Размерность весовых значений. Большая энциклопедия нефти и газа

Кротов В.М. О размерностях физических величин // Фiзiка: праблемы выкладання. – 1997. – № 9. – С. 87-91.

Часто неправильно трактуется понятие о размерности физических величин: взаимозаменяются понятия единицы измерения и размерности физических величин. Поэтому и видится необходимым еще раз описать содержание этого понятия и указать возможности его использования в процессе обучения физике.

Метрология – составная часть школьного курса физики. Основные ее понятия: физическая величина, значение физической величины, система физических величин, основная физическая величина, производная физическая величина, дополнительная физическая величина, уравнение связи между физическими величинами. Названные понятия находятся в определенной взаимосвязи и взаимоотношениях, которые, к сожалению, не всегда точно отражаются при организации познавательной деятельности учащихся. Наиболее часто неправильно трактуется понятие о размерности физических величин: взаимозаменяются понятия единицы измерения и размерности физических величин. Поэтому и видится необходимым еще раз описать содержание этого понятия и указать возможности его использования в процессе обучения физике.

Размерность физической величины – одна из важнейших ее характеристик, которую можно определить как буквенное выражение, отражающее связь данной величины с величинами, принятыми за основные в рассматриваемой системе величин. Так, система величин, которая именуется Международной системой единиц, содержит семь основных системных величин: l , m , t , Ι , Τ , n и J , где l – длина, m – масса, t – время, I – сила электрического тока, Τ – термодинамическая температура, ν – количество вещества, J – сила света. Для этих величин условно приняты следующие размерности: для длины – L, массы – М, времени – Т, силы электрического тока – I, термодинамической температуры – Θ, количества вещества – N и силы света – J. Размерности записывают прописными буквами и печатают прямым шрифтом .

Размерность величины x обозначается через . Например: . Над размерностями величин, как и над самими величинами, можно производить действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Показатель степени, в которую возведена размерность основной величины, входящей в степенной одночлен, называют показателем размерности .

Размерность производных физических величин определяется исходя из уравнения связи между физическими величинами. Например,

Различают как размерные, так и безразмерные физические величины. К первым относят такие величины, в размерностях которых хотя бы один из показателей размерности не равен нулю. Безразмерными физическими величинами называют физические величины, в размерностях которых все показатели размерности равны нулю.

По поводу физического смысла размерностей физических величин существуют различные взгляды. М.Планк писал: «Ясно, что размерность какой-либо физической величины не есть свойство, связанное с существом ее, но представляет просто некоторую условность, определяемую выбором системы измерений» . Другой точки зрения придерживался известный ученый А.Зоммерфельд. Он связывал выбор основных физических величин и их размерностей с самой сущностью физических величин .

Важно знание не столько размерностей физических величин, сколько использование их для освоения физических знаний. В этой связи интересным является тот факт, что во многих областях физики и смежных науках применяется метод исследования, который получил название анализа размерностей. Особенно плодотворным он оказывается в тех случаях, когда нахождение искомой закономерности прямым путем либо встречает значительные математические трудности, либо требует знания таких деталей, которые заранее неизвестны» ,

Применение метода анализа размерностей началось со времени И.Ньютона. Его развивали и уточняли У.Томсон, Дж.Рэлей. Э.Ферми утверждал, что действительно понимающие природу того или иного явления должны уметь получать основные закономерности из соображений размерностей.

В процессе обучения физике в средней школе метод анализа размерностей качественно без сложных математических выводов позволяет:

1) получать выражения физических законов,

2) определять физический смысл используемых соотношений,

3) проверять правильность записи формул,

4) решать задачи,

5) обнаруживать ошибки в их решении .

Хотя полученные с его применением результаты всегда содержат некоторую неопределенность (зависимости устанавливаются с точностью до постоянных коэффициентов), однако при этом повышается осознанность и научность освоения физических знаний.

Осознанное использование метода анализа размерностей станет возможным при освоении учащимися алгоритма его применения. Рассмотрим основные этапы реализации данного метода на примере установления зависимости емкостного сопротивления в цепи переменного тока от частоты переменного тока и электроемкости конденсатора:

1. Экспериментальное установление зависимости сопротивления конденсатора, включенного в цепь переменного тока, от частоты переменного тока и электроемкости конденсатора.

2. Запись уравнения связи между названными величинами в общем виде , где Ζ – безразмерный коэффициент.

3. Запись размерностей величин, входящих в уравнение связи

4. Подстановка размерностей величин в уравнение связи

5. Составление системы уравнений

6. Решение полученных систем уравнений

β = –1, –4 – α = –3, α = –1.

7. Подстановка значений α и β в уравнение связи

Таким образом, конденсатор в цепи переменного тока обладает сопротивлением, которое обратно пропорционально частоте переменного тока ν и электроемкости конденсатора С .

8. Определение значения коэффициента Ζ (может быть экспериментальным)

9. Запись окончательной формулы

Таким же способом можно примените метод анализа размерностей для установления многих других закономерностей и законов, например:

1) формула для определения периода колебаний груза на пружине;

2) формула для определения периода колебаний математического маятника;

3) основное уравнение МКТ;

4) формула для определения силы Лоренца;

5) зависимость индуктивного сопротивления от частоты переменного тока и индуктивности катушки;

6) формула Томсона;

7) формула для определения потенциала поля, созданного точечным зарядом.

Применение метода анализа размерностей к решению задач более сложно. Примеры решения задач рассматриваемым методом описаны в литературе . Не вызывает затруднений применение метода анализа размерностей к проверке правильности вывода рабочих формул, для этого в уравнение связи между физическими величинами подставляются их размерности. При равенстве показателей размерностей в обеих частях равенства можно утверждать, что формула выведена правильно.

Опыт реализации метода размерностей в практику обучения учащихся показывает , что понятие о размерностях физических величин можно вводить в IX классе по ныне действующим программам. Для этого наряду с установлением единиц измерения физических величин определяются и их размерности. Размерности всех изучаемых величин заносятся в специальную таблицу, которой учащиеся пользуются при определении закономерностей, решении задач, установлении размерностей вновь вводимых физических величин.

1. Голин Г.М., Истаров В.В. Использование метода размерностей в школьной физике // Физика в школе. – 1990. – № 2. – С. 36-40.

2. Кротов В.М. Метод анализа размерностей при обучении физике учащихся педагогических классов // Даi нстытуцкая падрыхтоў ка моладзi i арыентацыя яе на педагагi чныя прафесii , вопыт i праблемы (Матэрыялы рэспублшанскай канферэнцыi ). – Минск, 1992. – С. 102-103.

3. Сена Л.А. Единицы физических величин и их размерности. – М.: Наука, 1977. – 335 с.

4. Стоцкий JI.P. Физические величины и их единицы. – М.: Просвещение, 1984. – 239 с.

5. Чертов А.Г. Международная система единиц измерения. – М.: Высшая школа, 1967.

Размерность физической величины, выражение, показывающее, во сколько раз изменится единица физической величины при изменении единиц величин, принятых в данной системе за основные.

Р. представляет собой одночлен, составленный из произведения обобщённых символов основных единиц в различных (целых или дробных, положительных или отрицательных) степенях, которые называются показателями Р.

Так, например, Р. скорости LT -1 , где Т представляет собой Р. времени, а L - Р. длины. Эти символы обозначают единицы времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута, час, метр, сантиметр и т.д.). В ряде случаев Р. позволяет устанавливать связи между соответствующими величинами

Размерность измеряемой величины является качественной ее характеристикой и обозначается символом dim, происходящим от слова dimension.

Размерностьосновных физических величин обозначается соответствующими заглавными буквами. Например, для длины, массы и времени dim l = L; dim m = M; dim t = T.

При определении размерностипроизводных величин руководствуются следующими правилами

1. Размерности левой и правой частей уравнений не могут не совпадать, так как сравниваться между собой могут только одинаковые свойства. Объединяя левые и правые части уравнений, можно прийти к выводу, что алгебраически суммироваться могут только величины, имеющие одинаковые размерности.

2. Алгебра размерностей мультипликативная, т. е. состоит из одного единственного действия - умножения.

2.1. Размерность произведения нескольких величин равна произведе­нию их размерностей. Так, если зависимость между значениями величин Q, А,В, С имеет вид Q = А × В × С, то

dim Q = dim A × dim B × dim C.

2.2. Размерность частного при делении одной величины на другую равна отношению их размерностей, т. е. если Q = А/В, то

dim Q = dim A/dim B.

2.3. Размерность любой величины, возведенной в некоторую степень, равна ее размерности в той же степени. Так, если Q = А n , то

dim Q = dim n А,

Например, если скорость определять по формуле V = l / t, то dim V = dim l/dim t = L/Т = LТ -1 . Если сила по второму закону Ньютона F = m×а, где а = V/ t - ускорение тела, то dim F = dim m × dim а = МL/Т 2 = MТ -2 .

Таким образом, всегда можно выразить размерность производной физической величины через размерности основных физических величин с помощью степенного одночлена:

dim Q = L a M b T g …,

где L, М, Т, . . . - размерности соответствующих основных физических величин; a, b, g, … - показатели размерности. Каждый из показателей размерности может быть положительным или отрицательным, целым или дробным числом, нулем. Если все показатели размерности равны нулю, то такая величина называется безразмерной. Она может быть относительной, определяемой как отношение одноименных величин (например, относительная диэлектрическая проницаемость), и логарифмической, определяемой как логарифм относительной величины (например, логарифм отношения мощностей или напряжений). В гуманитарных науках, искусстве, спорте, квалиметрии, где номенклатура основных величин не определена, теория размерностей не находит пока эффективного применения.

Физические величины и их размерность

Физической величиной называют свойство, общее в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальное для каждого объекта(Болсун, 1983)/

Совокупность ФВ связанных между собой зависимостями, называют системой физи­ческих величин. Система ФВ состоит из базовых величин , которые условно приняты в каче­стве независимых, и из производных величин , которые выражаются через основные величины системы.

Производныефизическиевеличины - это физические величины, входящие в систему и определяемые через основные величины этой системы. Математическое соотношение (форму­ла), посредством которого интересующая нас производ­ная ФВ выражается в явном виде через другие величины системы и в котором проявляется непосредственная связь между ними, принято называть определяющим уравнением . К примеру, определяющим уравнением скорости служит соотношение

V = (1)

Опыт показывает, что система ФВ, охватывающая всœе разделы физики должна быть построена на семи базовых величинах: масса, время, длина, температура, сила света͵ количество вещества, сила электрического тока.

Учёные договорились обозначать основные ФВ символами: длину (расстояние) в любых уравнениях и любых системах символом L (с этой буквы начинается на английском и немецком языках слово длина), а время – символом T (с этой буквы начинается на английском языке слово время). То же самое относится и к размерностям массы (символ М), электрического тока (символ I), термодинамической температуры (символ Θ), количества вещества (символ

N), силы света (символ J). Эти символы называются размерностями длины и времени, массы и т.д., причем независимо от размера длины или времени. (Иногда эти символы называют логическими операторами, иногда – радика-лами, но чаще всœего размерностями.) Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, Размерность основной ФВ -это всœего лишь символ ФВ в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. Так, к примеру, размерность скорости - ϶ᴛᴏ символ скорости в виде двух букв LT −1 (согласно формуле (1)), где Т представляет собой размерность времени, а L - длины Эти символы обозначают ФВ времени и длины независимо от их конкретного размера (секунда, минута͵ час, метр, сантиметр и т. д.). Размерность силы - MLT −2 (согласно уравнению второго закона Ньютона F = ma) . У любой производной ФВ имеется размерность, так как имеется уравнение, определяющее эту величину. В физике имеется одна чрезвычайно полезная математическая процедура, называемая анализом размерностей или проверка формулы размерностью .

По поводу понятия “размерность“ до сих пор имеются два противоположных мнения Проф. Коган И. Ш., в статье Размерность физической величины (Коган,) приводит следующие аргументы по поводу этого спора.. Более ста лет продолжаются споры о физическом смысле размерностей. Два мнения – размерность относится к физической величинœе, и размерность относится к единице измерений – уже целый век делят учёных на два лагеря. Первую точку зрения отстаивал известный физик начала ХХ века А.Зоммерфельд. Вторую точку зрения отстаивал выдающийся физик М.Планк, который считал размерность физической величины некоторой условностью. Известный метролог Л.Сена (1988) придерживался той точки зрения, согласно которой понятие размерности относится вообще не к физической величинœе, а к ее единице измерений. Эта же точка зрения изложена и в популярном учебнике по физике И.Савельева (2005).

При этом это противостояние искусственно. Размерность физической величины и ее единица измерений – различные физические категории, и их не следует сравнивать. В этом кроется суть ответа͵ решающего эту проблему.

Можно сказать, что у физической величины размерность имеется постольку, поскольку имеется уравнение, определяющее эту величину. Пока нет уравнения, нет и размерности, хотя от этого физическая величина не перестает существовать объективно. В существовании же размерности у единицы измерений физической величины объективной крайне важно сти нет.

Опять же, размерности физических величин для одних и тех же физических величин должны быть одинаковыми на любой планете в любой звездной системе. В то же время единицы измерений тех же величин могут оказаться там какими угодно и, конечно же, не похожими на наши земные.

Подобный взгляд на проблему говорит о том, что правы и А.Зоммерфельд, и М.Планк . Просто каждый из них имел в виду разное. А.Зоммерфельд имел в виду размерности физических величин, а М.Планк − единицы измерений . Противопоставляя их взгляды друг другу, метрологи безосновательно приравнивают размерности физических величин к их единицам измерений, тем самым искусственно противопоставляя точки зрения А.Зоммерфельда и М.Планка.

В настоящем пособии понятие ʼʼразмерностьʼʼ, как и полагается, относится к ФВ и с единицами ФВ не идентифицируется.

Физические величины и их размерность - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Физические величины и их размерность" 2017, 2018.

Законы физики, как уже отмечалось, устанавливают количественные соотношения между физическими величинами. Для установления таких соотношений необходимо иметь возможность измерять различные физические величины.

Измерить какую-либо физическую величину (найример, скорость) означает сравнить ее с величиной того же вида (во взятом примере - со скоростью), принятой за единицу.

Вообще говоря, для каждой физической величины можно было бы установить ее единицу произвольно, независимо от других. Однако оказывается, что можно ограничиться произвольным выбором единиц для нескольких (минимум трех) в принципе любых величин, принятых за основные. Единицы же всех прочих величин можно установить с помощью основных, воспользовавшись для этой цели физическими законами, связывающими соответствующую величину с основными величинами или с величинами, для которых единицы уже установлены подобным образом.

Поясним сказанное следующим примером. Предположим, что мы уже установили единицы для массы и ускорения. Соотношение (9.3) связывает закономерным образом эти величины с третьей физической величиной - силой. Выберем единицу силы так, чтобы коэффициент пропорциональности в этом уравнении был равен единице. Тогда формула (9.3) принимает более простой вид:

Из (10.1) следует, что установленная единица силы представляет собой такую силу, под действием которой тело с массой, равной единице, получает ускорение, равное также единице (подстановка в (10.1) F=1 и дает ).

При указанном способе выбора единиц физические соотношения принимают более простой вид. Сама же совокупность единиц образует определенную систему.

Существует несколько систем, отличающихся выбором основных единиц. Системы, в основу которых положены единицы длины, массы и времени, называются абсолютными.

В СССР введен с 1 января 1963 г. государственный стандарт ГОСТ 9867-61, устанавливающий применение Международной системы единиц, обозначаемой символом СИ. Эта система единиц должна применяться как предпочтительная во всей области науки, техники и народного хозяйства, а также при преподавании. Основными единицами СИ являются: единица длины - метр (сокращенное обозначение - м), единица массы - килограмм (кг) и единица времени - секунда (с). Таким образом, СИ принадлежит к числу абсолютных систем. Кроме указанных трех единиц, СИ принимает в качестве основных единицу силы тока - ампер (А), единицу термодинамической температуры - кельвин (К), единицу силы света - канделу (кд) и единицу количества вещества - моль (моль).

Об этих единицах будет речь в соответствующих разделах курса.

Метр определяется как длина, равная 1650763,73 длин волн в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями атома криптона-86 (оранжевая линия криптона-86), Метр приближенно равен 1/40 000 000 доле длины земного меридиана. Применяются также кратные и дольные единицы: километр ), сантиметр ), миллиметр (1 мм ), микрометр (1 мкм ) и т. д.

Килограмм представляет собой массу платино-иридиевого тела, хранящегося в Международном бюро мер и весов в Севре (близ Парижа). Это тело называется международным прототипом килограмма. Масса прототипа близка к массе 1000 см3 чистой воды при 4 °С. Грамм равен 1/1000 килограмма.

Секунда определяется как промежуток времени, равный сумме 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133. Секунда приблизительно равна 1/86 400 средних солнечных суток.

В физике применяется также абсолютная система единиц, называемая СГС-системой. Основными единицами в этой системе, являются сантиметр, грамм и секунда.

Единицы введенных нами в кинематике величин (скорости и ускорения) являются производными от основных единиц. Так, за единицу скорости принимается скорость равномерно движущегося тела, проходящего в единицу времени (секунду) путь, равный единице длины (метру или сантиметру). Обозначается эта единица м/с в СИ и см/с в СГС-системе. За единицу ускорения принимается ускорение равномерно-переменного движения, при котором скорость тела за единицу времени (секунду) изменяется на единицу (на м/с или см/с). Обозначается эта единица в СИ и в СГС-системе.

Единица силы в СИ называется ньютоном (Н). Согласно ньютон равен силе, под действием которой тело с массой 1 кг получает ускорение . Единица силы в СГС-системе называется диной (дин). Одна дина равна силе, под действием которой тело с массой 1 г получает ускорение 1 см/с2. Между ньютоном и диной имеется следующее соотношение:

В технике широко применялась система МКГСС (называемая обычно технической системой единиц). Основными единицами этой системы являются метр, единица силы - килограмм - сила (кгс) и секунда. Килограмм - сила определяется как сила, сообщающая массе в 1 кг ускорение, равное 9,80655 м/с2. Из этого определения следует, что 1 кгс=9,80655 Н (приближенно 9,81 Н).

За единицу массы в МКГСС согласно (10.1) должна быть принята масса такого тела, которое под действием силы в 1 кгс получает ускорение 1 м/с2. Эта единица обозначается кгс с2/м, специального названия она не имеет. Очевидно, что 1 кгс с2/м=9,80655 кг (приблизительно 9,81 кг).

Из способа построения систем единиц следует, что изменение основных единиц влечет за собой изменение производных единиц. Если, например, за единицу времени принять вместо секунды минуту, т. е. увеличить единицу времени в 60 раз, то единица скорости уменьшится в 60 раз, а единица ускорения уменьшится в 3600 раз.

Соотношение, показывающее, как изменяется единица какой-либо величины при изменении основных единиц, называется размерностью этой величины. Для обозначения размерности произвольной физической величины используется ее буквенное обозначение, взятое в квадратные скобки. Так, например, символ Ы означает размерность скорости. Для размерностей основных величин используются специальные обозначения для длины L, для массы М и для времени Т. Таким образом, обозначив длину буквой I, массу буквой и время буквой t, можно написать:

В указанных обозначениях размерность произвольной физической величины имеет вид и у могут быть как положительными, так и отрицательными, в частности, они могут равняться нулю). Эта запись означает, что при увеличении единицы длины в раз единица данной величины увеличивается в раз (соответственно число, которым выражается значение величины в этих единицах, уменьшается в раз); при увеличении единицы массы в раз единица данной величины увеличивается в раз и, наконец, при увеличении единицы времени в раз единица данной величины увеличивается в раз.

Написанное соотношение называется формулой размерности, а его правая часть - размерностью соответствующей величины (в данном случае скорости).

На основании соотношения можно установить размерность ускорения:

Размерность силы

Аналогично устанавливаются размерности всех прочих величин.

Под системой физических величин понимается совокупность физических величин вместе с совокупностью уравнений, связывающих эти величины между собой. В свою очередь, система единиц представляет собой набор основных и производных единиц вместе с их кратными и дольными единицами, определенными в соответствии с установленными правилами для данной системы физических величин .

Все величины, входящие в систему физических величин, делят на основные и производные. Под основными понимают величины, условно выбранные в качестве независимых так, что никакая основная величина не может быть выражена через другие основные. Все остальные величины системы определяются через основные величины и называются производными .

Каждой основной величине сопоставляется символ размерности в виде заглавной буквы латинского или греческого алфавита. В различных системах физических величин используются следующие обозначения размерностей :

Символы размерностей используют также для обозначения систем величин . Так, система величин, основными величинами которой являются длина, масса и время, обозначается как LMT . На её основе были образованы такие системы единиц, как СГС , МКС и МТС . На основе системы LFT , в которой основными величинами являются длина, сила и время, создана система единиц МКГСС .

Как следует из сказанного выше, размерность физической величины зависит от используемой системы величин. Так, например, размерность силы в системе LMT , как указано выше, выражается равенством dim F =LMT -2 , а в системе LFT выполняется dim F =F . Кроме того, безразмерная величина в одной системе величин может стать размерной в другой. Например, в системе LMT электрическая ёмкость имеет размерность L и отношение ёмкости сферического тела к его радиусу - безразмерная величина, тогда как в Международной системе величин (ISQ) это отношение не является безразмерным. Однако многие используемые на практике безразмерные числа (например, критерии подобия , постоянная тонкой структуры в квантовой физике или числа Маха , Рейнольдса , Струхаля и др. в механике сплошных сред) характеризуют относительное влияние тех или иных физических факторов и являются отношением величин с одинаковыми размерностями, поэтому, несмотря на то, что входящие в них величины в разных системах могут иметь разную размерность, сами они всегда будут безразмерными.

Проверка размерности

В формулах, имеющих физический смысл, только величины, имеющие одинаковую размерность, могут складываться, вычитаться или сравниваться. Например, сложение массы какого-либо предмета с длиной другого предмета не имеет смысла. Также невозможно сказать, что больше: 1 килограмм или 3 секунды . Из этого правила, в частности, следует, что левые и правые части уравнений должны иметь одинаковую размерность.

Кроме того, аргументы экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций должны быть безразмерными величинами.

Эти правила используются для проверки правильности физических формул. Если в полученном уравнении какое-то из них нарушается, то ясно, что в вычислениях была допущена ошибка.

Анализ размерности

Анализ размерности - метод, используемый физиками для построения обоснованных гипотез о взаимосвязи различных размерных параметров сложной физической системы. Иногда анализ размерности можно использовать для получения готовых формул (с точностью до безразмерной константы). Суть метода заключается в том, что из параметров, характеризующих систему, составляется выражение, имеющее нужную размерность.

При анализе размерностей формул размерность левой части уравнения должна быть равна размерности правой части уравнения. Отсутствие такого равенства говорит о неверности формулы. Однако наличие такого равенства не даёт стопроцентной гарантии верности формулы.