Плоскость в пространстве различные виды уравнения плоскости. Различные уравнения плоскости в пространстве. Определение уравнения плоскости

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости .

Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) двумя своими точками M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

= ; (3.3)

3) точкой M 1 (x 1 , y 1 , z 1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

. (3.4)

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой .

Вектор a называется направляющим вектором прямой .

Параметрические получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . (3.5)

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y , приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий n = [n 1 , n 2 ], где n 1 (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 (A 2 , B 2 , C 2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x 1 , y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.

Пример 1.15 . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА (1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

Пример 1.16 . Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оz и образующей с плоскостью 2x+y- z-7=0 угол 60 о.

Решение. Плоскость, проходящая через ось Oz, задается уравнением Ax+By=0, где А и В одновременно не обращаются в нуль. Пусть В не
равно 0, A/Bx+y=0. По формуле косинуса угла между двумя плоскостями

Решая квадратное уравнение 3m 2 + 8m - 3 = 0, находим его корни
m 1 = 1/3, m 2 = -3, откуда получаем две плоскости 1/3x+y = 0 и -3x+y = 0.

Пример 1.17. Составьте канонические уравнения прямой:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Решение. Канонические уравнения прямой имеют вид:

где m, n, р - координаты направляющего вектора прямой, x 1 , y 1 , z 1 - координаты какой-либо точки, принадлежащей прямой. Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей. Чтобы найти точку, принадлежащую прямой, фиксируют одну из координат (проще всего положить, например, x=0) и полученную систему решают как систему линейных уравнений с двумя неизвестными. Итак, пусть x=0, тогда y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, откуда y=-1, z=1. Координаты точки М(x 1 , y 1 , z 1), принадлежащей данной прямой, мы нашли: M (0,-1,1). Направляющий вектор прямой легко найти, зная нормальные векторы исходных плоскостей n 1 (5,1,1) и n 2 (2,3,-2). Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Пример 1.18 . В пучке, определяемом плоскостями 2х-у+5z-3=0 и х+у+2z+1=0, найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку М(1,0,1).

Решение. Уравнение пучка, определяемого данными плоскостями, имеет вид u(2х-у+5z-3) + v(х+у+2z+1)=0, где u и v не обращаются в нуль одновременно. Перепишем уравнение пучка следующим образом:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Для того, чтобы из пучка выделить плоскость, проходящую через точку М, подставим координаты точки М в уравнение пучка. Получим:

(2u+v) × 1 + (-u + v) × 0 + (5u + 2v) × 1 -3u + v =0, или v = - u.

Тогда уравнение плоскости, содержащей M, найдем, подставив v = - u в уравнение пучка:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Т.к. u ¹ 0 (иначе v=0, а это противоречит определению пучка), то имеем уравнение плоскости x-2y+3z-4=0. Вторая плоскость, принадлежащая пучку, должна быть ей перпендикулярна. Запишем условие ортогональности плоскостей:

(2u+ v) × 1 + (v - u) × (-2) + (5u +2v) × 3 = 0, или v = - 19/5u.

Значит, уравнение второй плоскости имеет вид:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 или 9x +24y + 13z + 34 = 0.

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Определение уравнения плоскости

Определение 1

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Теорема 1

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А, В, С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Пример 1

Общим уравнениям плоскости x - 2 · y + 3 · z - 7 = 0 и - 2 · x + 4 · y - 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А, B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Пример 2

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y - 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x - y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А, В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = (A , B , C) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = (cos α , cos β , cos γ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = (cos α , cos β , cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Пример 3

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида - 1 4 · x - 3 4 · y + 6 4 · z - 7 = 0 . D = - 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = - 1 4 , - 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = - 1 4 2 + - 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Плоскость отсекает на координатных осях O х, O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Пример 4

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x - 5 + y - 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости.

В разделе плоскость в пространстве мы рассмотрели плоскость с позиций геометрии. В этой статье мы взглянем на плоскость с позиций алгебры, то есть, перейдем к описанию плоскости с помощью уравнения плоскости.

Сначала разберемся с вопросом: «Что такое уравнение плоскости»? После этого рассмотрим основные виды уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного плостранства.

Навигация по странице.

Уравнение плоскости – определение.
Общее уравнение плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках.
Нормальное уравнение плоскости.

Уравнение плоскости – определение.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz и задана плоскость.

Плоскость, как и любая другая геометрическая фигура, состоит из точек. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Между координатами каждой точки плоскости можно установить зависимость с помощью уравнения, которое называют уравнением плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x , y и z , которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Осталось выяснить, какой вид имеет уравнение плоскости. Ответ на этот вопрос содержится в следующем пункте этой статьи. Забегая вперед, отметим, что уравнение плоскости может быть записано по-разному. Существование различных видов уравнения плоскости обусловлено спецификой решаемых задач.

К началу страницы

Общее уравнение плоскости.

Приведем формулировку теоремы, которая дает нам вид уравнения плоскости.

Теорема.

Всякое уравнение вида , где A , B , C и D – некоторые действительные числа, причем А , В и C одновременно не равны нулю, определяет плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве, и всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде .

Следует заметить, что уравнение вида , где - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства и эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости и задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Немного поясним смысл озвученной теоремы. В прямоугольной системе координат Oxyz каждой плоскости соответствует ее уравнение общего вида , а каждому уравнению соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Другими словами, плоскость и ее общее уравнение неразделимы.

Если все коэффициенты А , В , С и D в общем уравнении плоскости отличны от нуля, то оно называется полным . В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным .

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz , уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy , а общее уравнение плоскости вида соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A , B и C в общем уравнении плоскости представляют собойкоординаты нормального вектора плоскости.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

К началу страницы

Раздел 5. Аналитическая геометрия.

1. Различные уравнения плоскости в пространстве

2. Частные случаи общего уравнения плоскости

3. Взаимное расположение двух плоскостей

4. Расстояние от точки до плоскости

5. Различные уравнения прямой в пространстве

6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

8. Различные уравнения прямой линии на плоскости

9. Геометрическая задача линейного программирования

Различные уравнения плоскости в пространстве.

В предыдущих параграфах говорилось о том, что каждой точке пространства ставится в соответствие упорядоченный набор чисел – её координаты. Естественно предположить, что если точки, обнаруживая некоторую закономерность, «выстраиваются» в виде некоторой линии или поверхности, то и их координаты также будут демонстрировать эту закономерность, удовлетворяя, как правило, некоторому уравнению, которое и называется уравнением этой линии, или поверхности.

Рассмотрим сначала пространство R 3 – реальное трёхмерное пространство (в котором мы живём). Простейшей поверхностью в пространстве является плоскость. Плоскость может быть задана различными способами, этим способам соответствуют различные формы уравнений этой плоскости. В частности, плоскость вполне

Определена, если известна какая-нибудь

точка М 0 , лежащая на этой плоскости

(она называется опорной ), и какой-нибудь

вектор, от которого требуется лишь одно

Рис.1 – он должен быть перпендикулярен

плоскости. Такой вектор называется вектором нормали и обычно обозначается (см. рис. 1).

Составить уравнение плоскости – значит охарактеризовать некоторым уравнением все точки плоскости. Для этого берём из этого бесчисленного множества точек любую (так сказать, представителя этого множества) и составляем для неё (т.е. для её координат) на основе замеченной закономерности уравнение. Поскольку точка была любой, то это уравнение будет справедливым и для всех точек плоскости.

Возьмём произвольную точку М (см. рис.1). Теперь образуем вектор . Ясно, что . Воспользуемся условием перпендикулярности двух векторов – их скалярное произведение равно нулю:

(1)

Уравнение (1) называют векторным уравнением плоскости. Это уравнение справедливо в любой системе координат.

Рассмотрим теперь уравнение (1) в декартовой системе координат. Пусть точка М 0 имеет координаты , координаты вектора принято обозначать: . Т.к. точка М – произвольная, её координаты: , следовательно, . Тогда формула (1) примет вид

его будем называть уравнением плоскости с опорной точкой и вектором нормали. Раскроем скобки в уравнении (2):

Обозначив, получим

Уравнение (3) называется общим уравнением плоскости. Отсюда видно, что всякое уравнение первой степени представляет собой плоскость.

Хорошо известно, что три точки однозначно определяют плоскость.

М 1

М 2 Пусть точки М 1 , М 2 , М 3 образуют

некоторую плоскость (т.е. не лежат

М 3 на одной прямой). Составим

уравнение этой плоскости

Рис. 2 (см. рис.2). Для этого возьмём

произвольную точку М, лежащую в плоскости и рассмотрим три вектора Поскольку М принадлежит плоскости, векторы эти компланарны, а условием компланарности трёх векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

Уравнение (4) – ещё одно векторное уравнение плоскости, справедливое для любой системы координат. В декартовой системе координат пусть , ; тогда

И уравнение (4) выглядит следующим образом:

X – x 1 y – y 1 z – z 1

x 2 – x 1 y 2 – y 1 z 2 – z 1 = 0 (5)

x 3 – x 1 y 3 – y 1 z 3 – z 1

Уравнение (5) называют уравнением плоскости, проходящей через три точки.

Пример 1 . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1,2,-3) перпендикулярно вектору

Решение . Воспользовавшись уравнением (2), получим уравнение плоскости

Заметим, что в уравнении могут отсутствовать некоторые переменные.

Пример 2 . Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору

Решение. Воспользуемся уравнением (2): Заметим, что в уравнении отсутствует свободный член (точнее, свободный член равен нулю).

Пример 3 . Написать уравнение плоскости, проходящей через три точки А(1,1,3), В(0,2,3), С(1,5,7).

Решение. Воспользуемся уравнением (5):

Вычислим определитель разложением по первой строке:

5.2. Частные случаи общего уравнения плоскости.

Возьмём общее уравнение плоскости и рассмотрим несколько его частных случаев.

1) D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

(6)

Ясно, что этому уравнению всегда удовлетворяет точка О(0,0,0) – начало координат. Итак, если в уравнении плоскости свободный член равен нулю, то плоскость проходит через начало координат.

2) С = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

(7)

Это означает, что вектор нормали имеет следующие координаты Нетрудно увидеть, что - вектор нормали перпендикулярен базисному вектору , т.е. оси oz, т.к. их скалярное произведение равно нулю: Теперь понятно,

что плоскость параллельна оси oz (рис.3).

Аналогично, если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ; если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ.

Итак, если в уравнении плоскости равен нулю коэффициент при некотором неизвестном, то плоскость параллельна одноименной оси координат.

3)Пусть равны нулю два параметра – свободный член и один коэффициент, например, С = = 0. Уравнение плоскости имеет вид

(8)

Из предыдущего ясно, что С =0 означает, что плоскость параллельна оси oz, а = 0 означает, что плоскость проходит через начало координат. Объединяя оба замечания, получаем, что плоскость проходит через ось oz.

Общий вывод: если в уравнении равны нулю свободный член и коэффициент при каком-нибудь неизвестном, то плоскость проходит через соответствующую ось координат.

4) Пусть равны нулю два коэффициента при неизвестных, например А = В =0, т.е. уравнение плоскости имеет вид

. (9)

Учитываем предыдущие рассуждения: если А = 0, то плоскость параллельна оси ОХ; если В = 0, то плоскость параллельна оси ОУ, следовательно, если

А = В = 0, то плоскость параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. перпендикулярна оси

Z ОZ и отсекает на этой оси отрезок,

D/С равный – D/С (см. рис.4).

Отсюда следует:

х = 0 – уравнение координатной плоскости yoz,

у = 0 – уравнение координатной плоскости хоz,

z = 0 – уравнение координатной плоскости уоz.

5.3. Взаимное расположение двух плоскостей.

Взаимное расположение двух плоскостей определяется с помощью угла между ними (см. рис.5. Вообще говоря, можно увидеть два угла,

которые плоскости образуют

между собой – угол и

Дополнительный угол .

Один из них – острый, другой

тупой (в случае перпендикулярности

Плоскостей оба угла совпадают).

Под углом между двумя плоскостями понимается всегда острый угол . Этот угол вычисляется с помощью угла между векторами нормалей (через скалярное произведение векторов нормалей):

(10)

На рис. 6 угол . Однако, в качестве вектора нормали к плоскости можно взять вектор . Тогда формула (10) даст косинус угла . Косинусы углов и будут отличаться лишь знаком. Поэтому, если мы хотим получить острый угол, то в формуле (10) скалярное произведение надо взять по абсолютной величине (по модулю):

(11)

Формулу (11) легко переписать в координатной форме. Пусть плоскости задаются уравнениями и . Таким образом, имеем два вектора нормалей: и По формуле (11) получим:

(12)

Теперь нетрудно получить два крайних случая: перпендикулярность и параллельность плоскостей. Если плоскости перпендикулярны, то

условие перпендикулярности плоскостей. Если плоскости параллельны, то векторы нормалей коллинеарны: , т.е. их координаты пропорциональны:

(14)

условие параллельности плоскостей.

Пример 4 . Даны три плоскости

Найти углы между этими плоскостями.

Решение . Имеем три вектора нормалей Нетрудно заметить, что , т.е. плоскости параллельны. Найдём угол между плоскостями

5.4. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть требуется найти расстояние от

точки до плоскости.

Уравнение плоскости возьмём в виде

Уравнения с опорной точкой

И вектором нормали , т.е.

Как известно, расстояние равно длине перпендикуляра (рис. 5). Для наглядности начало вектора поместим в точку . Построим прямоугольник и увидим, что - проекции вектора на вектор нормали (см. рис. 5).

Вспоминаем определение скалярного произведения векторов:

(15)

Вновь замечаем, что на рис. 5 векторы образуют острый угол и потому является положительным числом. Если в качестве вектора нормали взять противоположный вектор (см. рис.5), то формула (15) даст отрицательное число, но расстояние есть число положительное, поэтому для расстояния d от точки до плоскости надо применять формулу

Распишем формулу (16) в координатной форме:

Скобку мы ранее обозначали буквой D. Поэтому получаем формулу

, - (17)

для нахождения расстояния от точки до плоскости заданной общим уравнением, надо в общее уравнение плоскости подставить координаты точки , поделить на длину вектора нормали и взять по модулю.

Пример 5 . Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение . Воспользуемся формулой (17):

5.5. Различные уравнения прямой в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно

Задать с помощью опорной точки , (т.е.

М точка лежит на прямой) и вектора , от

рис. 6 которого требуется одно – он должен

быть параллелен прямой. Такой вектор называется направляющим вектором прямой (см. рис. 6).

Для составления уравнения возьмём произвольную точку М, принадлежащую прямой, - получим вектор . Векторы и . – коллинеарны (параллельны), следовательно имеет место соотношение

где - некоторое число. Уравнение (18) называется векторным уравнением прямой. Оно будет справедливо в любом пространстве и не зависит от выбора системы координат.

Обозначим соответствующие координаты:

Тогда уравнение (18) имеет вид: или

Это обычно записывают в следующих формах:

(19)

Уравнения (19) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве ( - параметр).

Если из этих уравнений исключить параметр , то получим:

(20)

это так называемые канонические уравнения прямой в пространстве. От канонических легко перейти к параметрическим уравнениям прямой – достаточно все уравнения (20) приравнять параметру .

Важный для практики случай, когда прямая задаётся двумя точками , легко сводится к формуле (20), - стоит лишь заметить, что в качестве направляющего вектора можно взять вектор , а опорной точкой можно считать любую из них. Пусть тогда и опорной точкой возьмём , тогда из формулы (20) имеем:

(21)

Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

5.6. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Две прямые в пространстве могут

пересекаться, быть параллельными и

Скрещивающимися.

Пусть даны канонические уравнения двух прямых т.е. с опорными точками и направляющими векторами = .

Если т.е. , то прямые параллельны и даже могут совпадать. Подставим координаты опорной точки в уравнение прямой (или наоборот). Если точка лежит на прямой , то прямые совпадают, в противном случае – параллельны.

Пусть теперь т.е. векторы не параллельны (не коллинеарны). Тогда прямые могут пересекаться или скрещиваться. Как различить эти случаи? Делается это с помощью вектора (см. рис. 7). Ясно, что если прямые пересекаются, то векторы находятся в одной плоскости (точнее, они параллельны одной плоскости – компланарны). Условием компланарности векторов является равенство нулю их смешанного произведения:

(22)

Итак, если и выполняется (22), то прямые пересекаются; в случае не выполнения равенства (22) прямые скрещиваются.

Заметим, что во всех рассмотренных случаях взаимного расположения прямых можно вычислять угол между прямыми. Угол между прямыми определяется с помощью скалярного произведения их направляющих векторов:

(23)

Числитель взят по модулю для того, чтобы (как и для плоскостей) угол получался острым (в крайнем случае прямым).

Пример 6 . Выяснить взаимное расположение трёх прямых:

Решение . По данным уравнениям определяем опорные точки и направляющие векторы:

Легко заметить, что следовательно, прямые или параллельны или совпадают. Подставим координаты точки в уравнение - получили неверные равенства, следовательно, параллельны.

Возьмём и проверим условие (22):

, следовательно, скрещиваются.

Теперь проверим условие (22) для

следовательно, пересекаются.

5.7. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться и тогда возникают вопросы нахождения угла между прямой и плоскостью и координатах точки их пересечения. Прямая и плоскость могут быть параллельными, в частном случае, прямая лежит в плоскости. Рассмотрим все эти случаи.

Угол между прямой и плоскостью (см. рис. 8) определяется с

Помощью вектора нормали

Плоскости и направляющего вектора

Прямой: и направляющего вектора прямой что на плоскости (в двумерном направляющий вектор прямой, М (х, у) – произвольная точка прямой.Если в уравнении (32) раскрыть скобки и обозначить

уравнение прямой с опорной точкой и вектором нормали.

(36)

где общее уравнение прямой на плоскости.

Угол между двумя прямыми можно вычислять привычным для нас способом – с помощью скалярного произведения направляющих векторов прямых или их векторов нормали. Если две прямые заданы каноническими уравнениями

И т.е. направляющие векторы прямых, то (см. рис.10)

(37)