Дифференциальным называют уравнением, связывающее аргументх , искомую функциюу и ее производныеу ’ ,у ” , ...,у (n ) различных порядков. В общем виде дифференциальное уравнение можно записать:

F (x, y, у ’ ,у ” , ...,у (n) ) = 0 .

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком входящей в него производной.

Примером дифференциального уравнения является второй закон Ньютона, определяющей силу F как произведение массы телаm на приобретенное под действием силы ускорениеа: F = ma .

Учитывая, что ускорение есть первая производная от скорости v, запишем второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения первого порядка:

Или, поскольку ускорение является второй производной от пути S этот закон может представлен в виде дифференциального уравнения второго порядка:

Если известен конкретный характер действующей силы,то, решая уравнение (2), установим вид движения, т.е, найдем, как для данного случая путь зависит от времени: S = f(t).

Решением дифференциального уравнения является такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Пример. Решить уравнение:у ’ - х = 0 (3)

Перепишем исходное уравнение в виде:

(4)

В уравнении (4) выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал - в другую.

Для получения решения необходимо в уравнении (4) избавиться от дифференциалов, - поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:

(5)

При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С 1 иС 2 . Их следует объединить в одну постояннуюС . Окончательно:

Формула (6) есть общее решение дифференциального уравнения (3), содержащее столько производных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения.

Легко доказать, что функция (6) действительно решение уравнения (3), поскольку ее подстановка в уравнении (3) обращает последнее в тождество.

Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения - их называют начальными условиями.

Например: при х = 0 у = 1. Это начальное условия при подстановке его в общее решение (6) позволяет найти постояннуюС :

1 = 0 + С  С = 1.

Тогда из общего решения (6) для данного начального условия получим частное решение уравнения (3), не содержащее произвольной постоянной:

2. Этапы решения задач при использовании дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения - математический аппарат, который позволяет решать не только чисто математические или физические задачи, но и количественно описывать самые разнообразные процессы (медико-биологические, экономические, социальные и др.). Несмотря на разнообразие рассматриваемых явлений, использование аппарата дифференциальных уравнений для их исследования должно происходить в определенной общей логической последовательности.

2.1. Составление дифференциального уравнения. Этот этап наиболее сложный и ответственный. Здесь необходимо учесть все факторы, которые влияют на течение исследуемого процесса, возможно, сделать некоторые допущения, определить начальные условия. При этом исследователь должен основываться на твердо установленных экспериментальных фактах или логических посылках. Например, при создании математических моделей работы сердца их практическая полезность (получение новых сведений, позволяющих улучшить диагностику сердечно-сосудистых заболеваний и повысить эффективность их лечения) определится полнотой и корректностью математического учета физиологических данных и клинической практики.

2.2. Решение уравнения. Этот этап может считаться более простым, чем первый, поскольку он предполагает выполнение чисто математических операций. Если невозможно получить решение дифференциального уравнения в аналитическом виде, то оно может быть решено расчетным путем с применением современной вычислительной техники.

2.3. Оценка и анализ результата. Получив решение дифференциального уравнения (или системы уравнений), необходимо оценить, какова теоретическая и практическая полезность полученных результатов - установлены ли новые закономерности в протекании, например, физиологических процессов; определено ли количественно влияние выбранных факторов на,например, степень развития и характер патологии и т.п.

Кроме того, следует сопоставить полученные результаты с имеющимися установленными фактами. Если из математического описания физиологического процесса следуют неожиданные и неизвестные ранее сведения, то это может означать: 1) действительно установлено новое явление, которое впоследствии может быть подтверждено экспериментальными исследованиями; 2) полученный результат возник из-за того, что на этапе составления дифференциального уравнения не учтены все необходимые факторы или сделаны слишком грубые допущения.

Решение задач физики или механики с помощью дифференциальных уравнений распадается в соответствии со сказанным в п. 1 на следующие этапы:

а) составление дифференциального уравнения;

б) решение этого уравнения;

в) исследование полученного решения.

1. Установить величины, изменяющиеся в данном явлении, и выявить физические законы, связывающие их.

2. Выбрать независимую переменную и функцию этой переменной, которую мы хотим найти.

3. Исходя из условий задачи, определить начальные или краевые условия.

4. Выразить все фигурирующие в условии задачи величины

через независимую переменную, искомую функцию и ее производные.

5. Исходя из условий задачи и физического закона, которому подчиняется данное явление, составить дифференциальное уравнение.

6. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.

7. По начальным или краевым условиям найти частное решение.

8. Исследовать полученное решение.

Во многих случаях составление дифференциального уравнения первого порядка основывается на так называемой «линейности процесса в малом», т. е. на дифференцируемости функций, выражающих зависимость величин. Как правило, можно считать, что все участвующие в том или ином процессе величины в течение малого промежутка времени изменяются с постоянной скоростью. Это позволяет применить известные из физики законы, описывающие равномерно протекающие явления, для составления соотношения между значениями , т. е. величинами, участвующими в процессе, и их приращениями. Получающееся равенство имеет лишь приближенный характер, поскольку величины меняются даже за короткий промежуток времени, вообще говоря, неравномерно. Но если разделить обе части получившегося равенства на и перейти к пределу, когда стремится к нулю, получится точное равенство. Оно содержит время t, меняющиеся с течением времени физические величины и их производные, т. е. является дифференциальным уравнением, описывающим данное явление. То же самое уравнение в дифференциальной форме можно получить, заменив приращение на дифференциал , а приращение функций - соответствующими дифференциалами.

Таким образом, при составлении дифференциального уравнения мы делаем как бы «мгновенный снимок» процесса

в данный момент времени, а при решении уравнения по этим мгновенным снимкам восстанавливаем течение процесса. Итак, в основе решения физических задач с помощью дифференциальных уравнений лежит общая идея линеаризации - замены функций на малых промежутках изменения аргумента линейными функциями. И хотя встречаются процессы (например, броуновское движение), для которых линеаризация невозможна, потому что не существует скорости изменения некоторых величин в данный момент времени, в подавляющем большинстве случаев метод дифференциальных уравнений действует безотказно.

Пример 1. В дне цилиндрического сосуда, наполненного водой и имеющего высоту Н и радиус основания R, сделано небольшое отверстие площади 5 (рис. 2). За какой промежуток времени через отверстие вытечет вся вода, если треть воды вытекает за ?

Решение. Если бы истечение воды происходило равномерно, то решить задачу не представляло бы никаких затруднений - вся вода вытечет за 3 с. Но наблюдения показывают, что сначала вода вытекает быстро, а по мере снижения уровня воды в сосуде скорость ее истечения уменьшается. Поэтому надо учесть зависимость между скоростью истечения v и высотой h столба жидкости над отверстием. Проведенные итальянским физиком Торричелли эксперименты показали, что скорость v приближенно выражается формулой , где g - ускорение свободного падения и k - «безразмерный» коэффициент, зависящий от вязкости жидкости и формы отверстия (например, для воды в случае круглого отверстия .

Сделаем «мгновенный снимок» процесса истечения за промежуток времени Пусть в начале этого промежутка высота жидкости над отверстием равнялась , а в конце его она понизилась и стала , где - «приращение» высоты (которое, очевидно, отрицательно). Тогда объем жидкости, вытекшей из сосуда, равен объему цилиндра с высотой и площадью основания т. е. .

Эта жидкость вылилась в виде цилиндрической струйки, имеющей площадь основания S. Ее высота равна пути, пройденному вытекающей из сосуда жидкостью за промежуток времени . В начале этого промежутка времени скорость истечения равнялась по закону Торричелли а в конце его она равнялась .

Если весьма мало, то тоже очень мало и потому полученные выражения для скорости почти одинаковы. Поэтому путь, пройденный жидкостью за промежуток времени выражается формулой

где . Значит, объем вылившейся за промежуток времени жидкости вычисляется по формуле

Мы получили два выражения для объема жидкости, вылившейся из сосуда за промежуток времени Приравнивая эти выражения, получаем уравнение

Недостатком уравнения (1) является то, что нам неизвестно выражение для а. Чтобы устранить этот недостаток, разделим обе части уравнения (1) на и перейдем к пределу при Поскольку , получаем дифференциальное уравнение

Физики обычно рассуждают короче. Они исследуют процесс в течение «бесконечно малого промежутка времени и считают, что за промежуток времени не изменяется скорость истечения жидкости из сосуда. Поэтому вместо приближенного уравнения (1) они получают точное уравнение

которое является не чем иным, как дифференциальной формой уравнения (2).

Чтобы решить получившееся уравнение, разделим переменные и обозначим для краткости дробь через А. Интегрируя обе части получившегося уравнения получим ответ в виде

Мы получили зависимость между t и , в которую входят две постоянные А и С. Постоянная А зависит от размеров и формы отверстия, вязкости жидкости и других

физических параметров, а постоянная С возникла в ходе решения задачи. Их значения нам неизвестны, но их можно найти, учитывая не использованные еще условия задачи.

Сначала найдем значение С. Для этого используем начальные условия. По условию задачи в начале истечения сосуд был наполнен, т. е. высота столба жидкости равнялась . Иными словами, при имеем: . Подставляя в формулу (3) значения получаем: и потому Поэтому равенство (3) можно переписать в виде

Чтобы найти значение А, вспомним, что за первые мин вытекла треть всей жидкости. Этому соответствует понижение уровня жидкости на . Иными словами, при имеем: . Отсюда находим, что

Теперь уже легко найти время опорожнения сосуда: нам надо найти такое значение t, при котором :

Полученное значение раз больше значения , которое получилось в предположении, что жидкость вытекает равномерно.

Разумеется, и это решение не является безукоризненно точным - мы пренебрегли, например, явлениями

капиллярности (а они существенны, если диаметр отверстия мал), завихрениями жидкости, так называемым пограничным слоем (слоем жидкости вблизи стенок отверстия, на котором происходит переход значений скорости от нуля до и) и многими иными факторами. Но все же оно точнее, чем решение, основанное на предположении о равномерности истечения жидкости.

Исследуем в заключение полученное решение. Для этого подставим в равенство (4) значение , найдем и получим, что

Ясно, что, чем больше значения R и Н (размеры сосуда), тем дольше будет вытекать из него жидкость, как это и следует из полученного ответа. Далее, чем больше S, т. е. площадь отверстия, тем быстрее вытечет жидкость из сосуда. В том же направлении действует и увеличение ускорения g, а также коэффициента к (чем больше к, тем больше скорость истечения жидкости по формуле Бернулли).

Таким образом, полученная формула выдержала «испытание на здравый смысл». Ее надо еще испытать на размерность. Заметим, что в формуле Бернулли коэффициент k безразмерен и потому имеем:

Проведенный контроль подтверждает, что задача решена правильно.

Во многих случаях составление дифференциального уравнения по условию задачи облегчается тем, что соответствующий закон физики связывает между собой значения некоторой величины и скорости ее изменения либо связывает друг с другом значения величины, скорости ее изменения и ускорения.

Пример 2. Парашютист падает под действием силы тяжести. Найдем закон изменения высоты парашютиста над уровнем земной поверхности, если сопротивление воздуха пропорционально скорости его падения, а в начале падения он находился на высоте Я, причем был в состоянии покоя.

Решение. По второму закону Ньютона имеем: . Если выбрать направление координатной оси так, как показано на рисунке 3, то (сила тяжести направлена в отрицательном направлении, а сила сопротивления воздуха направлена в сторону, противоположную скорости падения). Поэтому равенство принимает вид: Так как ускорение является производной от скорости , то получаем дифференциальное уравнение , т. е.

Начальное условие имеет вид: (начальная скорость падения равна нулю).

Разделяя переменные в уравнении (5) и интегрируя, получим:

Так как при имеем: , то и потому

Отсюда находим:

Мы получили закон изменения скорости с течением времени. Найдем теперь закон изменения высоты А парашютиста. Для этого заметим, что , и потому получаем дифференциальное уравнение

Из него вытекает, что

По условию при имеем: . Подставляя эти значения в (8), получаем, что и потому

При малых значениях t имеем:

Сохраняя лишь первые два слагаемых, получаем из формулы (7), что Это показывает, что в начале падения парашютист движется почти равноускоренно. Однако в дальнейшем влияние сопротивления воздуха становится ощутимым, и при имеем: потому стремится к . Иными словами, движение становится почти равномерным со скоростью направленной вниз. Эта скорость пропорциональна силе тяжести действующей на парашютиста, и обратно пропорциональна

коэффициенту k, показывающему силу сопротивления воздуха.

Из формулы (9) можно приближенно найти время, за которое парашютист упадет на земную поверхность. Для этого учтем, что и напишем по формуле (9) приближенное равенство Из него находим, что Заметим, что слагаемое равно времени, которое заняло бы падение парашютиста, с постоянной скоростью а добавка - произошла потому, что вначале падение было более медленным.

Мн.: 1973.- 560 с.

Учебное пособие для математических, химических, биологических, геофизических факультетов университетов и педагогических институтов. Данной руководство по составление обыкновенных дифференциальных уравнений, а также простейший уравнений адресована широкому кругу лиц, встречающихся с составлением дифференциальных уравнений в учебной и производственной работе и практике. В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ПК - наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники.

Формат: pdf

Размер: 5 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие " . I 3
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 5
§ 1. Дифференциальные уравнения 5
§ 2. Классификация дифференциальных уравнений. 5
§ 3. Общее семейство решений, частное и особое решения 6
§ 4. Элементарные дифференциальные уравнения 7.
§ 5. Выделение индивидуальных решений 8
§ 6. Построение решения в виде степенного ряда 10
§ 7. Метод последовательных приближений И
§ 8. Продолжение решений 12
ГЛАВА II. СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО УСЛОВИЯМ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
§ 1. Общие принципы.. тз
§ 2. Методика составления дифференциальных уравнений 13
§ 3. Схема составления дифференциального уравнения 15
ГЛАВА III. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ Об)
§ 1. Притяжение стержня и материальной точки........ ^Чб"
§ 2. Движение тел постоянной массы 18
§ 3. Движение тел переменной массы (без учета внешних сил) ..... 26
§ 4. Растяжение упругой нитн.. 30
§ 5. Работа опорожнения сосудов 34
§ 6. Изменение яркости света в стеклянной пластине....... 35
§ 7. Нагрев тела 37
§ 8. Изменение состояния газов в сосудах 40
ГЛАВА IV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
§ 1. Охлаждение тел, 43
§ 2. Нагрев тел. 46
§ 3. Распределение температуры внутри тел, 48
§ 4. Брус равного напряжения 51
§ 5. Давление зерна на стенки хранилища. 53
§ 6. Барометрическая формула и глубинное давление. 55
§ 7. Прямолинейное горизонтальное движение.....».? 58
§ 8. Вертикальное движение тел 65
§ 9. Падение тел переменной массы. . , SI
§ 10. Криволинейное движение (кривая погони) 83
§ 11. Вращение тел в жидкости. 86
§ 12. Закон всемирного тяготения 88
§ 13. Радиоактивный распад., 94
§ 14. Электрические заряды 95
§ 15. Поверхность фрезы,.. 99
§ 16. Трение ременной передачи,.., 101
§ 17. Истечение жидкости из сосудов 103
§ 18. Наполнение сосудов,... 108
§ 19. Установление уровня в сообщающихся сосудах.. 108
§ 20. Кривая депрессии «,.,.. ПО
§ 21. Обеднение раствора...... s .. 112
§ 22. Растворение твердых тел ИЗ
§ 23. Вентиляция производственного помещения. . . , . , . 119
§ 24. Газовые смеси. . 120
§ 25. Ионизация газов.,. 121
§ 26. Химические реакции 122
§ 27. Рост населения 133
§ 28. Процессы роста в природе н производстве 142
§ 29. Экология популяций 150
§ 30. Плотность муравьев вне муравейника. . . . * , . . 157
§ 31. Рост денежных вкладов 161
ГЛАВА V. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА,
§ 1. Изогональные траектории. ТБЗ
§ 2. Геометрические приложения. 165
§ 3. Зеркало, фокусирующее параллельные лучи. 170
§ 4. Траектории полета самолетов 171
ГЛАВА VI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ
§ 1. Параболическое зеркало 180
§ 2. Концентрация вещества в жидкости 182
ГЛАВА VII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 1. Геометрические приложения «ю
§ 2. Движение материальной точки 188
§ 3. Температура охлаждающего тела
§ 4. Нагрев тела при стационарном теплопотоке
§ 5. Электрические цепи
§ 6. Рационализаторские предложения
§ 7. Работа сердца
§ 8. Задача о сигарете.
ГЛАВА VIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (УРАВНЕНИЯМ БЕРНУЛЛИ, РИККАТИ, ЛАГРАНЖА И КЛЕРО)
§ 1. Уравнение Бернулли
§ 2. Уравнение Риккати
| 3. Уравнение Лагранжа
§ 4. Уравнение Клеро
ГЛАВА IX. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА, РАЗРЕШЕННЫМ ОТНОСИТЕЛЬНО ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ (у"=с)
§ I. Скольжение тела под наклоном!Ш
§ 2. Движение в горизонтальной плоскости при сопротивлении, пропорциональном силе тяжести 220
§ 3. Выброс вверх (без учета треиия) 231
§ 4. Распределение теплоты в стержне 231
§ 5. Расстояние между фермами железнодорожного моста. . . ... 233
ГЛАВА X. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С 236^
I. Уравнения типа y"=f(x)
§ 1. Переходная кривая железнодорожного пути 237
§ 2. Прямолинейное движение материальной точки в горизонтальной плоскости 230
§ 3. Упругая линия балок 242
II. Уравнения типа «/"=/((«/)
§" 4. Геометрические приложения 255
§ 5. Движение материальной точки под действием силы притяжения. 256
III. Уравнения типа y"=f(y")
§ 6. Определение кривой по радиусу кривизны 257
§ 7. Горизонтальное движение тела при наличии трения 259
§ 8. Движение в вертикальной плоскости 274
§ 9. Равновесие тяжелой нити 280
§ 10. Гибкая иить равного сопротивления 283
IV. Уравнения типа y"=f(x,y")
§ II. Кривая и раднус кривизны 285
V. Уравнения типа y"-f(y, у")
§ 12. Нахождение уравнения кривой по нормали и радиусу кривизны. . . 286
ГЛАВА XI. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 288 \
I. Неполные линейные дифференциальные уравнения
§ I. Гармонические колебания 296
§ 2. Движение тела без трения 307
§ 3. Дифференциальный манометр 312
§ 4. Распределение теплоты в стержнях 313
§ 5. Продольный изгнб прямого стержня 320
§ 6. Движение шарика в трубке (задача Ампера) 328
II. Линейные дифференциальные уравнения
§ 7. Затухающие колебания 330
§ 8. Затухающие колебания в электрической цепи 335
§ 9. Колебания магнитной стрелки без и при наличии успокоителя 3
§ 10. Вынужденные колебания механических систем 350
ГЛАВА XII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С РАЦИОНАЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 363
I. Уравнение Эйлера ^*-^
§ 1. Распределение температуры в продольном ребре параболического сечсннн 303
II. Линейное однородное уравнение с рациональными коэффициентами
§ 2. Толстостенная цилиндрическая оболочка под давлением (задача Лямэ) . . 366
III. Линейное неоднородное уравнение с рацио и ильным и коэффициентами
§ 3. Скорость течения жидкости в трубопроводе Я74
§ 4. Изгиб круглой пластины, 970
ГЛАВА XIII. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СПЕЦИАЛЬНЫМ ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (УРАВНЕНИЯМ БЕССЕЛЯ. ЛЕЖАНДРА И МАТЬЕ) Г 385 ^
I. Уравнение Бесселя
§ 1. Устойчивость стержня формы усеченного конуса, сжимаемого продольной силой 390
§ 2. Устойчивость цилиндрического стержня под действием собственного веса 392
§ 3. Устойчивость вращения гибкой нити 395
§ 4. Распределение температуры в кольцевом ребре прямоугольного профиля 398
П. Обобщенное уравнение Бесселя
§ 5. Маятник переменной длины 400
§ 6. Устойчивость стержня переменного сечения под действием переменной распределенной нагрузки 402
III. Дифференциальные уравнения в частных производных
§ 7. Колебания круглой мембраны 405
IV. Уравнение Лежандра
§ 8. Электрический потенциал двух равносильных зарядов 413
§ 9. Дифференциальное уравнение в частных производных потенциала. . . 415
§ 10. Потенциал притягивающих масс 417
V. Уравнение Матье
§ 11. Динамическая устойчивость стержня под действием переменной_продолыюй силы 424
ГЛАВА XIV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ1ЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА (436
§ 1. Разложение вещества ^~4ЦЙ-"
§ 2. Относительная кривая погони (442
§ 3. Давление в системе двух соединенных цилиндров с газом 445
§ 4. Напряженное состояние диска под действием центробежных сил. . . 447
§ 5. Превращение одного вещества в другое 453
ГЛАВА XV. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К НЕПОЛНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ, высших ПОРЯДКОВ
§ 1. Линия прогиба неразрезиой балки от распределенной нагрузки. . . ТЗв
ГЛАВА XVI. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (463 }
§ 1. Паровая машина с регулятором ^4вт
ГЛАВА XVII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИКОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Колебания вала от действия центробежных сил, ^~?72
§ 2. Балка (железнодорожный рельс) на упругом основании 477
§ 3. Колебания однородной балки (приведение дифференциального уравнения в частных производных к обыкновенному) . . . 482
ГЛАВА XVIII. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ЛИНЕЙНЫМ НЕОДНОРОДНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 485
§ I. Деформация стенок цилиндрического резервуара 487
§ 2. Железнодорожная шпала 490
ГЛАВА XIX. ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К СИСТЕМАМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА 495
§ 1. Движение материальной точки под действием отталкивающей силы, пропорциональной расстоянию * 497
§ 2. Выброс тела под углом 500
§ 3. Сброс груза с самолета в заданную точку 503
§ 4. Движение планет 504
§ 5. Система двух связанных электрических контуров 509
§ 6. Изменение потенциала электрической линии по времени (приведение системы дифференциальных уравнений в частных производных к системе обыкновенных уравнений) 513
§ 7. Стационарные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в теории систем современной техники и естествознания. . 519
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 529
I. Дифференциальные уравнения первого порядка.... 529
II. Дифференциальные уравнения второго порядка.. 545
III. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. . . . 555
IV. Системы дифференциальных уравнений второго порядка. 557

ПРЕДИСЛОВИЕ
В приложениях математики к различным отраслям науки дифференциальные уравнения занимают важное место. Использование ИК-- наиболее эффективное и распространенное средство решения прикладных задач естествознания и техники. Многие реальные процессы с помощью дифференциальных уравнений описываются просто н полно. Поэтому вполне понятно то внимание, которое уделяет-СИ вопросу составления дифференциальных уравнений.
Однако многочисленные и разнообразные приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений требуют в первую очередь знания соответствующих теоретических положений и законов естествознания, техники и других отраслей, которые изучаются обычно после дифференциальных уравнений. По этой причине в курсе дифференциальных уравнений решению практических задач на составление уделяется все еще недостаточное внимание. Прослу-Шйншие этот курс не имеют достаточного навыка в решении задач, выдвигаемых жизнью, производством. Кроме того, в учебниках и учебных пособиях вопросы-составления дифференциальных уравнений обычно ограничиваются элементарными задачами геометрического или кинематического типа. Поэтому целесообразно вернуться к составлению дифференциальных уравнений при изложении специальных дисциплин, а также в процессе практической или научно-исследовательской работы.
Цель автора - создание учебного пособия, которое широко охватило бы различные задачи естествознания и техники и способствовало овладению современной методикой составления дифференциальных уравнений прикладных задач, возникающих в процессе производства или научной деятельности.
Характерной особенностью освоения навыков составления дифференциальных уравнений является изучение многочисленных примеров. В связи с этим полнота изложения имеет здесь существенное значение.
Книга содержит 325 задач на составление дифференциальных уравнений, из которых 194 задачи анализируются подробно.
Рассматриваемые задачи классифицируются по их математическому пришаку: описываемые обыкновенными дифференциальными ураииениями первого, второго, третьего и четвертого порядков, системами этих уравнений первого и второго порядков, а также дифференциальными уравнениями в частных производных, приводящимися к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Для самостоятельного решения подобрана 131 задача, большинство на которых аналогичны разобранным и снабжены ответами, а более трудные - краткими пояснениями к решению.
Учебное пособие предназначено для студентов всех отделение математических, физических, механических, химических, биологических, геофизических, экономических факультетов университетов г. педагогических институтов, а также высших технических учебных заведений.
Книга рассчитана на широкий круг читателей, встречающихся с дифференциальными уравнениями в учебно-методической, производственной и научно-исследовательской практике.

Задачи с дифференциальными уравнениями

Решение : должен предупредить, что здесь опять возникают «накладки» с обозначениями, и я буду придерживаться собственной версии оформления, которая показалась мне наиболее удобной. Сначала рассмотрим некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой линии, и соответствующую касательную. Выполним схематический чертёж. Из условия задачи следует, что точка пересечения касательной с осью лежит строго между точек и . Это принципиальный момент ! – так бывает далеко не всегда. И, конечно, нужно постараться, чтобы отрезок был примерно в 2 раза длиннее отрезка :

Первое, что приходит в голову – это найти длины отрезков и составить уравнение по формуле . Так решать можно,… но лучше не нужно. Вспоминаем школу: треугольники и подобны по двум углам (обозначены красными и зелёными дугами) , а значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны:

Грубо говоря, нижний треугольник в 2 раза больше, чем верхний.

В чём фишка? Фишка состоит в том, что длины отрезков найти значительно проще! Тем более, точки уже известны, и по существу, осталось найти «иксовую» координату точки . Находим:

Энтузиасты могут прорешать эту, более простую задачу по трафарету. И, конечно, в ней тоже не надо находить длины отрезков и – намного выгоднее снова рассмотреть подобные треугольники (которые расположены один над другим и так оказалось, что вообще равны) . Интересно, что в ходе решения опять появятся два диффура, из которых потребуется выбрать «правильный».

Для самостоятельного решения также предлагаю ещё одно задание:

Задача 5

Найти линию, проходящую через точку и обладающую тем свойством, что в любой её точке нормальный вектор с концом на оси имеет длину, равную , и отрезок образует острый угол с положительным направлением оси .

Систематизируем схему решения:

1) Во избежание неразберихи с «иксом» и «игреком» рассматриваем некоторую конкретную точку , принадлежащую искомой прямой. Вообще говоря, можно сразу работать с произвольной точкой , но тогда «глобальные» переменные придётся обозначить как-нибудь по-другому, например, через .

2) Составляем уравнение нормали , проходящей через точку .

3) Находим координаты точки пересечения нормали с осью ординат.

4) Находим длину вектора . А вот здесь уже без корня обойтись трудно.

5) Теперь переходим к рассмотрению произвольной точки , т.е. выполняем замены . Этот шаг можно выполнить и чуть раньше (до нахождения длины вектора).

6) Составляем и решаем дифференциальное уравнение. В ходе решения используем информацию о том, что отрезок образует острый угол с положительным направлением оси .

Однако здесь существует и более короткое решение, которым поделилась одна из читательниц сайта. В своё время (когда создавалась статья) из моего поле зрения выпала эта элементарная возможность, и поэтому в конце урока я, конечно же, добавил 2-й способ. Постарайтесь его увидеть! И спасибо за ваши письма – они действительно помогают улучшить учебные материалы.

Я не сторонник различного рода справочников, но для решения практических задач могут пригодиться следующие готовые формулы:


Длина отрезка касательной:
Подкасательная:
Длина отрезка нормали:
Поднормаль:

Но всё же старайтесь их выводить по ходу решения той или иной задачи.

Поскольку сайт посвящен математике, то бОльшую часть урока заняла математика =), но, разумеется, я не могу обойти стороной многочисленные прикладные задачи, которые рассматриваются даже в школе. Их часто (и может быть даже корректнее) называют задачами, которые ПРИВОДЯТ к понятию дифференциального уравнения . Отличительной особенностью этих задач (как правило) является тот факт, что условие опирается на сам СМЫСЛ производной , то есть речь в нём идёт о скорости изменения некоторого показателя.

Физика, химия,… да чего тут занудничать – биология:

Задача 6

Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения.

Состояние популяции можно охарактеризовать массой этой популяции (весом всего стада), причем масса является функцией времени . Считая, что скорость роста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом пропорциональности , найти массу стада в момент времени , если известно её значение при .

…надо сказать, автор задачи не стал мучить студентов-зоотехников и расписал всё подробнейшим образом. Давайте, тем не менее, остановимся на характерных признаках, позволяющих определить, что тут замешано дифференциальное уравнение:

– во-первых, нам явно придётся отыскать функцию массы стада, зависящую от времени;

– и, во-вторых, в условии прямо сказано о скорости роста этой самой массы.

А за скорость роста у нас отвечает производная функция , в данном случае функция

На самом деле решение очень простое и напоминает оно 1-ю задачу урока. По условию, скорость изменения массы стада пропорциональна этой массе:

В большинстве практических задач коэффициент пропорциональности равен константе, но вот здесь он представляет собой функцию: . Впрочем, это не имеет особого значения:

Разделяем и властвуем:

Общее решение:

По условию, в момент времени биомасса составляет . Решим задачу Коши:

Таким образом, закон изменения массы популяции:

Шустрая, однако, популяция – прямо какое-то стадо кроликов… или даже саранчи. …Хотя в задаче ничего не сказано о размерности величин. И поэтому, кстати, здесь будет корректно говорить о единицах времени и единицах массы .

Найдём то, что требовалось найти:
– масса стада в момент времени

Ответ :

…Наверное, вы ждёте - не дождетесь задач по физике…. Спешу обнадёжить вас принципом «антиРабиновича»: Дождётесь! =) Но перед этим примем йаду таблеточку:

Задача 7

Таблетка массой 0,5 г брошена в стакан воды. Скорость растворения таблетки пропорциональна массе таблетки. Через какое время растворится 99% вещества, если известно, что через 10 минут растворилось 80%?

Это очень простая… и не простая задача;) Постарайтесь самым тщательным образом разобраться в решении , задач в подобном техническом исполнении намного больше стакана – их пруд пруди. И кто позабыл – свойства степеней и логарифмов в помощь.

К сожалению, нельзя объять необъятное, и около 10 готовых задач по физике я загрузил в библиотеку, в основном, там задачи по механике. Физика не является моим профильным предметом, но вроде получилось неплохо….