Основные пути построения науки аксиоматический экспериментальный. Становление и развитие понятия аксиоматического метода, определение слова. Смотреть что такое "аксиоматический метод" в других словарях

Аксиоматический метод впервые был успешно применен Евклидом для построения элементарной геометрии. С того времени этот метод претерпел значительную эволюцию, нашел многочисленные приложения не только в математике, но и во многих разделах точного естествознания (механика, оптика, электродинамика, теория относительности, космология и др.).

Развитие и совершенствование аксиоматического метода происходило по двум основным линиям: во-первых, обобщения самого метода и, во-вторых, разработки логической техники, используемой в процессе вывода теорем из аксиом. Чтобы яснее представить характер происшедших изменений, обратимся к первоначальной аксиоматике Евклида. Как известно, исходные понятия и аксиомы геометрии у него интерпретируются одним-единственным образом. Под точкой, прямой и плоскостью как основными понятиями геометрии подразумеваются идеализированные пространственные объекты, а сама геометрия рассматривается как учение о свойствах физического пространства. Постепенно выяснилось, что аксиомы Евклида оказываются верными не только для описания свойств геометрических, но и других математических и даже физических объектов. Так, если под точкой подразумевать тройку действительных чисел, под прямой, плоскостью - соответствующие линейные уравнения, то свойства всех этих негеометрических объектов будут удовлетворять геометрическим аксиомам Евклида. Еще более интересной является интерпретация этих аксиом с помощью физических объектов, например состояний механической и физико-химической системы или многообразия цветовых ощущений. Все это свидетельствует о том, что аксиомы геометрии можно интерпретировать с помощью объектов самой различной природы.

Такой абстрактный подход к аксиоматике в значительной мере был подготовлен открытием неевклидовых геометрий Н. И. Лобачевским, Я. Бойаи, К. Ф. Гауссом и Б. Риманом. Наиболее последовательное выражение новый взгляд на аксиомы как абстрактные формы, допускающие множество различных интерпретаций, нашел в известной работе Д. Гильберта «Основания геометрии» (1899г.). «Мы мыслим, - писал он в этой книге, - три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С,...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем а, b, с,...; вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем а, В, у,...». Отсюда видно, что под «точкой», «прямой» и «плоскостью» можно подразумевать любые системы объектов. Важно только, чтобы их свойства описывались соответствующими аксиомами. Дальнейший шаг на пути отвлечения от содержания аксиом связан с их символическим представлением в виде формул, а также точным заданием тех правил вывода, которые описывают, как из одних формул (аксиом) получаются другие формулы (теоремы). В результате этого содержательные рассуждения с понятиями на такой стадии исследования превращаются в некоторые операции с формулами по заранее предписанным правилам. Иначе говоря, содержательное мышление отображается здесь в исчислении. Аксиоматические системы подобного рода часто называют формализованными синтаксическими системами, или исчислениями.

Все три рассмотренных типа аксиоматизации находят применение в современной науке. К формализованным аксиоматическим системам прибегают главным образом при исследовании логических оснований той или иной науки. Наибольший размах такие исследования получили в математике в связи с обнаружением парадоксов теории множеств. Значительную роль формальные системы играют при создании специальных научных языков, с помощью которых удается максимальным образом устранить неточности обычного, естественного языка.

Некоторые ученые считают этот момент чуть ли не главным в процессе применения логико-математических методов в конкретных науках. Так, английский ученый И. Вуджер, являющийся одним из пионеров использования аксиоматического метода в биологии, полагает, что применение этого метода в биологии и других отраслях естествознания состоит в создании научно совершенного языка, в котором возможно исчисление. Основой для построения такого языка служит аксиоматический метод, выраженный в виде формализованной системы, или исчисления. В качестве алфавита формализованного языка служат исходные символы двух типов: логические и индивидуальные.

Логические символы отображают логические связи и отношения, общие для многих или большинства теорий. Индивидуальные символы обозначают объекты исследуемой теории, например математической, физической или биологической. Подобно тому как определенная последовательность букв алфавита образует слово, так и конечная совокупность упорядоченных символов образует формулы и выражения формализованного языка. Для отличия осмысленных выражений языка вводят понятие правильно построенной формулы. Чтобы закончить процесс построения искусственного языка, достаточно четко описать правила вывода или преобразования одних формул в другие и выделить некоторые правильно построенные формулы в качестве аксиом. Таким образом, построение формализованного языка происходит так же, как и построение содержательной аксиоматической системы. Поскольку содержательные рассуждения с формулами в первом случае недопустимы, то логический вывод следствий сводится здесь к выполнению точно предписанных операций обращения с символами и их комбинациями.

Главная цель использования формализованных языков в науке - критический анализ рассуждений, с помощью которых получается новое знание в науке. Поскольку в формализованных языках отображаются некоторые аспекты содержательных рассуждений, то они могут быть использованы также для оценки возможностей автоматизации интеллектуальной деятельности.

Абстрактные аксиоматические системы получили наибольшее применение в современной математике, для которой характерен чрезвычайно общий подход к предмету исследования. Вместо того чтобы говорить о конкретных числах, функциях, линиях, поверхностях, векторах и тому подобных объектах, современный математик рассматривает различные множества абстрактных объектов, свойства которых точно формулируются с помощью аксиом. Такие совокупности, или множества, вместе с описывающими их аксиомами теперь часто называют абстрактными математическими структурами.

Какие преимущества аксиоматический метод даст математике? Во-первых, он значительно расширяет границы применения математических методов и зачастую облегчает процесс исследования. При изучении конкретных явлений и процессов в той или иной области ученый может воспользоваться абстрактными аксиоматическими системами как готовыми орудиями анализа. Убедившись в том, что рассматриваемые явления удовлетворяют аксиомам некоторой математической теории, исследователь может без дополнительной трудоемкой работы сразу же воспользоваться всеми теоремами, которые следуют из аксиом. Аксиоматический подход избавляет специалиста конкретной науки от выполнения довольно сложного и трудного для него математического исследования.

Для математика этот метод дает возможность глубже понять объект исследований, выделить в нем главные направления, понять единство и связь разных методов и теорий. Единство, которое достигается с помощью аксиоматического метода, по образному выражению Н. Бурбаки, не есть единство, «которое дает скелет, лишенный жизни. Это питательный сок организма в полном развитии, податливый и плодотворный инструмент исследования...». Благодаря аксиоматическому методу, особенно в его формализованном виде, становится возможным полностью раскрыть логическую структуру различных теорий. В наиболее совершенном виде это относится к математическим теориям. В естественнонаучном знании приходится ограничиваться аксиоматизацией основного ядра теорий. Далее, применение аксиоматического метода дает возможность лучше контролировать ход наших рассуждений, добиваясь необходимой логической строгости. Однако главная ценность аксиоматизации, особенно в математике, состоит в том, что она выступает как метод исследования новых закономерностей, установления связей между понятиями и теориями, которые раньше казались обособленными друг от друга.

Ограниченное применение аксиоматического метода в естествознании объясняется прежде всего тем, что его теории постоянно должны контролироваться опытом.

В силу этого естественнонаучная теория никогда не стремится к полной законченности и замкнутости. Между тем в математике предпочитают иметь дело с системами аксиом, которые удовлетворяют требованию полноты. Но как показал К. Гёдель, всякая непротиворечивая система аксиом нетривиального характера не может быть полной.

Требование непротиворечивости системы аксиом гораздо существеннее требования их полноты. Если система аксиом будет противоречивой, она не будет представлять никакой ценности для познания. Ограничиваясь неполными системами, можно аксиоматизировать лишь основное содержание естественнонаучных теорий, оставляя возможность для дальнейшего развития и уточнения теории экспериментом. Даже такая ограниченная цель в ряде случаев оказывается весьма полезной, например для обнаружения некоторых неявных предпосылок и допущений теории, контроля полученных результатов, их систематизации и т.п.

Наиболее перспективным применение аксиоматического метода оказывается в тех науках, где используемые понятия обладают значительной стабильностью и где можно абстрагироваться от их изменения и развития.

Именно в этих условиях становится возможным выявить формально-логические связи между различными компонентами теории. Таким образом, аксиоматический метод в большей мере, чем гипотетико-дедуктивный, приспособлен для исследования готового, достигнутого знания.

Анализ возникновения знания, процесса его формирования требует обращения к материалистической диалектике, как наиболее глубокому и всестороннему учению о развитии.

Муниципальное образовательное учреждение.

Вознесенская средне образовательная школа.

Реферат по математике

на тему «Аксиоматика и аксиоматический метод»

ученика 7 класса Каера Евгения Викторовича.

Руководитель Пузикова Н. В.

с. Вознесенка, 2007 г.

изучение аксиоматического метода и его применений в различных областях знаний.

· Выяснить, что такое аксиоматика.

· Рассмотреть применения аксиоматического метода в геометрии

· Научиться применять аксиоматический метод.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

2. Аксиоматический метод - важнейший научный метод.

3. Аксиоматический метод в геометрии.

4. Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

6. Литература.

1. Введение. Что такое аксиоматика.

Аксиома-это некоторые утверждения о свойствах вещей, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых далее доказываются теоремы и, вообще, строится вся теория.

Аксиоматика – система аксиом той или иной науки. Например, аксиоматика элементарной геометрии содержит около двух десятков аксиом. аксиоматика числового поля-9 аксиом. Наряду с ними важнейшую роль в современной математике играет аксиоматика группы, аксиоматика метрического и векторного пространств и др.

Советским математикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежит заслуга аксиоматического описания теории вероятностей. Десятки других направлений современной математики также развиваются на аксиоматической основе, т.е. на базе соответствующей системы аксиом.

2. Аксиоматический метод – важнейший научный метод

Аксиоматический метод - важный научный инструмент познания мира. Большинство правлений современной математики, теоретическая механика и ряд разделов современной физики строится на основе аксиоматического метода. В самой математике аксиоматический метод дает законченное, логически стройное построение научной теории. Не меньшее значение имеет и то, что математическая теория, построенная аксиоматически, находит многократные приложения и в естествознании.

Современная точка зрения на аксиоматическое построение какой-либо области знаний заключается в следующем:

1. Перечисляются первоначальные (неопределяемые) понятия;

2. Указывается список аксиом, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями;

3. С помощью определений вводятся дальнейшие понятия;

4. Исходя из первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты – теоремы.

Первоначальные понятия и аксиомы заимствованы из опыта. Поэтому очевидно, что все последующие факты, выводимые в аксиоматической теории, хотя их получают на основе аксиом чисто умозрительным, дедуктивным путем, имеют тесную связь с жизнью и могут быть применены в практической деятельности человека.

Важнейшим требованием к системе аксиом является ее непротиворечивость, которую можно понимать так: сколько бы мы ни выводили теорем из этих аксиом, среди них не будет двух теорем, противоречащих друг другу. Противоречивая аксиоматика не может служить основой построения содержательной теории.

Развив ту или иную аксиоматическую теорию, мы можем, не проводя повторных рассуждений, утверждать, что ее выводы имеют место в каждом случае, когда справедливы рассматриваемые аксиомы. Таким образом, аксиоматический метод позволяет целые аксиоматически развитые теории применять в различных областях знаний. В этом состоит сила аксиоматического метода.

3. Аксиоматический метод в геометрии

При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. Напомним, что аксиомами называются те основные положения геометрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так называемыми основными понятиями они образуют фундамент для построения геометрии. Первые основные понятия, с которыми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксиомах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даем определения новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.

Для примера рассмотрим аксиому параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Утверждения, которые выводятся непосредственно из аксиом называются следствиями. Рассмотрим некоторые следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

4.Исследовательская работа. Применение аксиоматического метода в шахматном турнире.

Чтобы объяснить подробнее, как применяется аксиоматический метод, приведем пример. Допустим, несколько школьников решили организовать шахматный турнир по упрощенной схеме: каждый должен сыграть ровно четыре партии с кем-либо из остальных участников (а белыми или черными фигурами –по жребию).Чтобы составить расписание турнира, нужно сформулировать требования, которые ученики предъявили к турниру, в виде аксиом. Для этого потребовалось ввести три первоначальных (неопределяемых) понятия: «игрок», «партия», «участие игрока в партии». Аксиом получилось четыре:

Аксиома 1. Число игроков нечетно.

Аксиома 2. Каждый игрок участвует в четырех партиях .

Аксиома 3. В каждой партии участвуют два игрока .

Аксиома 4. Для каждых двух игроков имеется не более одной партии, в которой они оба участвуют.

Из этих аксиом можно вывести ряд теорем.

Теорема 1.Число игроков не меньше пяти .

Доказательство. Так как нуль- четное число, то по аксиоме 1 число игроков не равно нулю, т.е. существует хотя бы один игрок А. Этот игрок в силу аксиомы 2 участвует в четырех партиях, причем в каждой из этих партий, кроме А, участвует еще один игрок (аксиома 3). Пусть В,С,Д,Е - игроки, отличные от А, которые участвуют в этих партиях. По аксиоме 4 все игроки В,С,Д,Е различны (если бы, например, было В=С, то оказалось бы, что имеются две партии, в которых участвуют игрок А и игрок В=С).Итак, мы нашли уже пятерых игроков: А,В,С,Д,Е. Но тогда по аксиоме 1 число игроков не меньше пяти.

Теорема.2. Число всех выступлений игроков четно .

q- некоторая партия, введем новое понятие - (q,А)- выступление игрока.

Доказательство. Каждая партия дает два выступления игроков (q,А),(q,В),(по аксиоме 3), число всех выступлений 2n, где n число игроков (А 4). Следовательно, число всех выступлений игроков кратно 2, т.е. четно.

Теорема3.Число выигрышей в турнире не превышает число игроков.

Доказательство. Пусть п - число игроков, тогда 2п - число выступлений игроков (А), п - число сыгранных партий(А3). Рассмотрим два случая:

1. Во всех партиях были победитель и проигравший. Тогда число выигрышей будет равно числу партий, т.е. п.

2. Некоторые партии закончились вничью, пусть таких партий будет к. Тогда в оставшихся п - к партиях был выявлен победитель, т.е. число выигрышей не превышает число партий. Теорема доказана.

Прочитав литературу, я узнал, что такое аксиома, что такое аксиоматический метод и, как он применяется в геометрии. Изучив аксиоматический метод я применил его к исследованию шахматного турнира.

Литература.

Энциклопедический словарь юного математика

/Сост. Э- 68 А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989.

Геометрия, 7-9: Учеб. Для общеобразоват. Учереждений /Л.С. Атанасян и др. Просвещение, 2004.

В математике АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим, остававшимся единственным вплоть до ХIХ века образцом применения АКСИОМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА была геометрическая система, известная под названием «НАЧАЛ» ЕВКЛИДА (около 300 лет до новой эры)

Среди аксиом Евклида была так называемая «аксиома о параллельных прямых» (она же - «пятый постулат Евклида»). Сегодня она формулируется так: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной» (у Евклида была несколько иная формулировка, но эквивалентная этой, как показали более поздние ученые).

По своему характеру эта аксиома сильно отличалась от остальных его аксиом, была сложнее их. Многие математики в течение почти двух тысяч лет предпринимали попытки доказать этот постулат, исходя из остальных аксиом. И лишь в 19 веке было окончательно выяснено (и в чем состоял выдающийся вклад русского математика Николая Лобачевского), что данную аксиому нельзя вывести из остальных аксиом геометрии.

Наконец, на рубеже 19–20 веков немецкий математик Давид Гильберт, во-первых, записал евклидову геометрию в виде формальной аксиоматической теории (дописав, в том числе, некоторые недостающие аксиомы), а во-вторых, показал, что эта теория полна, то есть всякое утверждение можно в данной теории либо доказать, либо опровергнуть (то есть доказать его

отрицание). Это было одним из величайших вкладов в развитие аксиоматического метода и подтолкнуло к последовавшей формализации всей математики.

Аксиоматический метод - это способ построения и систематизации научного знания в форме так называемых аксиоматических теорий, при котором некоторые утверждения выбираются в качестве исходных положений (аксиом), а все остальные утверждения (теоремы) этой теории доказывают (или выводят), исходя лишь из аксиом с помощью чисто логических рассуждений.

И аксиомы, и теоремы - это высказывания (утверждения) на некотором языке о некоторых понятиях (или терминах). Поэтому, прежде чем формулировать аксиомы и доказывать теоремы, мы должны договориться, о каких именно понятиях пойдет речь. Понятия делятся на два вида: одни обозначают объекты, которыми занимается теория, другие

обозначают отношения между ними.

Одни понятия можно определять через другие. В какой-то момент необходимо остановиться и объявить некоторые понятия неопределяемыми (или исходными), и через них определять все остальные понятия (определяемые или производные), о которых говорится в данной теории.

Итак, чтобы пользоваться аксиоматическим методом построения теории, нужно:

(1) выбрать исходные понятия;

(2) сформулировать аксиомы («исходные» утверждения) об этих понятиях;

(3) выводить новые утверждения (теоремы) о них, пользуясь логикой и аксиомами.

В пунктах (2) и (3) можно вводить новые понятия (определяемые) через исходные и определенные ранее. Ввод новых понятий не добавляет новой информации, так как всегда можно заменить употребление этих понятий на их определение через исходные. Однако их использование позволяет сделать формулировки утверждений и доказательств короче и понятней. При этом надо следить, чтобы понятия вводились «последовательно» - каждое «следующее» новое понятие определялось через «ранее» определенные, то есть чтобы не возникал «порочный круг» (одно понятие определяется через второе, второе - через третье, и т.д., последнее - через первое).

Аналогично, в пункте (3) можно опираться не только на выбранные аксиомы, но и на доказанные «ранее» теоремы. Это позволяет делать доказательства более краткими, не доказывая одни и те же утверждения повторно.

Аксиоматический метод применяется не на этапе нового знания, а на этапе систематизации уже добытого знания. Аксиоматический метод можно образно представить как метод «шлифовки» уже добытого, но еще не оформленного, не систематизированного достаточно полно знания. Однако это только одна сторона дела. В результате «шлифовки», т.е. применения аксиоматического метода, теория приобретает логическую завершенность и такую форму, которая необходимо ведет к поиску нового зна-ния, выводит на конструирование новых математических теорий. Соответствующая функция аксиоматизации проявляется не сразу, так как она сама как метод формализации тоже развивается, т.е. аксиоматизация выступает в двух аспектах: и как результат формализации и как средство познания

Как полуформальная, так и формальная аксиоматизация в качестве предмета изучения использует интерпретацию. Метод интерпретации позволяет выработать способы истолкования, определения исходных понятий одной системы средствами другой, уже известной системы. Интерпретация как метод познания действительности применялся математикой давно. При интерпретации первоначальных объектов математики происходит соотнесение их с реальными объектами, благодаря чему знание о них становится более содержательным. Однако такая соотнесенность имеет опосредованный характер и ограниченное число интерпретаций, вплоть до единичной, что связано со спецификой объектов определенной конкретной области. При интерпретации более высоких уровней абстрактных объектов, образующих уже систему формализованную, возможна целая совокупность, множество интерпретаций, среди которых выделяются математические и естественнонаучные. Одни математические структуры интерпретируются другими математическими структурами.

Для формальной теории истинность теоремы означает, прежде всего, её доказуемость. Для содержательной теории утверждение истинно, если оно истинно в любой модели данной теории. Таким образом, и для любой формальной теории возникают a’ priori два понимания “истинности” формулы: доказуемость и тождественная истинность (истинность при любой интерпретации рассматриваемой теории).

Интерпретация формальной теории (или модель теории )определяется понятию интерпретации для множества формул исчисления предикатов. Не вдаваясь в формальности, ограничимся только намёком: модель теории (или интерпретация) – это некоторое множество вместе с зафиксированными на нём конкретными константами, предикатами и функциями для всех выделенных константных, предикатных и функциональных символов, участвующих в аксиомах теории. При этом требуется, чтобы все аксиомы теории в любой интерпретации этой теории представляли собой истинные в этой модели утверждения .

17. Метод интерпретации. Формальная аксиоматическая теория.

Интерпретация в математике, логике - совокупность значений (смыслов), придаваемых тем или иным способом элементам (выражениям, формулам, символам и т. д.) какой-либо естественнонаучной или абстрактно-дедуктивной теории. В тех же случаях, когда такому «осмыслению» подвергаются сами элементы этой теории, то говорят также об интерпретации символов, формул и т. д.

Конец XIX – начало XX вв.

Стремление к формальному построению аксиоматических теорий;

Поиск новых средств и методов обоснования математики в связи с парадоксами теории множеств;

Понимание того, что метод доказательства с помощью моделей и интерпретаций имеет лишь относительный характер (аксиоматика Пеано, непротиворечивость арифметики целых чисел)

Вариант формализованной аксиоматики осуществляется путем замены содержательных исходных положений (аксиом) и исходных объектов формулами и символами.

Знаки и формулы этого языка не несут никакого содержательного смысла.

Вывод: Математическая теория, непротиворечивость которой требовалось доказать, стала предметом другой математической теории, которую Гильберт назвал математикой или теорией доказательств.

К. Гёдель – математик и логик.

Выводы из теории Гёделя:

Любая формула, отношение которой невыводимо, является выполнимой;

Непротиворечивость формализованной системы ведет к ее неполноте.

Любая процедура доказательства истинных утверждений элементарной теории чисел заведомо неполна. Для любых систем доказательств существуют истинные утверждения, которые даже в таком определенном направлении математики остаются недоказуемыми.

Гёдель делает вывод об ограниченности аксиоматического метода.

18. История возникновения фрактальной геометрии. Значение фрактальной геометрии.

Понятие фрактал, появилось в конце 70-х годов 20 в.. Оно было введено в обращение в 1975 году французским математиком польского происхождения Бенуа Мандельбротом для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Важную роль в широком распространении идей фрактальной геометрии сыграла книга Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы». В работах Б. Мандельброта использованы научные результаты, полученные многими учеными. Это объясняется тем, что самому факту появления фракталов более ста лет. Однако появление их в математической литературе было встречено с неприязнью. Общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей математических причуд, а не для подлинных ученых. Заслуга Б. Мандельброта в том, что ему удалось собрать разрозненные сведения, объединить их в единую систему, увидеть общее в многообразии, указать на важность своего открытия.

История развития идей фрактальной геометрии тесно связана с именами таких известных математиков, как К. Вейерштрасс, Г. Кантор, Дж. Пеано, Ф. Хаусдорф, А.С. Безикович, Х. Кох, В. Серпинский и др. Так К. Вейерштрасс впервые ввел в обращение непрерывную, но нигде не дифференцированную функцию. Ф. Хаусдорф в 1919 г. ввел понятие о дробной размерности множеств и привел примеры таких множеств. Среди них были канторовское множество, кривая Коха и другие математические объекты. Идеи Ф. Хаусдорфа впоследствии были существенно развиты А.С. Безиковичем.

Большой вклад в будущую фрактальную геометрию внесли работы французских математиков Г. Жулиа и П. Фату, которые в начале ХХ века занимались теорией рациональных отображений в комплексной плоскости. Практически полностью забытая, их деятельность получила неожиданное развитие в начале восьмидесятых годов, когда с помощью компьютеров математикам удалось получить прекрасные картины, показывающие примеры таких отображений.

В настоящее время язык фрактальной геометрии широко используется

в физике:

– при изучении поглощения или рассеяния излучения в пористых средах;

– для характеристики сильно развитой турбулентности;

– при моделировании свойств поверхности твердых тел;

– для описания диэлектрического пробоя и молнии;

– при анализе процессов усталостного разрушения материалов;

– при исследовании различных стадий роста вещества за счет диффузии;

в астрономии :

– при описании процессов кластеризации галактик во Вселенной;

в картографии:

– при изучении форм береговых линий и разветвленной сети речных русел;

в биологии:

– при анализе строения кровеносной системы или рассмотрении сложных поверхностей клеточных мембран.

Вопрос 19 Геометрические фракталы: триадная кривая Кох.

Геометрические фракталы самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором . За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Коха . Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис. 1.6) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент , обозначенный на рис.1 через n=1 . В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3 . Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n -го поколения при любом конечном n называется предфракталом . На рис. 1.6 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом.

20. Геометрические фракталы: салфетка Серпинского.

Рассмотрим самоподобную фигуру, придуманную польским математиком В.Серпинским (1882–1969).

Она получается из квадрата последовательным вырезанием серединных квадратов. Проследим построения нового квартала более подробно. Разделим данный квадрат на девять равных квадратов и квадрат, расположенный в середине, вырежем. Получим квадрат с пустотой (рис . 10а). Для оставшихся восьми квадратов вновь повторим указанную процедуру. Разделим каждый из них на девять равных квадратов и серединные квадраты удалим (рис . 10б). Повторяя похожие построения, будем получать все более “дырявую” фигуру (рис . 10в). То, что остается после всех вырезаний, и будет ковром Серпинского.

Рис . 10

Поскольку вырезаемые квадраты располагаются все более часто, то в результате на ковре (салфетке) Серпинского не будет ни одного, даже самого маленького, квадрата без «дырки».

Начиная не с квадрата, а с равностороннего треугольника, и вырезая центральные треугольники, получим еще одну самоподобную фигуру, аналогичную ковру Серпинского. Она носит название «салфетки Серпинского» (рис. 11).

Рис . 11

21. Фрактал Кантора.

Георг Кантор (1845-1918) явился одним из основателей теории множеств. Он также придумал один из старейших фракталов - множество Кантора (описано им в 1883) (называют иногда пылью). Фрактальные свойства пыли Кантора имеют огромное значение, особенно учитывая тот факт, что многие известные фракталы являются близкими родственниками этого фрактала.

Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Способ построения этого множества следующий. Берётся отрезок прямой единичной длины. Затем он делится на три равные части, и вынимается средний отрезок. Это первый шаг итерационной процедуры. На втором шаге подобной процедуре деления на три равные части и последующего удаления середины подвергается каждый из двух оставшихся отрезков. Так продолжая до бесконечности, получим множество Кантора. Нетрудно заметить, что суммарная длина получившихся в пределе отрезков равна нулю, так кам мы исключили в результате длину, равную 1:

Проведём построение более формально на множестве. Берём отрезок единичной длины . Удаляем из него открытый интервал , получая . На следующем и всех остальных шагах вы выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Т. о. на втором шаге мы имеем . Предельное множество , которое представляет собой пересечение множеств , , и представляет собой пыль Кантора.

Множество Кантора имеет мощность континуума. Для этого необходимо установить взаимно однозначное соответствие между точками из множества Кантора и точками отрезка . Будем представлять все точки отрезка в виде двоичной дроби, а точки пыли Кантора в виде троичной дроби. В случае, когда точка имеет два представления, мы будем всегда выбирать то, которое заканчивается всеми единицами в двоичном виде и всеми двойками в троичном. Заметим, что точка попадает в множество Кантора тогда и только тогда, когда в ее троичном представлении присутствуют только нули и двойки, поэтому искомое соответствие осуществляется заменой всех двоек в троичном представлении на единицы. Описанная процедура и определяет ваимно однозначное соответствие между множеством Кантора и отрезком .

Непосредственно с множеством Кантора связана чёртова лестница .

22. Фрактальная размерность. Примеры вычисления размерности фракталов.

Фрактал – множество с дробной размерностью.

Фрактал – множество, размерность Хайсдорфа-Безиковича которого строго больше топологической размерности.

Типы размерности:

1) Евклидова: минимальное число координат, необходимых для однозначного определения положения точки;

2) Тополог.: размерность любого множества на 1 больше размерности разреза, делящего его на две несвязнае части (тополог.размерность отрезка-1, топол.разм. квадрата-2, плоскости-2);

3) Размерность самоподобия . Размерность самоподобия – один из частных случаев фрактальной размерности.

Размерность Хаусдорфа - естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве.

Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой - единице, размерность гладкой поверхности - двум и размерность множества ненулевого объёма - трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

23. Алгебраические фракталы: метод построения алгебраических фракталов.

Свое название эти фракталы получили за то, что их строят на основе алгебраических формул.

Примеры: множество Мандельброта, множество Жюлиа, фрактал Ньютона.

Метод:

1. Выбирается формула (функция), в нее подставляется число и получается результат.

2. Полученный результат подставляется в эту же формулу и получается следующее число.

3. Повторение процедуры.

4. Получается набор чисел, являющихся точками фрактала.

Функция для разных точек может иметь разное поведение:

1. Стремится к бесконечности.

2. Стремится к 0.

3. Принимает несколько фиксированных значений.

4. Хаотичное поведение.

24 вопрос. Множество Мандельброта (один из самых известных фрактальных объектов) впервые было построено (визуально с применением ЭВМ) Бенуа Мандельбротом весной 1980 г. в исследовательском центре фирмы IBM им. Томаса Дж. Уотсона. И хотя исследования подобных объектов начались ещё в прошлом веке, именно открытие этого множества и совершенствование аппаратных средств машинной графики в решающей степени повлияли на развитие фрактальной геометрии и теории хаоса. Итак, что же такое множество Мандельброта.

Рассмотрим функцию комплексного переменного . Положим и рассмотрим последовательность , где для любого . Такая последовательность может быть ограниченной (т.е. может существовать такое r, что для любого ) либо "убегать в бесконечность" (т.е. для любого r > 0существует ). Множество Мандельброта можно определить как множество комплексных чисел c, для которых указанная последовательность является ограниченной. К сожалению, не известно аналитического выражения, которое позволяло бы по данному c определить, принадлежит ли оно множеству Мандельброта или нет. Поэтому для построения множества используют компьютерный эксперимент: просматривают с некоторым шагом множество точек на комплексной плоскости, для каждой точки проводят определённое число итераций (находят определённое число членов последовательности) и смотрят за её "поведением". (Рис. 4).

Доказано, что множество Мандельброта размещается в круге радиуса r=2 с центром в начале координат. Таким образом, если на некотором шаге модуль очередного члена последовательности превышает 2, можно сразу сделать вывод, что точка, соответствующая c, определяющему данную последовательность, не принадлежит множеству Мандельброта.

Уменьшая шаг, с которым просматриваются комплексные числа, и увеличивая количество итераций, мы можем получать сколь угодно подробные, но всегда лишь приближённые изображения множества.

Пусть в нашем распоряжении имеется N цветов, занумерованных для определённости от 0 до N-1. Будем считать, опять же для определённости, что черный цвет имеет номер 0. Если для данного c после N-1 итераций точка не вышла за круг радиуса 2, будем считать, что c принадлежит множеству Мандельброта, и покрасим эту точку c в чёрный цвет. Иначе, если на некотором шаге k (k Є ) очередная точка вышла за круг радиуса 2 (т.е. на k-ом шаге мы поняли, что она "убегает"), покрасим её в цвет k.

Красивые изображения получаются при удачном выборе палитры и окрестности множества (а именно вне множества мы и получим "цветные точки). (Рис. 5, 6).

Рис. 5 Рис. 6

25. Основные понятия теории узлов

Модель узла - замкнутая, несамопересекающаяся кривая в пространстве.

Узел – это замкнутая линия в пространстве, гладкая или ломаная, которая может быть как угодно закручена и переплетена.

Под развязыванием узла будем понимать выпрямление этого отрезка путем деформации его в трехмерном пространстве.

тривиальный узел (окружность)

Изображение узла называется диаграммой узла.

Зацеплением называется конечный набор замкнутых непересекающихся ориентированных ломаных в пространстве.

Два узла называются изотопными (эквивалентными), если от одного к другому можно перейти последовательно выполняя преобразования, которые называются элементарными изотопиями.

Два узла изотопны, если один узел можно перевязать в другой, не разрезая его и не допуская самопересечений.

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются...

(греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Научная значимость A.M. была обоснована еще Аристотелем, который первым разделил все множество истинных высказываний на основные (“принципы”) и требующие доказательства (“доказываемые”). В своем развитии A.M. прошел три этапа. На первом этапе A.M. был содержательным, аксиомы принимались на основании их очевидности. Примером такого дедуктивного построения теории служат “Начала” Евклида. На втором этапе Д. Гильберт внес формальный критерий применения A.M. - требование непротиворечивости, независимости и полноты системы аксиом. На третьем этапе A.M. становится формализованным. Соответственно, изменилось и понятие “аксиома”. Если на первом этапе развития A.M. она понималась не только как отправной пункт доказательств, но и как истинное положение, не нуждающееся в силу своей очевидности в доказательстве, то в настоящее время аксиома обосновывается в качестве необходимого элемента теории, когда подтверждение последней рассматривается одновременно как подтверждение ее аксиоматических оснований как исходного пункта построения. Помимо основных и вводимых утверждений в A.M. стал выделяться также уровень специальных правил вывода. Таким образом наравне с аксиомами и теоремами как множеством всех истинных утверждений данной теории формулируются аксиомы и теоремы для правил вывода - метааксиомы и метатеоремы. К. Геделем в 1931 была доказана теорема о принципиальной неполноте любой формальной системы, ибо в ней содержатся неразрешимые предложения, которые одновременно недоказуемы и неопровержимы. Учитывая накладываемые на него ограничения, А. М. рассматривается как один из основных методов построения развитой формализованной (а не только содержательной) теории наряду с гипотетико-дедуктивным методом (который иногда трактуется как “полуаксиоматический”) и методом математической гипотезы. Гипотетико-дедуктивный метод, в отличие от A.M., предполагает построение иерархии гипотез, в которой более слабые гипотезы выводятся из более сильных в рамках единой дедуктивной системы, где сила гипотезы увеличивается по мере удаления от эмпирического базиса науки. Это позволяет ослабить силу ограничений A.M.: преодолеть замкнутость аксиоматической системы за счет возможности введения дополнительных гипотез, жестко не связанных исходными положениями теории; вводить абстрактные объекты разных уровней организации реальности, т.е. снять ограничение на справедливость аксиоматики “во всех мирах”; снять требование равноправности аксиом. С другой стороны, A.M., в отличие от метода математической гипотезы, акцентирующего внимание на самих правилах построения математических гипотез, относящихся к неисследованным явлениям, позволяет апеллировать к определенным содержательным предметным областям.

В.Л. Абушенко

Аксиоматический Метод

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без...

Один из способов дедуктивного построения научных теорий, при к-ром: 1) выбирается нек-рое множество принимаемых без доказательства предложений определенной теории (аксиом); 2) входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории; 3) фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других; 4) все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из (1) на основе (3). Первые представления об А. м. возникли в Древн. Греции (Элеаты, Платон. Аристотель, Евклид). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных разделов философии и науки (Спиноза, Ньютон и др) Для этих исследований было характерно содержательное аксиоматическое построение определенной теории (и только ее одной), при этом осн внимание уделялось определению и выбору интуитивно очевидных аксиом Начиная со второй половины 19 в, в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. 20 в - как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, к-рые ей удовлетворяют. При этом осн. внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т д В связи с тем что знаковые системы могут рассматриваться или вне зависимости от содержания, к-рое может быть в них представлено, или с его учетом, различаются синтаксические и семантические аксиоматические системы (лишь вторые представляют собой собственно научные знания) Это различение вызвало необходимость формулирования осн. требований, предъявляемых к ним, в двух планах синтаксическом и семантическом (синтаксическая и семантическая непротиворечивость, полнота, независимость аксиом и т д) Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, гл из к-рых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (напр, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок В последние 30-40 лет большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и др, включая теории структуры и динамики научного знания. При исследовании естественнонаучного (вообще любого нематематического) знания А. м. выступает в форме гипотетико-дедуктивно-го метода (см. также Формализация)

Аксиоматический Метод

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты,...

Способ построения теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны выводиться чисто логическим путем.

Аксиоматический Метод

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные...

Способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств. Положения, доказываемые на основе аксиом, называются теоремами.

А. м. – особый способ определения объектов и отношений между ними (см.: Аксиоматическое определение). А. м. используется в математике, логике, а также в отдельных разделах физики, биологии и др. А. м. зародился еще в античности и приобрел большую известность благодаря “Началам” Евклида, появившимся около 330 – 320 гг. до н. э. Евклиду не удалось, однако, описать в его “аксиомах и постулатах” все свойства геометрических объектов, используемые им в действительности; его доказательства сопровождались многочисленными чертежами. “Скрытые” допущения геометрии Евклида были выявлены только в новейшее время Д. Гильбертом (1862-1943), рассматривавшим аксиоматическую теорию как формальную теорию, устанавливающую соотношения между ее элементами (знаками) и описывающую любые множества объектов, удовлетворяющих ей. Сейчас аксиоматические теории нередко формулируются как формализованные системы, содержащие точное описание логических средств вывода теорем из аксиом. Доказательство в такой теории представляет собой последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих формул последовательности по одному из принятых правил вывода.

К аксиоматической формальной системе предъявляются требования непротиворечивости, полноты, независимости системы аксиом и т. д.

A.M. является лишь одним из методов построения научного знания. Он имеет ограниченное применение, поскольку требует высокого уровня развития аксиоматизируемой содержательной теории.

Как показал известный математик и логик К. Гёдель, достаточно богатые научные теории (напр., арифметика натуральных чисел) не допускают полной аксиоматизации. Это свидетельствует об ограниченности A.M. и невозможности полной формализации научного знания (см.: Гёделя теорема).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (от греч. axioma) - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями. Впервые ярко продемонстрирован Евклидом в его «Началах», хотя понятия аксиомы и постулата упоминаются уже Аристотелем. У древних греков аксиомой называлось ясно сформулированное положение, настолько самоочевидное, что его не доказывают и кладут в основу других доказательств. Постулат - утверждение о возможности выполнить некоторое построение. Поэтому «Целое больше части» - аксиома, а «Из данной точки данным радиусом можно описать окружность» - постулат. В дальнейшем понятие аксиомы поглотило понятие постулата, поскольку не были осознаны понятия дескриптивности и конструктивности (аксиома описывает, постулат строит). Почти все аксиомы эллинской геометрии были сформулированы настолько четко и удачно, что не вызывали сомнений. Однако одно из положений Евклида, а именно пятый постулат, эквивалентный утверждению «Через точку, лежащую вне прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну», с самого начала вызывало сомнения. Более того, до Евклида эллины исследовали все три возможные гипотезы: 1) нельзя провести ни одной параллельной прямой, 2) можно провести больше одной и 3) можно провести лишь одну параллельную прямую; но Евклид осознанно выбрал одну формулировку, поскольку лишь в таком случае существовал квадрат и понятие подобия фигур. В дальнейшем наличие альтернатив было забыто, и пятый постулат неоднократно пытались доказать. Вплоть до 17 в. А. м. мало развивался. Евклид и Архимед сформулировали аксиомы статики и оптики, а в дальнейшем, в связи с общей тенденцией к комментаторству и канонизации, исследования перелагали, либо, в лучшем случае, анализировали старые системы аксиом. Неудивительно, что новая математика начала с отказа от А. м., и анализ бесконечно малых развивался как неформализованная теория. Была понята сомнительность аксиомы «Целое меньше части», поскольку Николай Кузанский и вслед за ним Галилей показали, что для бесконечных совокупностей целое может быть изоморфно части. Но это открытие было недооценено, потому что слишком хорошо согласовывалось с христианской религией (с концепциями различных ипостасей бесконечного Бога). Далее, неудача Спинозы в попытках вывести геометрическим, чисто рассудочным методом систему этики и метафизики показала неприменимость существующего А. м. к гуманитарным понятиям.

Возвращение к А. м. произошло в 19 в. Оно базировалось на двух открытиях - неевклидовой геометрии (переоткрывшей то, что было известно до Евклида, но потом напрочь забыто), и абстрактной алгебре. В неевклидовой геометрии (Г а у с с, Лобачевский, Бойяи) было показано, что одно из отрицаний пятого постулата - а именно то, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести две прямые, параллельные данной - совместимо с остальными аксиомами геометрии. Таким образом, те аксиомы и постулаты, которые создавались, чтобы описать «единственно истинное» пространство, на самом деле описывают целый класс различных пространств. В абстрактной алгебре появились новые числовые системы, причем сразу целые их семейства (напр., р-адические числа) и переменные структуры типа групп. Свойства переменных структур естественно было описывать при помощи аксиом, но теперь уже никто не настаивал на их самоочевидности, а рассматривали их просто как способ описания класса математических объектов. Напр., полугруппа определяется единственной аксиомой - ассоциативности умножения: а° (Ь о с) = (а о Ь) о С. В самой геометрии наступил черед критического переосмысления классических аксиом. Э. Паш показал, что Евклид не усмотрел еще один постулат, столь же интуитивно очевидный, как и описанные им: «Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она пересечет и другую». Далее было показано, что один из признаков равенства треугольников нужно принять в качестве аксиомы, иначе теряется строгость доказательств, поскольку из остальных аксиом не следует возможность перемещения фигур. Была отброшена аксиома «Целое меньше части», как не имеющая смысла с точки зрения новой математики, и заменена на несколько положений о соотношении мер фигур. И, наконец, Д. Гильберт сформулировал новую аксиоматику геометрии, базирующуюся на высших достижениях математики 19 в.

В эллинские времена и позже понятие числа не описывалось аксиоматически. Только в конце 19 в. Дж. Пеано (Италия) дал аксиоматику натуральных чисел. Аксиоматики Пеано и Гильберта содержат по одному принципу высшего порядка, говорящему не о фиксированных понятиях, а о произвольных понятиях либо совокупностях. Напр., в арифметике - это принцип математической индукции. Без принципов высших порядков однозначное описание стандартных математических структур невозможно.

А. м. был использован для спасения теории множеств после нахождения связанных с нею парадоксов. Спасение само по себе производилось не лучшим способом - латанием парадигмы. Те из принципов теории множеств, которые казались не приводящими к парадоксам и обеспечивали необходимые для математики построения, были приняты в качестве аксиом. Но при этом А. м. был обобщен на логику. Д. Гильберт явно сформулировал аксиомы и правила вывода классической логики высказываний, а П. Бернайс - логики предикатов. Ныне аксиоматическое задание является стандартным способом определения новых логик и новых алгебраических понятий.

Современный А. м. отличается от традиционного тем, что явно задаются не только аксиомы, но и язык, а в логике - еще и правила вывода описываемой теории либо системы. Пересмотренный и усиленный А. м. стал мощным оружием в таких новых областях знания, как когнитивная наука и математическая лингвистика. Он позволяет низводить семантические проблемы на уровень синтаксических и тем самым помогать их решению.

В последние десятилетия по мере развития теории моделей А. м. стал в обязательном порядке дополняться теоретико-модельным. Формулируя аксиоматическую систему, нужно описать и совокупность ее моделей. Минимально необходимым обоснованием системы аксиом служит ее корректность и полнота на заданном классе моделей. Но для применений недостаточно такого формального обоснования - нужно также показать содержательный смысл построенной системы и ее выразительные возможности.

Основным математическим ограничением А. м. служит то, что логика высших порядков неформализуема и неполна, а без нее описать стандартные математические структуры нельзя. Поэтому в тех областях, где есть конкретные числовые оценки, А. м. не может быть применен к полному математическому языку. В таких областях возможна лишь неполная и непоследовательная, так называемая частичная либо содержательная, аксиоматизация.

Неформализуемость понятий сама по себе, как ни странно, не препятствует применению А. м. к данным понятиям. Все равно при работе в фиксированной обстановке есть смысл переходить к гораздо более эффективным формальным моделям. В данном случае положительной чертой формализмов часто может являться их несоответствие реальной ситуации. Формализмы не могут полностью соответствовать содержанию понятий, но если эти несоответствия спрятаны, то формализмами часто продолжают пользоваться и после того, как обстановка перестала быть подходящей для их применения, и даже в ситуации, с самого начала не подходящей для их использования. Подобные опасности существуют и для частичных формализации.

• - аксиоматический метод, не фиксирующий жестко применяемого языка и тем самым не фиксирующий границы содержательного понимания предмета, но требующий аксиоматич...

  Математическая энциклопедия

• - метод математических рассуждений, основанный на логическом выводе из некоторых утверждений...

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - способ построения науч. теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или постулаты, из которых все остальные утверждения этой теории должны...

  Философская энциклопедия

• - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений, из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения этой...

  Новейший философский словарь

• - АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД - принятое положение - способ построения научной теории, при котором в доказательствах пользуются лишь аксиомами, постулатами и ранее выведенными из них утверждениями...

  Энциклопедия эпистемологии и философии науки

• - способ построения научной теории, при котором какие-то положения теории избираются в качестве исходных, а все остальные ее положения выводятся из них чисто логическим путем, посредством доказательств...

  Словарь логики

• - см. МЕТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ...

  Энциклопедия социологии

• - способ построения науч. теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путём логич. дедукции получать утверждения данной теории...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - МЕ́ТОД АКСИОМАТИЧЕСКИЙ способ построения теории, при к-ром в ее основу кладутся нек-рые ее положения – аксиомы или постулаты, – из к-рых все остальные положения теории выводятся путем...

  Философская энциклопедия

• - способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения - аксиомы, или Постулаты, из которых все остальные утверждения этой науки) должны выводиться чисто...
• - см. Аксиоматический метод...

  Большая Советская энциклопедия

• - способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом...

  Современная энциклопедия

• - способ построения научной теории в виде системы аксиом и правил вывода, позволяющих путем логической дедукции получать утверждения данной теории...

  Большой энциклопедический словарь

• - то же, что аксиоматичный...

  Толковый переводоведческий словарь

• - Способ исследования, состоящий в том, что множество элементов или объектов разбивается на части. Одна часть рассматривается как исходные положения – аксиомы, принимаемые без доказательств...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

• - ...

  Орфографический словарь русского языка

"аксиоматический метод" в книгах

Аксиоматический метод

Из книги Истории давние и недавние автора Арнольд Владимир Игоревич

Аксиоматический метод Первая школьная неприятность была вызвана правилом умножения отрицательных чисел. Я тотчас начал расспрашивать отца, чем объясняется это странное правило. Мой отец, как верный ученик Эмми Нётер (и, следовательно, Гильберта и Дедекинда) стал

1. Этика Б. Спинозы. Аксиоматический метод доказательства морали

Из книги Этика: конспект лекций автора Аникин Даниил Александрович

1. Этика Б. Спинозы. Аксиоматический метод доказательства морали Основная установка мыслителей Нового времени предпо–лагала выведение морали из природы, что часто становилось сведением ее к естественнонаучному знанию. Стремление придать этике статус строгой научной

76. Метод анкетирования, интервьюирование, целевой метод, метод комиссий и конференций

автора Ольшевская Наталья

76. Метод анкетирования, интервьюирование, целевой метод, метод комиссий и конференций При проведении метода анкетирования эксперты заполняют предварительно составленные специалистами анкеты, в которых: формулировки должны исключать смысловую неопределенность;

93. Балансовый метод, метод меньших чисел, метод среднего квадратического

Из книги Экономический анализ. Шпаргалки автора Ольшевская Наталья

93. Балансовый метод, метод меньших чисел, метод среднего квадратического Балансовый метод состоит в сравнении, соизмерении двух комплексов показателей, стремящихся к определенному равновесию. Он позволяет выявить в результате новый аналитический (балансирующий)

Акселерированный метод нейрообучения Эрика Дженсена и ИЛПТ как интенсивный метод обучения

Из книги Психология речи и лингвопедагогическая психология автора Румянцева Ирина Михайловна

Акселерированный метод нейрообучения Эрика Дженсена и ИЛПТ как интенсивный метод обучения Современное образование непрерывно ищет пути своей модернизации и, соответственно, новые методы обучения. Для этих целей оно обращается к различным отраслям науки и на их основе

2.3. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов

Из книги автора

2.3. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов Итак, при помощи коэффициента с(а, b) можно достаточно уверенно различать зависимые и независимые пары летописных династий. Важный экспериментальный факт состоит в том, что

2.5. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов

Из книги автора

2.5. Метод датирования царских династий и метод обнаружения фантомных династических дубликатов Итак, при помощи коэффициента с(а, b) можно достаточно уверенно различать зависимые и независимые пары летописных династий. Важный экспериментальный факт состоит в том, что

Аксиоматический метод

Из книги Большая Советская Энциклопедия (АК) автора БСЭ

Формальный аксиоматический метод

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ФО) автора БСЭ

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД

Из книги Новейший философский словарь автора Грицанов Александр Алексеевич

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД (греч. axioma - значимое, принятое положение) - способ построения теории, при котором некоторые истинные утверждения избираются в качестве исходных положений (аксиом), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные

27. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод Крамера

Из книги Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике автора Яковлева Ангелина Витальевна

27. Классический метод наименьших квадратов для модели множественной регрессии. Метод Крамера В общем виде линейную модель множественной регрессии можно записать следующим образом:yi=?0+?1x1i+…+?mxmi+?i, где yi – значение i-ой результативной переменной,x1i…xmi – значения факторных

25. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗРАБОТКИ ПРОДУКТА. МЕТОД «МОЗГОВОЙ АТАКИ» И ОЦЕНОЧНОЙ ШКАЛЫ

Из книги Маркетинг: Шпаргалка автора Автор неизвестен

25. МОРФОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД РАЗРАБОТКИ ПРОДУКТА. МЕТОД «МОЗГОВОЙ АТАКИ» И ОЦЕНОЧНОЙ ШКАЛЫ 1. Описание проблемы без предложения каких-либо решений.2. Разложение проблемы на отдельные компоненты, которые могут влиять на решение.3. Предложение альтернативных решений для

Глава 1 Аксиоматический метод

Из книги Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы автора Фресан Хавьер

Глава 1 Аксиоматический метод Со времен греков говорить «математика» - значит говорить «доказательство». Николя Бурбаки Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на поиски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за

3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ РАЗУМ

Из книги Компьютерная лингвистика для всех: Мифы. Алгоритмы. Язык автора Анисимов Анатолий Васильевич

3. АКСИОМАТИЧЕСКИЙ РАЗУМ.... машина мира слишком сложна для человеческого разума X. Л.Борхес. Ад В мире нет ничего более удивительного, чем сознание, разум человека; тем большее удивление вызывает то, что в своей глубинной основе оно обусловлено весьма простыми

12.9. Аксиоматический метод

Из книги Феномен науки. Кибернетический подход к эволюции автора Турчин Валентин Фёдорович

12.9. Аксиоматический метод Для древних греков объекты математики имели реальное существование в «мире идей». Некоторые свойства этих объектов представлялись умственному взору совершенно неоспоримыми и объявлялись аксиомами, другие - неочевидные - следовало