Пример аксонометрии. Изометрическая проекция. Этапы выполнения наглядного изображения детали

Построение аксонометрических проекций начинают с проведения аксонометрических осей.

Положение осей. Оси фронтальной ди-метрической проекции располагают, как показано на рис. 85, а: ось х - горизонтально, ось z - вертикально, ось у - под углом 45° к горизонтальной линии.

Угол 45° можно построить при помощи чертежного угольника с углами 45, 45 и 90°, как показано на рис. 85, б.

Положение осей изометрической проекции показано на рис. 85, г. Оси х и у располагают под углом 30° к горизонтальной линии (угол 120° между осями). Построение осей удобно проводить при помощи угольника с углами 30, 60 и 90° (рис. 85, д).

Чтобы построить оси изометрической проекции с помощью циркуля, надо провести ось z, описать из точки О дугу произвольного радиуса; не меняя раствора циркуля, из точки пересечения дуги и оси z сделать засечки на дуге, соединить полученные точки с точкой О.

При построении фронтальной диметрической проекции по осям х и z (и параллельно им) откладывают действительные размеры; по оси у (и параллельно ей) размеры сокращают в 2 раза, отсюда и название "диметрия", что по-гречески означает "двойное измерение".

При построении изометрической проекции по осям х, у, z и параллельно им откладывают действительные размеры предмета, отсюда и название "изометрия", что по-гречески означает "равные измерения".

На рис. 85, в и е показано построение аксонометрических осей на бумаге, разлинованной в клетку. В этом случае, чтобы получить угол 45°, проводят диагонали в квадратных клетках (рис. 85, в). Наклон оси в 30° (рис. 85, г) получается при соотношении длин отрезков 3: 5 (3 и 5 клеток).

Построение фронтальной диметрической и изометрической проекций . Построить фронтальную диметрическую и изометрическую проекции детали, три вида которой приведены на рис. 86.

Порядок построения проекций следующий (рис. 87):

1. Проводят оси. Строят переднюю грань детали, откладывая действительные величины высоты - вдоль оси z, длины - вдоль оси х (рис. 87, а).

2. Из вершин полученной фигуры параллельно оси v проводят ребра, уходящие вдаль. Вдоль них откладывают толщину детали: для фронтальной ди-метрической проекции - сокращенную в 2 раза; для изометрии - действительную (рис. 87, б).

3. Через полученные точки проводят прямые, параллельные ребрам передней грани (рис. 87, в).

4. Удаляют лишние линии, обводят видимый контур и наносят размеры (рис. 87, г).

Сравните левую и правую колонки на рис. 87. Что общего и в чем различие данных на них построений?

Из сопоставления этих рисунков и приведенного к ним текста можно сделать вывод о том, что порядок построения фронтальной диметрической и изометрической проекций в общем одинаков. Разница заключается в расположении осей и длине отрезков, откладываемых вдоль оси у.

В ряде случаев построение аксонометрических проекций удобнее начинать с построения фигуры основания. Поэтому рассмотрим, как изображают в аксонометрии плоские геометрические фигуры, расположенные горизонтально.

Построение аксонометрической проекции квадрата показано на рис. 88, а и б.

Вдоль оси х откладывают сторону квадрата а, вдоль оси у - половину стороны а/2 для фронтальной диметрической проекции и сторону а для изометрической проекции. Концы отрезков соединяют прямыми.

Построение аксонометрической проекции треугольника показано на рис. 89, а и б.

Симметрично точке О (началу осей координат) по оси х откладывают половину стороны треугольника а/2, а по оси у - его высоту h (для фронтальной диметрической проекции половину высоты h/2). Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Построение аксонометрической проекции правильного шестиугольника показано на рис. 90.

По оси х вправо и влево от точки О откладывают отрезки, равные стороне шестиугольника. По оси у симметрично точке О откладывают отрезки s/2, равные половине расстояния между противоположными сторонами шестиугольника (для фронтальной диметрической проекции эти отрезки уменьшают вдвое). От точек m и n, полученных на оси у, проводят вправо и влево параллельно оси х отрезки, равные половине стороны шестиугольника. Полученные точки соединяют отрезками прямых.

Ответьте на вопросы

1. Как располагают оси фронтальной диметрической и изометрической проекций? Как их строят?

2. Какие размеры откладывают вдоль осей фронтальной диметрической и изометрической проекций и параллельно им?

3. Вдоль какой аксонометрической оси откладывают размер уходящих вдоль ребер предмета?

4. Назовите общие для фронтальной диметрической и изометрической проекций этапы построения.

Задания к § 13

Упражнение 40

Постройте аксонометрические проекции деталей, приведенных на рис. 91, а, б, в - фронтальные диметрические, для деталей на рис. 91, г, д, е - изометрические.

Размеры определите по числу клеток, считая, что сторона клетки равна 5 мм.

В ответах дано по одному примеру последовательности выполнения заданий.

Упражнение 41

Постройте в изометрической проекции правильные четырехугольную, треугольную и шестиугольную призмы. Основания призм расположены горизонтально, длина сторон основания 30 мм, высота 70 мм.

В ответах дан пример последовательности выполнения задания.

Лекция 6. Аксонометрические проекции

1. Общие сведения об аксонометрических проекциях.

2. Классификация аксонометрических проекций.

3. Примеры построения аксонометрических изображений.

1 Общие сведения об аксонометрических проекциях

При составлении технических чертежей иногда возникает необходимость наряду с изображениями предметов в системе ортогональных проекций иметь более наглядные изображения. Для таких изображений применяют метод аксонометрического проецирования (аксонометрия - греческое слово, в дословном переводе оно означает измерение по осям; аксон - ось, метрео - измеряю).

Сущность метода аксонометрического проецирования: предмет вместе с осями прямоугольных координат, к которым он отнесен в пространстве, проецируется на некоторую плоскость так, что ни одна из его координатных осей не проецируется на нее в точку, а значит сам предмет спроецируется на эту плоскость проекций в трех измерениях.

На черт. 88 на некоторую плоскость проекций Р спроецирована находящаяся в пространстве система координатх, y, z. Проекциих р , y р ,

z р осей координат на плоскостьР называютсяаксонометрическими осями.

Рисунок 88

На осях координат в пространстве отложены равные отрезки е. Как видно из чертежа, их проекциие х , е y , е z на плоскостьР в общем

случае не равны отрезку е и не равны между собой. Это значит, что размеры предмета в аксонометрических проекциях по всем трем осям искажаются. Изменение линейных размеров вдоль осей характеризуется показателями (коэффициентами) искажения вдоль осей.

Показателем искажения называется отношение длины отрезка на аксонометрической оси к длине такого же отрезка на соответствующей оси прямоугольной системы координат в пространстве.

Показателем искажения вдоль оси х обозначим буквойk , по оси y

– буквой m , по осиz – буквойn, тогда:k =е х /е; m =е y /е; n =е z /е.

Величина показателей искажения и соотношение между ними зависят от расположения плоскости проекций и от направления проецирования.

В практике построения аксонометрических проекций обычно пользуются не самими коэффициентами искажения, а некоторыми величинами, пропорциональными величинам коэффициентов искажения: К:М:N = k:m:n . Эти величины называютприведенными коэффициентами искажения.

2 Классификация аксонометрических проекций

Все множество аксонометрических проекций подразделяется на две группы:

1 Прямоугольные проекции – получены при направлении проецирования, перпендикулярном аксонометрической плоскости .

2 Косоугольные проекции – получены при направлении проецирования, выбранном под острым углом к аксонометрической плоскости.

Кроме того, каждая из указанных групп делится еще и по признаку соотношения аксонометрических масштабов или показател ей (коэффициентов) искажения. Пo этому признаку аксонометрические проекции можно разделить на следующие виды:

а) Изометрические - показатели искажения по всем трем осям одинаковы (изос - одинаковый).

б) Диметрические - показатели искажения по двум осям равны между собой, а третий не равен (ди - двойной).

в) Триметрические - показатели искажения по всем трем осям не рав-

ны между собой. Это аксонометрия (большого практического применения не имеет).

2.1 Прямоугольные аксонометрические проекции

Прямоугольная изометрическая проекция

В прямоугольной изометрии все коэффициенты равны ме жду

k = m = n , k2 + m2 + n2 =2 ,

тогда это равенство можно записать в виде 3k 2 =2 , откудаk = .

Таким образом, в изометрии показатель искажения равен ~ 0,82 . Это означает, что в прямоугольной

изометрии все размеры изображаемого предмета сокращаются в 0,82 раза. Для

упрощения	построений		используют
приведенные	коэффициенты		искажения
k=m=n=1,		соответствует
увеличению	размеров	изображения по
сравнению с действительными в 1,22
раза (1:0,82		Расположение осей
изометрической проекции показано на рис.
			Рисунок 89

Прямоугольная диметрическая проекция

В прямоугольной диметрии показатели искажения по двум осям одинаковы, т. е. k = п. Третий

показатель искажения выбираем вдвое меньше двух других, т. е. m =1/2k . Тогда равенствоk 2 +m 2 +n 2 = 2 примет такой вид: 2k 2 +1/4k 2 =2; откудаk= 0,94;

	m = 0,47.
	В целях упрощения построений
	используем	приведенные
	коэффициенты искажения: k=n=1 ;
	m=0,5 . Увеличение в этом случае
	составляет 6% (выражается числом		Рисунок 90
	1,06=1:0,94).	Расположение осей
	диметрической	проекции показано на

Рисунок 91

Рисунок 92

равны: k = n=1.

2.2 Косоугольные проекции

Фронтальная изометрическая проекция

На рис. 91 дано положение аксонометрических осей для фронтальной изометрии.

Согласно ГОСТ 2.317-69, допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси y30° и60°. Коэффициенты искажения являются точными и равны:

k = m = n=1.

Горизонтальная изометрическая проекция

На рис. 92 дано положение аксонометрических осей для фронтальной изометрии. Согласно ГОСТ 2.317-69, допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона осиy 45° и60° при сохранении угла между осямиx иy 90°. Коэффициенты искажения являются точными и равны:к=m= n= 1 .

Фронтальная диметрическая проекция

Положение осей такое же, как для фронтальной изометрии (рис.91) . Также допускается применение фронтальной диметрии с углом наклона оси y 30° и60°.

Коэффициенты искажения являются точными и m=0.5

Все три вида стандартных косоугольных проекций получены при расположении одной из координатных плоскостей (горизонтальной или фронтальной) параллельно плоскости аксонометрии. Поэтому все фигуры, расположенные в этих плоскостях или им параллельных, проецируются на плоскость чертежа без искажения.

3 Примеры построения аксонометрических изображений

Как в прямоугольных (ортогональных проекциях), так и в аксонометрических одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве. Помимо аксонометрической проекции точки необходимо иметь еще одну проекцию, называемую вторичной. Вторичная проекция точки – это аксонометрия одной из ее прямоугольных проекций (чаще горизонтальной).

Приемы построения аксонометрических изображений не зависят от вида аксонометрических проекций. Для всех проекций приемы построений одинаковы. Аксонометрическое изображение обычно строят на основе прямоугольных проекций предмета.

3.1 Аксонометрия точки

Построение аксонометрии точки по заданным ее ортогональным проекциям (рис. 93,а) начинаем с определения ее вторичной проекции (рис. 93,б). Для этого на аксонометрической оси х от начала координат откладываем величину координатХ точкиА – Х A ; по осиy – отрезокY A (для диметрииY A ×0.5 , т.к. показатель искажения по этой осиm=0.5 ).

В пересечении линий связи, проведенных параллельно осям из концов отмеренных отрезков, получают точку А 1 - вторичную проекцию точкиА .

Аксонометрия точки А будет находиться на расстоянииZ A от вторичной проекции точкиА .

Рисунок 93

3.2 Аксонометрия отрезка прямой (рис. 94)

Находим вторичные проекции точек А, В . Для этого откладываем вдоль осейх иу соответствующие координаты точекА иВ . Затем отмечают на прямых, проведенных из вторичных проекций параллельно осиz , высоты точекА иВ (Z A иZ B ).Соединяем полученные точки – получаем аксонометрию отрезка.

Рисунок 94

3.3 Аксонометрия плоской фигуры

На рис. 95 показано построение изометрической проекции треугольника АВС . Находим вторичные проекции точекА, В, С . Для этого откладываем вдоль осейх иу соответствующие координаты точекА, В иС . Затем отмечаем на прямых, проведенных из вторичных проекций параллельно осиz , высоты точекА, В иС . Полученные точки соединяем линиями – получаем аксонометрию отрезка.

Рисунок 95

Если плоская фигура лежит в плоскости проекций, то аксонометрия такой фигуры совпадает с ее проекцией.

3.4 Аксонометрия окружностей, расположенных в плоскостях проекций

Окружности в аксонометрии изображаются в виде эллипсов. Для упрощения построений построение эллипсов заменяется построением овалов, очерченных дугами окружностей.

Прямоугольная изометрия окружности

	На рис. 96 в		прямоугольной
	изометрии изображен куб, в грани
	которого			окружности.
			прямоугольной
	изометрии будут ромбами, а
	окружности – эллипсами. Длина
	большой оси эллипса равна 1.22d ,
	где d - диаметр окружности. Малая
	ось составляет 0.7 d .
				показано
	построение овала, лежащего в
	плоскости, параллельной π 1 . Из
	точки пересечения осей О проводят
	вспомогательную			окружность	Рисунок 96
	диаметром d , равным действитель-

ной величине диаметра изображаемой окружности, и находят точки n пересечения этой окружности с аксонометрическими осямих иу .

Из точек О 1 , О 2 пересечения вспомогательной окружности с осьюz , как

из центров радиусом R =О 1 n= О 2 n , проводят две дугиnDn ипСп окружности, принадлежащие овалу.

	Из центра О радиусомОС ,
	равным половине малой оси овала,
	засекают на большой оси овала
	точки О 3 иО 4 . Из этих точек
	радиусом r = О3 1 = О3 2 = О4 3
	О 4 4 проводят две дуги. Точки1, 2, 3
	и 4 сопряжений дуг радиусовR иr
	находят, соединяя точки О 1 иО 2 с
	точками О 3 иО 4 и продолжая		Рисунок 97
	прямые до пересечения с дугами
	пСп и nDn.
	Аналогичным образом строят овалы,		расположенные в
	плоскостях, параллельных плоскостям π 2 ,		и π 3 , (рисунок 98).

Построение овалов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостям π 2 иπ 3 , начинают с проведения горизонтальнойАВ и вертикальнойСD осей овала:

АВ осиx для овала, лежащего в плоскости, параллельной плоскостямπ 3 ;

АВ осиy для овала, лежащего в плоскости, параллельной

плоскостям π 2 ; Дальнейшие построения овалов аналогичны построениям овала,

лежащего в плоскости, параллельной π1 .

Рисунок 98

Прямоугольная диметрия окружности (рис. 99)

На рис. 99 в прямоугольной изометрии изображен куб с ребром α , в грани которого вписаны окружности. Две грани куба изобразятся в виде равных параллелограммов со сторонами0,94d и0,47 d, третья грань - в виде ромба со сторонами, равными 0,94d . Две окружности, вписанные в грани куба, проецируются в виде одинаковых эллипсов, третий эллипс по форме близок к окружности.

Направление больших
эллипсов (как и в изометрии)
перпендикулярно
ветствующим аксонометрическим
осям, малые оси параллельны
аксонометрическим осям.
трех эллипсов равен
диаметру окружности,
малых осей		одинаковых
эллипсов равны d/3		размер малой
оси эллипса, близкого по форме к
окружности,				0,9d.
Практически		приведенных
показателях искажения			(1 и	0,5)	Рисунок 99
большие оси всех трех эллипсов

равны 1,06 d , малые оси двух эллипсов равны0,35 d, малая ось третьего эллипса равна0,94 d .

Построение эллипсов			в диметрии иногда заменяется более
простым построением овалов (рис. 100)
На рисунке 100		приведены примеры построения диметрических
проекций,		эллипсы заменены			построенными
упрощенным	способом.		Рассмотрим		построения

диметрической проекции окружности, расположенной параллельно плоскости π 2 (рисунок 100, а).

Через точку О проводим оси, параллельные осямх иz . Из центраО радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную окружность, которая пересекается с осями в точках1, 2, 3, 4 . Из точек1 и3 (по направлению стрелок) проводим горизонтальные линии до пересечения с осямиАВ иCD овала и получаем точкиО 1 , О 2 , О 3 , О 4 . Приняв за центры точкиО 1 , О 4 , радиусомR проводим дуги1 2 и3 4 . Приняв за центры точкиО 2 , О 3 , проводим радиусомR 1 замыкающие овал дуги.

Разберем упрощенное построение диметрической проекции окружности, лежащей в плоскости π 1 (рисунок 100, в).

Через намеченную точку О проводим прямые, параллельные осямх иy , а также большую ось овалаАВ перпендикулярно малой осиCD . Из центраО радиусом, равным радиусу данной окружности, проводим вспомогательную окружность и получаем точкиn иn 1.

На прямой, параллельной оси z , вправо и влево от центраO

откладываем отрезки, равные диаметру вспомогательной окружности, и получаем точки О 1 иО 2 . Приняв эти точки за центры, проводим радиусомR = О 1 n 1 дуги овалов. Соединяя точкиО 2 прямыми с концами дугиn 1 n 2 , на линии большой осиАВ овала получим точкиО 4 иО 3 . Приняв их за центры, проводим радиусомR 1 замыкающие овал дуги.

Рисунок 100

3.5 Аксонометрия геометрического тела

Аксонометрия шестигранной призмы (рис.101)

В основании прямой призмы лежит правильный шестиугольник

Для тoгo чтобы получить аксонометрическую проекцию пред­мета (рис. 106), необходимо мысленно: поместить предмет в сис­тему координат; выбрать аксонометрическую плоскость проекций и расположить предмет перед ней; выбрать направление парал­лельных проецирующих лучей, которое не должно совпадать ни с одной из аксонометрических осей; направить проецирующие лучи через все точки предмета и координатные оси до пересечения с аксонометрической плоскостью проекций, получив тем самым изображение проецируемого предмета и координатных осей.

На аксонометрической плоскости проекций получают изобра­жение - аксонометрическую проекцию предмета, а также про­екции осей систем координат, которые называют аксонометриче­скими осями.

Аксонометрической проекцией называется изображение, по­лученное на аксонометрической плоскости в результате парал­лельного проецирования предмета вместе с системой координат, которое наглядно отображает его форму.

Система координат состоит из трех взаимно пересекающихся плоскостей, которые имеют фиксированную точку - начало координат (точку О) и три оси (X, У, Z), исходящие из нее и расположенные под прямым углом друг к другу. Сис­тема координат позволяет производить измерения по осям, определяя положение предметов в пространстве.

Рис. 106. Получение аксонометрической (прямоугольной изометрической) проекции

Можно получить множество аксонометрических проекций, по- разному располагая предмет перед плоскостью и выбирая при этом различное направление проецирующих лучей (рис. 107).

Наиболее употребляемой является так называемая прямо­угольная изометрическая проекция (в дальнейшем будем использовать ее сокращенное название - изометрическая проек­ция). Изометрической проекцией (см. рис. 107, а) называется та­кая проекция, у которой коэффициенты искажения по всем трем осям равны, а углы между аксонометрическими осями составляют 120°. Изометрическая проекция получается с помощью па­раллельного проецирования.

Рис. 107. Аксонометрические проекции, установленные ГОСТ 2.317-69:
а - прямоугольная изометрическая проекция; б - прямоугольная диметрическая проекция;
в - косоугольная фронтальная изометриче­ская проекция;
г - косоугольная фронтальная диметрическая проекция

Рис. 107. Продолжение: д - косоугольная горизонтальная изометриче­ская проекция

При этом проецирующие лучи пер­пендикулярны аксонометрической плоскости проекций, а коор­динатные оси одинаково наклонены к аксонометрической плоско­сти проекций (cм. рис. 106). Если сравнить линейные размеры предмета и соответствующие им размеры аксонометрического изображения, то можно увидеть, что на изображении эти размеры меньше, чем действительные. Величины, показывающие отноше­ние размеров проекций отрезков прямых к действительным их размерам, называют коэффициентами искажения. Коэффициен­ты искажения (К) по осям изометрической проекции одинаковы и равны 0,82, однако для удобства построения используют так называемые практические коэффициенты искажения, которые равны единице (рис. 108).

Рис. 108. Положение осей и коэффициенты искажения изометрической проекции

Существуют изометрические, диметрические и триметрические проекции. К изометрическим проекциям относятся такие проекции, которые имеют одинаковые коэффициенты искажения по всем трем осям. Диметрическими проекциями называются такие проекции, у которых два коэффициента искажения по осям одинаковые, а величина третьего отличается от них. К триметрическим проекциям относятся проекции, у которых все коэффици­енты искажения различны.

Определите осей. Для этого начертите из точки О окружность произвольного радиуса. Центральный угол ее равен 360º. Разделите окружность на 3 равные , использовав в качестве базового радиуса ось ОZ. При этом угол каждого сектора будет равен 120º. Два радиуса как раз и представляют собой нужные вам оси ОX и OY.

Определите положение . Разделите углы между осями пополам. Соедините точку О с этими новыми точками тонкими линиями. Положение центра окружности зависит от условий . Отметьте его точкой и проведите к ней в обе стороны перпендикуляр. Эта линия определит положение большого диаметра.

Вычислите размеры диаметров. Они зависят от того, применяете вы коэффициент искажения или нет. В этот коэффициент по всем осям составляет 0,82, но довольно часто его округляют и принимают за 1. С учетом искажения большой и малый диаметры эллипса составляют соответственно 1 и 0,58 от исходного. Без применения коэффициента эти размеры составляют 1, 22 и 0, 71 диаметра первоначальной окружности.

Видео по теме

Обратите внимание

Для создания объемного изображения можно построить не только изометрическую, но и диметрическую проекцию, а также фронтальную или линейную перспективу. Проекции используются при построении чертежей деталей, а перспективы - в основном в архитектуре. Окружность в диметрии тоже изображается как эллипс, но там другое расположение осей и другие коэффициенты искажения. При выполнении различных видов перспектив учитываются изменения размеров при удалении от наблюдателя.

Для трёхмерных объектов и панорам.

Ограничения аксонометрической проекции

Изометрическая проекция в компьютерных играх и пиксельной графике

Рисунок телевизора в почти-изометрической пиксельной графике. У пиксельного узора видна пропорция 2:1

Примечания

1. По ГОСТ 2 .317-69 - Единая система конструкторской документации. Аксонометрические проекции.
2. Здесь горизонтальной называется плоскость, перпендикулярная оси Z (которая является прообразом оси Z").
3. Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek. Planar Geometric Projections and Viewing Transformations // ACM Computing Surveys (CSUR) : журнал. - ACM , декабрь 1978. - Т. 10. - № 4. - С. 465-502. - ISSN 0360-0300 . - DOI :10.1145/356744.356750
4. Jeff Green. GameSpot Preview: Arcanum (англ.) . GameSpot (29 февраля 2000).(недоступная ссылка - история ) Проверено 29 сентября 2008.
5. Steve Butts. SimCity 4: Rush Hour Preview (англ.) . IGN (9 сентября 2003). Архивировано
6. GDC 2004: The History of Zelda (англ.) . IGN (25 марта 2004). Архивировано из первоисточника 19 февраля 2012. Проверено 29 сентября 2008.
7. Dave Greely, Ben Sawyer.