«Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций. Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и

Тема: Методы использования ограниченности функций.
Жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. (Леонард Эйлер) Цели : развитие нового нешаблонного мышления, которое можно успешно применять и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и др).
Задачи : - обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и, разумному выбору этих заданий на экзамене;

Создание «копилки» нетрадиционных и необычных рассуждений.

Ход урока:

Орг. момент. Формулирование учащимися темы урока посредством выполнения заданий ЕГЭ части А и В и расшифровке темы по убыванию полученных ответов. (В качестве предполагаемых слов зашифровать 12 карточек под номерами от -2 до 10) (приложение 1 и 2)

ограниченности

2. Разделить учащихся на 2 группы, вручить им набор « Теория + 10 заданий» (приложение 3 и 4 ), попросить выбрать те задания, которые можно выполнить по данной теоретической части, обосновать свой выбор. 3. Показать ход выполнения этих заданий на доске учащимися: Носкова К. , Дедевшин И., Веселов И. 4. Разделить задания из карточки на 2 группы для решения их с последующей самопроверкой по листу готовых решений. (приложение 5) 5. Раздать группам листы с описанием новых нестандартных методов решения уравнений и неравенств для выбора следующей темы (в качестве дом. задания отыскать в сборниках ЕГЭ задачи, которые можно решать этим методом)(приложение 6) 6. Рефлексия учащихся (заполнение таблички) Ф.И. учащегося

Приложение 1.
Решите эти задания и расположите ответы в порядке убывания, соберите по ответам тему нашего занятия.

Найти абсциссу точки графика функции у=3х 2 -7х+7, в которой тангенс угла касательной равен -1.

Приложение 2.
9 2 0 7Исследование функций с помощью производной. 10 5 1 -1Метод использования ограниченности функций. 4 -2 8 12Решение неравенств графическим способом.
3 11 6Решения функциональных уравнений.
Исследование

Приложение 3.

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Наиболее распространёнными неравенствами являются следующие:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ sinx≤ 1, -1 ≤ cosx≤ 1, -

-

, a f ( x ) >0, (f(x) ± g(x)) 2 n ≥ 0,
, a + ≥ 2, b + ≤ -2 и многие другие. Здесь n-натуральное число, h(x) ≥ 0, a >0, b 0.

Кроме приведённых простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства -,

,

и неравенства с модулями вида
.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что
. Так как при этом sinπ x≤ 1, то получаем систему уравнений

Решая второе уравнение системы, получаем что х=. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение х является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение : так как Однако sin2 π x≤ 1. Поэтому, 5+4 sin2 π x≤ 9. Таким образом, получаем систему уравнений:

Отсюда получаем систему уравнений
, из первого уравнения найдём х=. Подставим его во второе уравнение системы и убедимся, что х= является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=

Приложение 4. Из предложенного списка заданий выберите те, которые можно решить и использованием метода ограниченности функций. 1. Решить уравнение х 2 -4 x=(2-cos
2. Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 ctg 2
3. Решить уравнение
4. Решить уравнение 3-( 5. Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2
6. Решить уравнение
7. Решить уравнение -25х 2 +40х-23=(cos
8. Найти произведение корней уравнения х
9. Решить уравнение
10. Решить уравнение 3- cos 2

Лист самопроверки. Приложение 5. 1. Решить уравнение Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем первое уравнение, получаем х= , подставим это значение во второе уравнение

2 . Решить уравнение 3- cos 2 Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем второе уравнение, получаем х= , подставим это значение в первое уравнение

значит х= является решением исходного уравнения. Ответ: х=
3 . Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 +7х-8≤0, удовлетворяющих условию ctg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули квадратного трёхчлена, по теореме ВиетаРешим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что
целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 8 целочисленных решений4 . Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули выражения, х= и х=Решим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что

целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 7 целочисленных решений
Приложение 6.

Метод использования монотонности функций. При решении уравнения типа f(x)=g(x) в ряде случаев эффективным является метод, который использует монотонность функций у= f(x) и у= g(x).Если функция у= f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке a ≤ x≤ b , а функция у= g(x) непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение f(x)=g(x) на отрезке a ≤ x≤ b может иметь не более одного корня, значит необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Особенно этот метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения f(x)=g(x) представляют собой «неудобные» для совместного исследования функции.Замечание: Если функция у= f(x) возрастает, а функция у= g(x) убывает для a ≤ x≤ b и при этом f (а)> g (а) , то корней уравнения среди a ≤ x≤ b нет.

Пример : Решить уравнение Решение: Областью допустимых значений уравнения являются х
. Нетрудно видеть, что на этой области левая часть уравнения возрастает, а правая - убывает, т.е. функция f (x )=
является возрастающей, а функция g (x )=
- убывающая. В этой связи исходное уравнение может иметь только один корень (если он есть). Подбором находим этот корень уравнения х= 2.Ответ : х=2
Метод решения функциональных уравнений. К числу наиболее сложных задач на ЕГЭ относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида f(f(….f(x)…))=x или f(g(x))=f(h(x)), где f(x),g(x),h(x)- некоторые функции и n≥ 2
Методы решения этих функциональных уравнений основаны на применении многих теорем, рассмотрим одну из них.
Теорема1. Корни уравнения f (x )=0 являются корнями уравнения f(f(….f(x)…))=x
Пример : Решить уравнение х=
, где квадратный корень берётся n раз и n ≥ 1 Решение: Из условия задачи следует, что х > 0. Пусть f (x )=
, тогда наше уравнение можно представить в виде функционального f ( f (…. f ( x )…))= x . Так как при х > 0 функция f (x )= возрастает и f (x ) > 0, то уравнение х= равносильно уравнению f (x )= x , т.е. =х, положительным решением которого является х=
Ответ: х=

«Область определения функции» - Область определения квадратичной функции – любое действительное число. Функция называется логарифмической, если переменная величина стоит под знаком логарифма. Логарифмическая функция. Функция, переменная величина которой находится в показателе степени, называется показательной. Квадратичная функция.

«Общие свойства функций» - Общие свойства функций. Найти область определения функции. Четная функция. Является ли эта функция четной или нечетной. По графику определите множество значений функции. По графику определите значения Х. По графику определите промежутки убывания функции. Функция f(x) возрастающая. Дана функция y=f(x).

«Возрастание и убывание функции» - Возрастание и убывание функции синус. Рассмотрим еще один пример. Промежутками убывания косинуса являются отрезки , n - целое. Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке , где b>a?0. Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции косинус. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10].

«Применение непрерывности» - Значение выражения. Геометрический смысл производной. Метод интервалов. Составить уравнение касательной к графику функции. Касательная к графику функции. График близок к касательной. Формула. Вычислим по формуле. Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей NM. Гипербола.

«Экстремум функции» - Зависимость давления газа от температуры. Тема урока: «Признаки возрастания и убывания функции. Тест. Изменение силы тока при размыкании цепи. Исследование функции на экстремум». Изменение переменного тока. План: Зависимость силы тока от напряжения. Зависимость давления газа от объёма. Тема: «Признаки возрастания и убывания функции.

«Функции и их свойства» - Независимую переменную называют - аргумент. Возрастающая функция. Определение функции. Четные и нечетные функции. Монотонность функции. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f). 1. Значения функции положительны.

Всего в теме 23 презентации

Галаева Екатерина, ученица 11 класса МАОУ СОШ №149 г Нижнего Новгорода

Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:

– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?

– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?

– Каков алгоритм решения?

– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.

В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравен­ство f (х) > g (x) выполняется, если х >

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики

Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ

Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Утверждение 1. Если функция у = f (x) монотонна, то уравнение f (x) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = - монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2

Утверждение 2. Если функция у = f (x) монотонно возрастает, а функция у = g (x) монотонно убывает, то уравнение f (x) = g (x) имеет не более одного корня. 2 - x = lg (x +11) + 1 g (x) = 2 - x является монотонно убывающей, а функция f (x) = lg (x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области опреде­ления значит, уравнение f (х) = g (x) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.

а) f (х) ≤ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g (x) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0) = g (x 0), то справедливы следующие утвер­ждения:

Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравен­ство f (х) > g (x) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом, получим систему Ответ: (2; 5).

Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f (f (х))=х имеют одно и то же множество кор­ней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f (х) моно­тонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.

Решить уравнение. Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положитель­на, в силу того что. Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим

Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f (t)= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f (f (f (f (t))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f (t)= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда. Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является. Значит, откуда, т.е. , или. Ответ:

Утверждение 1. Если max f (x) = с и min g (x) = с, то уравнение f (x)= g (x) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .

Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z

В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел (x ; a) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:

Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность

Найти корни уравнения. Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене. Заменив в равенстве, получим. Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство, находим 3 , откуда. Теперь осталось решить уравнение, откуда Корнями уравнения являются числа. Ответ: .

Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности

|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ: .

Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Найти все значения параметра а, при каждом из кото­рых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде, введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f (t) = , опреде­ленную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функ­ции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида, где к

Так как, то t ϵ [-1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f (t) достаточно проверить левый край данного отрезка. З. А истинным является Значит, что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = () () 0. Разложив квадрат­ные трехчлены на множители, получим неравенство (, из которого находим, что а ϵ (-∞; -1] U {2} U [ 4; +∞). Ответ: (-∞; - 1] U {2} U . Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, вершина параболы (-1;-1), следовательно, на отрезке [-1;1] функция возрастает. Поэтому свое наименьшее значение принимает при t=-1,у=-1, а наибольшее значение при t=1, у=3. Ответ:E(y)=[-1;3]. =

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке . Решение. Функция y принимает наибольшее значение, если знаменатель дроби принимает наименьшее значение. Рассмотрим знаменатель. Функции возрастающие, следовательно, их сумма – функция возрастающая, значит своё наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, при x=1, т.е. наименьшее значение равно 5. Следовательно, наибольшее значение исходной функции на равно 8. Ответ: 8.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СВОЙСТВА ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЕЁ НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЯ Данная функция принимает наибольшее значение тогда и только тогда, когда наибольшее значение принимает функция, стоящая в показателе степени: Укажите наибольшее целое значение функции Преобразуем её: Так как то наибольшее значение функции равно 4. Следовательно, наибольшее значение исходной функции равно Ответ: Решение.

Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и неравенств МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ) Основная идея метода мажорант состоит в следующем: Пусть мы имеем уравнение f(x)=g(x) и существует такое число М, что для любого х из области определения f(x) и g(x) имеем f(x) M и g(x) M. Тогда уравнение f(x)=g(x) равносильно системе

Решить уравнения

Решить уравнение Решение: Решение: Оценим обе части уравнения. При всех значениях х верны неравенства Следовательно, данное уравнение равносильно системе: При х = 0 второе уравнение обращается в верное равенство, значит, х = 0 корень уравнения. Ответ: х = 0.

Решить уравнение. Решение. Рассмотрим функцию. Найдём координаты вершины параболы. x 0 = 7, y 0 = 25. ветви направлены вверх, следовательно наименьшее значение функции равно 25. Так как f(x) 25, то. Очевидно, 1. Значит исходное уравнение имеет корни при условии, что второе слагаемое равно 1, а первое равно 0. x-7=0, x=7 При x=7 второе слагаемое равно 1. Таким образом x=7 корень уравнения.

Решить уравнение Решение. Корень уравнения легко угадать – это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея. Преобразуем уравнение: Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1. Выражение под логарифмом равно при x > 0. Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1. 0. Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.">

Проверим справедливость первого равенства, подставив эти корни. При Решите уравнение Решение. Для решения уравнения оценим его части: Поэтому равенство возможно только при условии: Сначала решим второе уравнение: Корни этого уравнения и получаем: (верное равенство). Итак, данное уравнение имеет единственный корень х = 0. Ответ: 0. При х = -1 имеем: (не верное равенство). cos() [-1;1] cos 2 () . сумма единицы и неотрицательного числа.

Решить уравнение. Решение. (сумма двух взаимно обратных чисел). Следовательно, функция Принимает в силу непрерывности все значения из промежутка . Оценим функцию. График – парабола, ветви вверх, наименьшее значение равно 3. значит h(y) принимает наибольшее, равное 3. следовательно исходное уравнение равносильно системе.

(так как:). Решить уравнение Так как -то левая часть уравнения Для правой части (в силу неравенства для суммы двух взаимно обратных чисел) выполнено Поэтому уравнение имеет решения, если и только если одновременно выполнены два условия Решая последнюю систему, получаем принимает значение от 0,5 до 2 Ответ: Решение. Оценим обе части уравнения.

Найдите все значения параметра а при каждом из которых неравенство имеет решение. Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат Квадратичная функция принимает наименьшее значение в вершине, оно равно 4 и достигается при, то есть при а=-6/7. Множество значений левой части неравенства составляет промежуток, следовательно, наибольшее значение равно 4. Значит, неравенство выполняется в случае равенства обоих частей, и только в том случае если а=-6/7. Ответ: а=-6/7..

Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения. Решение. Перепишем уравнение в виде При всех значениях х выражение, поэтому. При всех значениях х выражение и. Поэтому. Следовательно, левая часть уравнения не меньше 4, а правая часть – не больше 4. Получаем систему Ответ: х=5/7 при а=-4/9.

Найдите все значения параметра Р при которых уравнение не имеет корней. Используя формулу косинуса двойного угла, преобразуем выражение Уравнение не будет иметь корни, если Р не будет принадлежать области значений левой части уравнения. Рассмотрим функцию f(x)=, оценим её. Так как Поэтому Функция f(x) непрерывна и принимает все свои значения: sinx=0, f(x)=-9, а если sinx=1, то f(x)=17,т.е. E(f)=[-9;17].Исключаем этот отрезок из числовой прямой и получаем ответ. Ответ: