Русский алфавит состоит из 33 букв. Что такое алфавит, как он возник и где? Кто заложил основу русского алфавита

Статистические ряды распределения представляют собой простейший вид группировки.

Статистический ряд распределения - это упорядоченное количественное распределение единиц совокупности на однородные группы по варьирующему (атрибутивному или количественному) признаку.

В зависимости от признака, положенного в основу образования групп, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

Атрибутивными называют ряды распределения, построенные по качественным признакам, т.е. признакам, не имеющим числового выражения. Примером атрибутивного ряда распределения является распределение экономически активного населения РФ по полу в 2010 г. (табл. 3.10).

Таблица 3.10. Распределение экономически активного населения РФ по полу в 2010 г.

Вариационными называются ряды распределения, построенные по количественному признаку, т.е. признаку, имеющему числовое выражение.

Вариационный ряд распределения состоит из двух элементов: вариантов и частот.

Вариантами называют отдельные значения признака, которые он принимает в вариационном ряду.

Частотами являются численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда. Частоты показывают, как часто встречаются те или иные значения признака в изучаемой совокупности. Сумма всех частот определяет численность всей совокупности, ее объем.

Частостями называют частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу. Соответственно сумма частостей равна 1, или 100%.

В зависимости от характера вариации признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды распределения.

Дискретный вариационный ряд распределения - это ряд распределения, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся прерывно, т.е. через определенное число единиц, и принимающему только целые значения. Например, распределение числа построенных квартир в Российской Федерации по числу комнат в них I! 2010 г. (табл. 3.11).

Таблица 3.11. Распределение числа построенных квартир в Российской Федерации по числу комнат в них в 2010 г.

Интервальный вариационный ряд распределения - это ряд распределения, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в интервале любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину.

Построение интервальных вариационных рядов целесообразно прежде всего при непрерывной вариации признака (табл. 3.12), а также если дискретная вариация признака проявляется в широких пределах (табл. 3.13), т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.

Таблица 3.12. Распределение субъектов Южного федерального округа РФ по площади территории на 1 января 2011 г.

Таблица 3.13. Распределение субъектов Центрального федерального округа РФ по числу муниципальных учреждений образования на 1 января 2011 г.

Правила построения рядов распределения аналогичны правилам построения группировки.

Анализ рядов распределения наглядно можно проводить на основе их графического изображения. Для этой цели строят полигон, гистограмму, распределения.

Полигон используют при изображении дискретных вариационных рядов распределения. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе откладывают ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносят шкалу для выражения величины частот. Полученные на пересечении оси абсцисс (X) и оси ординат (У) точки соединяют прямыми линиями, в результате чего получают ломаную линию, называемую полигоном частот.

Гистограмму применяют для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абсцисс откладывают величины интервалов, а частоты изображают прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столбиков должна быть пропорциональна частотам.

Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми линиями.

При построении гистограммы распределения вариационного ряда с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность распределения признака в соответствующих интервалах. Плотность распределения - это частота, рассчитанная на единицу ширины интервала,

т.е. сколько единиц в каждой группе приходится па единицу величины интервала.

Для графического изображения вариационных рядов распределения может использоваться кумулятивная кривая. С помощью кумуляты изображают ряд накопленных частот. Накопленные частоты определяют путем последовательного суммирования частот по группам.

При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс (X) откладывают варианты ряда, а по оси ординат (У) накопленные частоты, которые наносят на поле графика в виде перпендикуляров к оси абсцисс в верхних границах интервалов. Затем эти перпендикуляры соединяют и получают ломаную линию, т.е. кумуляту.

Если при графическом изображении вариационного ряда распределения в виде кумуляты оси X и У поменять местами, то получается огива.

Метод группировок позволяет также измерить вариацию (изменчивость, колеблемость) признаков. При относительно малом числе единиц совокупности вариация измеряется на основе ранжированного ряда единиц, образующих совокупность. Ряд называется ранжированным, если единицы расположены по возрастанию (убыванию) признака.

Однако ранжированные ряды довольно малопоказательны тогда, когда необходима сравнительная характеристика вариации. Кроме того, во многих случаях приходится иметь дело со статистическими совокупностями, состоящими из большого числа единиц, которые практически трудно представить в виде конкретного ряда. В связи с этим для первоначального общего ознакомления со статистическими данными и особенно для облегчения изучения вариации признаков исследуемые явления и процессы обычно объединяют в группы, а результаты группировки оформляют в виде групповых таблиц.

Если в групповой таблице имеется всего две графы - группы по выделенному признаку (варианты) и численности групп (частоты или частости), она называется рядом распределения.

Ряд распределения - простейшая разновидность структурной группировки по одному признаку, отображенная в групповой таблице с двумя графами, в которых содержатся варианты и частоты признака. Во многих случаях с такой структурной группировки, т.е. с составления рядов распределения, начинается изучение исходного статистического материала.

Структурная группировка в виде ряда распределения может быть превращена в подлинную структурную группировку, если выделенные группы будут охарактеризованы не только частотами, но и другими статистическими показателями. Главное предназначение рядов распределения - изучение вариации признаков. Теорию рядов распределения подробно разрабатывает математическая статистика.

Ряды распределения делят на атрибутивные (группировка по атрибутивным признакам, например деление населения по полу, национальности, семейному положению и т.д.) и вариационные (группировка по количественным признакам).

Вариационный ряд представляет собой групповую таблицу, которая содержит две графы: группировку единиц по одному количественному признаку и численность единиц в каждой группе. Интервалы в вариационном ряду образуются обычно равные и закрытые. Вариационным рядом является следующая группировка населения России по величине среднедушевых денежных доходов (табл. 3.10).

Таблица 3.10

Распределение численности населения России по величине среднедушевых доходов в 2004-2009 гг.

Группы населения по величине среднедушевых денежных доходов, руб./мес	Численность населения в группе, в % к итогу





8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Свыше 25 000,0
Все население

Вариационные ряды в свою очередь подразделяются на дискретные и интервальные. Дискретные вариационные ряды объединяют варианты дискретных признаков, изменяющихся в узких пределах. Примером дискретного вариационного ряда может служить распределение российских семей по числу имеющихся детей.

Интервальные вариационные ряды объединяют варианты либо непрерывных признаков, либо изменяющихся в широких пределах дискретных признаков. Интервальным является вариационный ряд распределения населения России по величине среднедушевых денежных доходов.

Дискретные вариационные ряды на практике применяются не слишком часто. Между тем составление их несложно, поскольку состав групп определяется конкретными вариантами, которыми реально обладают изучаемые группировочные признаки.

Более широко распространены интервальные вариационные ряды. При их составлении возникает сложный вопрос о количестве групп, а также о величине интервалов, которые должны быть установлены.

Принципы решения этого вопроса изложены в главе о методологии построения статистических группировок (см. параграф 3.3).

Вариационные ряды представляют собой средство свертывания или сжатия многообразной информации в компактную форму, по ним можно составить достаточно ясное суждение о характере вариации, изучить различия признаков явлений, входящих в исследуемую совокупность. Но важнейшее значение вариационных рядов состоит в том, что на их основе исчисляются особые обобщающие характеристики вариации (см. главу 7).

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Вариационный ряд
Рубрика (тематическая категория)	Производство

Наблюдаемые значения случайной величины х 1 , х 2 , …, х k называются вариантами .

Частотой варианты х i принято называть число n i (i =1,…,k ), показывающее, сколько раз эта варианта встречается в выборке.

Частостью (относительной частотой, долей) варианты х i (i =1,…,k ) принято называть отношение ее частоты n i к объёму выборки n .

Частоты и частости называютвесами .

Накопленной частотой принято называть количество вариант, значения которых меньше данного х :

Накопленной частостью принято называть отношение накопленной частоты к объёму выборки:

Вариационным рядом (статистическим рядом) – принято называть последовательность вариант, записанных в порядке возрастания и соответствующих им весов.

Вариационный ряд должна быть дискретным (выборка значений дискретной случайной величины) и непрерывным (интервальным) (выборка значений непрерывной случайной величины).

Дискретный вариационный ряд имеет вид:

			…
			…

Когда число вариант велико или признак является непрерывным (случайная величина может принимать любые значения в некотором интервале), составляют интервальный вариационный ряд.

Для построения интервального вариационного ряда проводят группировку вариант – их разбивают на отдельные интервалы:

Число интервалов иногда определяют с помощью формулы Стерджеса :

Затем подсчитывается число вариант, попавших в каждый интервал – частоты n i (или частости n i /n ). В случае если варианта находится на границе интервала, то ее присоединяют к правому интервалу.

Интервальный вариационный ряд имеет вид :

Варианты			…
Частоты			…

Эмпирической (статистической) функцией распределения принято называть функция, значение которой в точке х равно относительной частоте того, что варианта примет значение, меньшее х (накопительной частости для х ):

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки с координатами (х 1 ; n 1), (х 2 ; n 2), …, (х k ; n k ). Аналогично строится полигон частостей , который является статистическим аналогом многоугольника распределений.

Стоит сказать, что для непрерывного вариационного ряда полигон можно построить, в случае если в качестве значений х 1 , х 2 , …, х k взять середины интервалов.

Интервальный вариационный ряд графически обычно изображают с помощью гистограммы .

Гистограмма – ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых являются частичные интервалы длины h = x i +1 – x i , i = 0,…,k -1, а высоты равны частотам (или частостям) интервалов n i (w i ).

Кумулята (кумулятивная кривая) – кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломанную, соединяющую точки или , . Для интервального ряда кумулята начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината – накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломанной соответствуют концам интервалов.

Вариационный ряд - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Вариационный ряд" 2017, 2018.

- Вариационный ряд распределения

Распределение розничного товарооборота Российской Федерации в 1995 году по формам собственности, млн. руб. Виды рядов распределения Лекция VIII. Ряды распределения В результате обработки и систематизации первичных статистических данных получают... .

- Вариационный ряд

Простейшее преобразование статистических данных является их упорядочивание по величине. Выборка объёма из генеральной совокупности, упорядоченная в порядке неубывания элементов, т.е. , называется вариационным рядом: . В том случае, когда объем наблюдений... .

- Задание 2. Интервальный вариационный ряд

1. По заданной выборке, соответствующей варианту задания построить интервальный вариационный ряд; построить гистограмму и кумуляту (используйте два способа: вставку диаграммы Excel и режим «Гистограмма» пакета «Анализ данных»). 2. Проанализировать полученную гистограмму. ... .

- Составить вариационный ряд изменчивости признака семян фасоли или листьев какого-либо растения одного возраста. Выявить закономерности изменчивости признака.

Популяция - структурная единица вида. Численность популяций. Причины колебания численности популяций. Взаимоотношения особей в популяциях и между различными популяциями одного и разных видов. 1. Важный признак вида - расселение его группами, популяциями в...

В результате освоения дайной главы студент должен: знать

показатели вариации и их взаимосвязь;
основные законы распределения признаков;
сущность критериев согласия; уметь
рассчитывать показатели вариации и критерии согласия;
определять характеристики распределений;
оценивать основные числовые характеристики статистических рядов распределения;

владеть

методами статистического анализа рядов распределения;
основами дисперсионного анализа;
приемами проверки статистических рядов распределения на соответствие основным законам распределения.

Показатели вариации

При статистическом исследовании признаков различных статистических совокупностей большой интерес представляет изучение вариации признака отдельных статистических единиц совокупности, а также характера распределения единиц по данному признаку. Вариация - это различия индивидуальных значений признака у единиц изучаемой совокупности. Исследование вариации имеет большое практическое значение. По степени вариации можно судить о границах вариации признака, однородности совокупности по данному признаку, типичности средней, взаимосвязи факторов, определяющих вариацию. Показатели вариации используются для характеристики и упорядочения статистических совокупностей.

Результаты сводки и группировки материалов статистического наблюдения, оформленные в виде статистических рядов распределения, представляют собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по группировочному (варьирующему) признаку. Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по профессии, по полу, по цвету и т.д.). Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным (распределение по росту, весу, по размеру заработной платы и т.д.). Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, подсчитать число единиц совокупности с этими значениями (частоту), результаты оформить в таблицу.

Вместо частоты варианта возможно применение ее отношения к общему объему наблюдений, которое называется частостью (относительной частотой).

Выделяют два вида вариационного ряда: дискретный и интервальный. Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести число работников на предприятии, тарифный разряд, количество детей в семье и т.д. Дискретный вариационный ряд представляет таблицу, которая состоит из двух граф. В первой графе указывается конкретное значение признака, а во второй - число единиц совокупности с определенным значением признака. Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака возможно построение интервального вариационного ряда. Таблица при построении интервального вариационного ряда также имеет две графы. В первой указывается значение признака в интервале «от - до» (варианты), во второй - число единиц, входящих в интервал (частота). Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака. Интервалы могут быть закрытые и открытые. Закрытые интервалы ограничены с обеих сторон, т.е. имеют границу как нижнюю («от»), так и верхнюю («до»). Открытые интервалы имеют какую-либо одну границу: либо верхнюю, либо нижнюю. Если варианты расположены по возрастанию или убыванию, то ряды называются ранжированными.

Для вариационных рядов существует два типа вариантов частотных характеристик: накопленная частота и накопленная частость. Накопленная частота показывает, в скольких наблюдениях величина признака приняла значения меньше заданного. Накопленная частота определяется путем суммирования значений частоты признака по данной группе со всеми частотами предшествующих групп. Накопленная частость характеризует удельный вес единиц наблюдения, у которых значения признака не превосходят верхнюю границу дайной группы. Таким образом, накопленная частость показывает удельный вес вариант в совокупности, имеющих значение не больше данного. Частота, частость, абсолютная и относительная плотности, накопленные частота и частость являются характеристиками величины варианта.

Вариации признака статистических единиц совокупности, а также характер распределения изучаются с помощью показателей и характеристик вариационного ряда, к числу которых относятся средний уровень ряда, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия, коэффициенты осцилляции, вариации, асимметрии, эксцесса и др.

Для характеристики центра распределения применяются средние величины. Средняя представляет собой обобщающую статистическую характеристику, в которой получает количественное выражение типичный уровень признака, которым обладают члены изучаемой совокупности. Однако возможны случаи совпадения средних арифметических при разном характере распределения, поэтому в качестве статистических характеристик вариационных рядов рассчитываются так называемые структурные средние - мода, медиана, а также квантили, которые делят ряд распределения на равные части (квартили, децили, перцентили и т.д.).

Мода - это значение признака, которое встречается в ряду распределения чаще, чем другие его значения. Для дискретных рядов - это варианта, имеющая наибольшую частоту. В интервальных вариационных рядах с целью определения моды необходимо определить прежде всего интервал, в котором она находится, так называемый модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами - но наибольшей плотности распределения. Затем для определения моды в рядах с равными интервалами применяют формулу

где Мо - значение моды; х Мо - нижняя граница модального интервала; h - ширина модального интервала; / Мо - частота модального интервала; / Mo j - частота домодального интер- вала; / Мо+1 - частота послемодального интервала, а для ряда с неравными интервалами в данной формуле расчета вместо частот / Мо, / Мо, / Мо следует использовать плотности распределения Ум 0 _| , Ум 0> УМо+"

Если имеется единственная мода, то распределение вероятностей случайной величины называется унимодальным; если имеется более чем одна мода, оно называется многомодальным (полимодальным, мультимодальным), в случае двух мод - бимодальным. Как правило, многомодальность указывает, что исследуемое распределение не подчиняется закону нормального распределения. Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует также о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

В интервальном вариационном ряду моду можно определить графически с помощью гистограммы. Для этого из верхних точек самого высокого столбца гистограммы до верхних точек двух смежных столбцов проводят две пересекающиеся линии. Затем из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее перпендикуляру, является модой. Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщенного показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической.

Медиана - это центральное значение признака, им обладает центральный член ранжированного ряда распределения. В дискретных рядах, чтобы найти значение медианы, сначала определяется ее порядковый номер. Для этого при не четном числе единиц к сумме всех частот прибавляется единица, число делится на два. При четном числе единиц в ряду будет две медианные единицы, поэтому в этом случае медиана определяется как средняя из значений двух медианных единиц. Таким образом, медианой в дискретном вариационном ряду является значение, которое делит ряд на две части, содержащие одинаковое число вариантов.

В интервальных рядах после определения порядкового номера медианы отыскивается медиальный интервал по накопленным частотам (частостям), а затем при помощи формулы расчета медианы определяется значение самой медианы:

где Me - значение медианы; х Ме - нижняя граница медианного интервала; h - ширина медианного интервала; - сумма частот ряда распределения; /Д - накопленная частота домедианного интервала; / Ме - частота медианного интервала.

Медиану можно отыскать графически с помощью куму- ляты. Для этого на шкале накопленных частот (частостей) кумуляты из точки, соответствующей порядковому номеру медианы, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Далее из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Значение признака на оси абсцисс, соответствующее проведенной ординате (перпендикуляру), является медианой.

Медиана характеризуется следующими свойствами.

1. Она не зависит от тех значений признака, которые расположены по обе стороны от нее.
2. Она имеет свойство минимальности, которое заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы представляет собой минимальную величину по сравнению с отклонением значений признака от любой другой величины.
3. При объединении двух распределений с известными медианами невозможно заранее предсказать величину медианы нового распределения.

Эти свойства медианы широко используются при проектировании расположения пунктов массового обслуживания - школ, поликлиник, автозаправочных станций, водозаборных колонок и т.д. Например, если в определенном квартале города предполагается построить поликлинику, то расположить ее целесообразнее в такой точке квартала, которая делит пополам не длину квартала, а число жителей.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить симметричность распределения. Если х Me то имеет место правосторонняя асимметрия ряда. При нормальном распределении х - Me - Мо.

К. Пирсон на основе выравнивания различных типов кривых определил, что для умеренно асимметричных распределений справедливы такие приближенные соотношения между средней арифметической, медианой и модой:

где Me - значение медианы; Мо - значение моды; х арифм - значение средней арифметической.

Если возникает необходимость изучить структуру вариационного ряда более подробно, то вычисляют значения признака, аналогичные медиане. Такие значения признака делят все единицы распределения на равные численности, их называют квантилями или градиентами. Квантили подразделяются на квартили, децили, перцентили и т.п.

Квартили делят совокупность на четыре равные части. Первую квартиль вычисляют аналогично медиане по формуле расчета первой квартили, предварительно определив первый квартальный интервал:

где Qi - значение первой квартили; x Q ^ - нижняя граница первого квартильного интервала; h - ширина первого квартального интервала; /, - частоты интервального ряда;

Накопленная частота в интервале, предшествующем первому квартильиому интервалу; Jq { - частота первого квартильного интервала.

Первая квартиль показывает, что 25% единиц совокупности меньше ее значения, а 75% - больше. Вторая квартиль равна медиане, т.е. Q 2 = Me.

По аналогии рассчитывают третью квартиль, предварительно отыскав третий квартальный интервал:

где - нижняя граница третьего квартильного интервала; h - ширина третьего квартильного интервала; /, - частоты интервального ряда; /X" - накопленная частота в интервале, предшествующем

третьему квартильиому интервалу; Jq - частота третьего квартильного интервала.

Третья квартиль показывает, что 75% единиц совокупности меньше ее значения, а 25% - больше.

Разность между третьей и первой квартилями представляет собой межквартильный интервал:

где Aq - значение межквартильного интервала; Q 3 - значение третьей квартили; Q, - значение первой квартили.

Децили делят совокупность на 10 равных частей. Дециль - это такое значение признака в ряду распределения, которому соответствуют десятые доли численности совокупности. По аналогии с квартилями первый дециль показывает, что 10% единиц совокупности меньше его значения, а 90% - больше, а девятый дециль выявляет, что 90% единиц совокупности меньше его значения, а 10% - больше. Соотношение девятого и первого децилей, т.е. децильный коэффициент, широко применяется при изучении дифференциации доходов для измерения соотношения уровней доходов 10% наиболее обеспеченного и 10% наименее обеспеченного населения. Перцентили делят ранжированную совокупность на 100 равных частей. Расчет, значение и применение перцентилей аналогичны децилям.

Квартили, децили и другие структурные характеристики можно определить графически по аналогии с медианой с помощью кумуляты.

Для измерения размера вариации используются следующие показатели: размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, дисперсия. Величина размаха вариации целиком зависит от случайности распределения крайних членов ряда. Этот показатель представляет интерес в тех случаях, когда важно знать, какова амплитуда колебаний значений признака:

где R - значение размаха вариации; х тах - максимальное значение признака; х тт - минимальное значение признака.

При расчете размаха вариации значение подавляющего большинства членов ряда не учитывается, в то время как вариация связана с каждым значением члена ряда. Этого недостатка лишены показатели, представляющие собой средние, полученные из отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины: среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение. Между индивидуальными отклонениями от средней и колеблемостью конкретного признака существует прямая зависимость. Чем сильнее колеблемость, тем больше абсолютные размеры отклонений от средней.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных величин отклонений отдельных вариантов от их средней величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных

где / пр - значение среднего линейного отклонения; х,- - значение признака; х - п - число единиц совокупности.

Среднее линейное отклонение сгруппированного ряда

где / вз - значение среднего линейного отклонения; х, - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; / - число единиц совокупности в отдельной группе.

Знаки отклонений в данном случае игнорируются, в противном случае сумма всех отклонений будет равна нулю. Среднее линейное отклонение в зависимости от группировки анализируемых данных рассчитывается по различным формулам: для сгруппированных и несгруниированных данных. Среднее линейное отклонение в силу его условности отдельно от других показателей вариации применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе оборота внешней торговли, состава работающих, ритмичности производства, качества продукции с учетом технологических особенностей производства и т.п.).

Среднее квадратическое отклонение характеризует, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения изучаемого признака от среднего значения по совокупности, и выражается в единицах измерения изучаемого признака. Среднее квадратическое отклонение, являясь одной из основных мер вариации, широко используется при оценке границ вариации признака в однородной совокупности, при определении значений ординат кривой нормального распределения, а также в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик. Среднее квадратическое отклонение но несгруипированным данным исчисляется по следующему алгоритму: каждое отклонение от средней возводится в квадрат, все квадраты суммируются, после чего сумма квадратов делится на число членов ряда и из частного извлекается квадратный корень:

где a Iip - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; п - число единиц совокупности.

Для сгруппированных анализируемых данных среднее квадратическое отклонение данных рассчитывается по взвешенной формуле

где - значение среднего квадратического отклонения; Xj - значение признака; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности; f x - число единиц совокупности в отдельной группе.

Выражение под корнем в обоих случаях носит название дисперсии. Таким образом, дисперсия вычисляется как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины. Для невзвешенных (простых) значений признака дисперсия определяется следующим образом:

Для взвешенных значений признака

Существует также специальный упрощенный способ расчета дисперсии: в общем виде

для невзвешенных (простых) значений признака для взвешенных значений признака
с использованием метода отсчета от условного нуля

где а 2 - значение дисперсии; х,- - значение признака; х - среднее значение признака, h - величина группового интервала, т 1 - веса (А =

Дисперсия имеет самостоятельное выражение в статистике и относится к числу важнейших показателей вариации. Она измеряется в единицах, соответствующих квадрату единиц измерения изучаемого признака.

Дисперсия имеет следующие свойства.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2. Уменьшение всех значений признака на одну и ту же величину Л не меняет величины дисперсии. Это означает, что средний квадрат отклонений можно вычислить не по заданным значениям признака, а по отклонениям их от какого-то постоянного числа.
3. Уменьшение веех значений признака в k раз уменьшает дисперсию в k 2 раз, а среднее квадратическое отклонение - в k раз, т.е. все значения признака можно разделить на какое-то постоянное число (скажем, на величину интервала ряда), исчислить среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на постоянное число.
4. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А у в той или иной степени отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической. Средний квадрат отклонений при этом будет больше на вполне определенную величину - на квадрат разности средней и этой условно взятой величины.

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие - нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым свойством, обозначают через Р, а долю единиц, не обладающих этим свойством, - через G. Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих данным свойством (Р), на долю единиц, данным свойством не обладающих (G). Наибольшая вариация совокупности достигается в случаях, когда часть совокупности, составляющая 50% от всего объема совокупности, обладает признаком, а другая часть совокупности, также равная 50%, не обладает данным признаком, при этом дисперсия достигает максимального значения, равного 0,25, т.е. Р = 0,5, G = 1 - Р = 1 - 0,5 = 0,5 и о 2 = 0,5 0,5 = 0,25. Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация. Практическое применение дисперсии альтернативного признака состоит в построении доверительных интервалов при проведении выборочного наблюдения.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина. В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, интересным является сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях. Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средними арифметическими используются показатели вариации - коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации и коэффициент вариации, которые показывают меру колебаний крайних значений вокруг средней.

Коэффициент осцилляции :

где V R - значение коэффициента осцилляции; R - значение размаха вариации; х -

Линейный коэффициент вариации".

где Vj - значение линейного коэффициента вариации; I - значение среднего линейного отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.

Коэффициент вариации :

где V a - значение коэффициента вариации; а - значение среднего квадратического отклонения; х - среднее значение признака для изучаемой совокупности.

Коэффициент осцилляции - это процентное отношение размаха вариации к среднему значению изучаемого признака, а линейный коэффициент вариации - это отношение среднего линейного отклонения к среднему значению изучаемого признака, выраженное в процентах. Коэффициент вариации представляет собой процентное отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению изучаемого признака. Как величина относительная, выраженная в процентах, коэффициент вариации применяется для сравнения степени вариации различных признаков. С помощью коэффициента вариации оценивается однородность статистической совокупности. Если коэффициент вариации меньше 33%, то исследуемая совокупность является однородной, а вариация слабой. Если коэффициент вариации больше 33%, то исследуемая совокупность является неоднородной, вариация сильной, а средняя величина - нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности. Кроме того, коэффициенты вариации используются для сравнения колеблемости одного признака в различных совокупностях. Например, для оценки вариации стажа работы работников на двух предприятиях. Чем больше значение коэффициента, тем вариация признака существеннее.

На основе рассчитанных квартилей имеется возможность рассчитать также относительный показатель квартальной вариации по формуле

где Q2 и

Межквартильный размах определяется по формуле

Квартильное отклонение применяется вместо размаха вариации, чтобы избежать недостатков, связанных с использованием крайних значений:

Для неравноинтервальпых вариационных рядов рассчитывается также плотность распределения. Она определяется как частное от деления соответствующей частоты или частости на величину интервала. В неравноинтервальных рядах используются абсолютная и относительная плотности распределения. Абсолютная плотность распределения - это частота, приходящаяся на единицу длины интервала. Относительная плотность распределения - частость, приходящаяся на единицу длины интервала.

Все вышеотмеченное справедливо для рядов распределения, закон распределения которых хорошо описывается нормальным законом распределения или близок к нему.