Гармоническая функция в математической физике. Понятие о гармонических функциях

Функция а(t) называется гармонической, если она изменяется по синусои-дальному или косинусоидальному закону:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Здесь аргумент υ(t) = ωt + ψ называется фазой. Величина ψ = φ + π/2, равная значению фазы при t = 0 , называется начальной фазой. Наибольшее значение функции – амплитуда А m , наименьшее значение – (–А m).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ω её изменения называется угловой частотой и измеряется в
рад/с. Гармоническая функция – простейший вид периодической функции. Величина f, обратная периоду функции Т, называется линейной частотой и измеряется в герцах, обозначается Гц.

Установившимся режимом схемы называется такой, при котором закон изменения напряжения и тока не изменяется в течение всего исследуемого ин-

тервала времени. В противном случае режим является переходным.

Рассмотрим установившиеся процессы.

Построим график гармонической функции:

1. Выберем масштаб. По оси абсцисс – фазу ωt, чтобы определить период функции 2π. По оси ординат – амперы (если это функция тока) или вольты (если это функция напряжения). Отложим амплитуду функции А m (рис. 2.2):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на величину начальной фазы ψ. Если ψ > 0, то сдвигаем её влево, то есть функция а(ωt) опережает начало отсчета по оси абсцисс на величину ψ. Если ψ < 0, то сдвигаем вправо, то есть

функция а(ωt) отстает от начала отсчета на величину ψ.

Например, при , получим (рис. 2.4):

Пример 9 . Построить график функции тока i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Выбираем масштаб по осям ординат (рис. 2.5).

2. Строим функцию i´(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на влево, так как

Ψ = > 0 (рис. 2.7):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на вправо, так как

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Среднее и действующее значения гармонических токов и

Напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t 0 .

Среднее значение за период гармонической функции (а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

Раз меньше амплитуды

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Следовательно,

Пример 11 . Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и
амплитудное его значения.

Среднее значение I СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I m = 5 А, а действующее ) - 1 = 0,707·5 = =3,535 А.

Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А . Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A ]; b = Im[А ] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е j ψ ,

где А = − модуль числа А , − аргумент числа А .

Полярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается. Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А 1 ·А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 ·А 2 · ,

Пример 12. Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 – j10. Определить сумму и разность
чисел А 1 и А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А 1 = 10·е j 30° ; А 2 = 20 е –j6 0° . Определить произведение
и частное чисел А 1 и А 2 .

Ā 3 = А 1 ·А 2 = 10·е j 30° · 20 е –j6 0° = 200·е –j3 0° .

Ā 4 = А 1 · = 10·е j 30º · (20 е –j6 0°) –1 = 0,5·е j 90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е jψ .

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

3. Определяем Sin ψ РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14 . Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е j63° .

2.4. Представление гармонической функции на комплексной
плоскости

Установившиеся значения токов и напряжений линейных схем при воздействии гармонических сигналов в принципе могут быть найдены путем составления и решения соответствующих этим процессам дифференциальных уравнений. Однако это достаточно сложный путь.

В конце ХIХ века американскими инженерами А. Кеннели и И. Штейнметцем был предложен более простой путь, основанный на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, то есть на переводе исходных функций из временной области в частотную.

Введем понятие комплексных амплитудных значений гармонических функций тока (напряжения , э.д.с. ). Представим для этого каждую из этих функций в виде вектора на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде А m . При этом он вращается с круговой частотой ω против часовой стрелки (рис. 2.13).

Если остановить вектор в произвольный момент времени t, то его проекция а(t) на мнимую ось определится:

а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) .

При t = 0 а(0) = А m ·Sinψ.

Таким образом, гармонической функции а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) соответствует комплексное число А m = А m е jψ .

Аналогично гармоническим воздействиям

i(t) = I m ·Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m ·Sin (ωt + ψ u) и е(t) = Е m ·Sin (ωt + ψ е) значение тока или напряжения гармонической функции – это комплексное число, модуль которого равен действующему значению тока или напряжения, а аргумент равен начальной фазе гармонической функции. = 10 ()‾ 1 · = 7,07· В.

Справедливо и обратное преобразование.

Известно комплексное действующее значение тока = 0,2е j 70° А на частоте ω = 100 рад/с. Найти гармоническую функцию тока.

i(t) = I m ·Sin (ωt+ψ i) = I · ·Sin (ωt+ψ i) = 0,2· ·Sin (100t+70°) =

Гармони́ческая фу́нкция - вещественная функция $U$ , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве $D$ (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа :

$\Delta U = 0,\$

где $\Delta=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$ - оператор Лапласа , то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам x i (n = dim D - размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд .

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области $D$ , достигает своего максимума и минимума только на границе $\partial D$ . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума , за исключением тривиального случая постоянной в $D$ функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать $\forall m \in D \inf_{Q \in D}U(Q) < U(m) < \sup_{Q \in D}U(Q)$

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на $\Bbb{R}^n$ и ограниченная сверху или снизу, постоянна .

Свойство среднего

Если функция $u$ гармонична в некотором шаре $B(x_0)$ с центром в точке $x_0$ , то её значение в точке $x_0$ равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

$u(x_0) = \frac{1}{\mu(\partial B)} \int\limits_{\partial B} u dS = \frac{1}{\mu (B)} \int\limits_{B} u dV$

где $\mu (B)$ - объём шара $B(x_0)$ и $\mu(\partial B)$ - площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция $U(M)=U(x_1,...x_k)$ , гармоническая в к-мерном шаре $Q_r$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_0$ , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: ${{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)}$ , где $r=\rho(M_0, M) .$

Теорема Гарнака

Пусть $v_n(z)$ - положительные гармонические функции в некоторой области $D$ . Если ряд $\sum_{1}^\infty v_{n}(z)$ сходится хотя бы в одной точке области $D$ , то он равномерно сходится внутри $D$ .

См. также

Напишите отзыв о статье "Гармоническая функция"

Примечания

Литература

Владимиров В. С. , Жаринов В. В. Уравнения математической физики. - Физматлит, 2004. - ISBN 5-9221-0310-X .

Отрывок, характеризующий Гармоническая функция

– Фр… фр… – фыркал князь Николай Андреич.
– Князь от имени своего воспитанника… сына, тебе делает пропозицию. Хочешь ли ты или нет быть женою князя Анатоля Курагина? Ты говори: да или нет! – закричал он, – а потом я удерживаю за собой право сказать и свое мнение. Да, мое мнение и только свое мнение, – прибавил князь Николай Андреич, обращаясь к князю Василью и отвечая на его умоляющее выражение. – Да или нет?
– Мое желание, mon pere, никогда не покидать вас, никогда не разделять своей жизни с вашей. Я не хочу выходить замуж, – сказала она решительно, взглянув своими прекрасными глазами на князя Василья и на отца.
– Вздор, глупости! Вздор, вздор, вздор! – нахмурившись, закричал князь Николай Андреич, взял дочь за руку, пригнул к себе и не поцеловал, но только пригнув свой лоб к ее лбу, дотронулся до нее и так сжал руку, которую он держал, что она поморщилась и вскрикнула.
Князь Василий встал.
– Ma chere, je vous dirai, que c"est un moment que je n"oublrai jamais, jamais; mais, ma bonne, est ce que vous ne nous donnerez pas un peu d"esperance de toucher ce coeur si bon, si genereux. Dites, que peut etre… L"avenir est si grand. Dites: peut etre. [Моя милая, я вам скажу, что эту минуту я никогда не забуду, но, моя добрейшая, дайте нам хоть малую надежду возможности тронуть это сердце, столь доброе и великодушное. Скажите: может быть… Будущность так велика. Скажите: может быть.]
– Князь, то, что я сказала, есть всё, что есть в моем сердце. Я благодарю за честь, но никогда не буду женой вашего сына.
– Ну, и кончено, мой милый. Очень рад тебя видеть, очень рад тебя видеть. Поди к себе, княжна, поди, – говорил старый князь. – Очень, очень рад тебя видеть, – повторял он, обнимая князя Василья.
«Мое призвание другое, – думала про себя княжна Марья, мое призвание – быть счастливой другим счастием, счастием любви и самопожертвования. И что бы мне это ни стоило, я сделаю счастие бедной Ame. Она так страстно его любит. Она так страстно раскаивается. Я все сделаю, чтобы устроить ее брак с ним. Ежели он не богат, я дам ей средства, я попрошу отца, я попрошу Андрея. Я так буду счастлива, когда она будет его женою. Она так несчастлива, чужая, одинокая, без помощи! И Боже мой, как страстно она любит, ежели она так могла забыть себя. Может быть, и я сделала бы то же!…» думала княжна Марья.

Долго Ростовы не имели известий о Николушке; только в середине зимы графу было передано письмо, на адресе которого он узнал руку сына. Получив письмо, граф испуганно и поспешно, стараясь не быть замеченным, на цыпочках пробежал в свой кабинет, заперся и стал читать. Анна Михайловна, узнав (как она и всё знала, что делалось в доме) о получении письма, тихим шагом вошла к графу и застала его с письмом в руках рыдающим и вместе смеющимся. Анна Михайловна, несмотря на поправившиеся дела, продолжала жить у Ростовых.

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф. являются, напр., потенциалы сил в точках вне источников их поля, потенциал скоростей несжимаемой жидкости. Простейшим примером Г. ф. служит фундам. решение ур-ния Лапласа, описывающее потенциал точечного источника. Любую Г. ф. можно представить в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, выражающихся через значения Г. ф. и и её нормальной производной : если r - расстояние от любой точки P 0 внутри G до переменной точки P на границе S, то в случае трёх измерений

Для Г. ф. справедлив принцип экстремума: ф-ция, гармоническая внутри G и непрерывная в замкнутой области G+S, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на S, кроме того случая, когда эта ф-ция постоянна. Этот принцип позволяет устанавливать общие свойства физ. величин, не прибегая к вычислениям. Напр., в электростатике из него следует теорема Ирншоу. Удобный метод решения задач для Г. ф. на плоскости даёт теория ф-ций комплексного переменного z=x+iy. Если w=u+iv - аналитическая ф-ция от z в G, то и(х, у )и v(х, у )являются Г. ф. в G. Поэтому мн. задачи удаётся решить с помощью конформного отображения области G в нек-рую стандартную область (круг, полуплоскость). Граничные условия для Г. ф. определяют соответствующие краевые задачи, из к-рых чаще встречаются первая краевая задача, или Дирихле задача, когда на границе S Г. ф. принимает заданные значения, и вторая краевая задача, или Неймана задача, когда в каждой точке S задана нормальная производная Г. ф.

Лита.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 21 изд., M., 1974; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд, M., 1966.

- наименьшая гармоническая мажоранта семейства - нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич...
Математическая энциклопедия
- термин, иногда применяемый для обозначения емкости множества в евклидовом пространстве, получаемой методом классической потенциала теории при помощи ньютонова потенциала при или логарифмического потенциала...
Математическая энциклопедия
- пропорция, ср. члены к-рой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b = b:. Разложение числа а на два слагаемых b и а-b наз. гармонич. делением или золотым сечением...
- функция неск. переменных, непрерывная в нек-рой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному ур-нию Лапласа...
Естествознание. Энциклопедический словарь
- основная физическая характеристика квантовой системы, функция динамических переменных, полностью описывающая состояние системы...
Начала современного Естествознания
- последовательность вида 1/а, 1/в, 1/с..., где а, в, с и т.д. является АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЕЙ. Простейший пример - ряд чисел, обратных положительным целым: 1,1/2, 1/3, 1/4,.....
Научно-технический энциклопедический словарь
- син. термина складчатость параллельная...
Геологическая энциклопедия
- А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h и h1 = 2ah/...
Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона
- пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: а: b = b: ...
Большая Советская энциклопедия
- ГАРМОНИЧЕСКАЯ пропорция - пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b=b:...
- ГАРМОНИЧЕСКАЯ функция - функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному Лапласа уравнению...
Большой энциклопедический словарь
- Предназначение языка быть средством завязывания контактов между индивидами...
- Использование языка в той или иной коммуникативной сфере вместе с другим языком в связи с тем, что он не в состоянии самостоятельно в полной мере обслуживать данную сферу...
Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
- в математике три числа, имеющие такое свойство, что отношение двух из них равно отношению разностей между каждым из них и третьим числом; напр. если А: В = А - С: В - С; то А, В и С составляют гарм. пропорции...
Словарь иностранных слов русского языка
- Одновременное функционирование разных языков в одной и той же сфере или подсфере...
Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило
- Использование языка для интеллектуального, эмоционального или волевого воздействия на адресата...
Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

"ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в книгах

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Из книги Основы психофизиологии автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Гармоническая фильтрация основана на обработке спектров исходного сигнала, рассчитанных, например, при помощи быстрого преобразования Фурье (Fast Fourier Transformation – FFT). Спектр Фурье представляет собой сигнал в виде набора sin и cos функций, которые при

Гармоническая организация

Из книги Чёрная музыка, белая свобода автора Барбан Ефим Семёнович

Гармоническая организация Джаз не создал собственного гармонического языка. Блюзовая гамма - не более чем слегка измененная разновидность европейского темперированного звукоряда. Возникший на ее основе афроамериканский лад (точнее, тональность) в основе своей был

Гармоническая система счисления Майя

Из книги Фактор Майя [Внетехнологический путь] автора Аргуэльес Хосе

Гармоническая система счисления Майя Майянская система счисления основана на экспоненциальной двоичной последовательности чисел с основанием степени 20. Вся последовательность записывается с использованием лишь трех условных обозначений: точки, означающей единицу;

Функция

Из книги Избранное: Социология музыки автора Адорно Теодор В

Функция

Из книги автора

Функция (лат. functio – исполнение, совершение) – обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Й. Гёте, цит. по Е. Никитину. Функция. – Философская энциклопедия, т. 5. М., 1970, с. 418.).Функция появляется у предмета (объекта, элемента) лишь

Функция

Из книги Энциклопедический словарь (Т-Ф) автора Брокгауз Ф. А.

Функция Функция (мат.). – К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что у есть Ф. от независимой переменой х. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений х, а только для некоторых. Напр., Ф.у = 1. 2. 3:.. (x – 1).x определена только для целых

Гармоническая пропорция

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГА) автора БСЭ

ФУНКЦИЯ

Из книги Новейший философский словарь автора Грицанов Александр Алексеевич

Функция SUM

Из книги Обработка баз данных на Visual Basic®.NET автора Мак-Манус Джеффри П

Функция SUM Ваши возможности в подведении итогов не ограничены простым подсчетом записей. Используя функцию SUM, можно генерировать итоговые результаты для всех возвращаемых записей по любым числовым полям. Например, для создания запроса, который генерирует итоги по

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer 3.2. Краткое руководство автора Izekbis

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer Краткое руководство автора Автор неизвестен

Функция uni() Поиск/замена символа по его юникодному номеру также может быть сделана при помощи функции uni().Пример функции uni(): Boouni(107,32)Designer найдет слово Book

Функция not

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Функция sum

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества

Из книги «О текущем моменте» № 7(79), 2008 г. автора СССР Внутренний Предиктор

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества В достаточно общей теории управления (ДОТУ) есть понятие «полная функция управления». Полная функция

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

и в пространстве

Уравнение (33) при переходе к полярным координатам преобразуется к виду

(33*)

Рис 14 Рис 14.1

Если в пространстве перейти к сферическим координатам

то уравнение (34) примет вид

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (33) или (34) в некоторой области D , называются гармоническими в этой области. Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: U = ах + by + с на плоскости и U = ax + by + cz + d в пространстве. Особый интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных - круговой) симметрией.

Решение U=U(r) , обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (34*), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим

Где C 1 и C 2 - произвольные постоянные. Полагая C 1 =1 , C 2 =0 , получим функцию

Которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция U 0 является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат 0 .

Аналогично, полагая U=U(r) и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических или полярных координатах, найдем решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

Выбирая С 1 =-1 и С 2 =0 , будем иметь функцию

Которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция U 0 удовлетворяет уравнению Лапласа (33) всюду на плоскости, кроме начала координат 0, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины q , помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен

Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен

где q 1 - линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длины).

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) D радиуса R с центром (х o ,у o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г , ограничивающей данный круг, то есть

При доказательстве этой теоремы применим интегральную формулу Пуассона для круга, которая будет доказана позже в лекции 10 . Она имеет вид (см. рис. 15)

Если в этой формуле положить ρ=0 , то получится формула (35).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (35) для произвольного круга радиуса r , где (см. рис.15.1):

Рис. 15 Рис. 15.1

Умножив обе части равенства (36) на rdr и проинтегрировав по r в пределах от 0 до R , получим:

или

где D - круг радиуса R . Разделив обе части полученного равенства на R 2 /2 , будем иметь

В правой части формулы (37) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R .

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области D функция U=U(x,y) непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке (х о, у о) , то эта функция гармоническая в D . Из формулы (37) получается:

Следствие. Если функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R и непрерывная в соответствующем замкнутом круге ,то

Число называют нормой функции U=U(x,y) в области D , и неравенство (38) можно переписать в виде

Неравенство (38) доказывается совсем просто, если воспользоваться известным неравенством Коши-Буняковского:

Применим это неравенство к формуле (37):

Что и требовалось доказать.

Гармонические функции, помимио вышеуказанных свойств, обладают и многими другими свойствами. Приведем еще два из них.

Неравенство Харнака. Пусть функция гармоническая в некотором круге D радиуса R c центром (x o , у o) и непрерывная в соответствующем круге Тогда при любом она удовлетворяет неравенству