Математические понятия. Определение через ближайший род и видовое отличие

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет равные стороны, равносторонний треугольник - равные углы, четные числа делятся на 2 и т.д. Данные объекты имеют и другие свойства: квадрат имеет прямые углы, равносторонний треугольник - равные стороны, четные числа на 1 больше нечетных в порядке их следования.

При выделении объекта из ряда других объектов различают его существенные и несущественные свойства.

Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него не может существовать.

Несущественные свойства - это свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Например, четные числа делятся на 2 - существенное свойство, больше на 1 - несущественное.

Чтобы понимать, что представляет собой объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Условимся обозначать понятия строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о квадрате, имеют в виду геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия - это множество объектов, обозначаемых одним термином. Соответственно обозначаются большими буквами латинского алфавита: A, B, C…

Совокупность всех взаимосвязанных существенных свойств объекта, отраженных в данном понятии, составляет содержание понятия.

Рассмотрим,например,понятие «прямоугольник».

Объем понятия - это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник». В содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник».

Если объемы понятий a и b не пересекаются, т.е. А В=, то говорят, что понятия a и b несовместимы.

Если объемы понятий a и b находятся в отношении пересечения, т.е. А В, то понятия совместимы.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b , т.е. А В и АВ , то говорят, что:

1) понятие а является видовым по отношению к понятию b , а понятие b - родовым по отношению к a ;

2) понятие a уже, чем понятие b , а понятие b шире понятия а ;

3) понятие а есть частный случай понятия b , а понятие b есть обобщение понятия а.

Например, если а - «прямоугольник», b - «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения: А В и АВ , поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» - видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» - родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если объемы понятий равны, т.е. А=В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны, так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение вида и рода между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» - родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовым являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Например, «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами прямоугольника.

Так как объем понятия является множеством, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера. Установим отношения между некоторыми понятиями и изобразим отношения между их объемами на кругах Эйлера: 1) а - «целое число»,
b - «натуральное число», с - «отрицательное число»; 2) а - «дерево», b - «растение», с - «кустарник».

Решение: Выясним, в каком отношении находятся данные объемы.

1) Целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Натуральные числа - это целые положительные. Отрицательные числа могут быть и целыми и дробными. Значит В А, АС, ВС. На кругах Эйлера это выглядит так.

Во-первых, понятия рода и вида относительны : одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например , понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых , для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В–третьих , видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например , квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия – множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

В

3) а - «прямая», b – «отрезок».

Объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид.

Замечание.Если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого.

Например , отрезок не обладает такими свойствами прямой, как ее бесконечность.

3. Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и тогда определение выглядит так: а b

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными . Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части – определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием .

Определение. Видовое отличие – это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Определяющее понятие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во–первых , слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых , не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а , определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) – буквой с , а видовое отличие – буквой Р , то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем позже.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие, то о его объеме – множестве А – можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р: А= { х | хÎ С и Р (х)}.

Например , если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», - то объем понятия «острый угол» – это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой – либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

Требования к определению понятий

Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например , определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, чтонельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.

Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Определение должно быть ясным.

Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например , если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например , два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.

5. Неявные определения

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используются редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много – об этом мы говорили в начале лекции. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее.

В обучении младших школьников особый интерес среди неявных определений составляют контекстуальные и остенсивные определения.

Вконтекстуальныхопределениях содержание нового понятияраскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретнойситуации, описывающей смысл определяемого понятия с другими,известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание . Например , употребляя в работе с детьми такие выражения, как «найти значения выражения», «сравнить значение выражений 5 + а и (а - 3) × 2, если а = 7», «прочитать выражения, которые являются суммами», «прочитать выражения, и потом прочитать уравнения», мы раскрываем понятие «математическое выражение» как запись, которая складывается из чисел или переменных и знаков действий.

Или, примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенного в учебнике математики для 3 класса. Здесь после записи ð + 6= 15 и перечня чисел 0,5,9,10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

Х + 6 = 15 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9+6=15.

Объясни, почему числа 0; 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения – это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Почти все определения, с которыми мы встречаемся в повседневной жизни - это контекстуальные определения. Услышав, неизвестное слово, мы стараемся сами установить его значение на основании всего сказанного.

Подобное имеет место и в обучении младших школьников. Много математических понятий в начальной школе определяются через контекст. Это, например , такие понятия, как «большой - маленький», «какой-нибудь», «любой», «один», «много», «число», «арифметическое действие», «уравнение», «задача» и т.д.

Контекстуальные определения остаются большей частью неполными и незавершенными. Они применяются в связи с неподготовленностью младшего школьника к усвоению полного и тем более научного определения.

Остенсивные определния - это определения путем демонстрации . Они напоминают обычные контекстуальные определения, но контекстом здесь есть не отрывок какого-либо текста, а ситуация, в которой оказывается объект, обозначенный понятием.

Например , учитель показывает квадрат (рисунок или бумажную модель) и говорит «Смотрите - это квадрат». Это типичное остенсивное определение.

Они используются также для введения терминов путем показа объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

2 × 7 > 2 × 6 9×3 = 27

78- 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

37+ 6 > 37 17 - 5 = 8 + 4

В начальных классах остенсивные определения применяются при рассмотрении таких понятий как «красный (белый, черный и т.д.) цвет», «левый - правый», «слева направо», «цифра», «предшествующее и следующее число», «знаки арифметических действий», «знаки сравнения», «треугольник», «четырехугольник», «куб» и т.д.

На основе усвоения остенсивным путем значений слов есть возможность вводить в словарь ребенка уже вербальное значение новых слов и словосочетаний. Остенсивные определения - и только они - связывают слово с вещами. Без них язык - лишь словесное кружево, которое не имеет объективного, предметного содержания.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет понятие из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Заметим, что в начальных классах допустимые определения наподобие «Словом «пятиугольник» мы будем называть многоугольник с пятью сторонами». Это так называемое «номинальное определение » .

Отдельные определения могут рассматривать понятие и по способу его образования или возникновения. Определение такого типа называют генетическими .

Примеры генетических определений : «Угол - это лучи, которые выходят с одной точки», «Диагональ прямоугольника - отрезок, который соединяет противоположные вершины прямоугольника». В начальных классах генетические определения применяют для таких понятий, как «отрезок», «ломаная», «прямой угол», «круг».

К генетическим понятиям можно отнести и определение через перечень .

Например , «Натуральный ряд чисел - это числа 1, 2, 3, 4 и т.д.».

Некоторые понятия в начальных классах вводят только через термин.

Например , единицы времени год, месяц, час, минута.

Есть в начальных классах понятия, которые подаются символическим языком в виде равенства, например, а ×1 = а, а × 0 = 0

В начальных классах много математических понятий сначала усваиваются поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Всякий математический объект обладает какими-то свойствами. Так, например, треугольник обладает такими свойствами: имеет три стороны; 2) три внутренних угла; 3) шесть попарно равных внешних углов и т. д. Подобные утверждения о наличии или отсутствии у данного объекта какого-либо свойства называются суждениями. Вот еще примеры суждений: 1) четырехугольник имеет две диагонали; 2) за каждым натуральным числом непосредственно следует в натуральном ряду другое натуральное число; 3) четное число делится на два и т. д.

Суждениями являются также предложения, указывающие на отношения или связи объектов, например: "5 больше 3", "АВ является стороной треугольника ABC ", "Угол А не является смежным с углом В " и т. д. А вот вопросы или требования не являются суждениями.?

Среди свойств какого-либо объекта имеются существенные и несущественные для его определения. Свойство является существенным, если оно присуще этому объекту и без него оно не может существовать. Несущественные свойства - это обычно случайные, их отсутствие, как правило, не влияет на существование объекта. Заметим, что при решении конкретных задач несущественные вообще свойства объектов могут иметь и существенное значение для решения данной задачи.

Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник, изображенный на рис. 3. Его свойства: 1) стороны треугольника АВ и ВС равны; 2) медиана BD перпендикулярна основанию АС и делит угол В пополам - это существенные свойства этого треугольника. А вот свойства: 3) основание АС равнобедренного треугольника ABC горизонтально или 4) вершина равнобедренного треугольника обозначена буквой В - являются несущественными. Если мы как-то повернем этот треугольник и его основание при этом окажется расположено не горизонтально или обозначим вершину какой-то другой буквой, то ведь треугольник не перестанет быть равнобедренным.

Поэтому, чтобы понимать, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие - это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте.

Заметим, что когда говорят о математическом объекте, то обычно имеют в виду все множество объектов, обозначаемых одним термином (названием). Так, когда говорят о математическом объекте - треугольнике, то имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками. Множество всех треугольников составляет объем понятия о треугольнике. Точно так же множество всех натуральных чисел составляет объем понятий о натуральном числе. Следовательно, объем понятия - это множество всех объектов, обозначаемых одним и тем же термином.

Итак, всякое понятие имеет определенный объем и содержание . Они взаимосвязаны: чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия. Так, например, объем понятия "равнобедренный треугольник" меньше объема понятия "треугольник", ибо в объем первого понятия входят не все треугольники, а лишь равнобедренные. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго, ибо равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам.

В содержание понятия о каком-либо математическом объекте входят много различных существенных свойств этого объекта. Однако, для того чтобы распознать объект, установить, принадлежит ли он к данному понятию или нет, достаточно проверить наличие у него лишь некоторых существенных свойств. Указание этих существенных свойств объекта понятия, которые достаточны для распознавания этого объекта, называется определением понятия.

Всякое определение математического понятия строится обычно так: сначала указывается название объекта этого понятия, затем перечисляются такие его существенные свойства, которые позволяют установить, является ли тот или иной предмет объектом данного понятия или нет.

Например, определение параллелограмма: "Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны". Как видим, это определение построено так: сначала указано название объекта определяемого понятия - параллелограмм, затем указаны такие его свойства: 1) параллелограмм - это четырехугольник; 2) противоположные его стороны параллельны. Первое свойство - это указание того более общего понятия, к которому принадлежит определяемое понятие. Это более общее понятие называется родовым по отношению к определяемому понятию. В данном случае родовым понятием для параллелограмма является четырехугольник. Второе свойство - это указание видового свойства, которое отличает параллелограмм от других видов четырехугольника. Вот еще пример определения: "Четными числами называются такие натуральные числа, которые кратны числу 2". Это определение, так же как и предыдущее, построено по такой схеме:

В данном случае мы имеем: название определяемого понятия - четные числа, родовое понятие - натуральные числа, видовые отличия - кратны числу 2.

Определение понятий по этой схеме называется определением через род и видовые отличия.

Иногда в математике встречаются и другие способы определения понятий. Рассмотрим, например, определение треугольника: "Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков". В этом определении указано родовое понятие для треугольника - фигура, а в качестве видового отличия указан способ построения такой фигуры, которая является треугольником: нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и соединить каждую их пару отрезком. Такое определение называется генетическим (от слова генезис - происхождение). Вот еще пример генетического определения: "Симметрией относительно точки называется такое преобразование фигуры F в фигуру F " при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку X " фигуры F " , построенной следующим образом: на продолжении отрезка ОХ за точку О откладывается отрезок ОХ " , равный ОХ ". Здесь в качестве видовых отличий преобразования симметрии относительно точки от других видов преобразований указан способ построения точек фигуры F " , симметричной фигуре F относительно точки О .

Встречаются в математике и такие определения, в которых указывается, как можно получить объекты определяемого понятия один за другим по порядку. Например, определение арифметической прогрессии дается таким образом: "Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией". Здесь определяемое понятие - арифметическая прогрессия, родовое понятие - числовая последовательность, в качестве видового отличия указан способ получения всех членов прогрессии, начиная со второго, состоящий в том, что для получения какого-либо члена надо к предшествующему члену прибавить одно и то же число. Это определение можно записать в виде следующей формулы:

Такое определение называется индуктивным (от слова индукция - наведение на умозаключение от частного к общему) или рекуррентным (от слова рекурсия - возвращение).

Однако не все математические понятия могут быть логически определены указанными выше способами. Действительно, каждое определение математического понятия сводит определяемое понятие к более широкому (более общему, т. е. имеющему больший объем) родовому понятию, определение родового понятия сводит его к еще более широкому понятию и т. д. Очевидно, что этот процесс сведения одних понятий к более широким, более общим понятиям должен иметь конец, он не может быть бесконечным. Иными словами, в конечном итоге определения понятий мы должны прийти к таким понятиям, которые уже не сводимы к другим, т. е. они логически не определяемы. Такие понятия в математике называются первичными или основными .

Например, определяя параллелограмм, мы сводим его к понятию четырехугольника, определяя четырехугольник, мы сводим его к понятию многоугольника, затем к понятию геометрической фигуры, которая сводится при определении к понятию точки. Понятие точки уже является не определяемым, т. е. первичным. Первичными понятиями в математике, кроме точки, являются понятия прямой, плоскости, принадлежать, числа, множества (совокупность) и некоторые другие.

Итак, второе, чему нужно научиться в математике, - это умению строить определения математических понятий каким-либо способом. Это умение довольно сложное, и мы о нем поговорим еще в следующей беседе. А пока выполните следующее задание, чтобы закрепить те сведения, которые вы получили в данной беседе.

Задание 3

3.1. Какие из приведенных ниже свойств трапеции являются существенными, а какие несущественными:

а) Две стороны трапеции параллельны.

б) Оба угла при большем основании острые.

в) Сумма углов трапеции, принадлежащих к одной боковой стороне, равна 180°.

г) Основания трапеции горизонтальны.

д) Оба угла при меньшем основании трапеции тупые.

3.2. Как связаны между собой математические объекты и математические понятия?

3.3. Укажите, какие из приведенных ниже предложений являются суждениями, а какие ими не являются:

а) В треугольнике проведены три медианы.

б) Медианы треугольника пересекаются в одной точке.

в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?

г) Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

3.4. В приведенных ниже определениях выделите название объектов определяемых понятий, родовое понятие и видовые отличия:

а) Числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.

б) Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а .

в) Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

г) Если точка О является серединой отрезка АВ , то точки A и В называются симметричными точками относительно точки О .

3.5. Сформулируйте генетическое определение окружности, зная, что она образуется в результате вращения отрезка на плоскости вокруг одного из его концов, второй конец этого отрезка в этом случае описывает окружность.

3.6. Члены последовательности Фибоначчи (ок. 1170-1250) задаются с помощью следующей формулы: а n+2 =а n+1 +a n . Сформулируйте определение этой последовательности. Какое это определение?

3.7. Приводим следующее описание построения перпендикулярных прямых: "Пусть а и b - две пересекающиеся прямые. При их пересечении образуются четыре угла. Пусть α - один из этих углов. Тогда любой из остальных трех углов будет либо смежным с углом α, либо вертикальным с углом α. Отсюда следует, что если один из углов прямой, то остальные углы тоже прямые. В этом случае мы говорим, что прямые пересекаются под прямым углом, и называем их перпендикулярными ".

На основе этого описания сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

3.8. Модуль числа определяется следующей формулой:

Сформулируйте словесное определение модуля числа.

3.9. Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего члена. Запишите это определение с помощью формулы.

3.10. Как вы знаете, равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны, а правильный треугольник - это такой, у которого все стороны равны. Является ли правильный треугольник равнобедренным?

3.11. Укажите ближайшие родовые понятия для следующих понятий: а) квадрат; б) степень с натуральным показателем; в) вертикальные углы; г) простое число; д)хорда.

3.12. Укажите несколько родовых понятий для понятия ромб.

3.13. Нужно ли (и можно ли) доказывать определения?

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, ромб имеет 4 угла, 4 стороны, противоположные стороны параллельны. Можно указать и другие свойства, например, диагональ АС расположена горизонтально.

Среди свойств различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Существенные свойства: иметь 4 равных стороны, 4 угла.

Несущественные свойства: вершина В лежит напротив вершины D , диагональ АС расположена горизонтально.

Чтобы понимать, что представляет собой данный объект, надо знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о треугольнике, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками.

Любое понятие имеет объем и содержание.

Определение . Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Определение . Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Пример . Рассмотрим понятие «параллелограмм». Объем понятия – это множество различных параллелограммов (в том числе и ромбов, прямоугольников, квадратов). В содержание понятия входят такие свойства параллелограммов, как «иметь 4 стороны», «иметь параллельные противоположные стороны», «иметь равные противоположные углы» и т.д.

Между объемом и содержанием понятия существует такая связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание и наоборот. Например, объем понятия «ромб» является частью понятия «параллелограмм», а в содержании понятия «ромб» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «параллелограмм». Например, в содержании понятия «ромб» есть свойство «все стороны равны», которого нет в содержании понятия «параллелограмм».

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами а , b , с , d ,…, а их объемы соответственно А , В , С , D ,… .

Если объемы понятий а и b не пересекаются, т.е. А Ç В = Æ, то говорят, что понятия а и b несовместимы. Примерами несовместимых понятий являются понятия трапеции и треугольника.

Если объемы понятий а и b пересекаются, т.е. А Ç В ¹ Æ, то говорят, что понятия а и b совместимы. Пример – прямоугольник и ромб.

Если объемы понятий а и b совпадают, т.е. А = В , то говорят, что понятия а и b тождественны. Пример – квадрат и ромб с прямым углом.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b , т.е. А Ì В , А ¹ В , то говорят, что:

а) понятие а является видовым по отношению к понятию b , понятие b – родовым по отношению к понятию а ;

б) понятие а уже, чем понятие b , понятие b шире, чем понятие а ;

в) понятие а есть частный случай понятия b , а понятие b – обобщение понятия а .

Пример: понятие «квадрат» – видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат».

Остановимся подробнее на последнем отношении.

1) Понятие рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть видовым по отношению к одному понятию и родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» является родовым по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «параллелограмм».

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий, среди которых можно указать ближайшее. Например, родовыми для понятия «квадрат» будут понятия «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник». Ближайшим среди них будет понятие «прямоугольник».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм»; ромбы обладают всеми свойствами, присущими параллелограммам.

Рассмотрим отношения между понятиями «отрезок» и «прямая». Объемы этих понятий не пересекаются, т.к. ни один отрезок нельзя назвать прямой и наоборот. Об этих понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид. Заметим, что часть не всегда обладает свойством целого. Прямая бесконечна, а отрезок – нет.

Математические понятия могут находиться в разных отноше­ниях.

Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.

1)Квадрат и прямоугольник находятся в отношении рода и вида, где прямоугольник - родовое понятие, а квадрат - видовое поня­тие, так как все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.

2) Отрезок и прямая не находятся в отношении рода и вида, так как отрезок - это часть прямой, а не ее разновидность. Они нахо­дятся в отношении части и целого .

Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать ро­довидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб»,

«параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольника.

Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.

Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равно­угольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского языка дети изучают понятие «синонимы» - слова, различные по звучанию, но тождественные по смыслу.

Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями

1) Понятия рода и вида относительны. Одно и то же понятие мо­жет быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например: понятие «прямоугольник» - ро­довое к понятию «квадрат», но видовое к понятию «четырехуголь­ник».

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются по­нятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоуголь­ник», «геометрическая фигура».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.

4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содер­жание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойства­ми прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.

Задание 2

Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.

Определение понятий

Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая укрывает содержание понятия либо устанавливает значение терм

Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).

Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым , другое - определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольна которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие - «примоугольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у кого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.

Основные правила определения через род и видовое отличие

1) Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего по­нятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат - это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего поня­тия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).

2) В определении (или их системе) не должно быть порочного кру­га.

Круг возникает, когда определяемое понятие определяется через само себя. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое. Например: «Перпендикулярные прямые - это пря­мые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямые углы - это углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых».

3) Определение должно быть ясным.

Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоуголь­ник - это четырехугольник, у которого все углы прямые».

4) Определяемый объект должен существовать.

Иногда, давая определения по аналогии, допускают ошибки. Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у кото­рого все углы прямые». Для испрачения оплошности можно пред­ложить им нарисовать этот объект.

5) Принято называть ближайшее родовое понятие.

Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользу­ются, когда понятию дают определение.

Определение понятия - это логическая операция, которая рас­крывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.

Определение понятия позволяет отличать определяемые объ­екты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.

Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое - определяющим.

Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие - «прямо­угольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у которого есть прямой угол».

Самый распространенный вид явных определений - это опре­деление через род и видовое отличие. Приведенное выше опреде­ление прямоугольного треугольника относится к таким определени­ям. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем поня­тии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь прямой угол» позволяет из всех треугольников выделить один из видов - прямоугольный треугольник.

Видовое отличие - существенное свойство, которое отличает ви­довое понятие от всего рода.

Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить опреде­ления понятий не только в математике, но и в других науках.

Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:

Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны;

Это ромб, у которого все углы прямые;

Это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;

Это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 пря­мых угла.

Удобным считается первое определение, так как «прямоуголь­ник» - ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».

6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.

Удобно перечислить многие существенные свойства, но опреде­ление становится громоздким. При работе с детьми иногда это пра­вило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все сущест­венные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат - это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».

Задание 4

Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:

параллельные прямые - прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;

смежные углы - это углы, которые в сумме составляют 180 гра­дусов;

прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы пря­мые, а противоположные стороны равны;

тупоугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы тупые;

перпендикулярные прямые - это прямые, которые перпен­дикулярны.

При формировании у детей начальных математических пред­ставлений чаще всего применяют неявные определения , которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.

Остенсивное определение - это неявное определение, при кото­ром называют и показывают объект, термин для которого вводят.

Например:

Это круг (рис. 7).

Определения посредством показа отличаются неза­вершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.

При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требу­ет изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.

Контекстуальное определение - неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте - отрывке текста.

Например, при формировании у дошкольников счетной дея­тельности детей учат правильно использовать количественные и по­рядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, - это количественный счет, а что­бы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, вто­рой, третий, - это порядковый счет».

Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существен­ных свойств таким образом определенного понятия.

Математические предложения

Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с по­мощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:

Составные предложения образуются из элементарных с по­мощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.

Примеры составных предложений различных по структуре при­ведены на рисунке 8:

Задание 5

Определите структуру предложений и выявите в них элементар­ные предложения:

- «Параллельные прямые не пересекаются»;

- «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;

- «Число оканчивается нулем или пятерной».