Г кантор и создание теории множеств. "элементы теории множеств". I. Основные понятия и аксиомы теории множеств

По образованию я физик-теоретик, однако имею неплохую математическую базу. В магистратуре одним из предметов была философия, необходимо было выбрать тему и сдать по ней работу. Поскольку большинство вариантов не единожды было обмусолено, то решил выбрать что-то более экзотическое. На новизну не претендую, просто получилось аккумулировать всю/почти всю доступную литературу по этой теме. Философы и математики могут кидаться в меня камнями, буду лишь благодарен за конструктивную критику.

P.S. Весьма «сухой язык», но вполне читабельно после университетской программы. По большей части определения парадоксов брались из Википедии (упрощённая формулировка и готовая TeX-разметка).

Введение

Как сама теория множеств, так и парадоксы, ей присущие, появились не так уж и давно, чуть более ста лет назад. Однако за этот период был пройден большой путь, теория множеств так или иначе фактически стала основой большинства разделов математики. Парадоксы же её, связанные с бесконечностью Кантора, были успешно объяснены буквально за половину столетия.

Следует начать с определения.

Что есть множество? Вопрос достаточно простой, ответ на него вполне интуитивен. Множество это некий набор элементов, представляемый единым объектом. Кантор в своей работе Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre даёт определение: под «множеством» мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться «элементами» множества M). Как видим, суть не изменилась, разница лишь в той части, которая зависит от мировоззрения определяющего. История же теории множеств как в логике так и в математике весьма противоречива. Фактически начало ей положил Кантор в XIX веке, далее Рассел и остальные продолжили работу.

Парадоксы (логики и теории множеств) - (греч. - неожиданный) - формально-логические противоречия, которые возникают в содержательной множеств теории и формальной логике при сохранении логической правильности рассуждения. Парадоксы возникают тогда, когда два взаимоисключающих (противоречащих) суждения оказываются в равной мере доказуемыми. Парадоксы могут появиться как в пределах научной теории, так и в обычных рассуждениях (например, приводимая Расселом перифраза его парадокса о множестве всех нормальных множеств: «Деревенский парикмахер бреет всех тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя?»). Поскольку формально-логическое противоречие разрушает рассуждение как средство обнаружения и доказательства истины (в теории, в которой появляется парадокс, доказуемо любое, как истинное, так и ложное, предложение), возникает задача выявления источников подобных противоречий и нахождения способов их устранения. Проблема философского осмысления конкретных решений парадоксов - одна из важных методологических проблем формальной логики и логических оснований математики.

Целью данной работы является изучение парадоксов теории множеств как наследников античных антиномий и вполне логичных следствий перехода к новому уровню абстракции - бесконечности. Задача - рассмотреть основные парадоксы, их философскую интерпретацию.

Основные парадоксы теории множеств

Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?

Продолжим кратким экскурсом в историю.

Некторые из логических парадоксов были известны с античных времён, однако по причине того, что математическая теория ограничивалась одной лишь арифметикой и геометрией, соотнести их с теорией множеств было невозможно. В XIX веке ситуация изменилась коренным образом: Кантор в своих работах вышел на новый уровень абстракции. Он ввёл понятие бесконечности, создав тем самым новый раздел математики и позволив тем самым сравнивать различные бесконечности с помощью понятия «мощность множества» . Однако тем самым он породил множество парадоксов. Самым первым является так называемый парадокс Бурали-Форти . В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одно из формальных определений.

Можно доказать, что если x - произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов x . Предположим теперь, что - множество всех порядковых чисел. Тогда - порядковое число, большее или равное любому из чисел в . Но тогда и - порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в . Но это противоречит условию, по которому - множество всех порядковых чисел.

Сущность же парадокса в том, что при образовании множества всех порядковых чисел образуется новый порядковый тип, которого ещё не было среди «всех» трансфинитных порядковых чисел, существовавших до образования множества всех порядковых чисел. Этот парадокс был обнаружен самим Кантором, независимо открыт и опубликован итальянским математиком Бурали-Форти, ошибки же последнего были исправлены Расселом, после чего формулировка приобрела окончательный вид .

Среди всех попыток избежать подобных парадоксов и в какой-то мере попробовать их объяснить наибольшего внимания заслуживает идея уже упомянутого Рассела. Он предложил исключить из математики и логики импредикативные предложения, в которых определение элемента множества зависит от последнего, что и вызывает парадоксы. Правило звучит так: «никакое множество С не может содержать элементов m, определяемых лишь в терминах множества С, а так же элементов n, предполагающих в своём определении это множество» . Подобное ограничение определения множества позволяет избежать парадоксов, но при этом значительно сужает область его применения в математике. Вдобавок этого недостаточно для объяснения их природы и причин появления, коренящихся в дихотомии мышления и языка, в особенностях формальной логики . В какой-то мере в данном ограничении можно проследить аналогию с тем, что в более поздний период когнитивные психологи и лингвисты начали называть «категоризацией основного уровня»: определение сведено к наиболее легкой для понимания и изучения концепцией.

Предположим, что множество всех множеств существует. В этом случае справедливо , то есть всякое множество t является подмножеством V. Но из этого следует - мощность любого множества не превосходит мощности V. Но в силу аксиомы множества всех подмножеств, для V, как и любого множества, существует множество всех подмножеств , и по теореме Кантора , что противоречит предыдущему утверждению. Следовательно, V не может существовать, что вступает в противоречие с «наивной» гипотезой о том, что любое синтаксически корректное логическое условие определяет множество, то есть что для любой формулы A, не содержащей y свободно. Замечательное доказательство отсутствия подобных противоречий на основе аксиоматизированной теории множеств Цермело-Френкеля приводится у Поттера .

Оба вышеуказанных парадокса с логической точки зрения идентичны «Лжецу» либо «Брадобрею»: высказываемое суждение обращено не только на нечто объективное по отношению к нему, но и само на себя. Однако следует обращать внимание не только на логическую сторону, но и на понятие бесконечности, которое тут наличествует. В литературе ссылаются на работу Пуанкаре, в которой он пишет: «вера в существование актуальной бесконечности… делает необходимым эти непредикативные определения"" .
В целом же имеют место основные моменты :

• в данных парадоксах нарушается правило чётко разделять „сферы“ предиката и субъекта; степень смешения близка к подмене одного понятия другим;
• обычно в логике предполагается, что в процессе рассуждения субъект и предикат сохраняют свой объём и содержание, в данном же случае происходит
  переход из одной категории в другую, что даёт в результате несоответствие;
• наличие слова „все“ имеет смысл для конечного числа элементов, в случае же бесконечного их количества возможно наличие такого, которое
  для определения себя потребует определение множества;
• нарушаются основные логические законы:
  • закон тождества нарушается тогда, когда обнаруживается нетождественность себе субъекта и предиката;
  • закон противоречия - когда с одинаковым правом выводятся два противоречащих друг другу суждения;
  • закон исключённого третьего - когда это третье приходится признавать, а не исключать, поскольку ни первое, ни второе не могут быть признаны одно без другого, т.к. они оказываются одинаково правомерными.

Третий парадокс носит имя Рассела . Один из вариантов определения приведён далее.
Пусть K - множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K - противоречие.Если нет - то, по определению K, оно должно быть элементом K - вновь противоречие. Данное утверждение логически выводится из парадокса Кантора, что показывает их взаимосвязь. Однако философская сущность проявляется более чётко, поскольку „самодвижение"" понятий происходит прямо “на наших глазах» .

Парадокс Тристрама Шенди:
В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, - возражает на это Рассел, - что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».
Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным.

Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Рассел проводит аналогию между этим романом и Зеноном с его черепахой. По его мнению решение лежит в том, что целое эквивалентно его части в бесконечности. Т.е. к противоречию приводит только «аксиома здравого смысла» . Однако же разрешение проблемы лежит в области чистой математики. Очевидно, что имеется два множества - года и дни, между элементами которых установлено взаимно-однозначное соответствие - биекция. Тогда при условии бесконечной жизни главного героя имеется два бесконечных равномощных множества, что, если рассматривать мощность как обобщение понятия количества элементов в множестве, разрешает парадокс.

Парадокс (теорема) Банаха-Тарского или парадокс удвоения шара - теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.
Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе.
Более точно, два множества A и B являются равносоставленными, если их можно представить как конечное объединение непересекающихся подмножеств так, что для каждого i подмножество конгруэнтно .

Если же пользоваться теоремой выбора, то определение звучит так:
Аксиома выбора подразумевает, что существует разбиение поверхности единичной сферы на конечное количество частей, которые преобразованиями трёхмерного Евклидова пространства, не меняющими форму этих составляющих, могут быть собраны в две сферы единичного радиуса.

Очевидно, что при требовании для данных частей быть измеримыми, данное постоение неосуществимо. Известный физик Ричард Фейнман в своей биографии рассказывал, как в своё время у него получилось победить в споре о разбиении апельсина на конечное количество частей и пересоставлении его .

В определённых моментах этот парадокс используется для опровержения аксиомы выбора, однако проблема в том, что то, что мы считаем элементарной геометрией, - несущественно. Те понятия, которые мы считаем интуитивными, должны быть расширены до уровня свойств трансцендентных функций .

Чтобы и дальше ослабить уверенность тех, кто считает аксиому выбора неверной, следует упомянуть теорему Мазуркевича и Серпинского, которая утверждает, что существует непустое подмножество Е Евклидовой плоскости, которое имеет два непересекающихся подмножества, каждое из которых может быть разбито на конечное количество частей, так что их можно перевести изометриями в покрытие множества Е.
При этом доказательство не требует использования аксиомы выбора.
Дальнейшие же построения на основе аксиомы определённости дают разрешение парадокса Банаха-Тарского, но не представляют такого интереса .

• Парадокс Ришара: требуется назвать «наименьшее число, не названное в этой книге». Противоречие в том, что с одной стороны, это можно сделать, так как есть наименьшее число, названное в этой книге. Исходя из него, можно назвать и наименьшее неназванное. Но тут возникает проблема: континуум является несчётным, между двумя любыми числами можно вставить ещё бесконечное множество промежуточных чисел. С другой стороны, если бы мы могли назвать это число, оно автоматически бы перешло из класса неупомянутых в книге, в класс упомянутых .
• Парадокс Греллинга-Нильсона: слова либо знаки могут обозначать какое-либо свойство и при этом иметь его или нет. Самая тривиальная формулировка звучит так: является ли слово «гетерологичный» (что означает «неприменимый к самому себе»), гетерологичным?.. Весьма схож с парадоксом Рассела в связи с наличием диалектического противоречия: нарушается двойственность формы и содержания. В случае со словами, имеющими высокий уровень абстракции, невозможно решить, являются ли эти слова гетерологичными .
• Парадокс Сколема: используя теорему Гёделя о полноте и теорему Лёвенхейма-Сколема получаем, что аксиоматическая теория множеств остаётся истинной и тогда, когда будет предполагаться (иметься) для её интерпретации только счётная совокупность множеств. В то же время
  аксиоматическая теория включает в себя уже упомянутую теорему Кантора, что приводит нас к несчётным бесконечным множествам.

Разрешение парадоксов

Создание теории множеств породило то, что считают третьим кризисом математики, который до сих пор не был разрешён удовлетворительно для всех .
Исторически сложилось, что первым подходом был теоретико-множественный. Он основывался на использовании актуальной бесконечности, когда считалось, что любая бесконечная последовательность является завершённой в бесконечности. Идея заключалась в том, что в теории множеств часто приходилось оперировать множествами, которые могли являться части других, более обширных множеств. Успешные действия в таком случае были возможны лишь в одном случае: данные множества (конечные и бесконечные) завершены. Определённый успех был очевиден: аксиоматическая теория множеств Цермело-Френкеля, целая школа математики Николя Бурбаки, которая существует уже больше половины столетия и до сих пор вызывает множество критики.

Логицизм был попыткой свести всю известную математику к терминам арифметики, а потом термины арифметики свести к понятиям математической логики. Вплотную этим занялся Фреге, однако после окончания работы над трудом, он вынужден был указать о своей несостоятельности, после того, как Рассел указал на имеющиеся в теории противоречия. Тот же Рассел, как уже был упомянуто ранее, попытался исключить использование импредикативных определений с помощью «теории типов». Однако его понятия множества и бесконечности, а так же аксиома сводимости оказались нелогичными. Основной проблемой было то, что не учитывались качественные различия между формальной и математической логикой, а так же наличие лишних понятий, в том числе и интуитивного характера.
В итоге теория логицизма не смогла устранить диалектических противоречий парадоксов, связанных с бесконечностью. Имели место лишь принципы и методы, которые позволяли избавиться хотя бы от непредикативных определений. В свох же рассуждениях Рассел был наследником Кантора

В конце XIX - начале XX в. распространение формалистической точки зрения на математику было связано с развитием аксиоматического метода и той программой обоснования математики, которую выдвинул Д. Гильберт. На степень важности этого факта указывает то, что первой проблемой из двадцати трёх, которые он поставил перед математическим сообществом, была проблема бесконечности. Формализация была необходима для доказательства непротиворечивости классической математики, «исключив при этом из неё всю метафизику». Учитывая средства и методы, которыми пользовался Гильберт, его цель оказалась принципиально невыполнимой, но его программа имела огромное влияние на все последующее развитие оснований математики. Гильберт достаточно долго работал над этой проблемой, построив первоначально аксиоматику геометрии. Поскольку решение проблемы оказалось достаточно успешным, он решил применить аксиоматический метод к теории натуральных чисел. Вот что он писал в связи с этим: «Я преследую важную цель: именно я хотел бы разделаться с вопросами обоснования математики как таковыми, превратив каждое математическое высказывание в строго выводимую формулу.» От бесконечности при этом планировалось избавиться с помощью сведения её к некому конечному числу операций. Для этого он обращался к физике с её атомизмом, дабы показать всю несостоятельность бесконечных величин. Фактически Гильберт поставил вопрос о соотношении теории и объективной реальности.

Более или менее полное представление о финитных методах дает ученик Гильберта Ж. Эрбран. Под финитными рассуждениями он понимает такие рассуждения, которые удовлетворяют следующим условиям: логические парадоксы " - всегда рассматривается лишь конечное и определенное число предметов и функций;

Функции имеют точное определение, и это определение позволяет нам вычислить их значение;

Никогда не утверждается «Этот объект существует», если не известен способ его построения;

Никогда не рассматривается множество всех предметов X какой-либо бесконечной совокупности;

Если известно, что какое-либо рассуждение или теорема верны для всех этих X, то это означает, что это общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного X, причем само это общее рассуждение следует рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждений."

Однако в момент последней публикации в этой области Гёдель уже получил свои результаты, в сущности опять обнаружил и утвердил наличие диалектики в процессе познания. По сути своей дальнейшее развитие математики продемонстрировало несостоятельность программы Гильберта.

Что же, собственно, доказал Гёдель? Можно выделить три основных результата:

1. Гёдель показал невозможность математического доказательства непротиворечивости любой системы, достаточно обширной, чтобы включать в себя всю арифметику, доказательства, которое не использовало бы каких-либо иных правил вывода, кроме тех, что имеются в самой данной системе. Такое доказательство, которое использует более мощное правило вывода, может оказаться полезным. Но если эти правила вывода сильнее логических средств арифметического исчисления, то уверенности в непротиворечивости используемых в доказательстве допущений не будет. Во всяком случае, если используемые методы не будут финитистскими, то программа Гильберта окажется невыполнимой. Гёдель как раз и показывает несостоятельность расчетов на нахождение финитистского доказательства непротиворечивости арифметики.
2. Гёдель указал на принципиальную ограниченность возможностей аксиоматического метода: система Principia Mathematica, как и всякая иная система, с помощью которой строится арифметика, существенно неполна, т. е. для любой непротиворечивой системы арифметических аксиом имеются истинные арифметические предложения, которые не выводятся из аксиом этой системы.
3. Теорема Гёделя показывает, что никакое расширение арифметической системы не может сделать ее полной, и даже если мы наполним ее бесконечным множеством аксиом, то в новой системе всегда найдутся истинные, но не выводимые средствами этой системы положения. Аксиоматический подход к арифметике натуральных чисел не в состоянии охватить всю область истинных арифметических суждений, и то, что мы понимаем под процессом математического доказательства, не сводится к использованию аксиоматического метода. После теоремы Гёделя стало бессмысленно рассчитывать, что понятию убедительного математического доказательства можно будет придать раз и навсегда очерченные формы.

Последним в этой череде попыток объяснить теорию множеств был интуиционизм.

Он прошел ряд этапов в своей эволюции - полуинтуиционизм, собственно интуиционизм, ультраинтуиционизм. На разных этапах математиков волновали разные проблемы, но одной из основных проблем математики является проблема бесконечности. Математические понятия бесконечности, непрерывности служили предметом философского анализа с момента их появления (идеи атомистов, апории Зенона Элейского, инфинитезимальные методы в античности, исчисление бесконечно малых в Новое время и пр.). Наибольшие споры вызывало применение различных видов бесконечности (потенциальной, актуальной) как математических объектов и их интерпретация. Все эти проблемы, на наш взгляд, были порождены более глубокой проблемой - о роли субъекта в научном познании. Дело в том, что состояние кризиса в математике порождено эпистемологической неопределенностью соизмерения мира объекта (бесконечности) и мира субъекта. Математик как субъект имеет возможность выбора средств познания - или потенциальной, или актуальной бесконечности. Применение потенциальной бесконечности как становящейся, дает ему возможность осуществлять, конструировать бесконечное множество построений, которые можно надстраивать над конечными, не имея конечного шага, не завершая построение, оно только возможно. Применение актуальной бесконечности дает ему возможность работать с бесконечностью как с уже осуществимой, завершенной в своем построении, как актуально данной одновременно.

На этапе полуинтуиционизма проблема бесконечности еще не была самостоятельной, а была вплетена в проблему построения математических объектов и способов его обоснования. Полуинтуиционизм А. Пуанкаре и представителей парижской школы теории функций Бэра, Лебега и Бореля был направлен против принятия аксиомы свободного выбора, с помощью которой доказывается теорема Цермело, утверждавшая, что всякое множество можно сделать вполне упорядоченным, но без указания теоретического способа определения элементов любого подмножества искомого множества. Нет способа построения математического объекта, нет и самого математического объекта. Математики считали, что наличие или отсутствие теоретического способа построения последовательности объектов исследования может служить основой обоснования или опровержения этой аксиомы. В российском варианте полуинтуиционистская концепция в философских основаниях математики получила развитие в таком направлении, как эффективизм, развиваемый Н.Н. Лузиным. Эффективизм представляет собой оппозицию к основным абстракциям учения множества Кантора о бесконечном - актуальности, выбора, трансфинитной индукции и др.

Для эффективизма гносеологически более ценными абстракциями является абстракция потенциальной осуществимости, чем абстракция актуальной бесконечности. Благодаря этому становится возможным введение понятия о трансфинитных ординалах (бесконечных порядковых числах) на основе эффективного понятия о росте функций. Гносеологическая установка эффективизма для отображения непрерывного (континуума) опиралась на дискретные средства (арифметики) и созданную Н.Н.Лузиным дескриптивную теорию множеств (функций). Интуиционизм голландца Л. Э. Я. Брауэра, Г. Вейля, А. Гейтинга в качестве традиционного объекта исследования видит свободно становящиеся последовательности различных видов. На этом этапе, решая собственно математические проблемы, в том числе о перестройке всей математики на новой основе, интуиционисты подняли философский вопрос о роли математика как познающего субъекта. Каково его положение, где он более свободен и активен в выборе средств познания? Интуиционисты первыми (и на этапе полуинтуиционизма) стали критиковать концепцию актуальной бесконечности, канторовскую теорию множеств, усмотрев в ней ущемление возможностей субъекта влиять на процесс научного поиска решения конструктивной задачи. В случае использования потенциальной бесконечности субъект себя не обманывает, так как для него идея потенциальной бесконечности интуитивно значительно яснее, чем идея актуальной бесконечности. Для интуициониста объект считается существующим, если он дан непосредственно математику или известен метод его построения, конструирования. Субъект в любом случае может приступить к процессу достраивания ряда элементов своего множества. Непостроенный объект для интуиционистов не существует. В то же время субъект, работающий с актуальной бесконечностью, будет лишен этой возможности и будет чувствовать двойную уязвимость принятой позиции:

1) никогда нельзя осуществить это бесконечное построение;
2) он принимает решение оперировать с актуальной бесконечностью как с конечным объектом и в этом случае теряет свою специфику понятия бесконечности. Интуиционизм сознательно ограничивает возможности математика тем, что тот может осуществлять построение математических объектов исключительно посредством таких средств, которые хотя и получаемы с помощью абстрактных понятий, но эффективны, убедительны, доказуемы, функционально конструктивны именно практически и сами интуитивно ясны как конструкции, построения, надежность которых на практике не вызывает никаких сомнений. Интуиционизм, опираясь на понятие потенциальной бесконечности и конструктивные методы исследования, имеет дело с математикой становления, теория множеств относится к математике бытия.

Для интуициониста Брауэра как представителя математического эмпиризма логика вторична, он критикует ее и закон исключённого третьего.

В своих отчасти мистических работах он не отрицает наличие бесконечности, однако не допускает её актуализации, лишь потенциализацию. Главное для него - интерпретация и обоснование практически используемых логических средств и математических рассуждений. Принятое интуиционистами ограничение преодолевает неопределенность использования понятия бесконечности в математике и выражает стремление преодолеть кризис в основании математики.

Ультраинтуиционизм (А.Н. Колмогоров, А.А.Марков и др.) - последняя стадия развития интуиционизма, на которой модернизируются, существенно дополняются и преобразуются основные его идеи, не изменяя его сущности, но преодолевая недостатки и усиливая позитивные стороны, руководствуясь критериями математической строгости. Слабостью подхода интуиционистов было узкое понимание роли интуиции как единственного источника обоснования правильности и эффективности математических методов. Принимая «интуитивную ясность» в качестве критерия истинности в математике, интуиционисты методологически обедняли возможности математика как субъекта познания, сводили его деятельность лишь к мыслительным операциям на основе интуиции и не включали практику в процесс математического познания. Ультраинтуиционистская программа обоснования математики является российским приоритетом. Поэтому отечественные математики, преодолевая ограниченность интуиционизма, принимали действенной методологию материалистической диалектики, признающей человеческую практику источником формирования как математических понятий, так и математических методов (умозаключений, построений). Проблему существования математических объектов ультраинтуиционисты решали, опираясь уже не на неопределяемое субъективное понятие интуиции, а на математическую практику и конкретный механизм построения математического объекта - алгоритм, выражаемый вычислимой, рекурсивной функцией.

Ультраинтуиционизм усиливает достоинства интуиционизма, заключающиеся в возможности упорядочивания и обобщения приемов решения конструктивных проблем, употребляемых математиками любого направления. Поэтому интуиционизм последней стадии (ультраинтуиционизм) близок конструктивизму в математике. В гносеологическом аспекте основные идеи и принципы ультраинтуиционизма таковы: критика классической аксиоматики логики; использование и значительное усиление (по явному указанию А.А. Маркова) роли абстракции отождествления (мысленного отвлечения от несходных свойств предметов и одновременного вычленения общих свойств предметов) как способа построения и конструктивного понимания абстрактных понятий, математических суждений; доказательство непротиворечивости непротиворечивых теорий. В формальном аспекте применение абстракции отождествления оправдывается тремя ее свойствами (аксиомами) равенства - рефлексивности, транзитивности и симметрии.

Для решения основного противоречия в математике по проблеме бесконечности, породившего кризис ее оснований, на этапе ультраинтуиционизма в работах А.Н. Колмогорова были предложены пути выхода из кризиса посредством решения проблемы отношений между классической и интуиционистской логикой, классической и интуиционистской математикой. Интуиционизм Брауэра в целом отрицал логику, но так как любой математик не может обойтись без логики, в интуиционизме все-таки сохранилась практика логических рассуждений, допускались некоторые принципы классической логики, имеющей в качестве своей базы аксиоматику. С.К. Клини, Р. Весли даже отмечают, что интуиционистскую математику можно описать в виде некоторого исчисления, а исчисление является способом организации математического знания на основах логики, формализации и ее формы - алгоритмизации. Новый вариант соотношения логики и математики в рамках интуиционистских требований к интуитивной ясности суждений, особенно тех, которые включали отрицание, А.Н. Колмогоров предложил следующим образом: интуиционистскую логику, тесно связанную с интуиционистской математикой, он представил в форме аксиоматического импликативного минимального исчисления высказываний и предикатов. Тем самым ученый представил новую модель математического знания, преодолевающую ограниченность интуиционизма в признании лишь интуиции как средства познания и ограниченность логицизма, абсолютизирующего возможности логики в математике. Эта позиция позволила в математической форме продемонстрировать синтез интуитивного и логического как основы гибкой рациональности и ее конструктивной эффективности.

Выводы. Таким образом, эпистемологический аспект математического познания позволяет оценить революционные изменения на этапе кризиса оснований математики на рубеже XIX-XX вв. с новых позиций в понимании процесса познания, природы и роли субъекта в нем. Гносеологический субъект традиционной теории познания, соответствующий периоду господства теоретико-множественного подхода в математике, - это абстрактный, неполный, «частичный» субъект, представленный в субъектно-объектных отношениях, оторванный абстракциями, логикой, формализмом от действительности, рационально, теоретически познающий свой объект и понимаемый как зеркало, точно отражающее и копирующее действительность. По сути, субъект исключался из познания как реального процесса и результата взаимодействия с объектом. Выход интуиционизма на арену борьбы философских направлений в математике привел к новому пониманию математика как субъекта познания - человека познающего, философская абстракция которого должна быть выстроена как бы заново. Математик предстал как эмпирический субъект, понимаемый уже как целостный реальный человек, включающий все те свойства, от которых отвлекались в гносеологическом субъекте, - эмпирическую конкретность, изменчивость, историчность; это действующий и познающий в реальном познании, творческий, интуитивный, изобретательный субъект. Философия интуиционистской математики стала базой, фундаментом современной эпистемологической парадигмы, построенной на концепции гибкой рациональности, в которой человек - это цельный (целостный) субъект познания, обладающий новыми познавательными качествами, методами, процедурами; он синтезирует свою как абстрактно-гносеологическую и логико-методологическую природу и форму, так и одновременно получает экзистенциально-антропологическое и «историко-метафизическое» осмысление.

Важным моментом так же является интуиция в познании и, в частности, в образовании математических понятий. Опять же идёт борьба с философией, попытки исключить закон исключённого третьего, как не имеющий смысла в математике и пришедший в неё из философии. Однако же наличие излишнего акцента на интуицию и отстутствие чётких математических обоснований не позволили перевести математику на твёрдый фундамент.

Однако после появления в 1930-х годах строгого понятия алгоритма эстафету от интуиционизма принял математический конструктивизм, представители которого внесли немалый вклад в современную теорию вычислимости. Кроме того, в 1970-е и 1980-е годы обнаружились существенные связи между некоторыми идеями интуиционистов (даже теми, которые раньше казались абсурдными) и математической теорией топосов. Математика, имеющаяся в некоторых топосах, весьма напоминает ту, которую пытались создать интуиционисты.

В качестве итога можно сделать утверждение: большинство из вышеуказанных парадоксов попросту не существуют в теории множеств с самопринадлежностью . Является ли подобный подход окончательным - спорный вопрос, дальнейшие работы в этой области покажут.

Заключение

Диалектико-материалистический анализ показывает, что парадоксы являются следствием дихотомии языка и мышления, выражением глубоких диалектических (теорема Гёделя позволила проявить диалектику в процессе познания) и гносеологических трудностей, связанных с понятиями предмета и предметной области в формальной логике, множества (класса) в логике и теории множеств, с употреблением принципа абстракции, позволяющего вводить в рассмотрение новые (абстрактные) объекты (бесконечность), со способами определения абстрактных объектов в науке и т. п. Поэтому не может быть дано универсального способа устранения всех парадоксов.

Закончен ли третий кризис математики (потому как он находился в причинно-следственной связи с парадоксами; теперь же парадоксы - неотъемлемая часть) - тут мнения расходятся, хотя формально известные парадоксы к 1907-му году были устранены. Впрочем, сейчас в математике имеются и другие обстоятельства, которые можно считать либо кризисными, либо предвещающими кризис (например), отсутствие строгого обснования у континуального интеграла).

Что же касается парадоксов, то весьма важную роль в математике сыграл известный парадокс лжеца, а так же целая серия парадоксов в так называемой наивной (предшествовавшей аксиоматической) теории множеств, вызвавших кризис оснований (один из таких парадоксов сыграл роковую роль в жизни Г. Фреге). Но, возможно, одним из самых недооценённых явлений в современной математике, которое вполне можно назвать и парадоксальным, и кризисным, является решение Полом Коэном в 1963 году первой проблемы Гильберта. Точнее, не сам факт решения, а характер этого решения .

Литература

1. Georg Cantor. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481--512, 1895.
2. И.Н. Бурова. Парадоксы теории множеств и диалектика. Наука, 1976.
3. M.D. Potter. Set theory and its philosophy: a critical introduction. Oxford University Press, Incorporated, 2004.
4. Жуков Н.И. Философские основания математики. Мн.: Университетское, 1990.
5. Фейнман Р.Ф., С. Ильин. Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!: похождения удивительного человека, поведанные им Р. Лейтону. КоЛибри, 2008.
6. О. М. Мижевич. Два способа преодоления парадоксов в теории множеств Г. Кантора. Логико-философские штудии, (3):279--299, 2005.
7. С. И. Масалова. ФИЛОСОФИЯ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ МАТЕМАТИКИ. Вестник ДГТУ, (4), 2006.
8. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения). Перм. гос. ун-т. – Пермь, 2012.
9. С. Н. Тронин. Краткий конспект лекций по дисциплине ""Философия математики"". Казань, 2012.
10. Гришин В.Н., Бочвар Д.А. Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. Наука, 1976.
11. Хофштадтер Д. Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. Бахрах-М, 2001.
12. Кабаков Ф.А., Мендельсон Э. Введение в математическую логику. Издательство «Наука», 1976.
13. Д.А. Бочвар. К вопросу о парадоксах математической логики и теории множеств. Математический сборник, 57(3):369--384, 1944.

На правах рукописи.

Попов Н.А., Попов А.Н.

НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
И РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСА КАНТОРА

CОДЕРЖАНИЕ
стр.

Предисловие. . . . . . . . . 5

Глава I. Введение. Основные сведения из теории множеств. . 8

Глава II. Противоречива ли канторовская наивная теория множеств?
Решение парадокса Кантора. . . .19

Глава III. Aксиоматика канторовской теории множеств. . . . . . . .60

Глава IV. Z-теорема и два ее доказательства. . . . . . . . . . .72

Глава V. Задача об отличии (обобщение Z-теоремы) . . . . . . . . .90

Глава VI. О логических парадоксах. . . . . . . . . . . . . . .87

ПРЕДИСЛОВИЕ

Привести общие логические основы современной мaтематики в такое состояние, чтобы их можно было излагать в школе подросткам 14 – 15 лет.
Колмогоров А.Н. Простоту – сложному // Известия. 1962. 31 дек.

Интуитивная канторовская так называемая «наивная» теория множеств среди математиков считается противоречивой теорией. В обоснование такой оценки обычно указывают на слишком расплывчатое, «недостаточно математи-ческое» определение понятия множества у Кантора. Некоторые вспомнят о парадоксах наивной теории – о парадоксе Рассела и парадоксе Кантора. Но в чем состоят эти парадоксы, мало кто может объяснить.
Других оснований считать «наивную» теорию противоречивой мы не знаем. Все это и было побудительным мотивом для излагаемой ниже попытки разобраться, можно ли обосновать построение наивной теории множеств, исходя только из канторовского определения понятия множества и принципа объемности.
Первоначальным толчком к этой работе было то странное обстоятельство, что одновременно с упоминаемым в некоторых учебниках (например, ) парадоксом Кантора в тех же учебниках излагается явно ошибочное, как нам казалось, доказательство знаменитой теоремы Кантора. Но, к сожалению, как выяснилось несколько позже, очевидность логической ошибки доказательства почти ни для кого не была очевидностью. А очевидность была в другом: более 100 лет никто из серьезных математиков доказательство теоремы Кантора не оспаривает. Так что этого не может быть! Отношение к оспаривающим теорему Кантора (а это редкие единичные случаи) сложилось приблизительно такое же, как к изобретателям вечного двигателя.
Как показала практика обсуждений этой проблемы, все продуманные и изложенные на бумаге рассуждения довольно трудны для восприятия и требуют значительных умственных усилий и, главное, времени. Поэтому серьезной критики нашей работы не находилось. Тема обсуждения очень редко встречала серьезное и добросовестное отношение. Ни один оппонент (а количество их исчисляется единицами) не смог представить ни одного убедительного возражения к изложенным соображениям.
Тем не менее, работа выполнена. Парадокс Кантора исследован и разрешен. Результаты его исследования следующие.
В главном Кантор оказался прав. Его знаменитую теорему нам удалось доказать, и выяснить, из каких аксиом она вытекает. А все известные нам противоречащие примеры, примеры множеств, противоречащих его теореме, включая множество всех множеств, оказались несостоятельными. В том смысле, что эти множества оказались внутренне противоречивыми образованиями: для них не выполняется одна из аксиом, определяющих понятие множества, а именно, аксиома определенности, сформулированная в главе III. Однако общепринятое, стандартное доказательство теоремы Кантора, излагаемое во всех учебниках, ошибочно. Ошибка доказательства состоит в том, что противоречие, вытекающее только из противоречивого определения множества, выдается в стандартном доказательстве от противного за свидетельство ложности допущения противного.
Небольшое отступление о «кризисе в основах» теории множеств должно дать читателю представление о содержании работы и ее отношении к существующему состоянию теории множеств.
В современной литературе по основаниям математики, в таких, в частности, монографиях, как «Введение в метаматематику», Клини , «Основания теории множеств», Френкель А.А., Бар-Хиллел, , состояние этой области знаний характеризуется как до сих пор не преодоленный кризис. Толчком к выявлению далеко идущих расхождений мнений и точек зрения по поводу самых основных математических понятий послужило открытие на рубеже ХIX и ХХ столетий так называемых антиномий (парадоксов) в самых основаниях недавно возникшей теории множеств. В стремлении избавить теорию от казавшихся недопустимыми противоречий и в результате пересмотра ее основ возникли так называемые аксиоматические теории множеств, свободные от известных к тому времени парадоксов. Этот успех был достигнут ценой сокращения области применимости основного понятия теории – понятия множества. Причину антиномий видели в рассмотрении «слишком обширных» (???) множеств. Некоторые интуитивно понятные совокупности, такие как множество всех множеств или множество всех мощностей были объявлены не множествами, а классами. От канторовской теории множеств фактически отказались, объявив ее противоречивой.
С нашей точки зрения, основанной на результатах исследования и вышеупомянутых парадоксов теории множеств, и так называемых диагональных доказательств, правильное решение проблемы парадоксов не было достигнуто. Парадоксы были из теории устранены, но не разрешены, то есть причины возникновения противоречий не были раскрыты до конца. В результате и в ныне общепризнанной теории множеств (ZF), и даже в некоторых теоремах математической логики (см. раздел V.7 главы V о доказательстве теоремы А.Тарского) применяются ошибочные методы доказательства. Мы утверждаем, что все доказательства теоремы Кантора в учебниках по теории множеств, математической логике и теории функций действительной переменной (например, см. ) ошибочны.
При тщательном исследовании теоретико-множественных парадоксов выяснилась бы причина противоречий в них. Это, как показано в разделах II.4 - II.11, всего-навсего противоречивые определения множеств. При ясном понимании этой причины не было бы и разговоров о кризисе в основаниях математики.
Общий план работы следующий.
В главе I даются основные сведения по теории множеств. Глава адресована читателям, не знакомым с теорией множеств, или желающим освежить свои знания в этой области. Читатели, имеющие даже поверхностные знания по теории множеств, могут эту главу пропустить (кроме раздела I.7) без ущерба для понимания последующего материала.
Содержание главы II представляет собой изложение исследования проблемы парадокса Кантора путем внимательного продумывания проблемы, исследования, основанного исключительно на логике здравого смысла. Это исследование продолжалось с перерывами в течение многих лет. Основной результат работы состоит в том, что парадокс Кантора исследован и разрешен.
В главе III делается попытка аксиоматического построения канторовской «наивной» теории множеств.
В главах IV и V излагается так называемая Z-теорема, обобщающая семейство диагональных парадоксов и объясняющая с единых позиций теоретико-множественные парадоксы. Глава VI посвящена разбору нескольких наиболее известных парадоксов.
Для понимания работы не требуется специальных знаний, достаточно даже поверхностного знакомства с основными понятиями теории множеств (понятиями "множество", "функция", "область определения" и тому подобными) и некоторая привычка к восприятию математических рассуждений, так что работа вполне доступна студентам физико-математических факультетов и просто человеку с университетским, высшим техническим или высшим педагогическим образованием. Авторы работы поставили перед собой задачу рассказать о результатах своих исследований парадоксов теории множеств на языке, понятном даже школьнику-старшекласснику. В какой степени им удалось решить эту задачу, пусть судит читатель.
Мы благодарим
Н.А.Дмитриева
за ценные дискуссии по теме работы, а также сотрудников ВНИИЭФ
М.И.Каплунова,
Г.С.Клинкова, И.В.Кузьмицкого,
В.С.Лебедева,
Б.В.Певницкого, В.И.Филатова, В.А.Щербакова и И.Т.Шморина, читавших фрагменты нашей работы в рукописях и обсуждавших ее.
Списки использованных источников в настоящем издании даются к каждой главе отдельно.

ГЛАВА I.
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

I.1. О понятии множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2. Способы описания множеств. . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3. Теоретико-множественные операции. . . . . . . . . . . . . 11
I.4. Количественное сравнение множеств. . . . . . . . . . . . . 11
I.5. Понятие подмножества. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
I.6. Теорема Кантора (формулировка) . . . . . . . . . . . . . . 14
I.7. Недоопределенные множества. . . . . . . . . . . . . . . . 14
I.8. О несчетных множествах. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Список использованных источников. . . . . . . . . . . . . . 19

Эта глава имеет целью дать основные сведения из теории множеств читателю, не знакомому с этой теорией, или желающему освежить свои знания в этой области. Читатели, имеющие познания в теории множеств хотя бы в объеме курса для физико-математических факультетов педвузов могут эту главу пропустить (кроме раздела I.7) без ущерба для понимания последующего материала.

I.1. О понятии множества.

Термин “множество” в быту употребляется для обозначения больших количеств каких-то объектов, поддающихся счету. Мы говорим: множество ошибок, множество картин, великое множество людей.
Бытовое понятие “множество” довольно расплывчато, невозможно указать то количество, например, коров, которое следует назвать множеством коров. На эту тему известен так называемый “парадокс кучи”: начиная с какого количества зёрна образуют кучу зерна?
Для того, чтобы можно было строить какую-то теорию, понятия этой теории должны быть вполне четкими. Для построения теории множеств необходимо иметь четкое понятие множества. Гениальный основатель теории множеств Георг Кантор (1845 – 1918) дал свое знаменитое определение понятия множества. Вот оно.
«Под “множеством” мы понимаем объединение в одно целое М определенных вполне различаемых объектов m нашего восприятия или мышления (которые будут называться "элементами" множества M)».
Можно ли считать это определение достаточно четким, мы обсудим несколько позже, а сейчас отметим некоторые его особенности.
Для начала заметим, что о количестве объединяемых предметов ничего не говорится. Это значит, что уже два элемента образуют множество. Это значит, также, что множество останется множеством, если из него убрать один элемент. Руководствуясь этим принципом, мы приходим к понятию единичного множества, которое получается, если из множества двух элементов убрать один из них. И тут мы обнаруживаем, что канторовское определение множества не полно: в случае единичного множества никакого объединения мы не видим.
Дальше – больше. Убирая из единичного множества его единственный элемент, мы приходим к понятию пустого множества. Эту абстракцию уже не все могут переварить. При первом знакомстве с понятием множества не все соглашаются признать множеством пустое множество. В этой связи автору монографии «Введение в метаматематику» С.Клини канторовское определение понятия множества показалось недостаточно полным, и он дополнил его следующим образом:
«К множествам присоединяются пустое множество, не имеющее элементов, и единичные множества, каждое из которых обладает одним единственным элементом.»
Действительно, никакого «объединения в одно целое» в пустом и единичном множестве на первый взгляд не видно. Однако, как заметил В.А.Щербаков, если «объединение» производится по некоторому признаку, то при некоторых признаках будут возникать и единичные, и пустое множество, и тогда дополнение Клини уже не требуется.
Необходимость рассмотрения единичных множеств и пустого множества наряду с остальными видна из того, что, определяя какое-нибудь множество тем или иным способом, мы можем не знать заранее, содержит ли оно больше одного или хотя бы один элемент.
Здесь необходимо подчеркнуть, что единичное множество и его единственный элемент – это существенно разные понятия и разные вещи. Разница состоит в том, что единичное множество имеет все свойства множеств: у него есть подмножества, к нему можно применять теоретико-множественные операции, в то время как элемент единичного множества этими свойствами, если он сам не является множеством, не обладает.
Далее в определении Кантора говорится об «определенных и вполне различаемых объектах нашего восприятия или мышления». Здесь мы не будем обсуждать это основополагающее понятие – понятие объекта, отложив на время его анализ и считая его достаточно ясным для первого знакомства с понятием множества. Для нас сейчас гораздо важнее усвоить ту сторону понятия множества, то неотъемлемое свойство множества, о котором в определении Кантора ничего не говорится. Свойство это выражается следующим положением:
множество полностью определяется своими элементами.
В аксиоматических, формальных теориях эта сторона понятия множества формулируется как аксиома, называемая аксиомой объемности, или аксиомой экстенсиональности. Но и при изложении содержательной ("наивной") канторовской теории множеств это положение либо подразумевается, либо формулируется явно, например, как "интуитивный принцип объемности" в учебнике Р.Столла "Множества. Логика. Аксиоматические теории" .
Аксиома объемности утверждает, что множество не зависит от порядка перечисления или порядка расположения его элементов. Из одних и тех же элементов может состоять только одно множество. Например, разные перестановки, составленные из одних и тех же символов:

(а,b,с,d), (а,с,d,b), (b,d,c,a), и т. д.,

Представляют собой одно и то же множество, и как множества не различаются. Это значит, далее, что различаться разные множества могут только за счет присутствия или отсутствия в них по крайней мере одного элемента.
Отсюда становится видно, что существует только одно пустое множество, так как при отсутствии элементов у множеств нет признаков различия. Пустое множество обозначается значком;.
По своему составу, как это видно из определения Кантора, множества могут мыслиться как состоящие из реальных объектов (множество кошек гор. Сарова, например) или из мыслимых, понятийных сущностей (множество натуральных чисел). Среди последних очень важной разновидностью множеств являются бесконечные множества, то есть состоящие из бесконечного количества элементов.
Здесь надо отметить два обстоятельства. С одной стороны ясно, что это чисто мысленные абстракции, что множества реальных объектов бесконечными быть не могут. С другой стороны именно бесконечные множества придают особую ценность, красоту и неповторимость канторовской теории множеств. В заслугу Кантору справедливо ставится его научная смелость, когда он стал рассматривать бесконечные множества как сущности, доступные человеческому разуму.
Отметим также, что и само понятие множества является сугубо мысленным понятием, выражаясь словами Кантора – объектом нашей мысли.

I.2. Способы описания множеств

Если буква М обозначает некоторое множество, а буква х – некоторый "определенный и вполне различаемый объект нашего восприятия или мысли", то выражение "х; М" читается как "х принадлежит М", или "х входит в М", или "х является элементом М", или иным подобным образом. Перечеркнутый знак вхождения; означает отрицание утверждения о вхождении.
Если элементов a, b, c, ... множества М не слишком много, то возможно описание множества путем перечисления его элементов внутри фигурных скобок:
М = {a, b, c, ... }.
В противном случае множество принято описывать с помощью некоторого условия принадлежности P(x):
M = {x: P(x)}.
Это выражение читается так: множество M состоит из всех таких и только таких х, для которых суждение P(x) истинно. Читатель может заметить, что второй способ обозначения множества – более общий, и первая форма описания множества может быть сведена ко второй. Например, c помощью логической формулы:
М = {x: x=a, или х=b, или х=с, или... },

А если a, b, c,... – числа (все равно какие), то, например, с помощью уравнения:

М = {x: (x-a)(x-b)(x-c)... = 0}.

I.3. Теоретико-множественные операции.

Над множествами можно производить операции. Наиболее употребительны операции объединения и пересечения.
Объединение двух множеств есть множество, объединяющее в себе элементы обоих объединяемых множеств. Эта операция обозначается символом;. Например, если множество А={a,b,c}, и множество В={c,d,e}, то
A;B={a,b,c,d,e}.
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из общих элементов этих множеств. Эта операция обозначается символом;. Для двух множеств предыдущего примера А;B={c}.
Употребляются и другие, более сложные операции над множествами.

I.4. Количественное сравнение множеств.

Для конечных множеств вопрос о сравнении их численности решается просто: для этого достаточно сравниваемые множества пересчитать, а сравнивать натуральные числа мы умеем уже с начальной школы. Но как сравнивать бесконечные множества? Кантор предложил сравнивать бесконечные множества количественно по принципу взаимно однозначного соответствия.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Мы говорим, что между множеством А и множеством В установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один и только один элемент множества В так, что каждый элемент множества В поставлен в соответствие одному и только одному элементу множества А.
Взаимно однозначное соответствие мы будем обозначать более коротким термином “1-1-соответствие”, или еще короче – биекция.
По этому принципу два множества считаются равночисленными, или, точнее, равномощными, или эквивалентными, если между ними можно установить биекцию. Если же биекцию между ними установить нельзя, то более мощным считается то из них, на часть которого можно взаимно однозначно отобразить другое.
Очевидно, что отношение эквивалентности между множествами симметрично, рефлексивно и транзитивно. Ясно, также, что сравнивать методом 1-1-соответствия можно и конечные множества, и что этот метод является обобщением привычного способа сравнения конечных множеств их пересчетом. В сущности способ пересчета и есть метод сравнения 1-1-соответствием со стандартным множеством – множеством натуральных чисел.
Примеры сравнения бесконечных множеств.
Еще Галилей заметил, что множество всех квадратов натуральных чисел можно поставить в 1-1-соответствие с множеством всех натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, …
1, 4, 9, 16, 25, …

И в этом смысле квадратов натуральных чисел ровно столько же, сколько самих чисел. Таково же положение и с четными числами: их тоже ровно столько же. Мы видим, что при предложенном Кантором способе количественного сравнения множеств часть бесконечного множества оказалась количественно эквивалентна целому. Это свойство бесконечных множеств Кантор предложил принять в качестве определяющего признака бесконечного множества.
Множества, для которых можно установить биекцию с множеством натуральных чисел, иными словами – перенумеровать их элементы, называются счетными множествами. Счетными множествами, очевидно, являются и множество всех квадратов целых чисел, и множество всех четных чисел. Множество всех целых чисел (положительных и отрицательных) тоже счетное. Это видно из того, что все целые числа можно расположить в виде такой цепочки:
0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, . . .

Ясно, что в эту цепочку попадут все целые числа, и мы можем числа всей этой цепочки перенумеровать.
Но вот пример по-сложнее. Можно ли перенумеровать все положительные рациональные числа? Кантор предложил следующий способ нумерации множества всех положительных рациональных чисел. Расположим это множество в виде бесконечной таблицы – бесконечного количества бесконечных строк. В первой строке расположим все дроби со знаменателем 1, то есть натуральные числа в порядке возрастания. Во второй строке расположим все дроби со знаменателем 2 в порядке возрастания числителя, в третьей строке – в том же порядке все дроби со знаменателем 3, и так далее. После этого пронумеруем сначала все дроби с суммой числителя и знаменателя, равной 2 (это всего одна дробь 1/1), затем – все дроби с суммой знаменателя и числителя, равной 3 (это; и 2/1), затем – с суммой знаменателя и числителя, равной 4 (это 1/3, 2/2 и 3/1), и так далее. При этом сократимые дроби будем пропускать, так как они уже были пронумерованы ранее. Ясно, что при таком способе нумерации номер получит любое положительное рациональное число. На рис. I.1 изображена схема нумерации множества всех рациональных чисел, предложенная Кантором; стрелками указан порядок нумерации.
1/1, ; 2/1, 3/1, ; 4/1, 5/1, ; …
; ; ; ;
1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, … .
; ; ; ;
1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3 …
; ;
1/4, 2/4, 3/4, 4/4, 5/4 …
; ;
1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 5/5, …

Эта схема нумерации выбита на памятнике на могиле Кантора.
По той же самой схеме нумерации можно перенумеровать и множество всех упорядоченных пар натуральных чисел (поскольку каждому положительному рациональному числу соответствует упорядоченная пара натуральных чисел – числитель и знаменатель). Далее, расположив пронумерованное множество упорядоченных пар в одной строке, мы можем применить тот же прием для нумерации множества всех упорядоченных троек натуральных чисел, затем – четверок, и вообще упорядоченных n-ок, где n – любое натуральное число.

I.5. Понятие подмножества.

Множество М называется подмножеством множества N, если в M нет элементов, не входящих в N (в частности, М может совпадать с N).
Иными словами, в подмножестве не должно быть “посторонних” элементов, если характеризовать этим термином все элементы за пределами более широкого (вообще говоря) множества N.
Это определение хорошо тем, что оно охватывает и пустое множество: в пустом множестве нет никаких, а значит и “посторонних” элементов. Оно, таким образом, является подмножеством любого множества. Если определить понятие подмножества более понятным способом, как множества, состоящего только из элементов основного множества, то пустое множество придется причислять к подмножествам “отдельной строкой”. Необходимость же такого причисления видна из тех же соображений, что и необходимость дополнить пустым множеством общее понятие множества (см. выше).
Если множество М является подмножеством множества N, то это обстоятельство может быть кратко отмечено в обозначении множества M:

M = {x;N: P(x)}

(читается: множество M состоит из всех таких и только таких х из N, для которых суждение P(x) истинно).

I.5.1. Собственные и несобственные подмножества.
Пустое множество;, как уже говорилось, является подмножеством любого множества. В этом смысле оно стоит особняком, и поэтому его называют несобственным подмножеством.
Кроме пустого, несобственным подмножеством называют также подмножество, совпадающее со всем множеством. Остальные подмножества называются собственными. Они составляют "правильные" части основного множества, тогда как несобственные подмножества являются "неправильными" частями: это часть, равная целому, или нулевая часть.

I.5.2. Сколько подмножеств у самых простых множеств?
Наименее многочисленно пустое множество – в нем 0 элементов. Сколько же в нем подмножеств? Несмотря на отсутствие элементов, одно подмножество у пустого множества все же есть. Это оно само, это его дважды несобственное подмножество: во-первых, потому, что оно пустое, и, во-вторых, потому, что оно совпадает со всем множеством. (Заметим, что 20=1.)
У единичного множества, в котором всего один элемент, подмножеств уже два, оба несобственные: это пустое множество и подмножество, совпадающее со всем множеством. (Опять отметим, что 21 = 2.)
У множества, состоящего из двух элементов, к двум несобственным подмножествам добавляются два собственных – единичные подмножества, содержащие по одному из элементов множества. Итого – 4. (Снова отметим, что 22 = 4.)
Методом индукции или как-то еще читатель без труда докажет, что у конечного множества из n элементов 2n подмножеств.

I.6. Теорема Кантора (формулировка)

Мы видим, что при любом n 2n > n, то есть число подмножеств конечного множества всегда больше числа элементов. Это очевидное свойство конечных множеств Кантор обобщил на бесконечные множества, доказав свою знаменитую теорему, которая гласит:
мощность множества всех подмножеств больше мощности исходного множества.
На первый взгляд это обобщение настолько естественно, что в справедливости теоремы Кантора сомневаться не приходится. Мы, однако, приведем пример противоположного свойства. Количество всевозможных упорядоченных пар элементов конечного множества из n элементов дается формулой n2, и мы видим, что при n>1 n2>n. Однако мы видели (см. раздел I.3), что мощность множества упорядоченных пар бесконечного множества натуральных чисел не больше мощности исходного множества.
Общее возражение к обоим примерам соотношений численностей конечных множеств состоит в том, что аналогия не есть доказательство.

I.7. Недоопределенные множества

Существование недоопределенных множеств вытекает из существования парадоксальных, а именно противоречивых суждений. Покажем, как это получается.
Вспомним второй способ описания множеств (см. раздел I.2). Вот как излагается этот способ в учебнике Р.Столла
Интуитивный принцип абстракции. Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А посредством условия, согласно которому элементами множества А являются в точности такие предметы а, что Р(а) есть истинное высказывание
Выражение «форма Р(х)» означает некоторое высказывание о каком-то предмете, в котором имя этого предмета заменено на переменную х, пробегающую заданную область значений. Другой термин для понятия «форма Р(х)» – одноместный предикат. В разделе I.2 в том же смысле употреблено выражение «условие принадлежности».
Но как быть, если при некоторых значениях х (для некоторых предметов а) суждение Р(х) оказывается противоречивым?
Конкретный пример множества с таким условием принадлежности делает более понятным поставленный вопрос.
Будем рассматривать названия каких-то объектов, но только однозначные названия, то есть относящиеся только к одному определенному объекту. Название, содержащееся в объекте с этим названием (объектом может быть множество, или, например, книга) будем называть внутренним названием. Название, не являющееся внутренним, будем называть внешним. Множество Е – множество внешних названий совокупности объектов S, если оно входит в совокупность S и имеет название, дает нам пример недоопределенного множества.
В самом деле, название множество Е имеет, оно выражено буквой Е. К какой из двух категории следует отнести название множества Е? Если признать его внешним названием, то есть одним из элементов множества Е, то оно окажется внутренним названием, и наоборот. Суждение о принадлежности названия множества Е к этому множеству не имеет значения истинности.
Ответ на поставленный выше вопрос очевиден. Для значений х, обращающих Р(х) в противоречивое суждение, нельзя установить, является ли соответствующий предмет а элементом множества А. Множество А по отношению к этому предмету недоопределено.
Но особенность недоопределенного множества не только и не столько в его недоопределенности. Гораздо важнее то, что его недоопределенность есть результат противоречивости его определения. Такой противоречивости, которую не сразу заметишь. Она ведь проявляется только по отношению к одному единственному его элементу (в нашем примере – к собственному названию множества внешних названий). Рассмотрение условия принадлежности к такому множеству приводит к противоречию. А так как мы привыкли, что противоречие есть результат либо ошибки, либо ложности одной из исходных посылок рассуждения, то отсюда возникает соблазн что-то доказать.
А между тем противоречие, вытекающее из противоречивого, а правильнее сказать – из невыполнимого определения, ровно ничего не доказывает (кроме невыполнимости этого определения). Непонимание этого не очень уж сложного обстоятельства приводит к появлению ложных теорем
Как следует относиться к множествам с противоречивыми определениями? Мы видим здесь две возможные формы этого отношения (с одним и тем же содержанием).
1) Можно противоречивые множества типа описанного выше множества Е продолжать считать множествами, допуская возможность противоречивых множеств, на которую указывал еще Кантор (противоречивым он считал множество всех множеств), но тогда возможность возникновения таких множеств нельзя не учитывать при доказательствах теорем.
С учетом этой возможности из противоречия, которое получается при доказательстве от противного, не всегда можно сделать вывод о ложности какой-то посылки: для противоречивого множества противоречие есть его законный атрибут и ни о чем не говорит.
2) Более правильным представляется оформить наше отношение к противоречивым множествам (точнее – к множествам с противоречивым определением) путем уточнения канторовского понятия множества в том смысле, что вопрос о принадлежности множеству любого объекта должен иметь однозначный и непротиворечивый ответ. Совокупности, не удовлетворяющие этому требованию, не позволяющие, подобно множеству Е, дать такой ответ на этот вопрос хотя бы для одного единственного элемента, не должны считаться полноценными множествами. Это недоопределенные множества.
Возможность появления недоопределенных множеств должна учитываться при доказательствах теорем, как уже говорилось.
Свойство определенности множества в указанном выше смысле в канторовском понятии множества, конечно же, подразумевается, хотя в явном виде, по-видимому, Кантором высказано не было. Правда, один из комментаторов канторовского определения понятия множества (см. раздел I.1) Роберт Р.Столл именно так истолковывает слова «определенных… объектов» в этом определении.
Уточнение понятия множества в указанном смысле может быть сформулировано в виде аксиомы исключенного третьего, которой должны подчиняться множества.
Аксиома исключенного третьего является частным случаем закона исключенного третьего, который гласит, что всякое суждение либо истинно, либо ложно, и третьего не дано. Но мы знаем, что возможны и вполне осмысленные противоречивые суждения, не истинные и не ложные, нарушающие, таким образом, закон исключенного третьего, примерами чему могут служить суждения из всевозможных парадоксов. Поэтому, чтобы исключить противоречивые множества из числа допустимых, мы не можем ограничиться ссылкой на этот закон, и должны предусмотреть возможность его нарушения специальной аксиомой.
АКСИОМА ИСКЛЮЧЕНОГО ТРЕТЬЕГО. Для всякого множества суждение о принадлежности к нему любого объекта либо истинно, либо ложно.
В существующих (и присутствующих в учебных программах математических факультетов ВУЗов) теориях множеств недоопределенные множества не возникают только из-за того, что возможность парадоксальных суждений в этих теориях не учитывается.

I.8. О несчетных множествах.

Предложенный Кантором метод количественного сравнения множеств путем установления биекции между сравниваемыми множествами (см. раздел I.3.) неявно предполагает, что существуют (могут встретиться) и такие бесконечные множества, между которыми установить биекцию невозможно. Если бы это было не так, то все бесконечные множества оказались бы равномощными, а канторовский метод сравнения множеств – бессодержательным.
Бесконечные множества, равномощные с множеством натуральных чисел, что означает, что все элементы их можно перенумеровать, называются счетными множествами. Отсюда следует, что несчетные множества (то есть множества, не являющиеся счетными) таковы (настолько многочисленны), что все их элементы перенумеровать невозможно.
Как показал Кантор, несчетным является множество всех действительных чисел промежутка от 0 до 1, обычно называемое континуумом. Мощность континуума принято обозначать буквой С. Отметим следующие замечательные свойства множеств с мощностью континуума.
Во-первых, множество действительных чисел х единичного отрезка равномощно с множеством действительных чисел у любого отрезка числовой прямой. Биекция между этими множествами устанавливается формулой:

У = a + x (b – a),

Где числа а и b соответствуют концам произвольного отрезка.
Во-вторых, формула у=tg(x-0.5;) устанавливает биекцию между единичным отрезком (точнее – полуинтервалом) и всей числовой прямой. Это значит, что мощность множества всех действительных чисел имеет ту же мощность, что и множество чисел единичного отрезка (отрезок в отличие от интервала включает в себя числа, соответствующие его концам, но эта разница не приводит к различию мощностей).
Следующий важный факт теории множеств состоит в том, что множество С (континуум) равномощно множеству всех подмножеств натурального ряда. В самом деле, каждое действительное число, меньшее единицы, можно взаимно однозначно представить правильной бесконечной двоичной дробью. Для этого условимся двоично-рациональные числа, имеющие два двоичных представления, одно из которых заканчивается бесконечной последовательностью единиц, представлять именно тем способом, при котором двоичная дробь бесконечна. А каждая такая дробь взаимно однозначно определяется подмножеством натурального ряда – множеством номеров тех разрядов двоичной дроби, в которых стоят единицы.
И, наконец, еще один совершенно неожиданный результат, который удивил самого Кантора, следует из канторовского определения равномощности множеств и возможности однозначного представления действительного числа бесконечной двоичной (или десятичной) дробью. Равномощным множеству С оказалось множество пар таких же чисел, то есть чисел промежутка от нуля до единицы. В переводе на язык аналитической геометрии это значит, что множество точек единичного отрезка оказалось равномощным множеству точек единичного квадрата.
В самом деле, каждому действительному числу единичного отрезка, представленному бесконечной последовательностью значений десятичных (например) разрядов этого числа, можно взаимно однозначно поставить в соответствие пару таких же чисел, одно их которых образовано из четных, а другое – из нечетных разрядов исходного числа.
Но это значит, что мощность С – мощность множества действительных чисел любого отрезка – имеет множество всех точек плоскости (биекция между единичным квадратом и всей плоскостью устанавливается так же, как и между единичным интервалом и всей числовой прямой).
Аналогичным способом устанавливается равномощность множеств точек отрезка и точек объемной фигуры – куба, а значит и множества всех точек всего бесконечного 3-хмерного и даже n-мерного пространства.
Этот удивительный результат при неблагожелательном отношении к канторовской теории множеств может быть поставлен в укор этой теории: вот к каким абсурдным результатам приводит предложенный Кантором метод количественного сравнения множеств по критерию взаимно однозначного соответствия.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
(к введению и гл. I)

1. Клини Cтефен K. Введение в метаматематику. М: Издательство Иностранной
литературы. 1957. 526c.
2. Френкель А.А., Бар-Хиллел. Основания теории множеств. М: Мир. 1966. 556с.

3. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. Москва,
Ленинград. Гостехиздат. 1948. 412c.
4. Кэлли Джон Л. Общая топология. М: Наука. 1968. 384c.

5. Хаусдорф Ф. Теория множеств. Москва, Ленинград. ОНТИ. 1937.

6. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М: Гостехиздат.
1957. 552c.
7. Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополнительные гла-
вы. Издательство Московского Университета. 1984. 120с.
8.Архангельский А.В. Канторовская теория множеств. Издательство Московского
Университета. 1988. 112с.
9. Бурбаки Н. Теория множеств. М: Мир. 1965. 455c.

10. Ященко И.В. Парадоксы теории множеств. М. Издательство Московского
центра непрерывного математического образования. 2002. 40с.
11. Кантор Георг. Труды по теории множеств. Под ред. А.Н.Колмогорова и
А.П.Юшкевича. М: «Наука». 1985. 432с.
12. Столл Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М: Просвеще-
ние. 1968. 230c.

История

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия .

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879-1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen» ). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано . При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre ).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре . Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге , Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла , топологии и функционального анализа .

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний , может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза , или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело - Френкеля с аксиомой выбора . Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело - Френкеля.

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как - «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

• пустое множество , обычно обозначается символом ;
• семейство множеств;
• операции:

  Для множеств определены следующие бинарные отношения :

  • править] Расширения

    Основная статья: Теория комплектов

    Теория комплектов - естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект - набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз) . (см. например, Мультисочетания).

    Приложения

    См. также

    Примечания

    Литература

    • К. Куратовский , А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. - М .: Мир, 1970. - 416 с.
    • Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
    • А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . - М .: Мир, 1966. - 556 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория множеств" в других словарях:

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, раздел математики, начало которому было положено работами Джорджа БУЛЯ в области математической логики, но в настоящее время больше связанный с изучением МНОЖЕСТВ абстрактных или реальных объектов, а не с логическими… … Научно-технический энциклопедический словарь

теория множеств - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN set theory … Справочник технического переводчика

Теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… … Философская энциклопедия

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

- … Википедия

- … Википедия

Содержание статьи

МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ. Под множеством понимается совокупность каких-либо объектов, называемых элементами множества. Теория множеств занимается изучением свойств как произвольных множеств, так и множеств специального вида независимо от природы образующих их элементов. Терминология и многие результаты этой теории широко используются в математике, например в математическом анализе, геометрии и теории вероятностей.

Терминология.

Если каждый элемент множества B является элементом множества A , то множество B называется подмножеством множества A . Например, если множество A состоит из чисел 1, 2 и 3, то у него существует 8 подмножеств (три из них содержат по 1 элементу, три – содержат по 2 элемента, одно подмножество, по определению, есть само множество A и восьмое подмножество – это пустое множество, не содержащее ни одного элемента). Запись x О A означает, что x – элемент множества A , а B М A – что B является подмножеством множества A . Если универсальное множество, из которого мы берем элементы всех множеств, обозначить через I , то элементы, принадлежащие I , но не входящие в A , образуют множество, называемое дополнением множества A и обозначаемое C (A ) или A ў. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Над множествами можно производить операции, напоминающие операции, производимые в арифметике над числами. Объединением A B множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B (элемент, принадлежащий множествам A и B одновременно засчитывается при включении в A B только один раз). Пересечением A B множеств A и B называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как A , так и B . Предположим, например, что множество I состоит из всех букв русского алфавита, A – из всех согласных, а множество B – из букв, встречающихся в слове «энциклопедия». Тогда объединение A B состоит из всех букв алфавита, кроме а , ё , у , ъ , ь , ы , ю , пересечение A B – из букв д , к , л , н , п , ц , а дополнение C (A ) – из всех гласных. Раздел теории множеств, который занимается исследованием операций над множествами, называется алгеброй множеств. Пустое множество играет в алгебре множеств роль нуля, и поэтому его часто обозначают символом О ; например, A O = A , A O = O .

Булева алгебра.

Алгебра множеств является подразделом булевых алгебр, впервые возникших в трудах Дж.Буля (1815–1864). В аксиомах булевой алгебры отражена аналогия между понятиями «множества», «событие» и «высказывания». Логические высказывания можно записать с помощью множеств и проанализировать с помощью булевой алгебры.

Даже не вдаваясь в детальное изучение законов булевой алгебры, мы можем получить представление о том, как она используется на примере одной из логических задач Льюиса Кэрролла. Пусть у нас имеется некоторый набор утверждений:

2831. Не бывает котенка, который любит рыбу и которого нельзя научить всяким забавным штукам;

2. Не бывает котенка без хвоста, который будет играть с гориллой;

3. Котята с усами всегда любят рыбу;

4. Не бывает котенка с зелеными глазами, которого можно научить забавным штукам;

5. Не бывает котят с хвостами, но без усов.

Какое заключение можно вывести из этих утверждений?

Рассмотрим следующие множества (универсальное множество I включает в себя всех котят): A – котята, любящие рыбу; B – котята, обучаемые забавным штукам; D – котята с хвостами; E – котята, которые будут играть с гориллой; F – котята с зелеными глазами и G – котята с усами. Первое утверждение гласит, что множество котят, которые любят рыбу, и дополнение множества котят, обучаемых забавным штукам, не имеют общих элементов. Символически это записывается как

История

Наивная теория множеств

Первый набросок теории множеств принадлежит Бернарду Больцано («Парадоксы бесконечного», 1850). В этой работе рассматриваются произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определено понятие взаимно-однозначного соответствия .

В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством». Этот подход изложен в двух его статьях, опубликованных в 1879-1897 годах в известном немецком журнале «Математические анналы» (нем. «Mathematische Annalen» ). Например, натуральное число, по Кантору, следовало рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» - который, в свою очередь, сам представляет собой множество, удовлетворяющее так называемым аксиомам Пеано . При этом общему понятию «множества», рассматривавшемуся им в качестве центрального для математики, Кантор давал мало что определяющие определения вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это вполне соответствовало умонастроению самого Кантора, подчёркнуто называвшего свою программу не «теорией множеств» (этот термин появился много позднее), а учением о множествах (Mengenlehre ).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих современных ему крупных математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер , полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что «бог создал натуральные числа, а всё прочее - дело рук человеческих»). Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре . Тем не менее, другие крупные математики - в частности, Готлоб Фреге , Рихард Дедекинд и Давид Гильберт - поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала фундаментом теории меры и интеграла , топологии и функционального анализа .

Однако вскоре выяснилось, что установка Кантора на неограниченный произвол при оперировании с бесконечными множествами (выраженный им самим в принципе «сущность математики состоит в её свободе») является изначально порочной (см. Кризис математических основ). А именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий : оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими отрицаниями (а тогда, согласно правилам классической логики высказываний , может быть «доказано» абсолютно любое утверждение).

Аксиоматическая теория множеств

Особенностью аксиоматического подхода является отказ от лежащего в основе программы Кантора представления о действительном существовании множеств в некотором идеальном мире. В рамках аксиоматических теорий множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. Этот факт всегда являлся мишенью для критики со стороны тех математиков, которые не соглашались (как на том настаивал Гильберт) признать математику лишённой всякого содержания игрой в символы. В частности, Н. Н. Лузин писал, что «мощность континуума, если только мыслить его как множество точек, есть единая некая реальность», место которой в ряду кардинальных чисел не может зависеть от того, признаётся ли в качестве аксиомы континуум-гипотеза , или же её отрицание.

В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является ZFC - теория Цермело - Френкеля с аксиомой выбора . Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более - о существовании модели для неё) остаётся нерешённым.

Не всеми математиками аксиома выбора принимается безоговорочно. Так, например Эмиль Борель и Анри Лебег считают, что доказательства, полученные при помощи этой аксиомы, имеют другую познавательную ценность, чем доказательства, независимые от неё. Другие же математики, такие как Феликс Хаусдорф и Адольф Френкель, принимают аксиому выбора безоговорочно, признавая за ней ту же степень очевидности, что и за другими аксиомами Цермело - Френкеля.

Основные понятия

В основе теории множеств лежат первичные понятия: множество и отношение быть элементом множества (обозначается как - «x есть элемент множества A», «x принадлежит множеству A»). Среди производных понятий наиболее важны следующие:

• пустое множество , обычно обозначается символом ;
• семейство множеств;
• операции:

  Для множеств определены следующие бинарные отношения :

  • править] Расширения

    Основная статья: Теория комплектов

    Теория комплектов - естественное расширение (обобщение) теории множеств. Подобно множеству, комплект - набор элементов из некоторой области. Отличие от множества: комплекты допускают присутствие нескольких экземпляров одного и того же элемента (элемент входит от нуль раз, то есть, не входит в комплект, до любого заданного числа раз) . (см. например, Мультисочетания).

    Приложения

    См. также

    Примечания

    Литература

    • К. Куратовский , А. Мостовский Теория множеств / Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. - М .: Мир, 1970. - 416 с.
    • Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
    • А. Френкель, И. Бар-Хиллел Основания теории множеств / Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией А. С. Есенина-Вольпина . - М .: Мир, 1966. - 556 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Математический анализ
• Подмножество

Смотреть что такое "Теория множеств" в других словарях:

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ, раздел математики, начало которому было положено работами Джорджа БУЛЯ в области математической логики, но в настоящее время больше связанный с изучением МНОЖЕСТВ абстрактных или реальных объектов, а не с логическими… … Научно-технический энциклопедический словарь

теория множеств - — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN set theory … Справочник технического переводчика

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - теория, в к рой изучаются множества (классы) элементов произвольной природы. Созданная прежде всего трудами Кантора (а также Р. Дедекинда и К. Вейерштрасса), Т. м. к концу 19 в. стала основой построения сложившихся к тому времени математич.… … Философская энциклопедия

ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ - раздел математики, исследующий общие свойства множеств. Множеством называется любое объединение в одно целое некоторых определенных и различных между собой объектов нашего восприятия или мысли. В Т. м. изучаются общие свойства различных операций… … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике