Презентация на тему "фракталы". Презентация к исследовательской работе фрактальная графика

«Компьютерное изображение» - Исходное изображение. Лекция 1. IP -> CV -> CG (2). Обработка изображений. Реконструкция формы головы по фотографиям. Фото с базовыми линиями. На лекции. Отображение ночного тона на дневной. Закраска индивидуальных полигонов (плоская “flat” закраска). Закраска Гуро (Gouraud) (диффузное отражение).

«Пиктограмма» - Показать любые счета. Определения (состояния строчек). Отправить. Добавить. Отправленный… (в ожидании оплаты). (Удалить строчку) …совсем. Строчка не обязательно должна быть связана со счетом. Команды для работы со строчками в счетах. Собрать строчки в счет. Конструирование языка пиктограмм пользовательского интерфейса.

«Графика и её виды» - Простейшими объектами являются: Векторная графика. Растровая. Изображение строится по уравнению. Компьютерные программы. Векторная графика является объектной. К примеру экран 15” монитора составляет 28Х21 см. Растровая для разработки электронных и полиграфических изданий. Векторная. Недостатки. Фрактальная.

«Растровые изображения» - 12. 10000000. 00010001. 9. 2. 8. 00001001. РТ: №37, стр. 29. 0 – белый цвет, 1 – черный цвет. 4. РТ: №37, стр. 29-30. 10. Цель: 01000000.

«Инженерная графика» - Покровская М.В. Один из примеров - план вавилонского дома с разрезом по дверным и оконным проемам и указанием клинописью размеров. С начала XIX в. Начертательную геометрию стали изучать в российских учебных заведениях. Петровские реформы начала XVIII в. придали ускорение развитию графической культуры России.

«Компьютерная графика в школе» - Применение компьютерной графики в презентациях и моделировании объектов. Работа с элементами окна, главным меню и инструментальными панелями. Графический редактор MS Paint, графические возможности текстового процессора MS Word. Основы диалога ученик – компьютер. Основные операции с файлами и папками.

Фракталы: Геометрические Алгебраические Системы итерируемых функций Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. Существуют и другие классификации фракталов, например деление фракталов на детерминированные (алгебраические и геометрические) и недетерминированные (стохастические). Стохастические фракталы

И льётся свет в ночи От каждого луча … И сходятся лучи В холодных три ключа. И каждый из ключей Законам вопреки Неведомо зачем Впадает в три реки, Чей инфернальный бег Сметает все мосты. И каждая из рек - Начало трёх пустынь. И в бездну мир несёт За острые края.. И поглощает всё Фрактал небытия.

Изобретения Кантора: Построение классической пыли Кантора начинается с выбрасыванием средней трети (не включая концы) единичного отрезка. То есть исходное множество есть отрезок , и первый шаг состоит в удалении открытого интервала (1/3, 2/3). На следующем и всех остальных шагах выкидываем среднюю треть (не включая концы) всех отрезков текущего уровня. Таким образом, получается последовательность множеств Два множества можно сравнивать по величине, сопоставляя элементы одного множества с элементами другого. Например, чтобы определить, каких шариков в ведёрке больше: цветных или чёрных, можно брать их из ведёрка парами, состоящими из цветного и чёрного шариков, до тех пор, пока там не останутся шарики одного цвета. Именно этот остаток и указывает, каких шариков было больше. Такой же принцип Кантор применил для количественного сравнения бесконечных множеств.

Джузеппе Пеано итальянский математик Внёс вклад в математическую логику, аксиоматику, философию математики. Создатель вспомогательного искусственного языка латино - сине - флексионе. Более всего известен как автор стандартной аксиоматизации натуральной арифметики арифметики Пеано

Изобретения Пиано На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длинной в 3 раза меньшей, чем длинна исходной линии (Часть 1 и 2 рисунка 1). Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость.

Вацлав Франциск Серпинский.. выдающийся польский математик. Известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум - гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Автор более 700 статей и 50 книг. Его именем названы числа Серпинского, а также три широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, кривая Серпинского. ()

Позднее он дал определение фрактала: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком- то смысле подобны целому"

Мандельброт пишет в своей книге: « Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в её неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака – это не сферы, горы не углы, линия побережья – не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия …»

"Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий» Козьма Прутков"Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия
слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий»
Козьма Прутков
Фракталы - самые красивые, очаровательные и странные порождения
геометрии XX века. Это детища сухой математики, но они настолько
эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью
компьютера потрясла мир, а книга организаторов выставки ХайнцаОтто Пайтгена и Петера Рихтера, "Красота фракталов" раскупалась как
художественный альбом.
Они упорядочены, но это не упорядоченность монотонного
орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.
Они геометричны, но это геометрия не идеалиста Платона, искавшего
везде отполированные формы правильных многогранников, а
геометрия реального мира - ветвистого, пористого, шершавого,
зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя, польский математик Мандельброт с французским именем Бенуа,
проработавший большую часть жизни на американскую корпорацию
IBM, - назвал свой главный труд "Фрактальная геометрия природы".

" Облака не сферы, горы - не конусы, линии берегов - не окружности, и не гладка древесная кора и не прям путь молнии» Бенуа Мандельброт, Фракта

" Облака не сферы, горы - не конусы, линии берегов - не окружности,
и не гладка древесная кора и не прям путь молнии»
Бенуа Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, 1982
Основное свойство фракталов - самоподобие. Любой
микроскопический фрагмент фрактала в том или
ином отношении воспроизводит его глобальную
структуру. В простейшем случае часть фрактала
представляет собой просто уменьшенный целый
фрактал.
Отсюда основной рецепт построения фракталов:
возьми простой мотив и повторяй его, постоянно
уменьшая размеры. В конце концов выйдет
структура, воспроизводящая этот мотив во всех
масштабах, - бесконечная лестница вглубь.
Как форма и размер отдельных элементов, так и их
взаимное расположение может быть описано
математической формулой.

Фрактальная графика может применяться во многих областях
естественных наук. Фракталы помогают геофизикам определять
и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры
и особенности распределения в ее слоях различных химических
элементов, а астрономам – моделировать формирование
планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и
космической пыли.
Многие природные объекты также самоподобны и состоят из
повторяющихся элементов разных размеров. Очевидные
примеры – дерево, куст, колония кораллов.
Еще более наглядным
примером может
служить соцветие
«сложный зонтик» –
«зонтик», состоящий, в
свою очередь, из
маленьких зонтиков. На
рисунке слева показано
соцветие растения из
семейства зонтичных, а
справа - его схема,
построенная с
использованием
фрактальной графики.

Фрактальная графика

Фрактальная графика, как и векторная - вычисляемая, но
отличается от нее тем, что никакие объекты в памяти
компьютера не хранятся. Фрактальное изображение строится по
уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме
формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в
уравнении, можно получить совершенно другую фрактальную
картину.
Для выполнения расчетов, связанных с фрактальной
геометрией, и графического представления получающихся
результатов существует множество различных компьютерных
программ. В их основе лежит возможность ввода базовой
формулы, отражающей предполагаемый тип элемента
фрактала и ее последующих изменений, позволяющих
трансформировать фигуры – элементы фрактала: увеличивать
их или уменьшать, поворачивать относительно центра рисунка
или начальной точки и, главное, задавать количество вложений,
т.е. число шагов программы.

Построение фракталов

Простейшим фрактальным объектом является фрактальный
треугольник.
1. Постройте обычный равносторонний треугольник.
2. Разделите каждую из его сторон на три отрезка.
3. На среднем отрезке стороны постройте
равносторонний треугольник со стороной,
равной 1/3 стороны исходного треугольника, а
на других отрезках постройте равносторонние
треугольники со стороной, равной 1/9.
4. С полученными треугольниками повторите те
же операции. Вскоре вы увидите, что
треугольники последующих поколений
наследуют свойства своих родительских
фрактальных структур.
5. Так рождается фрактальная фигура.

Процесс фрактального
наследования можно
продолжать до
бесконечности.
Взяв такой бесконечный
фрактальный объект и
рассмотрев его в лупу или
микроскоп, можно найти в
нем все новые и новые
детали, повторяющие
свойства исходной
фрактальной структуры.

Построение фракталов

Еще один известный фрактал – кривая
Коха.
Берем отрезок и среднюю его треть
переламываем под углом 60 градусов.
Затем повторяем эту операцию с каждой
из частей получившейся ломаной - и так
до бесконечности. В результате мы
получим простейший фрактал - триадную
кривую, которую в 1904 году открыла
математик Хельга фон Кох.
Если на каждом шаге не только
уменьшать основной мотив, но также
смещать и поворачивать его, можно
получить более интересные и
реалистически выглядящие образования,
например, лист папоротника или даже
целые их заросли.

Построение фракталов

Фрактальными свойствами обладают
многие объекты живой и неживой природы.
Обычная снежинка, многократно
увеличенная, оказывается фрактальным
объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в
основе роста кристаллов и растений.
Взгляните на ветку папоротникового
растения, и вы увидите, что каждая
дочерняя ветка во многом повторяет
свойства ветки более высокого
фрактального уровня.
В отдельных ветках деревьев чисто
математическими методами можно
проследить фрактальные свойства всего
дерева. А если ветку поставить в воду, то
вскоре можно получить саженец, который
со временем разовьется в полноценное
дерево (это легко удается сделать с веткой
тополя).

Фракталы

1.Введение.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли их в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Цель моей работы показать красоту фрактальной графики и увидеть при изучении не только треугольники, пирамиды, углы и системы счисления, но и разнообразные фракталы.

2.Понятие «фрактал».

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фрактал (от лат. – дробленый, состоящий из фрагментов) – термин, обозначающий геометрическую фигуру, составленную из нескольких частей, каждая их которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Слово «фрактал» было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature».

Роль фракталов в компьютерной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения компьютерной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

3. Свойства.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов.

4.Применение.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

- компьютерные системы:

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами.

Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

-механика жидкостей:

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков

Например, атмосфера Юпитера представляет собой одно из самых захватывающих зрелищ в Солнечной системе (рис.). Между ледяным холодом космического пространства и тысячеградусной жарой в глубинах атмосферного океана гигантской планеты зарождаются циклопические облачные вихри самых причудливых форм.

-телекоммуникации:

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

-физика поверхностей:

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

-медицина:

Биосенсорные взаимодействия. Биения сердца.

-биология:

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья

-фрактальное искусство:

Еще одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов служит компьютерное искусство. Фракталы не только служат ученым, но и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы

5. Виды фракталов.

Решётка Серпинского

Треугольник Серпинского

Губка Серпинского

Кривая Коха

Фрактал Мандельброта

Кривая Дракона

Множество Мандельброта

Множество Жюлиа

6.Как построить фрактал.

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно.

Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

задать форму рисунка математической формулой

исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры

выбрать вид изображения

выбрать палитру цветов

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)

«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

7.Заключение.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день