Многоугольник распределения процентных частот. Теоретический материал по модулям "теория вероятности и математическая статистика". Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник (полигон) распределения

Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное значение.

Количество студентов, присутствующих на лекции.

Количество домов, сданных в эксплуатацию в текущем месяце.

Температура окружающей среды.

Вес осколка разорвавшегося снаряда.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.

Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

В приведенных примерах: 1 и 2 – дискретные случайные величины, 3 и 4 – непрерывные случайные величины.

В дальнейшем, вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.

Как правило, случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения – маленькими.

В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х =φ(ω), где ω – элементарное событие принадлежащее пространству Ω (ω  Ω). При этом множество Ξ возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).

Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал).

Формы задания законов распределения случайных величин. Ряд распределения.

Это таблица в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижней – вероятности этих значений: p 1 , p 2 , ..., p n , где p i = Р{Х = x i }.

Так как события {Х = x 1 }, {Х = x 2 }, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна единице

Ряд распеделения используется для задания закона распределения только дискретных случайных величин.

Многоугольник распределения

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для наглядности!) соединяются отрезками прямых.

Интегральная функция распределения (или просто функция распределения).

Это функция, которая при каждом значении аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина  окажется меньше, чем значение аргумента х.

Функция распределения обозначается F(x): F(x) = P {X  x}.

Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Функция распределения – это наиболее универсальная форма задания с. в., которая может использоваться для задания законов распределения как дискретных, так и непрерывных с. в.

Ответ: Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:

Т. е. распределение вероятностей различных значений может быть задано таблицей распределения, в которой в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней – вероятности соответствующих ей значений. Так как несовместные события (3.1) образуют полную группу, то , т. е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице. Распределение вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероятность получить какое-либо определенное значение равна нулю. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т. е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения. Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины X. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	p 1	p 2	× × ×	p n

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Рис. 3.1

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 3.1). Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. он является одной из форм закона распределения. Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в n отдельных точках сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

Cтраница 2

Графически закон распределения дискретной величины задается в виде так называемого многоугольника распределения.  

Графическое изображение ряда распределения (см. рис. 5) называется многоугольником распределения.  

Для характеристики закона распределения прерывной случайной величины часто применяют ряд (таблицу) и многоугольник распределения.  

Для его изображения в прямоугольной системе координат строят точки (У Pi) (x - i Pa) и соединяют их отрезками прямых. Многоугольник распределения дает приближенное наглядное представление о характере распределения случайной величины.  

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х /, р, а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.  

M (xn; pn) (лс - - возможные значения Xt pi - соответствующие вероятности) и соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.  

Рассмотрим распределение вероятностей суммы очков на игральных костях. На рисунках ниже приведены многоугольники распределения для случая одной, двух и трех костей.  

В этом случае вместо многоугольника распределения случайной величны строится функция плотности распределения, которая получила название дифференциальной функции распределения и представляет собой дифференциальный закон распределения. В теории вероятностей под плотностью распределения случайной величины х (х Хг) понимают предел отношения вероятности попадания величины х в интервал (х, х - - Ах) к Ах, когда Ал; стремится к нулю. Кроме дифференциальной функции для характеристики распределения случайной величины применяется интегральная функция распределения, которую часто называют просто функцией распределения или интегральным законом распределения.  

При таком построении относительные частоты попадания в интервалы будут равны площадям соответствующих столбиков гистограммы, подобно тому, как вероятности равны площадям соответствующих криволинейных трапеций Если предполагаемое теоретическое распределение хорошо согласуется с опытом, то при достаточно большом п и удач - ном выборе интервалов (YJ-I, у. Иногда еще для наглядности сравнения строят многоугольник распределения, соединяя последовательно середины верхних оснований столбиков гистограммы.  

Придавая т различные значения от 0 до я, получают вероятности PQ, Р РЧ - Рп, которые наносятся на график. Дано р; я11, построить многоугольник распределения вероятностей.  

Законом распределения дискретной случайной величины называют любое соответствие между возможными ее значениями и их вероятностями. Закон можно задать таблично (ряд распределения), графически (многоугольник распределения и др.) и аналитически.  

Нахождение кривой распределения, другими словами, установление распределения самой случайной величины, дает возможность более глубоко исследовать явление, далеко не полно выражаемое данным конкретным рядом распределения. Представив на чертеже как найденную выравнивающую кривую распределения, так и многоугольник распределения, построенный на основе частичной совокупности, исследователь может ясно видеть характерные особенности, присущие изучаемому явлению. Благодаря этому статистический анализ задерживает внимание исследователя на отклонениях наблюденных данных от некоторого закономерного изменения явления, и перед исследователем возникает задача - выяснить причины этих отклонений.  

Затем из середины интервалов проводятся абсциссы (в масштабе), соответствующие числу месяцев с расходом в данном интервале. Концы этих абсцисс соединяются и, таким образом, получается полигон, или многоугольник распределения.  

Точки, дающие графическое представление закона распределения дискретной случайной величины на координатной плоскости значения величины - вероятность значений, обычно соединяют отрезками прямых и называют получающуюся при этом геометрическую фигуру многоугольником распределения. На рис. 3 в таблице 46 (а также на рисунках 4 и 5) как раз изображены многоугольники распределений.  

Задача 14. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000000 руб., 10 выигрышей по 100000 руб. и 100 выигрышей по 1000 руб. при общем числе билетов 10000. Найти закон распределения случайного выигрыша Х для владельца одного лотерейного билета.

Решение . Возможные значения для Х : х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 = 1000000. Вероятности их соответственно равны: р 2 = 0,01; р 3 = 0,001; р 4 = 0,0001; р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следовательно, закон распределения выигрыша Х может быть задан следующей таблицей:

Задача 15 . Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

Построить многоугольник распределения.

Решение . Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие вероятности р i . Построим точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6;0,4) и М 4 (8;0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения.

§2. Числовые характеристики случайных величин

Случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения. Осредненное описание случайной величины можно получить при использовании ее числовых характеристик

2.1. Математическое ожидание. Дисперсия.

Пусть случайная величина может принимать значения с вероятностями соответственно .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величинаы называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности:

Свойства математического ожидания.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Для вычислений используется следующая формула

Свойства дисперсии.

2. , где взаимно независимые случайные величины.

3. Среднеквадратическое отклонение .

Задача 16. Найти математическое ожидание случайной величины Z = X+ 2Y , если известны математические ожидания случайных величин X и Y : М (Х ) = 5, М (Y ) = 3.

Решение . Используем свойства математического ожидания. Тогда получаем:

М (Х+ 2Y ) = М (Х ) + М (2Y ) = М (Х ) + 2М (Y ) = 5 + 2 . 3 = 11.

Задача 17. Дисперсия случайной величины Х равна 3. Найти дисперсию случайных величин: а) –3Х; б) 4Х + 3.

Решение . Применим свойства 3, 4 и 2 дисперсии. Имеем:

а) D (–3Х ) = (–3) 2 D (Х ) = 9 D (Х ) = 9 . 3 = 27;

б) D (4 Х + 3) = D (4Х ) + D (3) = 16D (Х ) + 0 = 16 . 3 = 48.

Задача 18. Дана независимая случайная величина Y – число очков, выпавших при бросании игральной кости. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y .

Решение. Таблица распределения случайной величины Y имеет вид:

Тогда М (Y ) = 1 · 1/6 + 2 · 1/6 + 3 · 1/6+ 4 · 1/6+ 5 · 1/6+ 6 · 1/6 = 3,5;

D (Y ) = (1 – 3,5) 2 · 1/6 +(2 – 3,5) 2 · /6 + (3 – 3,5) 2 · 1/6 + (4 – 3,5) 2 · /6 +(5 – –3,5) 2 · 1/6 + (6 – 3,5) 2. · 1/6 = 2,917; σ (Y ) =Ö 2,917 = 1,708.

Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что значения, используемые для анализа зависят от случайных причин, поэтому такие переменные величины называются случайными . В большинстве случаев они появляются в результате наблюдений или экспериментов, которые сводятся в таблицы, в первой строке которой записываются различные наблюдаемые значения случайной величины Х, а во второй – соответствующие частоты. Поэтому такая таблица называется эмпирическим распределением случайной величины Х или вариационным рядом . Для вариационного ряда мы находили среднее значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

непрерывной , если ее значения целиком заполняют некоторый числовой промежуток.

Случайная величина называется дискретной , если все ее значения можно занумеровать (в частности, если оно принимает конечное число значений).

Следует отметить два характерных свойства таблицы распределения дискретной случайной величины:

Все числа второй строки таблицы положительны;

Их сумма равна единице.

В соответствие с проведенными исследованиями можно предположить, что при увеличении числа наблюдений эмпирическое распределение приближается к теоретическому, заданному в табличной форме.

Важной характеристикой дискретной случайное величины является ее математическое ожидание.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения , , …, .с вероятностями , , …, называется число:

Математическое ожидание также называют средним значением.

К другим важным характеристикам случайной величины относятся дисперсия (8) и среднее квадратическое отклонение (9).

где: математическое ожидание величины X.

. (9)

Графическое представление информации значительно нагляднее, чем табличное, поэтому возможность электронных таблиц MS Excel представлять размещенные в них данные в виде различных диаграмм, графиков и гистограмм используется очень часто. Так, помимо таблицы, распределение случайной величины изображают также с помощью многоугольника распределения . Для этого на координатной плоскости строят точки с координатами , , … и соединяют их прямыми отрезками.

Для получения прямоугольника распределения посредством MS Excel необходимо:

1. Выбрать на панели инструментов закладу «Вставка» ® «Диаграмма с областями».

2. Активизировать появившуюся на листе MS Excel область для диаграммы правой кнопкой мыши и в контекстном меню воспользоваться командой «Выбрать данные».

Рис. 6. Выбор источника данных

Сначала определим диапазон данных для диаграммы. Для этого в соответствующую область диалогового окна «Выбор источника данных» введем диапазон C6:I6 (в нем представлены значения частот под названием Ряд1, рис. 7).

Рис. 7. Добавление ряда 1

Для изменения названия ряда необходимо выбрать кнопку изменить область «Элементы легенды (ряды)» (см. рис. 7) и назвать его .

Для того, чтобы добавить подпись оси X необходимо воспользоваться кнопкой «Изменить» области «Подписи горизонтальной оси (категории)»
(рис. 8) и указать значения ряда (диапазон $C$6:$I$6).

Рис. 8. Окончательный вид окна диалога «Выбор источника данных»

Выбор кнопки в окне диалога «Выбор источника данных»
(рис. 8) позволит получить требуемый многоугольник распределения случайной величины (рис. 9).

Рис. 9. Многоугольник распределения случайной величины

Внесем некоторые изменения в дизайн полученной графической информации:

Добавим подпись оси Х;

Отредактируем подпись оси Y;

- добавим заголовок для диаграммы «Многоугольник распределения».

Для этого выберем в области панели инструментов закладку «Работа с диаграммами» закладку «Макет» и в появившейся панели инструментов соответствующие кнопки: «Название диаграммы», «Названия осей» (рис. 10).

Рис. 10. Итоговый вид многоугольника распределения случайной величины