Построить показательную функцию с модулем. Преобразования графиков с модулем. Разложение в ряд

Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Определение

Показательная функция - это обобщение произведения n чисел, равных a :
y(n) = a n = a·a·a···a ,
на множество действительных чисел x :
y(x) = a x .
Здесь a - фиксированное действительное число, которое называют основанием показательной функции .
Показательную функцию с основанием a также называют экспонентой по основанию a .

Обобщение выполняется следующим образом.
При натуральном x = 1, 2, 3,... , показательная функция является произведением x множителей:
.
При этом она обладает свойствами (1.5-8) (), которые следуют из правил умножения чисел. При нулевом и отрицательных значениях целых чисел , показательную функцию определяют по формулам (1.9-10). При дробных значениях x = m/n рациональных чисел, , ее определяют по формуле(1.11). Для действительных , показательную функцию определяют как предел последовательности:
,
где - произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x : .
При таком определении, показательная функция определена для всех , и удовлетворяет свойствам (1.5-8), как и для натуральных x .

Строгая математическая формулировка определения показательной функции и доказательство ее свойств приводится на странице «Определение и доказательство свойств показательной функции ».

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем более сильное убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда

.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Разложение в ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Цель: рассмотреть задачи Единого государственного экзамена базового, повышенного и высокого уровня сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а х, а>1, а0.

Задачи урока:

повторить свойство монотонности показательной функции;
свойство ограниченности показательной функции;
повторить определение абсолютной величины; работа с графиками, содержащими модуль;
ввести понятие сложной функции; рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Оборудование: презентация графиков функций, подготовленная с применением графической программы “Advanced Grapher”.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя.

Достаточно непросто определять область значений сложных функций.

Определим, что такое сложная функция. Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят что h есть сложная функция, составленная из функции g и f и пишут h=g(f(x)).

При этом D(h) является E(f) или его частью D(h)E(f).

Слайд 7. Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

, - вершина параболы.

Рисунок12.

Рисунок13.

Вопрос:

Показательная функция у = 16 t возрастает, так как 16>1 .

Рисунок14.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = убывает, так как <1.

При наименьшем значении показателя функции

. Е(у)=(0;].

График иллюстрирует наш вывод.

4. Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.

Слайд 8. Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Параллельный перенос на 1 единицу влево.

Параллельный перенос на 2 единицы влево.

window. google_render_ad(); Цель: рассмотреть задачи ЗНО с применением функционально - графических методов на примере показательной функции у = ах, а>0, а1

Задачи урока:

l повторить свойство монотонности и ограниченности показательной функции;

l повторить алгоритм построения графиков функции с помощью преобразований;

l находить множество значений и множество определений функции по виду формулы и с помощью графика;

l решать показательные уравнения, неравенства и системы с помощью графиков и свойств функции.

l работа с графиками функций, содержащими модуль;

l рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя. Мотивация изучения данной темы

Слайд 1 Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Слайд 2 Задачи на урок

Сегодня мы рассмотрим задачи ЗНО разных уровней сложности с применением функционально - графических методов на примере показательной функции у = ах, а>о, а1. С помощью графической программы выполним иллюстрации к задачам.

Слайд 3 Почему так важно знать свойства показательной функции?.

благоприятные условия

органического роста

органического затухания

рост бактерий

идеальных условиях

радиоактивный распад веществ

рост вклада

восстановление гемоглобина

реальной жизни

Сообщение о дозе принятия лекарств :

Каждому известно, что таблетки, рекомендуемые врачом для лечения, нужно принимать несколько раз в день, иначе они будут неэффективны. Необходимость повторного введения лекарства для поддержания постоянной его концентрации в крови вызвана происходящим в организме разрушением лекарства. На рисунке показано, как в большинстве случаев изменяется концентрация лекарственных препаратов в крови человека или животного после одноразового введения.Слайд4.

Уменьшение концентрации лекарства может быть аппроксимировано экспонентой, показатель которой содержит время. Очевидно, что скорость разрушения лекарства в организме должна быть пропорциональна интенсивности метаболических процессов.

Известен один трагический случай, который произошел из-за незнания этой зависимости. С научной точки зрения очень интересным для психиатров и нейрофизиологов является препарат ЛСД, вызывающий у нормальных людей своеобразные галлюцинации. Одни исследователи решили изучить реакцию слона на этот препарат. Для этого они взяли количество ЛСД, приводящее в ярость кошек, и умножили его на столько, во сколько раз масса слона больше массы кошки, считая, что доза вводимого препарата должна быть прямо пропорциональна массе животного. Введение такой дозы ЛСД слону привело через 5 минут к его гибели, из чего авторы заключили, что слоны обладают повышенной чувствительностью к этому препарату. Появившаяся позднее в печати рецензия на эту работу назвала ее «слоноподобной ошибкой» авторов эксперимента.

2. Актуализация знаний учащихся.

· Что значит изучить функцию? (сформулировать определение, описать свойства, построить график)

· Какая функция называется показательной? Приведите пример.

· Какие основные свойства показательной функции вы знаете?

· Область значения (ограниченность)

· область определения

· монотонность(условие возрастания убывания)

· Слайд 5 . Укажите множество значений функции(по готовому чертежу)

https://pandia.ru/text/80/043/images/image004_92.jpg" width="400" height="400 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image006_59.jpg" width="400" height="400 src=">

· Слайд 7. По готовому чертежу опишите алгоритм построения графиков функции

Слайд а) у=3x + 2

https://pandia.ru/text/80/043/images/image009_46.jpg" width="353" height="407 src=">

3.Диагностическая самостоятельная работа (с использованием ПК).

Класс делится на две группы. Основная часть класса выполняют тестовые задания. Сильные учащиеся выполняют более сложные задания.

· Самостоятельная работа в программе Power point (для основной части класса по типу тестовых заданий из ЗНО с закрытой формой ответа)

1. Какая из показательных функций возрастающая?

2. Найти область определения функции.

3. Найти область значений функции.

4. График функции получается из графика показательной функции параллельным переносом вдоль оси… на.. единиц …

5. По готовому чертежу определите область определения и область значения функции

6. Определите при каком значении а показательная функция проходит через точку.

7. На каком рисунке изображен график показательной функции с основанием больше единицы.

8. Соотнесите график функции с формулой.

9. Графическое решение какого неравенства приведено на рисунке.

10. решите графически неравенство(по готовому чертежу)

· Самостоятельная работа(для сильной части класса)

· Слайд 8. Запишите алгоритм построения графика функции, назовите ее область определения, область значения, промежутки возрастания, убывания.

· Слайд 9. Соотнесите формулу функции с ее графиком

7) https://pandia.ru/text/80/043/images/image018_24.jpg" width="500" height="524 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image020_21.gif" width="16 height=13" height="13">)

· Слайд 11 (проверка задания 8)

На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image022_20.gif" width="78" height="27 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image024_19.gif" width="104" height="33 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image026_16.gif" width="80" height="28 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image028_11.gif" width="66" height="27 src=">

4. Изучение новой темы. Применение функционально-графического метода для решения уравнений, неравенств, систем, определения области значений сложной функции

Слайд 12. Функционально графический способ решения уравнений

Чтобы решить уравнение вида f(x)=g(x) функционально-графическим методом нужно:

Построить графики функций у=f(x) и y=g(x) в одной системе координат.

Определить координаты точки пересечения графиков данных функций.

Записать ответ.

ЗАДАНИЕ №1 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Слайд13.

· Есть ли корень у уравнения и если есть, то положительный он или отрицательный

(4/3)х= 4

СЛАЙД 14

https://pandia.ru/text/80/043/images/image044_10.jpg" width="94" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image046_3.gif" width="67" height="21 ">

Слайд 15.

Это уравнение возможно решить графическим способом. Учащимся предлагается выполнить задание, а затем ответить на вопрос: “Обязательно ли для решения этого уравнения строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на всей области определения, а функция - убывает. Следовательно, графики таких функций имеют не более одной точки пересечения, а значит, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что ”.

· Решить уравнение:

3x = (х-1) 2 + 3

Слайд 16. .Решение: применяем функциональный метод решения уравнений:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image051_3.gif" width="109" height="53">

т. к. данная система имеет единственное решение, то методом подбора находим х=1

ЗАДАНИЕ № 2 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции. Для этого после построения графиков функций, стоящих в левой и правой части неравенства и определения абсциссы точки пересечения графиков, необходимо определить промежуток на котором все точки одного из графиков лежат выше(ниже0 точек второго.

· Решить неравенство:

Слайд 17.

а) сos x 1 + 3x

Слайд 18. Решение:

https://pandia.ru/text/80/043/images/image054_4.gif" width="300" height="50">

Ответ: ( ; )

Решить графически неравенство.

Слайд19.

· Что можно сказать про графики функций https://pandia.ru/text/80/043/images/image058_2.gif" width="18" height="21 src=">>12 - 1,5х

https://pandia.ru/text/80/043/images/image060_2.gif" width="59" height="22 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image062_2.gif" width="144" height="53">(запись на доске)

Слайд 20.

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде. Объяснить, как построены графики.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image066_1.gif" width="12" height="23 src=">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image068_2.gif" width="21" height="21">

https://pandia.ru/text/80/043/images/image070_3.jpg" width="400" height="400 src=">

Е(у)=(0;1]

Слайд 21.

Для решения этого уравнения нужно вспомнить свойство ограниченности показательной функции..gif" width="36" height="14">> 1, поэтому равенство возможно только в том случае, если обе части уравнения одновременно равны 1. Значит, Решая эту систему, находим, что х = 0.

ЗАДАНИЕ 4.Нахождение области значений сложной функции.

Слайд 22.

Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

Слайд 23.

, - вершина параболы.

https://pandia.ru/text/80/043/images/image080_4.jpg" width="103" height="44">

Вопрос: определите характер монотонности функции.

краткое содержание других презентаций

«Определить, чётная или нечётная функция» - Функция - нечетная. Не является нечетной. Не является четной. График четной функции. График нечетной функции. Функция. Симметрия относительно оси. Четные функции. Является ли нечетной функция. Столбик. Четные и нечетные функции. Пример. Является ли четной функция. Нечетные функции.

««Показательная функция» 11 класс» - Решите уравнение. Определение. Проверь себя. Показательные неравенства. При х=0 значение функции равно 1. Тест. Показательные уравнения. Производная и первообразная. Функциональный способ. Основные опорные сигналы. Функция возрастает на всей области определения. Показательная функция. Область значений. Свойства степени с рациональным показателем. Способы решения уравнений. Свойства показательной функции.

«Примеры логарифмических неравенств» - Найдите верное решение. Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими? Удачи на ЕГЭ! Графики логарифмических функций. Итог урока. Кластер для заполнения в течение урока: Возрастающая. Задание: решить логарифмические неравенства, предложенные в заданиях ЕГЭ-2010 г. Между числами m и n поставить знак > или <.(m, n > 0). Убывающая. Готовимся к ЕГЭ! Цели урока: Алгебра 11 класс. Найти область определения функции.

«Построение графика функции с модулем» - График функции. Закрепили знания на ранее изученных функциях. Вопрос классу. Усвоенные знания. Y = x2 – 2x – 3. Построение графиков функций. Обобщение. Линейная функция. Проектная деятельность. Y = f(x). Урок обобщения и систематизации знаний. Актуализация знаний о графиках функций. Y = lnx. Попробуйте самостоятельно построить графики. Y = x – 2. Y = sinx.

««Степенные функции» 11 класс» - Функция у=х0. Кубическая функция. Гипербола. У = х. Функция у=х-3. Графиком является парабола. Степенные функции с натуральным показателем. Функция у = х2n-1. Функция у = х2n. Степенная функция. Функция у=х-2. Функция у=х4.

«Геометрический смысл производной функции» - У меня всё получилось. Результаты вычисления. Предельное положение секущей. Найдите угловой коэффициент. Секущая. Геометрический смысл производной. Алгоритм составления уравнения касательной. Определение. Значение производной функции. Правильная математическая идея. Уравнение касательной к графику функции. Составь пару. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Напишите уравнение касательной к графику функции.

1.Показательная функция – это функция вида у(х) =а х, зависящая от показателя степени х, при постоянном значении основания степени a , где а > 0, a ≠ 0, xϵR (R – множество действительных чисел).

Рассмотрим график функции, если основание не будет удовлетворять условию: а>0
a) a < 0
Если a < 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
а = -2

Если а = 0 – функция у = определена и имеет постоянное значение 0

в) а =1
Если а = 1 – функция у = определена и имеет постоянное значение 1

2. Рассмотрим подробнее показательную функцию:

0

Область определения функции (ООФ)

Область допустимых значений функции (ОДЗ)

3. Нули функции (у = 0)

4. Точки пересечения с осью ординат oy (x = 0)

5. Возрастания, убывания функции

Если , то функция f(x) возрастает
Если , то функция f(x) убывает
Функция y= , при 0 Функция у =, при a> 1 монотонно возрастает
Это следует из свойств монотонности степени с действительным показателем.

6. Чётность, нечётность функции

Функция у = не симметрична относительно оси 0у и относительно началу координат, следовательно не является ни чётной, ни нечётной. (Функция общего вида)

7. Функция у = экстремумов не имеет

8. Свойства степени с действительным показателем:

Пусть а > 0; a≠1
b> 0; b≠1

Тогда для xϵR; yϵR: