Решение заданий С2 по математике

Примеры решения задач С 2 на ЕГЭ по математике.

Задача С2 относится к задачам повышенного уровня сложности с развернутым ответом.

При выполнении задачи в бланке ответов № 2 должно быть записано полное обоснованное решение и ответ. Требуется, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, ключевые моменты решения обоснованы, а математические термины и символы использованы корректно. Задача С2 является стереометрической задачей средней сложности, посильной для большинства успевающих выпускников. Полное правильное решение задачи С2 оценивается 2 баллами.

Оценка выполнения задач второй части проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев, базирующейся на следующих требованиях. Метод и форма записи решения могут быть произвольными, но решение должно быть математически грамотным, полным и обоснованным. При этом оцениваются продвижения выпускника в решении задачи. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, допущенных или рекомендованных Министерством образования и науки РФ.

Построить чертеж, соответствующий условию (по возможности, наиболее наглядный),

Дать характеристику фигуре, вспомнить определение, свойства, признаки,

Определить зависимости между элементами,

Рассуждать от вопроса задачи, постепенно используя данные условия.

В последние годы при решении задач С2 часто требуется найти расстояние:

От точки до прямой;

От точки до плоскости;

Между скрещивающимися прямыми, или найти угол между:

Прямой и плоскостью;

Плоскостями.

Нахождение расстояний при решении задач С2

DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 1, найти расстояние от точки В до прямой F 1 E 1.

Решение.

Точка В лежит на прямой АВ, АВ║D 1 Е 1 . Расстоянием между параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Построим его.

Т.к. призма прямая, ВD (DD 1 Е 1), DD 1 D 1 Е 1 , тогда ВD 1 D 1 Е 1 , значит, искомое расстояние от точки В до прямой D 1 Е 1 равно отрезку ВD 1.

Рассмотрим Δ АD Е, ∟D = 90º, D Е = 4, ВЕ = 8 (в правильном 6-угольнике главная диагональ равна удвоенной стороне) ВD =

Из прямоугольного Δ АDD 1 по теореме Пифагора ВD 1 = 7.

В правильной 6-угольной призме АВС DEF А1В1С1 D 1 E 1 F стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найти расстояние от точки В до прямой С 1 D 1.

В правильной 6-угольной призме в основаниях лежат правильные 6-угольники, сторона равна 4, боковые ребра перпендикулярны основаниям, основания параллельны.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Проведем плоскость через точку В и прямую С 1 D 1, В сечении призмы плоскостью мы получим равнобедренную трапецию ВС 1 D 1 Е, высота этой трапеции С 1 К – искомое расстояние.

Из Δ ВС 1 С ВС 1 = 5

Рассмотрим Δ ВС 1 К, ∟К = 90º,

Ответ:

3. Длина ребра куба АС 1 равна 1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АСД 1 .

АС 1 – куб, значит, все грани квадраты со стороной 1.

Плоскость АСD 1 – правильный треугольник со стороной

Искомое расстояние – это высота пирамиды ВАСD 1 , опущенная из точки В на плоскость АD С 1 = d .

Найдем объем этой пирамиды двумя способами.

,
или

Ответ:

В правильной 3-угольной пирамиде сторона основания равна 12см. Найдите расстояние от центра основания до боковой грани, если двугранный угол при ребре основания равен π/3.

Решение.

Т.к. пирамида SABCD правильная, в основании лежит правильный треугольник АВС, АВ = 12см, высота SO пирамиды проектируется в центр основания. Боковые грани – равные равнобедренные треугольники, образующие равные двугранные углы при основании.

Построим линейный угол двугранного угла при основании. Проведем ВК АС,

SK AC , тогда ∟SKB линейный угол двугранного угла при основании пирамиды,

∟SKB = π/3 . ОК – радиус вписанной окружности в правильный Δ АВС,

ОК =
.

Плоскость SKO перпендикулярна плоскости ASB , т.к. она проходит через две прямые, SK и КВ, перпендикулярные прямой АС, лежащей в плоскостиASB .

Построим линейный угол двугранного угла между плоскостями СДВ и АВС. Проведем ДК перпендикулярно ВС, к – середина СВ (Δ СD В равнобедренный с основанием СВ), тогда КА перпендикулярно СВ (Δ САВ равнобедренный с основанием СВ), ∟АКD – линейный угол двугранного угла.

В плоскости АКD проведем КМ перпендикулярно АD , КМ – искомое расстояние от D А до СВ.

Т.к. Δ САВ = Δ СD В по трем сторонам, АК = D К. т.е. Δ АD К равнобедренный с основанием АD , значит, КМ – высота и медиана Δ АD К.

АМ = МD = 3см, (из Δ АСК)

Из Δ АМК .

Решение задания С 2 по математике.

C2 ЕГЭ по математике.

Основанием пирамиды служит квадрат,
две боковые грани этой пирамиды перпендикулярны к плоскости её основания,
две другие её боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы,
каждый из которых равен 30 градусов.
Высота пирамиды равна sqrt(2).
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение C2 ЕГЭ по математике.

C2 ЕГЭ по математике.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тнгенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение C2 ЕГЭ по математике.

Пусть AB=10 и C1D1 = 24 - хорды, по которым сечение пересекает основания цилиндра. Плоскости оснований параллельны, значит, AB и C1D1 тоже параллельны.

Опустив перпендикуляры из точек C1 и D1 к плоскости OAB, получим отрезок CD, равный C1D1. Пусть K, L и L1 - середины хорд AB, CD и C1D1 соответственно.

Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания цилиндра будет равен углу L1KL. Его тангенс мы найдём из прямоугольного треугольника L1LK: tg(L1KL) = LL1/LK.

LL1 = образующей цилиндра = 21
LK = LO+OK.

Из прямоугольного треугольника CLO:
LO = sqrt(CO^2-CL^2) = sqrt(13^2-12^2) = 5

Из прямоугольного треугольника AKO:
OK = sqrt(AO^2-AK^2) = sqrt(13^2-5^2) = 12

Tg(L1KL) = LL1/LK = 21/17

Задание С2 Условие:

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF
сторона основания AB=√3, боковое ребро SA = √7. Найдите расстояние от вершины A до плоскости BCS.

Решение:

Заметим, что AD параллельно BC, а значит, и всей плоскости BCS.
Это значит, что все точки прямой AD равноудалены от плоскости BCS.

Пусть SH — высота треугольника BCS, SO — перпендикуляр, опущенный из точки S к плоскости основания пирамиды, при этом точка O принадлежит AD. Искомым расстоянием будет длина высоты OM прямоугольного треугольника SOH.

1) Найдём OH из равностороннего треугольника OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2

2) Найдём SH из прямоугольного треугольника BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2

3) Найдём SO из прямоугольного треугольника SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2

4) Искомое расстояние OM, зная все стороны прямоугольного треугольника SOH, можно, например, найти, записав выражение для его площади двумя разными способами:

S = SO*OH/2 = SH*OM/2,

Откуда OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5

Ответ: 6/5

Задание С2 Условие:

В правильной треугольной пирамиде АВСS с основанием АВС известны ребра: АВ= 5 корней из 3, SC= 13.
Найти угол, образованный плоскостью основания и прямой, проходящей через середину ребер АS и ВС.

Решение:

1. Поскольку SABC - правильная пирамида, то ABC - равносторонний треугольник, а остальные грани - равные между собой равнобедренные треугольники.
То есть все стороны основания равны 5*sqrt(3), а все боковые ребра равны 13.

2. Пусть D - середина BC, E - середина AS, SH - высота, опущенная из точки S к основанию пирамиды, Ep - высота, опущенная из точки E к основанию пирамиды.

3. Найдем AD из прямоугольного треугольника CAD по теореме Пифагора. Получится 15/2 = 7.5.

4. Поскольку пирамида правильная, точка H - это точка пересечения высот/медиан/биссектрис треугольника ABC, а значит, делит AD в отношении 2:1 (AH=2*AD).

5. Найдем SH из прямоугольного треугольника ASH. AH=AD*2/3 = 5, AS = 13, по теореме Пифагора SH = sqrt(13^2-5^2) = 12.

6. Треугольники AEp и ASH оба прямоугольные и имеют общий угол A, следовательно, подобные. По условию, AE = AS/2, значит, и Ap = AH/2, и Ep = SH/2.

7. Осталось рассмотреть прямоугольный треугольник EDp (нас как раз интересует угол EDp).
Ep = SH/2 = 6;
Dp = AD*2/3 = 5;

Тангенс угла EDp = Ep/Dp = 6/5,
Угол EDp = arctg(6/5)

Ответ:

Задание С2 Условие:

В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости a, а другой образует с ней угол 45 градусов. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.

Решение:

Треугольник ABC, угол C - прямой, BC принадлежит плоскости.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Опустим перпендикуляр AA1 к плоскости a.

Искомый угол - угол A1BA.

Угол A1CA равен 45 градусов, угол AA1C - прямой. AA1 = AC*sin(45 градусов) = x/sqrt(2).

sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2

Угол A1BA = arcsin(1/2) = 30 градусов.

Считается, что задача по стереометрии на Профильном ЕГЭ по математике - только для отличников. Что для ее решения необходимы особые таланты и загадочное «пространственное мышление», которым обладают с рождения лишь редкие счастливчики.

Так ли это?

К счастью, всё значительно проще. То, что так красиво называют «пространственным мышлением», чаще всего означает знание основ стереометрии и умение строить чертежи.

Во-первых, необходимо знание формул стереометрии. В наших таблицах «Многогранники » и «Тела вращения » приведены все формулы, по которым вычисляются объемы и площади поверхности трехмерных тел.

Во-вторых - уверенное решение задач по геометрии, представленных в части 1 (первые 12 задач ЕГЭ). Это и планиметрические задачи, и стереометрические .

И главное - для решения задачи 14 вам понадобятся основные аксиомы и теоремы стереометрии. Лучше всего, если вы приобретете учебник по геометрии для 10-11 класса (автор - А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян), и ответите на вопросы, список которых приведен ниже. Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно.

Работая над этим заданием, сформулируйте для себя - чем отличаются определение и признак . Есть, например, определение параллельности прямой и плоскости - и признак параллельности прямой и плоскости. В чем разница между ними?

Очень хорошо, если вы сделаете задание самостоятельно, а затем сверите с ответами. Все ответы можно найти на нашем сайте, в этом разделе.

Программа по стереометрии .

Плоскость в пространстве .Закончите фразу: Плоскость можно провести через...
(Дайте четыре варианта ответа).
Расположение плоскостей в пространстве.Закончите фразу: Если две плоскости имеют общую точку, то они...
Параллельность прямой и плоскости. Определение и признак .
Что такое наклонная и проекция наклонной . Рисунок.
Угол между прямой и плоскостью.
Перпендикулярность прямой и плоскости. Определение и признак.
Скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми .
Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости.
Параллельность плоскостей. Определение и признак.
Перпендикулярность плоскостей. Определение и признак.
Закончите фразу:а) Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью...
б) Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями...

Приведем несколько простых правил для решения задач по стереометрии:

Есть два основных способа решения задач по стереометрии на ЕГЭ по математике. Первый - классический: применение на практике определений, теорем и признаков, список которых приведен выше. Второй -

МОУ «СОШ № 34 с углубленным изучением художественно-эстетических предметов»

«Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике

координатно-

векторным методом

Вячеслав Леваков

Решение заданий С2

ЕГЭ по математике координатно-векторным методом

МОУ «СОШ № 34 с УИП»

ЕЩЕ ОДИН ШАГ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ!

Серия «Школьник - школьнику»

В.В. Леваков

Решение заданий С2 ЕГЭ по математике координатно-векторным методом. Методические рекомендации.

Представленный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Автор выражает огромную благодарность своим учителям математики Айвазян Карене Арташовне, Беляковой Елене Анатольене, Хренниковой Наталье Игоревне, которые сыграли большую роль в формировании его знаний умений и навыков при изучении предмета. Отдельные слова благодарности – Ларисе Анатольевне Денисовой, председателю методического объединения учителей математики Заводского района г. Саратова, которая приняла участие в составлении данной брошюры.

Уважаемый читатель!

Если у ученика 11 класса имеются серьезные проблемы с пониманием

определений, с чтением или построением сложного стереометрического

рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные

построения, мне кажется, что стоит заняться изучением координатно-

векторного метода. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи,

когда до ЕГЭ остается всего лишь 2-3 месяца. Данный курс не претендует на

научность, а является своеобразным методическим пособием при подготовки

к ЕГЭ для выпускника, нацеленного на высокий балл при сдаче экзамена.

Курс является кратким, в нем рассмотрены лишь наиболее часто

встречающиеся типы заданий, как в сборниках, так и в контрольно-

измерительных материалах.

Алгебра - не что иное как записанная в символах геометрия, а геометрия - это просто алгебра, воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)

§1. Основные понятия.

Большую роль в развитии геометрии сыграло применение алгебры к изучению свойств геометрических фигур, разросшееся в самостоятельную науку - аналитическую геометрию. Возникновение аналитической геометрии связано с открытием метода координат, являющегося основным ей методом.

Метод координат - весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве.

Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Существует множество систем координат: аффинная,

полярная, биполярная, коническая, параболическая, проективная,

сферическая, цилиндрическая и др. Наиболее используемая из них - прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат). Ею мы и будем пользоваться для решения задач нашего курса.

Данный метод решения заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними).

Достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Алгоритм применения метода координат к решению геометрических задач сводится к следующему:

o Выбираем в пространстве систему координат из соображений удобства выражения координат и наглядности изображения.

o Находим координаты необходимых для нас точек.

o Решаем задачу, используя основные задачи метода координат.o Переходим от аналитических соотношений к геометрическим.

Для начала разбора метода координат для стереометрических задач рассмотрим что же представляет собой прямоугольная (декартова) система координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве –

совокупность точки О (называемой началом координат ), единицы измерения и трёх попарно перпендикулярных прямыхOx, Oy иOz (называемыхосями координат: Ox – ось абсцисс, Oy – ось ординат, Oz – ось аппликат ), на каждой из которых указано направление положительного отсчёта. ПлоскостихОу, уОz иzOx называют координатными плоскостями. Каждой точке пространства ставится в соответствие тройка чисел, называемых еёкоординатами .

Перед решением стереометрических задач координатно-векторным методом стоит запомнить следующие формулы:

1. Нахождение расстояния между двумя точками, заданными своими координатами.

Где d=AB, A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

2. Нахождение координаты серединыС(x; y; z) отрезкаАВ,

A(x1 ; y1 ; z1 ), B(x2 ; y2 ; z2 )

3. Нахождение косинуса, а, следовательно, и самого угла, между двумя векторами, заданными своими координатами.

где а {x 1 ;y 1 ;z 1 },b {x 2 ;y 2 ;z 2 }.

4. Координаты x, y, z точкиМ , которая делит отрезок,

ограниченный точками (,,) и(,,), в отношении, определяется по формулам

Для решения задач необходимо научиться находить координаты вершин основных многогранников при помещении их в прямоугольную систему координат.

Ниже представлены координаты вершин некоторых многогранников , помещенных в систему координат.

1. Единичный куб A...D1

Координаты вершин:

А (0,0,0), А1 (0,0,1), В(1,0,0), В1 (1,0,1), D(0 ,1 ,0), D1 (0,1,1), С(1,1,0),

С1 (1,1,1).

2. Правильная треугольная призма A…C1 ,все ребра, которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(0,5;√ ,0),С1 (0,5;√ ,1).

3. Правильная шестиугольная призма A...F1 , все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),А 1 (0,0,1),В(1,0,0),В1 (1,0,1), С(1,5;√ ,0),С1 (1,5;√ ,1), D(1,√ (1,√ Е(0,√ , (0,√ , F(-05, √ 0),

(-05, √ 1).

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD все ребра которой равны 1.

Координаты вершин:

А (0,0,0),В(1,0,0),С(0,5;√ ,0), D(0,5,

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.