Какое высказывание является истинным. Что такое истинное высказывание. Основные законы классической логики высказываний

Урок №2

Алгебра высказываний. Логические операции.

(урок комбинированный, включающий повторение предыдущей темы,

введение нового материала и закрепление)

Цель урока: Сформировать у учащихся понятия: логическое высказывание, логические операции.

Задачи урока :

Повторить основные материалы 1 урока (формы человеческого мышления: понятие, суждение, умозаключение);

Познакомить с определением алгебры высказываний;

Познакомить с основными логическими операциями.

Требования к знаниям и умениям:

Учащиеся должны знать:

Что изучает алгебра высказываний и что является объектом изучения алгебры высказываний;

Значения понятий: логическое высказывание, логические операции;

Таблицы истинности логических операций.

Учащиеся должны уметь:

Приводить примеры логических высказываний;

Определять значения логических высказываний;

Называть логические операции и строить для них таблицы истинности.

Этапы урока

I. Организационный момент. Постановка цели урока. 2 мин.

II. Повторение. 7мин.

III. Проверка домашнего задания. 5 мин.

IV. Введение нового материала. 20 мин.

V. Закрепление. 7 мин.

VI. Подведение итогов урока. 3 мин.

VII. Постановка домашнего задания. 1 мин.

Ход урока

II. Повторение .

1) Повторение основных определений и понятий 1 урока:

· Понятие – форма мышления, в которой отражены существенные признаки объектов.

o Объём понятия – множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, составляющие содержание понятия.

Привести примеры .

· Суждение (высказывание, утверждение) - форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах или отношениях между ними.

o Форма суждения – это его строение, способ связи его составных частей.

· Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение (вывод умозаключения)

- Определите, какие из перечисленных фраз являются высказываниями и почему?

1. Как хорошо быть генералом!

3. Познай самого себя.

4. Все медведи живут на севере.

5. Революция не может быть мирной и бескровной.

(Примеры 1 и 3 не являются высказываниями, т. к. являются восклицательным и побудительным предложениями соответственно).

- Теперь определите, простые или составные суждения даны .

(В 5 примере можно разбить на два простых утверждения, значит, оно составное.)

- Определите значения высказываний (истина или ложь).

На 6 примере убеждаемся, что содержание высказывания часто субъективная характеристика. Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне науки логики. Например, опираясь на свой жизненный опыт, мы присваиваем определённое значение суждению 6.

Русские пословицы как в примере 4 будут всегда истинны, т. к. опираются на жизненный опыт целых поколений людей.

В примере 7 значение высказывания решается в курсе геометрии, а в 5 утверждении в курсе истории.

Результаты оформляются в виде следующей таблицы:

Фразы	Высказывания	Истина или ложь	Простые высказывания
1. Как хорошо быть генералом!
2. Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
3. Познай самого себя.
4. Все медведи живут на севере.
5. Революция не может быть мирной и бескровной.
6. Талант всегда пробьёт себе дорогу.
7. Сумма углов треугольника равна 1800.

На прошлом уроке мы говорили, что каждое высказывание состоит из трех элементов:
субъекта, предиката и связки . Субъект (S) - понятие о предмете. Предикат (P) - понятие о свойствах и отношениях предмета. Связка - отношение между субъектом и предикатом.

Определите, что в простых высказываниях является субъектом, предикатом и связкой.

Без труда не выловишь и рыбку из пруда.

Все медведи живут на севере.

Талант всегда пробьёт себе дорогу.

Сумма углов треугольника равна 1800.

III. Проверка домашнего задания:

Карточка для домашней работы

1.Из приведенных простых высказываний составьте и запишите не менее 3-ёх составных высказываний:

1) Поедем на дачу.

2) Хорошая погода.

3) Плохая погода.

4) Мы поедем на пляж.

5) Антон приглашает нас в театр .

2. Выведите, если это возможно, заключение из каждой пары посылок:

А) Все птицы – животные.

Все воробьи – птицы.

Б) Некоторые уроки трудны.

Всё, что трудно, требует внимания.

В) Ни один добрый поступок не является незаконным.

Всё, что законно, можно делать без страха.

А) Тем, кто лыс, расчёска не нужна.

Ни одна ящерица не имеет волос.

Следовательно, ящерицам расчёска не нужна.

Б) Всем, кто отлично закончит 3 четверть, подарят компьютер.

Ты закончил 3 четверть без троек.

Значит, готовься получить в подарок компьютер.

VI. Объяснение нового материала

Алгебра высказываний

Идею о возможности математизации логики высказал еще в XVII веке. Он пытался создать универсальный язык, с помощью которого каждому понятию и высказыванию можно было бы дать числовую характеристику и установить такие правила оперирования с этими числами, которые позволили бы сразу определить, истинно данное высказывание или ложно. То есть споры между людьми можно было бы разрешать посредством вычислений. Идея Лейбница оказалось ложной, так как невозможно (не найдены способы) свести человеческое мышление к некоторому математическому исчислению.

Однако, подлинный прогресс этой науки был достигнут в середине XIX века прежде всего благодаря трудам Дж. Буля "Математический анализ логики". Он перенес на логику законы и правила алгебраических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.

В развитии математической логики приняли участие многие выдающиеся математики и логики конца XIX и XX веков, в том числе К. Гедель (австр.), Д. Гильберт (нем.), С. Клини (амер.), Э. Пост (амер.), А. Тьюринг (анг.), А. Чёрч (амер.), и многие другие.

Современная математизированная формальная логика представляет собой обширную научную область, которая находит широкое применение как внутри математики (исследование оснований математики), так и вне ее (синтез и анализ автоматических устройств, теоретическая кибернетика, в частности, искусственный интеллект).

Таким образом, объектами изучения алгебры логики являются высказывания.

Под высказыванием (суждением) будем понимать повествовательное предложение, относительно которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Обозначать высказывания будем большими латинскими буквами. Если высказывание А истинное, то будем писать "А = 1" и говорить: "А - истинно". Если высказывание Х ложно, то будем писать "Х = 0" и говорить "Х ложно".

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания «Сумма углов треугольника равно 180о» устанавливается геометрией, причём в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

Алгебра логики отвлекается от смыслового содержания высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание. Такое суждение интересов даёт возможность изучать высказывания алгебраическими методами.

Логические операции

В алгебре логики над высказываниями можно производить различные операции (как и в алгебре действительных чисел определены операции сложения, деления, возведения в степень над числами). Мы рассмотрим только некоторые, наиболее важные из них:

Дизъюнкция (логическое сложение)

Импликация (логическое следование)

Эквивалентность (логическое равенство)

1) Инверсия (логическое отрицание)

Инверсия (логическое отрицание) – это логическая операция, которая каждому данному высказыванию ставит в соответствие новое высказывание, которое истинно, если данное высказывание – ложно, и ложно, если данное высказывание истинно.

Логические операции задаются таблицами истинности и могут быть графически проиллюстрированы с помощью кругов Эйлера , названных в честь великого математика, физика и астронома Леонарда Эйлера ()

Обозначение инверсии: ; неА ; А; NOT А

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

Образуется из простого высказывания с помощью добавления частицы НЕ к сказуемому или использованием оборота речи "НЕВЕРНО, ЧТО...".

Пример: А = "На улице дождь"

= "Неверно, что на улице дождь"

Задание 1. Приведите пример высказывания и его отрицания.

Определите истинность каждого.

Итак, инверсия высказывания истинна, когда высказывание ложно.

2) Конъюнкция (логическое умножение)

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Обозначение конъюнкции: А &В , А andВ , А LВ , А В .

Таблица истинности:

		А &В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А &В = "На улице дождь и небо голубое"

Задание 2. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя логическую связку "И".

Итак, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

3) Дизъюнкция (логическое сложение) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

Обозначение дизъюнкции: А V В , А OR В , А +В .

0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

А V В

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ»

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А V В = "На улице дождь или небо голубое"

Задание 3. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку "ИЛИ".

Итак, дизъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда хотя бы одно из двух исходных высказываний истинно.

4) Импликация (логическое следование) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

Обозначение дизъюнкции: А ® В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:

«ЕСЛИ …, ТО …»

Если клятва дана, то она должна выполняться.

Если число делится на 9, то оно делится и на 3.

Пример: А = " На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А ® В = "Если на улице дождь, то небо голубое"

Задание 4 . а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание, используя связку "ЕСЛИ, ТО...".

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний

Итак, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (условие) истинно, а второе высказывание (следствие) ложно.

5) Эквивалентность (логическое равенство) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум высказываниям новое высказывание, которое

истинно тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Обозначение дизъюнкции: А « В, А = В, А≡В .

Таблица истинности: Диаграмма Эйлера:

Образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 900

Все законы математики, физики, все определения – эквивалентность высказываний

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются.

Пример: А = "На улице дождь"

В= "Небо голубое"

А « В = "На улице дождь тогда и только тогда, когда небо голубое"

Задание 5. а) Приведите примеры двух высказываний и получите составное высказывание используя связку речи «…ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА…»

б) Определите истинность или ложность каждого из трех высказываний.

Итак, эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

VI. Закрепление изученного.

1. Объясните, почему следующие предложения не являются высказываниями :

· Какого цвета этот дом?

· Число Х не превосходит единицы.

· Посмотрите в окно.

· Пейте томатный сок!

· Эта тема скучна.

· Вы были в театре?

2. Объясните, почему формулировка любой теоремы является высказыванием.

3. Приведите по 2 примера истинных и ложных высказываний из математики, биологии, истории, информатики, литературы.

4. Из следующих предложений выбрать те, которые являются высказываниями:

Коля спросил: «Как пройти к Большому театру?» Как пройти в библиотеку? Картины Пикассо слишком абстрактны. Решение задачи – информационный процесс. Число 2 является делителем числа 7 в некоторой системе счисления.

5. Выбрать истинные высказывания:

· “Число 28 является совершенным числом”

· “Без труда не выловишь и рыбку из пруда”

· “Талант всегда пробьёт себе дорогу”

· “Некоторые животные мыслят”

· “Информатика - наука об алгоритмах”

· “2+3*5=30”

· “Все ученики любят информатику”

7. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

8. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

9. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

10. Какая логическая операция соответствует данной таблице истинности?

Итог урока:

Вы познакомились с основными понятиями алгебры логики. Рассмотрели логические операции. Разобрали для каждой логической операции таблицу истинности и проиллюстрировали ЛО с помощью кругов Эйлера.

2. Выучить все определения в тетради из конспекта урока .

3. Подобрать высказывания для каждой логической операциипримера)

Установление истинности сложных высказываний.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С

Решение. В состав сложного высказывания входят 3 простых высказывания: А, В, С. В таблице заполняются колонки значениями (0, 1). Указываются все возможные ситуации. Простые высказывания от сложных отделяются двойной вертикальной чертой.
При составлении таблицы надо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий; заполняя столбцы, следует двигаться “изнутри наружу”, т.е. от элементарных формул к более и более сложным; столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

А	В	С	А+	· С

Из таблицы видно, что данное высказывание истинно только в случае, когда А=0, В=1, С=1. Во всех остальных случаях оно ложно.

13. Равносильные формулы.

Две формулы А и В называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения при любом наборе значений входящих в формулу элементарных высказываний.

Равносильность обозначается знаком « ». Для преобразования формул в равносильные важную роль играют основные равносильности, выражающие одни логические операции через другие, равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.

I. Основные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

14. Формулы логики высказываний.

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

1. Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно» ;

2. Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно» ;

3. Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истинно» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;

6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием . Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом . Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой .

15. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Предложение, содержащее одну или несколько переменных и которое при конкретных значениях переменных является высказыванием, называется высказывательной формой или предикатом.

В зависимости от числа переменных, входящих в предложение, различают одноместные, двухместные, трехместные и т.д. предикаты, обозначаемые соответственно: А(х ), В(х , у ), С(х , у , z ).

Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:

1. Множество (область) определения Х , состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание. При задании предиката обычно указывают его область определения.

2. Множество истинности Т, состоящее из всех тех значений переменных, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание.

Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.

1. Отрицанием предиката А(х ), заданного на множестве Х, называется предикат , истинный при тех значениях , при которых предикат А(х ) обращается в ложное высказывание, и наоборот.

Из данного определения следует, что предикаты А(х ) и В(х ) не являются отрицаниями друг друга, если найдется хотя бы одно значение , при котором предикаты А(х ) и В(х ) обращаются в высказывания с одинаковыми значениями истинности.

Множество истинности предиката является дополнением к множеству истинности предиката А(х ). Обозначим через Т А множество истинности предиката А(х ), а через Т - множество истинности предиката . Тогда .

2. Конъюнкцией предикатов А(х ) и В(х х ) В(х х Х, при которых оба предиката обращаются в истинные высказывания.

Множество истинности конъюнкции предикатов есть пересечение множеств истинности предиката А(х ) В(х ). Если обозначить множество истинности предиката А(х) через Т А, а множество истинности предиката В(х) через Т В и множество истинности предиката А(х) В(х) через , то

3. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), обращающийся в истинное высказывание при тех и только тех значениях х Х, при которых хотя бы один из предикатов обратился в истинное высказывание.

Множество истинности дизъюнкции предикатов есть объединение множеств истинности образующих ее предикатов, т.е. .

4.Импликацией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат А(х ) В(х ), который ложен при тех и только тех значениях переменной, при которых первый предикат обращается в истинное высказывание, а второй – в ложное.

Множество истинности импликации предикатов есть объединение множества истинности предиката В(х ) с дополнением к множеству истинности предиката А(х ), т.е.

5. Эквиваленцией предикатов А(х ) и В(х ), заданных на множестве Х, называется предикат , который обращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях переменной, при которых оба предиката обращаются либо в истинные высказывания, либо в ложные высказывания.

Множество истинности эквиваленции предикатов есть пересечение множества истинности предиката с множеством истинности предиката .

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».

Про числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 можно сказать: а) все данные числа простые; б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения – высказывания.

Если из предложения «а» убрать слово «все», а из предложения «б» - слово «некоторые», то получим следующие предикаты: «данные числа простые», «данные числа нечетные».

Слова «все» и «некоторые» называются кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .

Пусть А(х ) – определенный предикат, заданный на множестве Х. Под выражением А(х ) будем понимать высказывание истинное, когда А(х ) истинно для каждого элемента из множества Х, и ложное в противном случае.

Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример.

16. Определение бинарного отношения между множествами А и В.

Бинарным отношением между множествами A и B называется подмножество R прямого произведения . В том случае, когда можно просто говорить об отношении R на A .

Пример 1 . Выпишите упорядоченные пары, принадлежащие бинарным отношениям R 1 и R 2 , заданными на множествах A и : , . Подмножество R 1 состоит из пар: . Подмножество .

Область определения R на есть множество всех элементов из A таких, что для некоторых элементов имеем . Иными словами область определения R есть множество всех первых координат упорядоченных пар из R .

Множество значений отношения R на есть множество всех таких, что для некоторых . Другими словами множество значений R есть множество всех вторых координат упорядоченных пар из R .

В примере 1 для R 1 область определения: , множество значений - . Для R 2 область определения: , множество значений: .

Во многих случаях удобно использовать графическое изображение бинарного отношения. Оно осуществляется двумя способами: с помощью точек на плоскости и с помощью стрелок.

В первом случае выбирают две взаимно перпендикулярные линии в качестве горизонтальной и вертикальной осей. На горизонтальной оси откладывают элементы множества A и через каждую точку проводят вертикальную линию. На вертикальной оси откладывают элементы множества B , через каждую точку проводят горизонтальную линию. Точки пересечения горизонтальных и вертикальных линий изображают элементы прямого произведения

17. Способы задания бинарных отношений.

Всякое подмножество декартова произведения A×B называется бинарным отношением, определенным на паре множеств A и B (по латыни «бис» обозначает «дважды»). В общем случае по аналогии с бинарными можно рассматривать и n-арные отношения как упорядоченные последовательностиn элементов, взятых по одному из n множеств.

Для обозначения бинарного отношения применяют знак R. Поскольку R- это подмножество множества A×B, то можно записать R⊆A×. Если же требуется указать, что (a, b) ∈ R, т. е. между элементами a ∈ A и b ∈ B существует отношение R, то пишут aRb.

Способы задания бинарных отношений:

1. Это использование правила, согласно которому указываются все элементы, входящие в данное отношение. Вместо правила можно привести список элементов заданного отношения путем непосредственного их перечисления;

2. Табличный, в виде графов и с помощью сечений. Основу табличного способа составляет прямоугольная система координат, где по одной оси откладываются элементы одного множества, по второй - другого. Пересечения координат образуют точки, обозначающие элементы декартова произведения.

На (рисунке 1.16) изображена координатная сетка для множеств. Точкам пересечения трех вертикальных линий с шестью горизонтальными соответствуют элементы множества A×B. Кружочками на сетке отмечены элементы отношения aRb, где a ∈ A и b ∈ B, R обозначает отношение «делит».

Бинарные отношения задаются двухмерными системами координат. Очевидно, что все элементы декартова произведения трех множеств аналогично могут быть представлены в трехмерной системе координат, четырех множеств- в четырехмерной системе и т. д;

3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.

18. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.

В математике бинарное отношение на множестве называется рефлексивным, если всякий элемент этого множества находится в отношении с самим собой.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю - дугу (х, х).

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли - нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества, говорят, что отношение нерефлексивно.

Свойства

Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:

1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.

2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .

3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .

4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .

5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .

6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}

11. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.

Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.

Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».

Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.

Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»

Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:

Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».

Если он сказал это, значит, это верно.

Солнце не является звездой.

Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем

Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.

12. Операции над высказываниями.

1. Операция отрицания.

Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.

Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.

2. Операция конъюнкции .

Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.

Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.

Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.

3 . Операция дизъюнкции .

Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.

Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.

Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».

4 . Операция импликации .

Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.

13. Таблицы истинности высказываний.

Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.

Таблицы истинности применяются для:

Вычисления истинности сложных высказываний;

Установления эквивалентности высказываний;

Определения тавтологий.

Установление истинности сложных высказываний.

Пример 1. Установить истинность высказывания · С

А	В	С	А+	· С

14. Равносильные формулы.

Для любых формул А , В , С справедливы равносильности.

I. Основные равносильности

закон идемпотентности

1-истина

0-ложь

Закон противоречия

Закон исключенного третьего

закон поглощения

формулы расщепления

закон склеивания

II. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.

закон де Моргана

III. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.

коммутативный закон

ассоциативный закон

дистрибутивный закон

15. Формулы логики высказываний.

Виды формул классической логики высказываний – в логике высказываний различают следующие виды формул:

Основные законы классической логики высказываний:

1. Закон тождества: ;

2. Закон противоречия: ;

3. Закон исключенного третьего: ;

4. Законы коммутативности и : , ;

5. Законы дистрибутивности относительно ,и наоборот: , ;

6. Закон удаления истинного члена конъюнкции: ;

7. Закон удаления ложного члена дизъюнкции: ;

8. Закон контрапозиции: ;

9. Законы взаимовыразимости пропозициональных связок: , , , , , .

16. Предикаты и операции над ними. Кванторы.

Если задан некоторый предикат, то с ним связаны два множества:

Множество истинности предиката всегда является подмножеством его области определения, то есть .

Над предикатами можно совершать те же операции, что и над высказываниями.

Кванторные операции над предикатами

Предикат можно перевести в высказывание способом подстановки и способом «навешивание квантора».

Различают два основных вида кванторов: квантор общности и квантор существования.

Термины «всякий», «любой», «каждый» носят название – квантор всеобщности. Обозначается .

18. Способы задания бинарных отношений.

Способы задания бинарных отношений:

3. Способ задания отношений с помощью сечений используется реже, поэтому рассматривать его не будем.

19. Рефлексивность бинарного отношения. Пример.

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества, то отношение называется антирефлексивным.

Формально антирефлексивность отношения определяется как: .

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-12

В двух предыдущих лекциях мы определили логические операции — отрицание, конъюнкцию, два вида дизъюнкции, импликацию и эквиваленцию. Рассмотрим некоторые задачи на применение определений логических связок. Это задачи, где требуется выяснить значение истинности одного составного высказывания, если известно значение истинности другого составного высказывания, а также задачи, где требуется определить, существуют ли простые высказывания, если известны истинностные значения некоторых составных высказываний, образованных из этих высказываний.

Определить значение истинности высказывания, используя значения истинности других высказываний

Задача 6.1. Известно, что высказывание $ \displaystyle AB$ ложно, а высказывание $ \displaystyle A \to B $ истинно. Определить значение истинности высказывания $ \displaystyle B \to A’ $, если известно, что его можно однозначно определить, используя эти данные.

Решение. Предположим, что это высказывание ложно:

$ \displaystyle B \to A’=0 $.

Почему мы предположили ложность, а не истинность данной импликации? Причина очень проста: импликация ложна только в одном случае. Если это предположение не будет противоречить условию задачи, то оно верно, так как значение истинности всякого высказывания — это ложь или истина. Согласно определению импликации, она ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а заключение ложно:

$ \displaystyle B= 1$, $ \displaystyle A’=0 $.

В силу определения отрицания, оно ложно тогда и только тогда, когда само высказывание истинно:

$ \displaystyle A=1 $.

Но в этом случае, учитывая определения импликации и конъюнкции,

$ \displaystyle A \to B=1 $, $ \displaystyle A B=1 $.

Однако по условию задачи последнее высказывание имеет значение истинности «ложь». Получили противоречие. Значит, высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ истинно.

Задачу можно решить и другим способом: используя условие, напрямую получить значение истинности импликации. Так как

$ \displaystyle AB=0 $,

то, согласно определению конъюнкции, возможны следующие варианты распределения истинностных значений высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

3) $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $.

Поскольку

$ \displaystyle A \to B=1 $,

то, согласно определению импликации, получаем, что значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle B $ могут быть такими:

1) $ \displaystyle A=B=0 $;

2) $ \displaystyle A=0 $, $ \displaystyle B=1 $;

3) $ \displaystyle A=B=1 $.

Условия $ \displaystyle A=1 $, $ \displaystyle B=0 $ и $ \displaystyle A=B=1 $ несовместимы, так как любое высказывание либо истинно, либо ложно. Остаются первые два варианта. Проверим их, используя определения импликации и отрицания:

1) $ \displaystyle B \to A’=0 \to 0’=0 \to 1=1 $;

2) $ \displaystyle B \to A’=1 \to 0’=1 \to 1 =1 $.

В обоих случаях высказывание $ \displaystyle B \to A’ $ имеет значение истинности «истина».

Очевидно, что первый способ решения настоящей задачи гораздо короче, чем второй.

Выяснить, достаточно ли данных, чтобы определить значение истинности высказывания

Задача 6.2. Пусть высказывание $ \displaystyle A \to B $ ложно. Достаточно ли этого, чтобы определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $? Если достаточно, то указать это значение. Если не достаточно, то показать на примерах, что возможны оба истинностных значения.

Решение. Поскольку

$ \displaystyle A \to B=0 $,

то, согласно определению импликации,

$ \displaystyle A=1$, $ \displaystyle B=0 $.

Значит, импликация $ \displaystyle B \to (A \to C) $ истинна, так как её посылка ложна (какими бы ни были значения истинности высказываний $ \displaystyle A $ и $ \displaystyle C $). Следовательно, учитывая определение дизъюнкции, высказывание $ \displaystyle (B \to (A \to C)) \vee (B’ \to C) $ имеет значение истинности «истина».

Задача 6.3. Пусть известно, что высказывание $ \displaystyle AB $ истинно. Возможно ли, используя эти данные, определить значение истинности высказывания $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ ? Если возможно, то указать это значение. В противном случае показать на примерах, что высказывание может быть как истинным, так и ложным.

Решение. Поскольку конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба этих высказывания истинны, то

$ \displaystyle A=B=1 $.

Значит, импликация $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ истинна, если её заключение истинно, и ложна в противном случае (в силу определения данной логической связки). Рассмотрим дизъюнкцию $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $. Известно, что

$ \displaystyle A=B=1 $.

Тогда, согласно определению отрицания $ \displaystyle A’=0 $. Если $ \displaystyle C=0 $, то $ \displaystyle C’=1 $. Следовательно, согласно определению, конъюнкция $ \displaystyle ABC’ $ истинна, а конъюнкция $ \displaystyle A’BC $ ложна. Значит, дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ истинна. Если $ \displaystyle C=1 $, то $ \displaystyle C’=0 $. Следовательно, высказывания $ \displaystyle ABC’ $ и $ \displaystyle A’BC $ ложны. Тогда и дизъюнкция $ \displaystyle (ABC’) \vee (A’BC) $ ложна. Итак, высказывание $ \displaystyle (AB) \to ((ABC’) \vee (A’BC))$ имеет значение истинности «ложь» при

$ \displaystyle C=1 $

и «истина» при

$ \displaystyle C=0 $.

Получается, что нельзя однозначно определить значение истинности высказывания, используя условия задачи. Здесь нужно подчеркнуть, что это не означает, что значение истинности вообще нельзя определить. Просто здесь не хватает данных для этого.

Выяснить, существуют ли высказывания с данными значениями истинности

Задача 6.4. Пусть высказывание $ \displaystyle A \vee B’ $ и $ \displaystyle B \to (A \vee C) $ имеет значение истинности «ложь», а высказывание $ \displaystyle C’ \to B’ $ имеет значение истинности «истина». Существуют ли такие высказывания $ \displaystyle A $, $ \displaystyle B$ и $ \displaystyle C $?

Решение. Дизъюнкция двух высказываний, в силу определения, ложна только в одном случае: если ложны оба этих высказывания. Значит,

$ \displaystyle A=B’=0 $.

Следовательно, учитывая определения отрицания,

$ \displaystyle B=1 $.

Рассмотрим импликацию

$ \displaystyle B \to (A \vee C) $.

По условию задачи она ложна. Это возможно тогда и только тогда, когда

$ \displaystyle B=1 $, $ \displaystyle A \vee C =0 $.

Значит, в силу определения дизъюнкции,

$ \displaystyle A=C=0 $.

Следовательно,

$ \displaystyle C’ \to B’=0′ \to 1’=1 \to 0=0 $.

Но, согласно условию задачи, данная импликация истинна. Получили противоречие. Это означает, что не существует высказываний, удовлетворяющим таким условиям.

Здесь: 1 - истина, 0 - ложь.

1. Х: треугольник АВС - остроугольный. Х: неверно, что треугольник АВС - остроугольный. Это все равно, что: Х: треугольник АВС - прямоугольный или тупоугольный
2. А: Иванова М. На экзамене по математике получила 4. : Неверно, что Иванова М. по математике получила 4.

Определение: Дизъюнкцией высказывания А и В называется высказывание АВ, истинное при условии, что хотя бы одно из высказываний А или В истинно.

Его читают «А или В».

Таблица истинности для АВ

Пример: 1. На этот раз ответчик явился и суд состоялся. - истина

2. В прямоугольном треугольнике сумма двух любых углов больше или равна третьего угла и гипотенуза меньше катета. - ложь

Определение: Импликацией высказываний А и В называется высказывание АВ, ложное лишь при условии, что А истинно, а В ложно.

Его читают: «Если А, то В».

Таблица истинности

Пример: 1. Если я сдам зачет, то пойду в кино.

2. Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны. Определение: Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание АВ, истинное в том и только в том случае, когда А и В имеют одну и ту же истинность (т.е. либо оба истинны, либо оба ложны).

Читают: «А тогда и только тогда, когда В» или «А необходимо и достаточно для В»

Таблица истинности

Вторая задача, решаемая средствами алгебры высказываний, состоит в том, чтобы определить истинность конкретного высказывания на основе составления его формулы (процесс формализации) и составления таблицы истинности.

Пример: Если Саратов расположен на берегу Невы, то в Африке обитают белые медведи.

А: Саратов расположен на берегу реки Невы;

В: В Африке обитают белые медведи

Определение: Формула, которая истинна независимо от того, какие значения принимают входящие в нее высказывательные переменные, называется тавтологией или тождественно истинной формулой.

Определение: Формулы F 1 и F 2 называются равносильными, если их эквиваленция - тавтология.

Определение: Если формулы F 1 и F 2 равносильны, то предложения Р 1 и Р 2 , которые инициируют эти формулы, называются равносильными в логике высказываний.

Основные, наиболее часто встречающиеся равносильности, называют законами логики. Перечислим некоторые из них:

1. Х Х - закон тождества
2. Х Л - закон противоречия
3. Х И - закон исключения третьего
4. Х - закон двойного отрицания

5. законы коммутативности
6. Х (У Z) (Х У) Z закон ассоциативности

Х (У Z) (Х У) Z закон дистрибутивности

7. законы Де Моргана

8. законы сочленения переменной с константой

Используя законы логики, можно преобразовывать формулы.

4. Из множества формул, равносильных между собой, рассмотрим две. Это - совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Они строятся для данной формулы на основе ее таблицы истинности.

Построение СДНФ:

-- выбираются строки, соответствующие значениям истинности (1) данной формулы;
-- для каждой выделенной строки составляем конъюнкцию переменных или их отрицаний так, чтобы наборам значений переменных, представленных в строке, соответствовали истинные значения конъюнкции (для этого надо переменные, которые в этой строке принимали значения ложь (0) взять со знаком отрицания, а переменные, принимающие значения истинности (1) без отрицания);
-- составляется дизъюнкция полученных конъюнкций.

Из алгоритма следует, что для любой формулы можно составить СДНФ, и притом единственную, если формула не является тождественно ложной, т.е. принимающей только ложные значения.

Составление СКНФ осуществляется по следующему алгоритму:

-- выделить те строки таблицы, в которых формула принимает значение ложь (0);
-- из переменных, стоящих в каждой такой строке, составить дизъюнкцию, которая должна принимать значения - ложь (0). Для этого все переменные должны войти в нее со значением ложь, следовательно те, которые истинны (1), надо заменить их отрицанием;
-- из полученных дизъюнкций составить конъюнкцию.

Очевидно, что любая формула, не являющаяся тавтологией, имеет СКНФ.

СДНФ и СКНФ используются для получения следствий из данной формулы.

Пример: Составить таблицу истинности СДНФ и СКНФ для формулы: .

Таблица истинности СДНФ и СКНФ

5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».

В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество. Обозначим это отображение, тогда:

Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству.

Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству, называется предикатом.

Буквы, обозначающие предикаты, называют предикатными символами.

Предикаты могут задаваться:

a) высказывательной формулой,

b) формулой, т.е. задавая интерпретацию предикатного символа,

c) таблицей.

1) Р - «впадать в Черное море».

Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».

2) Предикат Р задан высказывательной формулой: «быть простым числом на множестве первых 15 натуральных чисел».
3) В табличной форме предикат имеет вид:

Областью определения предикатов может быть любое множество.

Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.

Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.

Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.

Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.

Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.

Множество истинности обозначается.

Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.

Обозначается отрицание.

Быть студентом АБиК.

Не быть студентом АБиК.

Если, то множество, где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .

Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.

Быть футболистом

Быть студентом

: быть футболистом и быть студентом.

Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные

Быть четным натуральным числом

Быть нечетным натуральным числом

: быть натуральным числом.

Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.

Обозначается:

Быть простым числом на множестве N

Быть нечетным числом

Ложен при и истинным при других натуральных числах.

Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.

Обозначается:

- «выигрывать», т.е. х выигрывает у

Лучше знать шахматную историю, х знает лучше у

обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.

Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных.

Обозначаются следования: .

Быть студентом

Ходить в институт

Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:

1) придание переменной конкретного значения

; х - студент

Иванов - студент.

2) Навешивание кванторов - любой, всякий, каждый

Существует, имеется.

Запись, где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р. Или по другому, «все х обладают свойством Р».

Запись означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.