементарных функций Производная функции может быть найдена по следующей схеме: аргументу х даем приращение для функции y найдем соответсвующее приращение y y составим отношение находим

С А Лавренченко wwwlwrckoru Лекция 4 Основные функции Дробно-рациональные функции Дробно-рациональной функцией комплексной переменной называется отношение двух многочленов: P() w Q() 0 b 0 m b m b m,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Методические

М. В. Дейкалова КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Вопросы к экзамену (группа МХ-21, 215) Вопросы первого коллоквиума 1 1. Дифференцируемость функции комплексного переменного в точке. Условия Коши Римана (Даламбера Эйлера).

Èíòåãðèðîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование простейших иррациональностей. Подстановки Эйлера. Интеграл от дифференциального бинома. Интегрирование иррациональностей

Лекции 89 Глава 5 Непрерывность функции 5 Непрерывность функции в точке Понятие непрерывности функции является одним из основных понятий высшей математики Очевидно графиком непрерывной функции является

Федеральное агентство по образованию Томский государственный архитектурно-строительный университет РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ Методические указания для самостоятельной работы Составители ЛИ Лесняк, ВА

Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине (модулю) Общие сведения Кафедра Математики, физики и информационных технологий Направление подготовки 0030 Математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Кафедра

Комплексный анализ Арифметика и геометрия комплексных чисел Никита Александрович Евсеев Физичеcкий факультет Новосибирского государственного университета Китайско-российский институт Хэйлунцзянского университета

Министерство образования Российской Федерации Российский государственный университет нефти и газа имени ИМ Губкина ВИ Иванов Методические указания к изучению темы «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» (для студентов

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к практическим занятиям по математике для иностранных студентов

Основные определения, формулы и теоремы Ряды 1. Супремум и инфинум. Наименьшее число, ограничивающее сверху некоторое множество чисел называется точной верхней гранью или супремумом этого множества. Двойственным

Министерство образования и науки Российской Федерации «ТАМБОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФГБОУ ВПО «ТГТУ» ВАСИЛЬЕВ ВВ, ЛАНОВАЯ АВ, ЩЕРБАКОВА АВ ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

Тема: Преобразование тригонометрических выражений Учет ОДЗ в тригонометрических уравнениях Подготовка к ЕГЭ (задание 9; ; 8) Определение: Областью определения уравнения f g или областью допустимых значений

ЛЕКЦИЯ N Дифференциальные уравнения высших порядков, методы решения Задача Коши Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Однородные линейные уравнения Дифференциальные уравнения высших порядков,

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Первообразная и неопределённый интеграл Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении производной (или дифференциала) данной функции. Интегральное исчисление

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Понятие производной, ее геометрический и физический смысл Задачи, приводящие к понятию производной Определение Касательной S к линии y f (x) в точке A x ; f (

Непрерывность функции. Замечательные пределы Лекция 2 1 Определение непрерывности. Теорема о непрерывности суммы, произведения и частного функций Функция y f () называется непрерывной в точке, если она

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им НИ Лобачевского НП Семерикова АА Дубков АА Харчева РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1 С А Лавренченко wwwlawrencenkor Лекция 3 Дифференцируемость 1 Понятие дифференцируемости Пусть комплексная функция w f комплексной переменной определена в некоторой окрестности точки Определение 11 дифференцируемости

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Новокузнецкий

Приложение ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА Изображение F./ Оригинал f.t/ 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 η.t/ n,.n D,.../ t n.n /! λ t e λt. λ/ te λt. λ/ n,.n D,.../. a/. b/. a/. b/.n /! tn e λt sin ωt C ω ω

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования «Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины» А П СТАРОВОЙТОВ Г Н КАЗИМИРОВ Ж Н КУЛЬБАКОВА ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ «МИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ВЫСШИЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» М А Т Е М А Т И К А ПРАКТИКУМ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ УЧАЩИХСЯ ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ КВАТЕРНИОННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ГЛАВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В этой главе для простоты дальнейшего чтения рассмотрены элементы алгебры комплексных чисел и классической алгебры

ЛЕКЦИЯ N33. Функции комплексного переменного. Пределы. Непрерывность. Элементарные функции. Дифференцирование ФКП. Свойства производных. 1.Последовательности комплексных чисел. Предел.... 1.Ограниченные

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Методические указания для практических занятий

Занятие 7 Теоремы о среднем. Правило Лопиталя 7. Теоремы о среднем Теоремы о среднем это три теоремы: Ролля, Лагранжа и Коши, каждая следующая из которых обобщает предыдущую. Эти теоремы называют также

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

Министерство образования и науки Российской Федерации «МАТИ» Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского Кафедра «Высшая математика» Комплексные числа и операционное исчисление

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ

Одесская национальная академия связи им АС Попова Кафедра высшей математики Стрелковская ИВ, Паскаленко ВН ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие для иностранных студентов

Индивидуальные домашние задания ИДЗ-1 Вычисление частных производных 1 Найти область определения функций: 11 z /(5) 1 z arcsin() 1 z 1 z ln() 15 z /(6) 16 z 5 17 z arccos() 18 z /() 19 z 9 11 z ln(

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Академией самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема На вступительном экзамене по математике поступающий

Lim 3 Дифференцирование функций 3 Производная функции Производной функции f в точке называют следующий предел f f df f " d, где f " и df d условные обозначения производной Операция нахождения производной

~ ~ ФКП Производная функции комплексного переменного ФКП условия Коши - Римана понятие регулярности ФКП Изображение и вид комплексного числа Вид ФКП: где действительная функция двух переменных действительная

Дифференциальное исчисление Введение в математический анализ Предел последовательности и функции. Раскрытие неопределенностей в пределах. Производная функции. Правила дифференцирования. Применение производной

Лекция 5 Интеграл типа Коши 5.1 Интеграл типа Коши Пусть C ориентированная кусочно-гладкая кривая, f определённая на кривой непрерывная функция. Для любой точки z C \ функция t f(t) z непрерывна по переменной

Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б Н Ельцина Р М Минькова ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Рекомендовано

Тема ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ Число А называется пределом функции у=f), при х стремящемся к бесконечности, если для любого, сколь угодно малого числа ε>, найдется такое положительное числоs, что при всех >S, выполняется

Практическое занятие 8 Вычеты 8 Определение вычета 8 Вычисление вычетов 8 Логарифмический вычет 8 Определение вычета Пусть изолированная особая точка функции в изолированной особой Вычетом аналитической

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

Государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования города Москвы «МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ИНДУСТРИИ ТУРИЗМА ИМЕНИ ЮАСЕНКЕВИЧА» МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основы теории специальных функций Необходимость изучения специальных функций математической физики связана с двумя основными обстоятельствами. Во-первых, при разработке математической модели физического

М. И. Шабунин, Е. С. Половинкин, М. И. Карлов C Рекомендовано Учебно-методическим объединением высших учебных заведений Российской Федерации по образованию в области прикладных математики и физики

Лекция 3 3. Замечание об аналитических функциях 3.2 Степенная функция Степенная функция w = z n, (3.) где n > натуральное число, является аналитической во всей комплексной плоскости C. Ее производная w

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика» КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО Учебное электронное

I Аннотация Цель и задачи дисциплины (модуля) Цель освоения дисциплины: дать студентам систематические знания по методам комплексного анализа и научить их применять эти знания к решению задач математического

Первообразная и неопределенный интеграл Основные понятия и формулы 1. Определение первообразной и неопределенного интеграла. Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке

Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè åñêèõ ôóíêöèé Âîë åíêî Þ.Ì. Ñîäåðæàíèå ëåêöèè Интегрирование тригонометрических функций с помощью различных подстановок. Универсальная тригонометрическая подстановка. Интегрирование

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

Глава Неопределенный интеграл Непосредственное интегрирование Функцию F() называют первообразной для функции f(), если выполняется равенство F"() f() Совокупность всех первообразных данной функции f()

И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Тригонометрические уравнения с модулем Этот листок посвящён тригонометрическим уравнениям, в которых тригонометрические функции от неизвестной величины содержатся

Программа вступительного испытания по математике, проводимого Северо-Кавказским институтом-филиалом РАНХиГС самостоятельно для отдельных категорий граждан в соответствии с Правилами приема показать: На

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

СПбГУ Экономический факультет Математический анализ курс семестр 03/04 уч.г. Свиркина Лариса Анатольевна СЕМИНАР 6. (09.0.03 и.0.03) Аудиторная работа Проверка домашнего задания (М.9,..3,..6,..0) (продолжение)

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Занятие 14 Комплексные числа. ЛОДУ с постоянными коэффициентами. 14.1 Комплексные числа Комплексным числом называется выражение вида z = x+iy,где x R. Имеется взаимно однозначное соответствие между множеством

Понятие функции комплексной переменной

Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:

Функция одной переменной – это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.

В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:

Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.

Чем отличается функция комплексной переменной?

Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной, то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительныезначения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:

Действительная и мнимая часть функции комплексной переменной

Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных переменных.

Функция называется действительной частью функции .
Функция называется мнимой частью функции .

То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:

Решение: Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:

(1) В исходную функцию подставили .

(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.

(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что

(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).

(5) У второй группы выносим за скобки.

В результате наша функция оказалась представлена в виде

Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .

Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.

Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).

Найти действительную и мнимую часть функции

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!

Полное решение и ответ в конце урока.

Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.

Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.

Дифференцирование функций комплексной переменной.
Условия Коши-Римана

У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .

Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.

Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:

1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .

2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана:

Только в этом случае будет существовать производная!

Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.

Решение раскладывается на три последовательных этапа:

1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:

Так как , то:

Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .

Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .

3) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.

Начнем с проверки условия . Находим частные производные :

Таким образом, условие выполнено.

Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.

Проверяем выполнение второго условия :

Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.

Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.

3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:

Мнимая единица при дифференцировании считается константой.

Ответ: – действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .

Интеграл ФКП. Теорема Коши.

Формула (52 ) называется интегральной формулой Коши или интегралом Коши. Если в качестве контура в (52 ) выбрать окружность , то, заменяя и учитывая, что - дифференциал длины дуги , интеграл Коши можно представить в виде формулы среднего значения.

Условия Коши - Римана , называемые также условиями Даламбера - Эйлера - соотношения, связывающие вещественную $u=u(x,y)$ и мнимую $v=v(x,y)$ части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного $w=f(z)=u+iv,\backslash \; z=x+iy$.

Формулировка

В декартовых координатах

Для того чтобы функция $w=f(z)$, определённая в некоторой области $D$ комплексной плоскости , была дифференцируема в точке $z\_0=x\_0+iy\_0$ как функция комплексного переменного $z$, необходимо и достаточно, чтобы её вещественная и мнимая части $u$ и $v$ были дифференцируемы в точке $(x\_0,y\_0)$ как функции вещественных переменных $x$ и $y$ и чтобы, кроме того, в этой точке выполнялись условия Коши - Римана:

$\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}=\backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; y\}\; ;$ $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}=\; -\backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; x\}\; .$

Компактная запись:

$\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}\; =\; 0\; .$

Если условия Коши - Римана выполнены, то производная $f"(z)$ представима в любой из следующих форм:

$f"(z)\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; +\; i\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; x\}\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; y\}\; -\; i\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}=\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; x\}\; -\; i\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; y\}=\backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; y\}+i\; \backslash frac\{\backslash partial\; v\}\{\backslash partial\; x\}.$

Доказательство

1. Необходимость

По условию теоремы существует предел

$f"(z\_0)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; z\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(z\_0+\backslash Delta\; z)-f(z\_0)\}\{\backslash Delta\; z\}$,

не зависящий от способа стремления $\backslash Delta\; z$ к нулю. Положим $\backslash Delta\; z\; =\; \backslash Delta\; x$ и рассмотрим выражение

$f"(z\_0)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{u(x\_0+\backslash Delta\; x,\; y\_0)-u(x\_0,\; y\_0)\}\{\backslash Delta\; x\}\; +\; i\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; x\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{v(x\_0+\backslash Delta\; x,\; y\_0)-v(x\_0,\; y\_0)\}\{\backslash Delta\; x\}$.

Из существования предела комплексного выражения следует существование действительной и мнимой его частей. Поэтому в точке $x\_0,\; y\_0$ существуют частные производные по x функций u(x,y) и v(x,y) и имеет место формула

$f"(z\_0)\; =\; u\_x(x\_0,\; y\_0)+iv\_x(x\_0,\; y\_0)$

Полагая $\backslash Delta\; z\; =\; i\; \backslash Delta\; y$, находим

$f"(z\_0)\; =\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; y\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{u(x\_0,\; y\_0+\backslash Delta\; y)-u(x\_0,\; y\_0)\}\{i\; \backslash Delta\; y\}\; +\; i\; \backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; y\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{v(x\_0,\; y\_0+\backslash Delta\; y)-v(x\_0,\; y\_0)\}\{i\; \backslash Delta\; y\}\; =\; -iu\_y(x\_0,\; y\_0)+v\_y(x\_0,\; y\_0)$.

Сравнивая две последние формулы, убеждаемся в справедливости условий Коши-Римана.

2. Достаточность

По определению дифференцируемости, приращения функций $u(x,y)$ и $v(x,y)$ в окрестности точки $(x\_0,\; y\_0)$ могут быть записаны в виде

$u(x\_0+\backslash Delta\; x,\; y\_0\; +\; \backslash Delta\; y)-u(x\_0,\; y\_0)=\; u\_x(x\_0,y\_0)\backslash Delta\; x\; +\; u\_y(x\_0,y\_0)\backslash Delta\; y\; +\backslash xi(x,y)$, $v(x\_0+\backslash Delta\; x,\; y\_0\; +\; \backslash Delta\; y)-v(x\_0,\; y\_0)=\; v\_x(x\_0,y\_0)\backslash Delta\; x\; +\; v\_y(x\_0,y\_0)\backslash Delta\; y\; +\backslash eta(x,y)$,

где функции $\backslash xi(x,y)$ и $\backslash eta(x,y)$ стремятся к нулю при $x\; \backslash rightarrow\; x\_0$, $y\; \backslash rightarrow\; y\_0$ быстрее, чем $\backslash Delta\; x$ и $\backslash Delta\; y\backslash qquad$ $\backslash left(\backslash lim\backslash limits\_\{|\backslash Delta\; z|\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash xi(x,y)\}\{|\backslash Delta\; z|\}=0\backslash right.$, $\backslash lim\backslash limits\_\{|\backslash Delta\; z|\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{\backslash eta(x,y)\}\{|\backslash Delta\; z|\}=0$, $\backslash left.|\backslash Delta\; z|=\backslash sqrt\{(\backslash Delta\; x)^2+(\backslash Delta\; y)^2\}\backslash right)$. Составим теперь разностное соотношение $\backslash frac\{f(z\_0+\backslash Delta\; z)-f(z\_0)\}\{\backslash Delta\; z\}$, где $\backslash Delta\; z\; =\; \backslash Delta\; x\; +\; i\; \backslash Delta\; y$ и преобразуем его к виду

$\backslash frac\{f(z\_0+\backslash Delta\; z)-f(z\_0)\}\{\backslash Delta\; z\}\; =\; u\_x(x\_0,\; y\_0)\backslash frac\{\backslash Delta\; x\; +\; i\; \backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\; +\; i\; \backslash Delta\; y\}\; +\; v\_x(x\_0,\; y\_0)\backslash frac\{i\; \backslash Delta\; x\; -\; \backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\; +\; i\; \backslash Delta\; y\}\; +\; \backslash frac\{\backslash xi(x,y)+i\backslash eta(x,y)\}\{\backslash Delta\; x\; +\; i\; \backslash Delta\; y\}\; =\; u\_x(x\_0,\; y\_0)\; +\; iv\_x(x\_0,\; y\_0)+\backslash frac\{\backslash zeta(z)\}\{\backslash Delta\; z\}$ $(\backslash zeta(z)\; =\; \backslash xi(x,y)+i\backslash eta(x,y))$.

Заметим, что при стремлении $\backslash Delta\; z$ к нулю последнее слагаемое этой формулы стремится к нулю, а первые остаются неизменными. Поэтому существует предел $\backslash lim\backslash limits\_\{\backslash Delta\; z\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{f(z\_0+\backslash Delta\; z)-f(z\_0)\}\{\backslash Delta\; z\}\; =\; f"(z\_0)$, что и доказывает дифференцируемость функции $f(z)$ в точке $z\_0$.

В полярных координатах

См. также

Напишите отзыв о статье "Условия Коши - Римана"

Литература

• Евграфов М. А. Аналитические функции. - 2-е изд., перераб. и дополн. - М .: Наука , . - 472 с.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного: Пособие для высшей школы. - М.-Л.: Государственное издательство, . - 316 с.
• Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1974. - 320 с.
• Титчмарш Е. Теория функций: Пер. с англ. - 2-е изд., перераб. - М .: Наука , . - 464 с.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. - М .: Наука , . - 577 с.
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М .: Мир , . - 392 с.

Отрывок, характеризующий Условия Коши - Римана

«Приду к одному месту, помолюсь; не успею привыкнуть, полюбить – пойду дальше. И буду итти до тех пор, пока ноги подкосятся, и лягу и умру где нибудь, и приду наконец в ту вечную, тихую пристань, где нет ни печали, ни воздыхания!…» думала княжна Марья.
Но потом, увидав отца и особенно маленького Коко, она ослабевала в своем намерении, потихоньку плакала и чувствовала, что она грешница: любила отца и племянника больше, чем Бога.

Библейское предание говорит, что отсутствие труда – праздность была условием блаженства первого человека до его падения. Любовь к праздности осталась та же и в падшем человеке, но проклятие всё тяготеет над человеком, и не только потому, что мы в поте лица должны снискивать хлеб свой, но потому, что по нравственным свойствам своим мы не можем быть праздны и спокойны. Тайный голос говорит, что мы должны быть виновны за то, что праздны. Ежели бы мог человек найти состояние, в котором он, будучи праздным, чувствовал бы себя полезным и исполняющим свой долг, он бы нашел одну сторону первобытного блаженства. И таким состоянием обязательной и безупречной праздности пользуется целое сословие – сословие военное. В этой то обязательной и безупречной праздности состояла и будет состоять главная привлекательность военной службы.
Николай Ростов испытывал вполне это блаженство, после 1807 года продолжая служить в Павлоградском полку, в котором он уже командовал эскадроном, принятым от Денисова.
Ростов сделался загрубелым, добрым малым, которого московские знакомые нашли бы несколько mauvais genre [дурного тона], но который был любим и уважаем товарищами, подчиненными и начальством и который был доволен своей жизнью. В последнее время, в 1809 году, он чаще в письмах из дому находил сетования матери на то, что дела расстраиваются хуже и хуже, и что пора бы ему приехать домой, обрадовать и успокоить стариков родителей.
Читая эти письма, Николай испытывал страх, что хотят вывести его из той среды, в которой он, оградив себя от всей житейской путаницы, жил так тихо и спокойно. Он чувствовал, что рано или поздно придется опять вступить в тот омут жизни с расстройствами и поправлениями дел, с учетами управляющих, ссорами, интригами, с связями, с обществом, с любовью Сони и обещанием ей. Всё это было страшно трудно, запутано, и он отвечал на письма матери, холодными классическими письмами, начинавшимися: Ma chere maman [Моя милая матушка] и кончавшимися: votre obeissant fils, [Ваш послушный сын,] умалчивая о том, когда он намерен приехать. В 1810 году он получил письма родных, в которых извещали его о помолвке Наташи с Болконским и о том, что свадьба будет через год, потому что старый князь не согласен. Это письмо огорчило, оскорбило Николая. Во первых, ему жалко было потерять из дома Наташу, которую он любил больше всех из семьи; во вторых, он с своей гусарской точки зрения жалел о том, что его не было при этом, потому что он бы показал этому Болконскому, что совсем не такая большая честь родство с ним и что, ежели он любит Наташу, то может обойтись и без разрешения сумасбродного отца. Минуту он колебался не попроситься ли в отпуск, чтоб увидать Наташу невестой, но тут подошли маневры, пришли соображения о Соне, о путанице, и Николай опять отложил. Но весной того же года он получил письмо матери, писавшей тайно от графа, и письмо это убедило его ехать. Она писала, что ежели Николай не приедет и не возьмется за дела, то всё именье пойдет с молотка и все пойдут по миру. Граф так слаб, так вверился Митеньке, и так добр, и так все его обманывают, что всё идет хуже и хуже. «Ради Бога, умоляю тебя, приезжай сейчас же, ежели ты не хочешь сделать меня и всё твое семейство несчастными», писала графиня.
Письмо это подействовало на Николая. У него был тот здравый смысл посредственности, который показывал ему, что было должно.
Теперь должно было ехать, если не в отставку, то в отпуск. Почему надо было ехать, он не знал; но выспавшись после обеда, он велел оседлать серого Марса, давно не езженного и страшно злого жеребца, и вернувшись на взмыленном жеребце домой, объявил Лаврушке (лакей Денисова остался у Ростова) и пришедшим вечером товарищам, что подает в отпуск и едет домой. Как ни трудно и странно было ему думать, что он уедет и не узнает из штаба (что ему особенно интересно было), произведен ли он будет в ротмистры, или получит Анну за последние маневры; как ни странно было думать, что он так и уедет, не продав графу Голуховскому тройку саврасых, которых польский граф торговал у него, и которых Ростов на пари бил, что продаст за 2 тысячи, как ни непонятно казалось, что без него будет тот бал, который гусары должны были дать панне Пшаздецкой в пику уланам, дававшим бал своей панне Боржозовской, – он знал, что надо ехать из этого ясного, хорошего мира куда то туда, где всё было вздор и путаница.
Через неделю вышел отпуск. Гусары товарищи не только по полку, но и по бригаде, дали обед Ростову, стоивший с головы по 15 руб. подписки, – играли две музыки, пели два хора песенников; Ростов плясал трепака с майором Басовым; пьяные офицеры качали, обнимали и уронили Ростова; солдаты третьего эскадрона еще раз качали его, и кричали ура! Потом Ростова положили в сани и проводили до первой станции.
До половины дороги, как это всегда бывает, от Кременчуга до Киева, все мысли Ростова были еще назади – в эскадроне; но перевалившись за половину, он уже начал забывать тройку саврасых, своего вахмистра Дожойвейку, и беспокойно начал спрашивать себя о том, что и как он найдет в Отрадном. Чем ближе он подъезжал, тем сильнее, гораздо сильнее (как будто нравственное чувство было подчинено тому же закону скорости падения тел в квадратах расстояний), он думал о своем доме; на последней перед Отрадным станции, дал ямщику три рубля на водку, и как мальчик задыхаясь вбежал на крыльцо дома.
После восторгов встречи, и после того странного чувства неудовлетворения в сравнении с тем, чего ожидаешь – всё то же, к чему же я так торопился! – Николай стал вживаться в свой старый мир дома. Отец и мать были те же, они только немного постарели. Новое в них било какое то беспокойство и иногда несогласие, которого не бывало прежде и которое, как скоро узнал Николай, происходило от дурного положения дел. Соне был уже двадцатый год. Она уже остановилась хорошеть, ничего не обещала больше того, что в ней было; но и этого было достаточно. Она вся дышала счастьем и любовью с тех пор как приехал Николай, и верная, непоколебимая любовь этой девушки радостно действовала на него. Петя и Наташа больше всех удивили Николая. Петя был уже большой, тринадцатилетний, красивый, весело и умно шаловливый мальчик, у которого уже ломался голос. На Наташу Николай долго удивлялся, и смеялся, глядя на нее.
– Совсем не та, – говорил он.
– Что ж, подурнела?
– Напротив, но важность какая то. Княгиня! – сказал он ей шопотом.
– Да, да, да, – радостно говорила Наташа.
Наташа рассказала ему свой роман с князем Андреем, его приезд в Отрадное и показала его последнее письмо.
– Что ж ты рад? – спрашивала Наташа. – Я так теперь спокойна, счастлива.
– Очень рад, – отвечал Николай. – Он отличный человек. Что ж ты очень влюблена?
– Как тебе сказать, – отвечала Наташа, – я была влюблена в Бориса, в учителя, в Денисова, но это совсем не то. Мне покойно, твердо. Я знаю, что лучше его не бывает людей, и мне так спокойно, хорошо теперь. Совсем не так, как прежде…
Николай выразил Наташе свое неудовольствие о том, что свадьба была отложена на год; но Наташа с ожесточением напустилась на брата, доказывая ему, что это не могло быть иначе, что дурно бы было вступить в семью против воли отца, что она сама этого хотела.
– Ты совсем, совсем не понимаешь, – говорила она. Николай замолчал и согласился с нею.
Брат часто удивлялся глядя на нее. Совсем не было похоже, чтобы она была влюбленная невеста в разлуке с своим женихом. Она была ровна, спокойна, весела совершенно по прежнему. Николая это удивляло и даже заставляло недоверчиво смотреть на сватовство Болконского. Он не верил в то, что ее судьба уже решена, тем более, что он не видал с нею князя Андрея. Ему всё казалось, что что нибудь не то, в этом предполагаемом браке.
«Зачем отсрочка? Зачем не обручились?» думал он. Разговорившись раз с матерью о сестре, он, к удивлению своему и отчасти к удовольствию, нашел, что мать точно так же в глубине души иногда недоверчиво смотрела на этот брак.
– Вот пишет, – говорила она, показывая сыну письмо князя Андрея с тем затаенным чувством недоброжелательства, которое всегда есть у матери против будущего супружеского счастия дочери, – пишет, что не приедет раньше декабря. Какое же это дело может задержать его? Верно болезнь! Здоровье слабое очень. Ты не говори Наташе. Ты не смотри, что она весела: это уж последнее девичье время доживает, а я знаю, что с ней делается всякий раз, как письма его получаем. А впрочем Бог даст, всё и хорошо будет, – заключала она всякий раз: – он отличный человек.

Пусть w =f (z ) – однозначная функция, определенная в области.

Определение 1. Производной от функцииf (z ) в точке
называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

Функция, имеющая производную в точке z , называетсядифференцируемой в этой точке.

Очевидно, что выполняются все арифметические свойства производных.

Пример .

С помощью формулы бинома Ньютона аналогично выводится, что

Ряды для экспоненты, синуса и косинуса удовлетворяют всем условиям почленного дифференцирования. Непосредственной проверкой легко получить, что:

Замечание . Хотя определение производной ФКП формально полностью совпадает с определением для ФДП, но, по существу, является более сложным (см. замечание в §5).

Определение 2. Функцияf (z ) , непрерывно дифференцируемая во всех точках областиG , называетсяаналитической илирегулярной на этой области.

Теорема 1. Если функцияf (z ) дифференцируема во всех точках областиG , то она является аналитической в этой области. {б/д}

Замечание . Фактически, эта теорема устанавливает эквивалентность регулярности и дифференцируемости ФКП на области.

Теорема 2. Функция, дифференцируемая в некоторой области, имеет бесконечно много производных в этой области. {б/д. Ниже (в §13) это утверждение будет доказано при определенных дополнительных допущениях}

Представим функцию в виде суммы действительной и мнимой частей: Теорема 3. (Условия Коши − Римана). Пусть функцияf (z ) дифференцируема в некоторой точке
. Тогда функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в этой точке частные производные, причем

и
, называемыеусловиями Коши – Римана .

{Так как значение производной не зависит от способа стремления величины
к нулю, выберем следующий путь:Получаем:

Аналогично, при
имеем:
, что и доказывает теорему.}

Верно и обратное утверждение:

Теорема 4. Если функцииu (x ,y ) иv (x ,y ) имеют в некоторой точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то сама функцияf (z ) – дифференцируема в этой точке.{б/д}

Теоремы 1 – 4 показывают принципиальное отличие ФКП от ФДП.

Теорема 3 позволяет вычислять производную функции по любой из следующих формул:

При этом можно считать х иу произвольными комплексными числами и вычислять производную по формулам:

Примеры . Проверить функцию на регулярность. Если функция регулярна – вычислить ее производную.

функция регулярна;

2. функция не дифференцируема.

Замечание . Нетрудно видеть, что любая действительная функция комплексного аргумента – не дифференцируема.

§9.Гармонические функции.

Напомним определение гармонических функций, данное в курсе «Теории поля»:

Определение. Функцияu (x ,y ) называетсягармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа:

Пусть на области G задана аналитическая функцияЭта функция удовлетворяет условиям Коши – Римана:
,
(§8). Так как аналитическая функция бесконечно дифференцируема, то и функцииu и v так же бесконечно дифференцируемы. Продифференцируем первое условие поx , второе поy и сложим полученные равенства:

т.е. действительная часть аналитической функции – гармоническая. Если условия продифференцировать поу , пох и вычесть, то легко убедиться в гармоничности мнимой части. Таким образом, доказана

Теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции являются гармоническими:

Ясно, что две произвольные гармонические функции, вообще говоря, не будут действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции. Для этого они должны еще удовлетворять условиям Коши – Римана. Однако, по любой гармонической функции можно с точностью до константы определить вторую часть аналитической функции (т.е. саму аналитическую функцию).

Пример . Доказать, чтоможет быть действительной частью аналитической функции и определить эту функцию.

Из 2-го условия К – Р: