Введение.

Понятие звука обычно ассоциируется у нас со слухом и, следовательно, с физиологическими процессами в ушах, а также с психологическими процессами в нашем мозгу (там происходит переработка ощущений, поступающих в органы слуха). Кроме того, под звуком мы понимаем физическое явление, вызывающее действие на наши уши, а именно продольные волны. Если такие упругие волны, распространяющиеся в воздухе, имеют частоту в пределах от 16 до 20000 Гц, то, достигнув человеческого уха, они вызывают ощущение звука . В соответствии с этим упругие волны в любой среде, имеющие частоту, заключённую в указанных пределах, называют звуковыми волнами или просто звуком . Упругие волны с частотами, меньшими 16 Гц, называют инфразвуком ; волны с частотами, превышающими 20000 Гц, называют ультразвуком . Инфра- и ультразвуки человеческое ухо не слышит.

Для слушающего человека сразу становятся очевидными две характеристики звука, а именно его громкость и высота. Громкость связана с интенсивностью звуковой волны, которая пропорциональна квадрату амплитуды волны. Высота звука показывает, является ли он высоким, как у скрипки или у виолончели, или низким, как звук большого барабана или басовой струны. Физической величиной, характеризующей высоту звука, является частота колебаний звуковой волны, что впервые заметил Галилей. Чем меньше частота, тем ниже высота звука, а чем больше частота, тем звук выше.

Одной из важных характеристик звука является его скорость . Скорость звука - это скорость распространения звуковых волн в среде. В газах скорость звука меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях меньше, чем в твердых телах (причем для поперечных волн скорость всегда меньше, чем для продольных). Скорость звука в газах и парах от 150 до 1000 м/с, в жидкостях от 750 до 2000 м/с, в твердых телах от 2000 до 6500 м/с. В воздухе при нормальных условиях скорость звука 330 м/с, в воде - 1500 м/с.

Также в реферате рассматривается эффект, на существование которого в 1842 году указал КРИСТИАН ДОПЛЕР (Допплер) (Doppler) (1803-53), австрийский физик и астроном. Позже этот эффект был назван его именем.

1. Скорость звуковых волн в различных средах.

Мы обычно считаем, что звук распространяется в воздухе, потому что, как правило, именно воздух контактирует с нашими барабанными перепонками, и его колебания заставляют колебаться эти перепонки. Однако звуковые волны могут распространяться и в других веществах. Удары двух камней друг о друга пловец может слышать, находясь под водой, поскольку колебания передаются уху водой. Если приложить ухо к земле, то можно услышать приближение поезда или трактора. В этом случае земля не воздействует непосредственно на ваши барабанные перепонки. Однако продольную волну, распространяющуюся в земле, называют звуковой волной, поскольку её колебания приводят к колебаниям воздуха во внешнем ухе. Действительно, продольные волны, распространяющиеся в любой материальной среде, часто называют звуковыми. Очевидно, звук не может распространяться в отсутствие вещества. Например, нельзя услышать звон колокола, находящегося внутри сосуда, из которого выкачан воздух [опытРобертаБойля (1660 год)].

Скорость звука в различных веществах имеет разные значения. В воздухе при температуре 0 о C и давлении 1 атм звук распространяется со скоростью 331,3 м/с. В воздухе и других газообразных и жидких средах скорость зависит от модуля всестороннего сжатия B и плотности среды(вещества) r :

В гелии, плотность которого значительно меньше, чем плотность воздуха, а модуль всестороннего сжатия почти такой же, скорость звука больше почти в три раза. В жидкостях и твёрдых телах, которые значительно менее сжимаемы и, следовательно, имеют значительно большие модули упругости, скорость соответственно больше. Значения скорости звука в различных веществах приведены в таблицах 1.1, 1.2, 1.3; они в наибольшей степени зависят от температуры (смотри таблицы 1.4, 1.5), однако эта зависимость существенна только для газов и жидкостей. Например, в воздухе при повышении температуры на 1 о C скорость звука возрастает приблизительно на 0,60 м/с:

u»(331+0,60T) м/с,

где T-температура в о C. Например, при 20 о C мы имеем:

u» м/с = 343 м/с.

2. Эффект Доплера в акустике.

Вы могли заметить, что высота звука сирены пожарной машины, движущейся с большой скоростью, резко падает после того, как эта машина пронесётся мимо вас. Возможно, вы замечали также изменение высоты сигнала автомобиля, проезжающего на большой скорости мимо вас. Высота звука двигателя гоночного автомобиля тоже изменяется, когда он проезжает мимо наблюдателя. Если источник звука приближается к наблюдателю, высота звука возрастает по сравнению с тем, когда источник звука покоился. Если же источник звука удаляется от наблюдателя, то высота звука понижается. Это явление называется эффектом Доплера и имеет место для всех типов волн. Рассмотрим теперь причины его возникновения и вычислим изменение частоты звуковых волн, обусловленное этим эффектом.

Эффект Доплера: а - оба наблюдателя на тротуаре слышат звук сирены стоящей на месте пожарной машины на одной и той же частоте; б - наблюдатель, к которому приближается пожарная машина, слышит звук более высокой частоты, а наблюдатель, от которого машина удаляется, слышит более низкий звук.

Рассмотрим для конкретности пожарный автомобиль, сирена которого, когда автомобиль стоит на месте, испускает звук определённой частоты во всех направлениях, как показано на рис. 2.1,а. Пусть теперь пожарный автомобиль начал двигаться, а сирена продолжает испускать звуковые волны на той же частоте. Однако во время движения звуковые волны, испускаемые сиреной вперёд, будут располагаться ближе друг к другу, чем в случае, когда автомобиль не двигался, что и показано на рис. 2.1,б. Это происходит потому, что в процессе своего движения пожарный автомобиль «догоняет» испущенные ранее волны. Таким образом, наблюдатель у дороги заметит большее число волновых гребней, проходящих мимо него в единицу времени, и, следовательно, для него частота звука будет выше. С другой стороны, волны, распространяющиеся позади автомобиля, будут дальше отстоять друг от друга, поскольку автомобиль как бы «отрывается» от них. Следовательно, за единицу времени мимо наблюдателя, находящегося позади автомобиля, пройдёт меньшее количество волновых гребней, и высота звука будет ниже.

Рис. 2.2.

Чтобы вычислить изменение частоты, воспользуемся рис. 2.2. Будем считать, что в нашей системе отсчёта воздух (или другая среда) покоится. На рис. 2.2 источник звука (например, сирена) находится в покое. Показаны последовательные гребни волн, причём один из них только что испущен источником звука. Расстояние между этими гребнями равно длине волны l . Если частота колебаний источника звука равна ¦, то время, прошедшее между испусканиями волновых гребней, равно

T = 1/¦.

На рис. 2.3 источник звука движется со скоростью u ист. За время T (оно только что было определено) первый гребень волны пройдёт расстояние d = u T , где u - скорость звуковой волны в воздухе (которая, конечно, будет одна и та же независимо от того, движется источник или нет). За это же время источник звука переместится на расстояние d ист = u ист T . Тогда расстояние между последовательными гребнями волны, равное новой длине волны l `, запишется в виде

l ` = d + d ист = (u + u ист) T = (u + u ист)/¦,

поскольку T = 1/¦. Частота ¦` волны даётся выражением

¦`=u /l ` = u ¦/ (u + u ист),

¦` = ¦/(1 + u ист / u ) [источник звука удаляется от покоящегося наблюдателя].

Поскольку знаменатель дроби больше единицы, мы имеем ¦`<¦. Например, если источник создаёт звук на частоте 400 Гц, когда он находится в покое, то, когда источник начинает двигаться в направлении от наблюдателя, стоящего на месте, со скоростью 30 м/с, последний услышит звук на частоте (при температуре 0 о C)

¦` = 400 Гц / 1 + (30 м/с)/(331 м/с) = 366,64 Гц.

Новая длина волны для источника, приближающегося к наблюдателю со скоростью u ист, будет равна

l ` = d - d ист.

При этом частота ¦` даётся выражением

¦` = ¦/(1 - u ист / u ) [источник звука приближается к покоящемуся наблюдателю].

Эффект Доплера возникает также в том случае, когда источник звука покоится (относительно среды, в которой распространяются звуковые волны), а наблюдатель движется. Если наблюдатель приближается к источнику звука, то он слышит звук большей высоты, нежели испускаемый источником. Если же наблюдатель удаляется от источника, то звук кажется ему ниже. Количественно изменение частоты здесь мало отличается от случая, когда движется источник, а наблюдатель покоится. В этом случае расстояние между гребнями волны (длина волны l ) не изменяется, а изменяется скорость движения гребней относительно наблюдателя. Если наблюдатель приближается к источнику звука, то скорость волн относительно наблюдателя будет равна u ` = u + u набл, где u - скорость распространения звука в воздухе (мы предполагаем, что воздух покоится), а u набл – скорость наблюдателя. Следовательно, новая частота будет равна

¦`=u ` /l = (u + u набл)/ l ,

или, поскольку l = u /¦,

¦` = (1 + u набл / u ) ¦ [наблюдатель приближается к покоящемуся источнику звука].

В случае же, когда наблюдатель удаляется от источника звука, относительная скорость будет равна u ` = u - u набл,

¦` = (1 - u набл / u ) ¦ [наблюдатель удаляется от покоящегося источника звука].

Если звуковая волна отражается от движущегося препятствия, то частота отражённой волны из-за эффекта Доплера будет отличаться от частоты падающей волны, т.е. произойдёт так называемый доплеровский сдвиг частоты. Если падающую и отражённую звуковые волны наложить друг на друга, то возникнет суперпозиция, а это приведёт к биениям. Частота биений равна разности частот двух волн. Такое проявление эффекта Доплера широко используется в различных медицинских приборах, использующих, как правило, ультразвуковые волны в мегагерцевом диапазоне частот. Например, отражённые от красных кровяных телец ультразвуковые волны можно использовать для определения скорости кровотока. Аналогичным образом этот метод можно применять для обнаружения движения грудной клетки зародыша, а также для дистанционного контроля за сердцебиениями. Следует заметить, что эффект Доплера лежит также в основе метода обнаружения с помощью радара автомобилей, которые превышают предписываемую скорость движения, но в этом случае используются электромагнитные (радио) волны, а не звуковые.

Точность соотношений (2.1) и (2.2) снижается, если u ист или u набл приближаются к скорости звука. Это связано с тем, что смещение частиц среды уже не будет пропорционально возвращающей силе, т.е. возникнут отклонения от закона Гука, так что большинство наших теоретических рассуждений потеряет силу.

Заключение.

Звук распространяется в виде продольной волны в воздухе и других средах. Скорость звука в воздухе увеличивается с ростом температуры; при 0 о С она равна приблизительно 331 м/с.

Эффект Доплера заключается в том, что движение источника звука или слушателя вызывает изменение высоты звука. Характерен для любых волн (свет, звук и т. д.). При приближении источника к приемнику l уменьшается, а при удалении растет на величину l - l о = nl о /c , где l о - длина волны источника, c - скорость распространения волны, n - относительная скорость движения источника. Другими словами, если источник звука и слушатель сближаются, то высота звука растёт; если же они удаляются друг от друга, то высота звука понижается.

Список литературы.

1. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2001 (2 CD-ROM).

2. Джанколи Д. Физика: В 2-х т. Т. 1: Пер. с англ. - М.: Мир, 1989. – 656 с., ил.

3. Енохович А. С. Краткий справочник по физике. – 2-е изд., перераб и доп. – М.: Высшая школа, 1976. – 288с., ил.

4. Савельев И. В. Курс общей физики: Учеб. пособие. В 3-х т. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – 3-е изд., испр. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 496 с., ил.

Приложение A .

Приложение B .

Таблицы.

Примечание. Температурный коэффициент скорости звука показывает, на сколько метров в секунду увеличивается скорость звука в веществе при повышении его температуры на 1 о C. Знак минус показывает, что данная жидкость имеет отрицательный температурный коэффициент скорости. Это значит, что при увеличении температуры скорость звука в жидкости уменьшается. Исключение – вода, при повышении температуры от 0 до 74 о C скорость звука в ней увеличивается. Наибольшая скорость звука в воде при 74 о C равна 1555,5 м/с.

Звук является спутником человека в течение всей его жизни, но мало кто задумывается, что он собой представляет. С физической точки зрения звук можно определить как колебательные движения частиц в упругой среде, вызванные каким-либо источником, коротко - упругие волны. Скорость звука зависит от свойств среды, в которой он распространяется: в газах скорость звука растет с ростом температуры и давления, в жидкостях при росте температуры наоборот снижается (исключением является вода, в которой скорость звука достигает максимума при 74°С и начинает снижаться только при увеличении данной температуры). Для воздуха такая зависимость выглядит так:

С = 332 + 0,6t c

где t c - температура окружающей среды, °С.

Таблица 1. Скорость звука в газах, при температуре 0 °С и давление 1 атм.

Таблица 2. Скорость звука в жидкостях при температуре 20 °С.

В твердых телах скорость звука определяется модулем упругости вещества и его плотностью, при этом в продольном и поперечном направлении в неограниченных изотропных твердых телах она различается.

Таблица 3. Скорость звука в твердом теле.

Из таблиц наглядно видно, что скорость звука в газах значительно ниже, чем в твердых телах, именно поэтому в приключенческих фильмах часто можно увидеть, как люди прикладывают ухо к земле, чтобы определить наличие погони за собой, также это явление заметно рядом с железной дорогой, когда звук приходящего поезда, слышится дважды - в первый раз он передается по рельсам, а второй - по воздуху.

Процесс колебательного движения звуковой волны в упругой среде, можно описать на примере колебания частицы воздуха:

На частицу воздуха, вынужденную сдвинуться со своей начальной позиции, из-за воздействия источника звука, действуют упругие силы воздуха, которые пытаются вернуть ее на свое первоначальное место, но из-за действия сил инерции, возвращаясь, частица не останавливается, а начинает удаляться от начальной позиции в противоположную сторону, где в свою очередь на нее также действуют упругие силы и процесс повторяется.

Рисунок 1. Процесс колебания частицы воздуха

На рисунке (рисунок №2) маленькими точками образно представлены молекулы воздуха (в кубометре воздуха их более миллиона). Давление в области компрессии несколько превышает атмосферное, а в области разрежения, наоборот, - ниже атмосферного. Направление малых стрелочек показывает, что, в среднем, молекулы движутся направо из области высокого давления и налево из области низкого. Любая из представленных молекул сначала проходит определенное расстояние в правую сторону, а затем такое же расстояние в левую, относительно своей первоначальной позиции, в то время как звуковая волна двигается равномерно в правую сторону.

Рисунок 2. Перемещение звуковой волны

Логично задать вопрос - почему звуковая волна перемещается вправо? Ответ можно найти при внимательном рассмотрении стрелочек на предыдущем рисунке: в месте, где стрелочки сталкиваются с друг другом образуется новое скопление молекул, которое будет находится с правой стороны от первоначальной области компрессии, при удалении от места столкновения стрелочек плотность молекул снижается и образуется новая область разрежения, следовательно постепенное перемещение области высокого и низкого давления приводит к движению звуковой волны в правую сторону.

Рисунок 3. Процесс перемещения звуковой волны

Волновое движение такого рода называется гармоническими или синусоидальными колебаниями, которое описывается следующим образом:

x(t) = Asin(wt + φ)

Простая гармоническая или синусоидальная волна изображена на рисунке (Рисунок №4):

Рисунок 4. Синусоидальная волна

Длина волны зависит от частоты и скорости звука:

Длина волны (м) = Скорость волны (м/с) / Частота (Гц)

Cоответственно частота определяется следующим образом:

Частота (Гц) = Скорость волны (м/с) / Длина волны (м)

Из этих уравнений видно, что с увеличением частоты - длина волны уменьшается.

Таблица 4. Длина волны в зависимости от частоты звука (при температуре воздуха 20 °С)

Интенсивность звука снижается по мере увеличения расстояния от источника звука. Если звуковая волна на своем пути не встречает преград, то звук из источника распространяется во всех направлениях. На рисунке (рисунок №5) изображен характер изменения интенсивности звука - сила звука остается постоянной, но площадь воздействия увеличивается, именно поэтому в отдельно взятой точке интенсивность звука снижается.

Рисунок 5. Процесс распространения звуковой волны

В зависимости от вида источника звука - существует несколько видов звуковых волн: плоские, сферические и цилиндрические.

Рисунок 6. Виды источников звука и схематическое изображение фронта волны
а - протяженная пластина; б - точечный источник; в - линейный источник.

Плоские волны при распространении не меняют форму и амплитуду, сферические не меняют форму (амплитуда уменьшается как 1/r), цилиндрические меняют и форму, и амплитуду (убывает как 1/№r).

Белорусский государственный университет

Физический факультет Кафедра общей физики

Методические указания к лабораторной работе 23н

« ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В МЕТАЛЛЕ»

Утверждены на заседании

Кафедры общей физики

«____»__________2002 г.

Жолнеревич И.И. – зав. кафедрой общей физики, доцент Перковский Т. А.. – старший преподаватель

Задание : определить скорость звука в стальной пластинке с предельной относительной погрешностью, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности : установка для определения скорости звука стальной пластинке, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ Установка (рис. 1) состоит из

двух частей: генератора электромагнитных колебаний и стойки.

В основании стойки закреплена колонка 1 и телефон 2 (без мембраны) . Вдоль колонки можно перемещать и фиксировать в произвольном положении кронштейн 3 с тисками 4, которые служат для закрепления

пластинки 5. Ее длину можно изменять. При этом кронштейн необходимо перемещать так, чтобы нижний конец пластинки находился против телефона. С помощью винта 6 можно изменять расстояние от телефона до нижнего конца пластинки.

На передней панели генератора находится регулятор амплитуды напряжения 7, регулятор частоты 8 и дисплей 9, на котором отображаются значения амплитуды напряжения и частоты. На задней панели генератора (рис. 2) находится выключатель сети 10.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ Общие сведения. Волной называют колебания, распространяющиеся в простран-

стве с течением времени. В механической волне колебания совершают частицы вещества. Вэлектромагнитной волне происходят колебания электрического и магнитного полей.Волновым фронтом называется множество точек, до которых дошли колебания.

Это «передний край» волны. Волновой поверхностью называется множество точек, в которых колебания происходят в одинаковой фазе. В зависимости от формы волновой по-

верхности различают плоские, сферические, цилиндрическиеи т.д. волны. Длиной волны

() называется расстояние между волновыми поверхностями, колебания которых происходят с разностью фаз 2 . Период (T) – это время, за которое происходит одно колебание.Частота () – это число колебаний в единицу времени. Частота измеряется в герцах (Гц). 1 Гц – это частота, при которой происходит одно колебание в секунду. Скорость электромагнитных волн в вакууме равна 3 108 м/с. Скорость механических волн зависит от свойств вещества. За один период волна распространяется на расстояние, равное ее длине:

Волна, в которой колебания происходят с единственной частотой, называется монохроматической волной. Например, монохроматическую звуковую волну издает камертон. В большинстве случаев в волне присутствуют колебания нескольких частот.

Механические волны в веществе называются упругими волнами. Упругие волны с большой амплитудой называютсяударными волнами. Упругие волны с малой амплитудой, которые воспринимаются человеческим ухом, называютсязвуком . Частота звука лежит в интервале приблизительно от 16Гц до 20000Гц .

Упругие волны в жидкостях и газах являются продольными. В них колебания частиц вещества происходятвдоль направления распространения волны. (Волны на поверхности жидкости не являются упругими. Они вызваны либо силами поверхностного натяжения, либо силами тяжести.) В твёрдых телах могут распространяться как продольные, так ипоперечные волны. В поперечной волне колебания частиц происходятперпендикулярно направлению распространения волны.

Скорость продольных звуковых волн в твёрдых телах определяется соотношени-

где E – модуль Юнга, – плотность тела.

Теория метода. В упругом теле конечных размеров (например, струна или камертон) могут происходить колебания с определенными частотами. В этом можно убедиться, ударив молоточком по струне, камертону или другому упругому телу. Этособственные колебания упругого тела, их частоты связаны между собой. Амплитуда колебаний минимальной частоты (основного тона или первой гармоники), наибольшая. Эта частота определяет звучание тела. Амплитуда колебаний второй, третьей т.д. гармоник, или обертонов, меньше. От них зависит тембр звучания.

В упругом теле, на которое действует периодически изменяющаяся внешняя сила, возникают вынужденные колебания той же частоты. Если частота внешней силы совпадет с частотой одной из гармоник собственных колебаний тела, наступитрезонанс . При этом амплитуда колебаний тела резко возрастет.

Аналогичная зависимость наблюдается и для стальной пластинки, один конец которой жестко закреплен (рис. 3). Амплитуда колебаний пластинки резко возрастает, когда частота внешней силы, приложенной к нижнему концу пластинки, совпадает с одной из частот ν i

ее собственных колебаний (i = 1, 2, 3 … – номер гармоники колебаний). Частота ν i зависит от размеров и физических свойств (модуля Юнга и плотности) материала пластинки. Скорость звука (см. соотношение 3) также определяется физическими свойствами материала пластинки.

Теоретический анализ показывает, что скорость звука в пластинке выражается через ее длину L , толщину d , собственную частоту колебаний i и безразмерный параметр b i :

Численное значение b i определяется номером гармоники колебаний:b 1 =
1,87510; b 2	4,69410; b k	(2k 1)	K 3,4,....

Из (4) следует, что собственная частота колебаний пластинки обратно пропорциональна квадратуее длины (остальные величины в (4) постоянные):

b2 cd

Порядок выполнения задания

1. С помощью регуляторов 7 и 8 (рис. 1) установить нулевые значения амплитуды напряжения и частоты. Установить длину пластинки L = 11 см. Это максимальная длина пластинки, которой соответствует минимальная частота собственных колебаний. Про уменьшении длины пластинки собственная частота колебаний будет возрастать.

2. Включить генератор электромагнитных колебаний. Установить некоторое значение выходного напряжения (в интервале от 5 В до 9 В).

3. Увеличивая частоту (с шагом 1 Гц), определить, в каком интервале частот становятся особенно заметными вынужденные колебания пластинки. После этого, уменьшая напряжение, изменяя расстояние между нижним концом пластинки и телефоном и плавно изменяя частоту (с шагом 0,1 Гц), определить резонансную частоту (первую гармоникусобственных колебаний пластинки).

4. Определить частоту второй гармоники при данной длине пластинки. Для ускорения поиска 2 следует учесть, что2 = (b 2 /b 1 ) 2 1 = 6,267 1 (это вытекает из соотноше-

5. Уменьшая длину пластинки до 8 см через 0,5 см, определить соответствующие каждому значению L собственные частоты колебаний1 и2 . Результаты измерений занести в таблицу1.

6. Из соотношения (4) оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины c . Приборную погрешность считать равной 0,1 Гц.

Таблица 1.

Результаты измерения зависимости собственной частоты колебаний стальной пластинки от ее длины.

L , м
1 , Гц
2 , Гц

7. Обозначив в формуле (5) 1/L 2 =x, i , =y, k i =a, определить методом наименьших квадратов среднее значение и относительную случайную погрешностьk i для 1-й и 2-й гармоник (см. приложение, формулы (11) и (13)). Из соотношения (7) определить среднее значение и относительную случайную погрешностьс на 1-й и 2-й гармониках.

8. Определить полную относительную погрешность косвенных измерений скорости звука в стальной пластинке.

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

Контрольные вопросы.

1. От чего зависит скорость распространения волн в упругой среде?

2. Имеются ли среды, в которых скорость распространения поперечных волн больше, чем продольных?

3. Как определить собственные частоты колебаний упругого тела (стальной пластинки, струны рояля, столба воздуха в трубе органа)?

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г.С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. -Минск: Изд-во "Университетское", 1990.

2. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. -М.: Высшая школа, 1986.

3. Петровский И.И. Механика. -Минск: Изд-во БГУ, 1973.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. -М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.

5. Сивухин Д.В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика.

6. Стрелков С.П. Механика. -М.: Наука, 1975.

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г.С. -Минск: Изд-во "Универ-

ситетское", 1986.

ПРИЛОЖЕНИЕ

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Пусть некоторая величина y прямо пропорциональна величинех, т.е.

y = ax. (8)

Экспериментально независимыми способами измерен ряд значений x i ,i = 1, 2, ...,n , одной величины и соответствующие им значенияy i другой величины. При графической обработке результатов измерений полученные данные по соответствующим правилам изображаются в виде точек (рис. 1п). Дальнейшая задача сводится к подбору такого угла наклона проводимой прямой, при котором она располагалась бы возможно ближе ко всем точкам и по обе ее стороны оказывалось бы приблизительно равное их коли-

чество. Понятно, что выполнение подобной операции “на глаз” не может обеспечить высокую точностью Более точное математическое правило проведения прямой линии заключается в нахождении такого значения параметра а , при котором сумма квадратов отклонений всех экспериментальных точек от линии графика была бы наименьшей.

Обычно случайные погрешности в определении аргумента х незначительны (как правило, в ходе эксперимента значенияx i задаются и устанавливаются на приборах самим экспериментатором). Поэтому отклонения экспериментальных точек от прямой, т.е. случайные погрешностиy i , будут равны разностям ординат данных точек и соответствующих точек на прямой (см. рис. 1п). Согласно методу наименьших квадратов наилучшей будет та прямая, для которой будет минимальной величина

	y i 2n	(ax iy i) 2 .

По условию минимума производная от величины S по параметруa должна быть равна нулю:

При количестве измерений n 10 абсолютную случайную погрешность принимают равнойa c = 3a , приn = 7a c = 4a , приn = 5 величинаa c = 5a .

Относительная случайная погрешность a,c =a c /a, или в процентах

a, c

Инструментальные и другие погрешности оценивают так же, как и при косвенных измерениях.

Скорость звука.

Скорость звука – скорость перемещения в среде упругой волны при условии, что форма ее профиля остается неизменной. Напр., для плоской волны, бегущей без изменения формы со скоростью с в направлении оси x , звуковое давление можно записать в виде: р=р(х-сt) , где t – время, а функция р дает форму профиля волны. Для гармонич. волны р= А cos(w t – kx + j) . Звуковая волна выражается через частоту w и волновое число k формулой . Скорость гармоничной волн называется также фазовой скоростью звука. В средах, в которых форма волн произвольной формы меняется при распространении, гармоничные волны тем не менее сохраняют свою форму, но фазовая скорость оказывается различной для различных частот, т.е. имеет место дисперсия скорости звука . В этих случаях пользуются также понятием групповой скорости . При больших амплитудах упругой волны появляются нелинейные эффекты , приводящие к изменению формы любых волн, в т.ч. гармонических, так что понятие скорости звука теряет определенность. В этом случае скорость распространения каждой точки профиля волны зависит от амплитуды давления в этой точки. Эта скорость растет с ростом давления в данной точке профиля, что приводит к искажению формы волны.

Скорость звука в газах и жидкостях . В газах и жидкостях звук распространяется в виде объемных волн разрежения – сжатия, причем процесс происходит обычно адиабатически, т.е. изменение температуры в звуковой волне не успевает выравниваться, т.к. за ½ периода тепло из нагретых (сжатых) участков не успевает перейти к холодным (разреженным).

Скорость звука в газах меньше, чем в жидкостях, а в жидкостях, как правило, меньше, чем в твердых телах. В таблице 2.1 приведены значения скорости звука для некоторых газов и жидкостей.

Таблица 2.1

Скорость звука в идеальных газах при заданной температуре не зависит от давления и растет с ростом температуры как , где Т – абсолютная температура. Изменение скорости звука, отнесенное к одному градусу, равно . При комнатной температуре относительное изменение скорости звука в воздухе при изменении температуры на 1 градус составляет примерно 0,17%. В жидкостях скорость звука, как правило, уменьшается с ростом температуры, и изменение температуры на один градус составляет, напр., - 5,5 м/с×град для ацетона и – 3,6 м/с×град для этилового спирта. Исключением из этого правила является вода, в которой скорость звука при комнатной температуре увеличивается с ростом температуры на 2,5 м/с×град, достигает максимума при температуре » 74°С и с дальнейшим ростом температуры уменьшается. Скорость звука в воде растет с увеличением давления примерно на 0,01% на 1 атмосферу; кроме того, скорость звука в воде растет с увеличением содержания растворенных в ней солей.

В сжиженных газах скорость звука больше, чем в газе при той же температуре. Так, например, в газообразном азоте при температуре минус 195°С скорость звука равна 176 м/с, а в жидком при той же температуре минус 859 м/с; в газообразном и жидком гелии при минус 269°С она равна соответственно 102 м/с и 198 м/с.

В водных растворах солей скорость звука растет с ростом концентрации по всем интервале концентраций. Таким образом, измерения скорости звука могут служить для определения и контроля концентрации компонент смесей и растворов.

Скорость звука в твердых телах . Скорость звука в изотропных твердых телах определяется модулями упругости вещества. В неограниченной твердой среде распространяются продольные и сдвиговые (поперечные) упругие волны , причем фазовая скорость звука для продольной волны равна:

, а для сдвиговой

,

где Е – модуль Юнга; r - плотность вещества; G – модуль сдвига; n - коэффициент Пуассона; К – модуль объемного сжатия. В металлах, где n=0,3 , можно проследить зависимость отношения скоростей звука по рис. 2.2.

Рис. 2.2. Зависимость соотношения скоростей продольных , поперечных , поверхностных волн и волн в стержнях (при d<<1) от коэффициента Пуассона.

Скорость распространения продольных волн всегда больше, чем скорость сдвиговых волн, а именно выполняется соотношение . Значения продольной и поперечной скорости звука для некоторых твердых тел приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Скорость звука в некоторых твердых веществах.

Материал	м/с	м/с	С ст, м/с
Бетон	4200-5300	-	-
Полистирол	2350-2380		1860-2240
Железо	5835-5950	3180-3240	5000-5200
Золото	3200-3240
Платина	3260-3960	1670-1730	2690-2800
Свинец	1960-2400	700-790	1200-1320
Цинк	4170-4210		3700-3850
Серебро	3650-3700	1600-1690	2610-2800
Углеродистые стали	5900 - 5940	3220 – 3250	5099-5177
Нержавеющие стали	5660 – 6140	3120 – 3250
Титан
Медь
Алюминиевый сплав АМГ

В ограниченных твердых телах, кроме продольной и поперечной волн, имеются и другие типы волн. Так, вдоль свободной поверхности твердого тела или вдоль границы его с другой средой распространяется специфический вид волн – поверхностные волны , скорость которых меньше, чем все остальные скорости звука для данного твердого тела. В пластинах, стержнях и других твердых акустических волноводах распространяются нормальные волны , скорость которых определяется не только упругими характеристиками вещества, но и геометрией тела. Так, например, скорость звука для продольной волны в стержне, поперечные размеры которого много меньше длины волны, равна: . В таблице 2.2 приведены значения скорости звука в тонком стержне для некоторых материалов.

Скорость звука - скорость распространения упругих волн в среде: как продольных (в газах, жидкостях или твёрдых телах), так и поперечных, сдвиговых (в твёрдых телах). Определяется упругостью и плотностью среды: как правило, в газах скорость звука меньше, чем в жидкостях , а в жидкостях - меньше, чем в твёрдых телах. Также, в газах скорость звука зависит от температуры данного вещества , в монокристаллах - от направления распространения волны. Обычно не зависит от частоты волны и её амплитуды ; в тех случаях, когда скорость звука зависит от частоты, говорят о дисперсии звука.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Уже у античных авторов встречается указание на то, что звук обусловлен колебательным движением тела (Птолемей , Евклид). Аристотель отмечает, что скорость звука имеет конечную величину, и правильно представляет себе природу звука . Попытки экспериментального определения скорости звука относятся к первой половине XVII в. Ф.Бэкон в «Новом органоне » указал на возможность определения скорости звука путём сравнения промежутков времени между вспышкой света и звуком выстрела. Применив этот метод, различные исследователи (М.Мерсенн , П.Гассенди , У.Дерхам , группа учёных Парижской академии наук - Д.Кассини , Ж.Пикар , Гюйгенс , Рёмер) определили значение скорости звука (в зависимости от условий экспериментов, 350-390 м/с). Теоретически вопрос о скорости звука впервые рассмотрел И.Ньютон в своих «Началах ». Ньютон фактически предполагал изотермичность распространения звука, поэтому получил заниженную оценку. Правильное теоретическое значение скорости звука было получено Лапласом .

  Расчёт скорости в жидкости и газе

  Скорость звука в однородной жидкости (или газе) вычисляется по формуле:

  c = 1 β ρ {\displaystyle c={\sqrt {\frac {1}{\beta \rho }}}}

  В частных производных:

  c = − v 2 (∂ p ∂ v) s = − v 2 C p C v (∂ p ∂ v) T {\displaystyle c={\sqrt {-v^{2}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{s}}}={\sqrt {-v^{2}{\frac {Cp}{Cv}}\left({\frac {\partial p}{\partial v}}\right)_{T}}}}

  где β {\displaystyle \beta } - адиабатическая сжимаемость среды; ρ {\displaystyle \rho } - плотность; C p {\displaystyle Cp} - изобарная теплоемкость; C v {\displaystyle Cv} - изохорная теплоемкость; p {\displaystyle p} , v {\displaystyle v} , T {\displaystyle T} - давление, удельный объём и температура среды; s {\displaystyle s} - энтропия среды.

  Для растворов и других сложных физико-химических систем (например, природный газ, нефть) данные выражения могут давать очень большую погрешность.

  Твёрдые тела

  При наличии границ раздела, упругая энергия может передаваться посредством поверхностных волн различных типов, скорость которых отличается от скорости продольных и поперечных волн. Энергия этих колебаний может во много раз превосходить энергию объемных волн.