Делимость суммы и произведения. Делимость суммы, разности, произведения целых неотрицательных чисел

Теорема 1 (признак делимости суммы). Если каждое слагаемое делится на нат. число с, то и сумма чисел делится на с. Док-во: пусть а⋮с и в⋮с. Тогда существуют нат.числа q 1 и q 2 такие, что а=сq 1 и в=сq 2 . Имеем: а+в=сq 1 +cq 2 = c(q 1 +q 2). Так как числа q 1 и q 2 натуральные, то q 1 +q 2 также число натуральное. Тогда из равенства а+в=с(q 1 +q 2) следует, что (а+в)⋮с. П: Числа 96 и 48 делятся на 12,значит,их сумма 96+48=144 также делится на 12. Утверждение, обратное данной теореме неверно,т.е. если двух чисел a и b делится на некоторое число с, то это не значит, что каждое слагаемое, из которых состоит эта сумма, делится на число с. Теорема 2 (о делимости разности). Если каждое из чисел а и в делится на натуральное число с и в ≤ а, то разность этих чисел делится на с. Теорема 3 (о делимости произведения). Если хотя бы один из множителей делится на число с, то и произведение делится на это число с. Док-во. Пусть а ⋮ с.Тогда по определению отношения делимости существует натуральное число q такое, что а= сq. Рассмотрим число а ∙ в = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Поскольку число qв-натуральное, то из последнего равенства следует, что (ав) ⋮ с. Теорема4 (о делимости произведения). Если в произведении ав двух множителей первый множитель делится на натуральное число с, а второй множитель делится на натуральное число d, то это произведение делится на сd. Док-во.По условию a=cq 1 и b=dq 2 ,где q 1 , q 2 ∈ N. Тогда ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙q 2), где q 1 ∙ q 2 ∈ N. Следовательно,(ав) ⋮ (с d). П: т.к.число 30 делится на 5, а число 14 делится на 7, то произведение 30 и 14 делится на произведение 5 и7, т.ею(30 14) делится на(5 7). Действительно, 30 14=420; 5 7=35, и 420:35=12,т.е.420 35.

21.Признак делимости паскаля .Теорема: нат.число а, заданное в десятичной системе счисления, делится на натуральное число в тогда и только тогда, когда на в делится сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц (1,10,10 2 ,10 3 , …,10 п). Док-во: пусть а =а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 . Пусть при делении на в числа 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 п дают остатки r 1 , r 2 , r 3 , …, r п-1 , r п. По теореме о делении с остатком имеем: 10=вq 1 +r 1 , 10 2 =вq 2 +r 2 , 10 3 =вq 3 +r 3, …, 10 п-1 =вq п-1 +r п-1 , 10 п =вq п +r п. Преобразуем данное число а к виду: а=а п а п-1 …а 2 а 1 а 0 = а п 10 п +а п-1 10 п-1 +…+а 2 10 2 +а 1 10 1 +а 0 = а п (вq п +r п)+ а п-1 (вq п-1 +r п-1)+ …+ а 2 (вq 2 +r 2)+ а 1 (вq 1 +r 1) +а 0 = (а п q п +а п-1 q п-1 +… +а 2 q 2 +а 1 q 1) в+ (а п r п +а п-1 r п-1 + …+ а 2 r 2 + а 1 r 1 +а 0). Видим, что первое слагаемое делится на в, т.к.содержит мн.в. Для того чтобы данное число а делилось на в, необходимо и достаточно, чтобы и второе слагаемое делилось на в,т.е.на в должно делиться число с=а 0 +а 1 r 1 + а 2 r 2 + …+ а п-1 r п-1 +а п r п. Это число и есть сумма произведений каждой цифры числа а на остатки от деления на в соответствующих разрядных единиц. П: покажем, что число 65345 делится на 7. Найдём остатки от деления на 7 разрядных единиц 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Если остаток будет близок к числу 7, то будем заменять его недостатком, то есть числом единиц, недостающих для делимости нацело на 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r 2 =2; 10 3:7, r 3 = -1; 10 4:7, r 4 =-3. Тогда с=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Т.к.0 делится на 7, то и число 65345 делится на 7.

Понятие о рациональном числе. Отношения между множествами натуральных, целых и рациональных чисел .

Рациональное число - число, представляемое обыкновенной дробью , числитель м - целое число, а знаменатель п - натуральное число, к примеру 2/3. Множество положительных рациональных чисел обозначают Q + . Покажем, что все нат.числа содержатся в этом множестве, т.е.что N c Q + .Пусть длина отрезка а при единице длины е выражается нат.числом м. Разобьём отрезок е на п равных частейю Тогда п-я доля отрезка е будет укладываться в отрезке а м п раз, т.е.длина отрезка а будет выражаться дробями вида . Но мн.этих дробей есть положит.рациональное число. Следовательно, длина отрезка а, с одной стороны, выражается нат.числом м, а с другой- полож.рациональным числом . Но это должно быть одно и то же число. Поэтому целесообразно считать, что дроби вида яв-ся записями нат.числа м. Из этого следует, что любое нат.число м можно представить в виде дроби , следовательно N c Q + . Все нат.числа содержатся в мн.полож.рац.чисел. Числа, которые дополняют мн.нат.чисел до мн.полож.рацион.чисел, называют дробными числами.

Сложение и вычитание рациональных чисел. Законы сложения .

Суммой рациональных чисел и называют рациональное число . Т.к.любые две дроби могут быть приведены к общему знаменателю, то сумма рациональных чисел и будет равна: + = + = . Сумма рациональных чисел всегда существует и единственная. Теорема: операция сложения рациональных чисел обладает коммутативным и ассоциативным свойствами, т.е. 1. ( а,в Q) а+в= в+а (коммутативность сложения); 2. ( а,в,с Q)(a+в)+с= а+(в+с) (ассоциативность сложения). Законы сложения: переместительный- а+в=в+а для любых а,в Q + ; сочетательный- (а+в)+с= а+(в+с) для любых а, в, с Q + . Разность дробей и называется дробь такая, что + = . Согласно определению - = + = . Выведем правило вычитания дробей, т.е.найдём значение дроби . Т.к. + = , то = . Отсюда: (py+xq) n= (qy) m или pyn+xqn=qум, х(qп)= у(qм-pn). Из последнего равенства будем иметь: = . Таким образом, получили: - = . В частности, - = . Для рациональных чисел верно утверждение: разность рациональных чисел всегда существует и единственная. Это значит, что каких бы два рациональных числа ни были даны, разность их всегда можно найти, т.е.вычитание обыкновенных дробей всегда выполнимая операция.

Отношение порядка на множестве рациональных чисел. Свойства множества рациональных чисел (бесконечность, упорядоченность, счётность, плотность) .

Mq np или mq np. Для целых чисел это также верно: а в или а 1 в 1. П: сравним дроби и . 19 27=513 и 23 25= 575 и сравним их. Т.к. 513 575, то . Теорема: отношение «меньше» на мн.рацион.чисел транзитивно, асимметрично и антирефлексивно, т.е. 1) и , то - транзитивность; 2) , то неверно, что - асимметричность; 3)неверно, что - антирефлексивность. Из теорем следует, что отношение «меньше» на множестве Q рациональных чисел яв-ся отношением строгого линейного порядка, а само мн.Q- линейно упорядоченным множеством. Свойства мн.рацион.чисел : 1.Мн.Q рациональных чисел счётное, т.е.его элементы можно пронумеровать с помощью нат.чисел.

N: 1,2, 3, 4, 5, 6.

Из графика видим, что Q N, значит, мн.Q счётное.

2.Мн.Q рациональных чисел бесконечное. Это вытекает из того, что Q N, а мн.N бесконечное. 3.Во мн.положительных рац.чисел нет наименьшего числа. 4.Мн.Q рац.чисел плотное. Это значит, что между любыми двумя различными рац.числами а и в мн.Q лежит бесконечное мн.рац.чисел. 5.Каждому рац.числу соответствует единственная точка координатной прямой, но не каждой точке будет соответствовать рац.число. Соответствие между мн.Q рац.чисел и мн.точек координатной прямой не яв-ся биективным.

Понятие иррационального числа. Множество положительных действительных чисел .

Иррациональное число- это число, которое выражается бесконечной десятичной непериодической дробью. Иррац.числа получаются не только при извлечении корней из некоторых чисел ( ; ), не только при измерении длин отрезков, но и при решении практических задач, например, при измерении площади, вычислении отношения длины окружности к её диаметру (). П: числа 0,0100100010000100…; 45,3232232223222232…; =3,141592…; =1,732050…; =1,414213… яв-ся иррац., т.к.они яв-ся бесконечными непериодическими десятичными дробями (в них невозможно выделить период). Мн.полож.иррац.чисел обозначают I + . Объединение мн.полож.рац.чисел и мн.полож.иррац.чисел образует мн.полож.действительных чисел, которое обозначается R + , т.е. R + =Q + I + , причём Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Мн. R + делится на два класса: 1.класс бесконечных периодических десятичных дробей; 2.класс бесконечных непериодических десятичных дробей. Конечные десятичные дроби можно также считать бесконечными периодическими дробями с периодом равным 0. Н: 0,4=0,40000… Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной периодической дроби с периодом, равным 9.

Упорядоченность множества положительных действительных чисел. Свойства множества положительных действительных чисел .

Отношение «меньше» на мн.R + яв-ся отношением строгого линейного порядка, это значит, оно асимметрично (если х у, то у х), транзитивно (если х у, у z, то х z) и связно (либо х=у, либо х у, либо у х). Из этого следует, что мн.R + положительных действительных чисел яв-ся упорядоченным множеством. Его элементы можно упорядочить с помощью отношения «меньше». Мн. R + плотно в себе, т.е.между любыми двумя действительными числами лежит бесконечное мн.действительных чисел. Н: между числами 1,2 и 1,3 лежат числа 1,21; 1,211 и т.д. Мн. R + яв-ся непрерывным, т.е.если числовое множество Х располагается слева от числового мн.Y, то найдётся хотя бы одно число, которое разделяет эти множества. Мн.полож.действ.чисел несчётно. Док-во (методом от противного): докажем, что ни при каком упорядочивании мн. R + пронумеровать его числа невозможно. Предположим, что элементы мн. R + удалось пронумеровать: 1 м 1 ,а 1 а 2 а 3 …; 2 м 2 , в 1 в 2 в 3 …; 3 м 3 ,с 1 с 2 с 3 …; …., где м i - целая часть числа, буквы а,в,с,… представляют собой десятичные знаки после запятой. Предположим, что эта последовательность дробей описывает все действительные числа. Возьмём число z=0, авс…, где а а 1 , в в 2 , с с 3 и т.д. Это новое число z отличается от первого числа десятыми долями, от второго- сотыми, от третьего- тысячными и т.д. Оно отличается от п-го числа в последовательности п-ой цифрой дробной части. Значит, появилось новое число z, которое не пронумеровали. Это противоречит предположению о том, что пронумеровали все действительные числа. Таким образом, доказано, что мн. R + несчётное. Мн. R + бесконечное(доказывается методом от противного).

Арифметические операции на множестве всех действительных чисел .

Суммой двух дейст.чисел х и у называется дейст.число, которое удовлетворяет след.условиям: 1)сумма полож.чисел есть число положительное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: |х+у|=|х|+|у|; 2)сумма отриц.чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых: (-х)+(-у)=-(х+у); 3)сумма двух чисел с разными знаками есть число, которого совпадает со знаком слагаемого, имеющего больший модуль, а модуль суммы равен разности большего и меньшего модулей слагаемых: если х у, то х+(-у)=х-у; если х у, то х+(-у)= -(у-х). Операции сложения во мн.R коммутативна ( х,у R) х+у=у+х и ассоциативна ( х,у,z R)(x+y)+z= x+(y+z). Число 0 яв-ся нейтральным элементом относительно сложения, т.е.х+0=0+х=х. Операция вычитания во мн.R определяется как операция, обратная сложению. Т.к.для каждого в R существует число- в такое, что в+(-в)=0, то вычитание равносильно сложению с числом-в, т.е.а-в=а+(-в). Произведением двух действительных чисел х и у называется дейст.число z, которое удовлетворяет условиям: 1)модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел: |х у|=|х|∙|у|; 2)знак в произведении двух чисел положителен, если знаки множителей одинаковые; 3)знак в произведении двух чисел отрицателен, если знаки множителей разные. Операция умножения во мн.R коммутативна ( х,у R)x∙y=y∙x; ассоциативна ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); дистрибутивна ( x,y,z . 1-нейтральный элемент относительно умножения: х∙1=1∙х=х; 0- поглощающий элемент относительно умножения: х∙0=0∙х=0. Деление дейст.чисел можно рассматривать как действие, обратное умножению, т.к.х:у=х ∙ , где у Деление на 0 во множестве R невозможно.

Длина отрезка и её измерение .

Длиной отрезка называется величина, определенная для каждого отрезка так, что: 1) равные отрезки имеют равные длины; 2) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков. В математике рассматривают две взаимно обратные задачи, связанные с длиной отрезка: измерение длины отрезка а с помощью отрезка е, выбранного за единичный отрезок, и построение отрезка а по заданной его длине. Св-ва длины отрезка 1.При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается зтим числом.2.Если два отрезка равны, то числовые значения их длин также равны, и наоборот: если числовые значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки. a=b (a) = (b). 2.Если данный отрезок состоит из конечного числа отрезков, числовое значение его длина равно сумме числовых значений длин составляющих отрезков, и наоборот: если числовое значение длины отрезка равно сумме числовых значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков. c= a+ b (c) = (a) + (b). Покажем это. Пусть a = e, b= e. a+b = ( + 4. Если длины отрезков а и в такие, что в = ха, где х – положительное действительное число, то, чтобы найти числовое значение длины отрезка b при единице измерения е, достаточно найти произведение число х и числового значения длины отрезка а при единице е. b = xa (b) = x (a). Пусть b = xa и a = e, тогда в=х е= (х )е. 5.При замене единицы длины значение длины отрезка увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой. Пусть даны две единицы длины е и е 1 такие, что е 1 =ке. Это значит, что новая единица в к раз больше старой. Тогда если а= е, то при переходе к новой единице будем иметь: а= 1 = е 1 . Число в к раз меньше числа . П: 14м=14 1м=14 =(14 1400 см. Полученное число 1400 в 100 раз больше числа 14, т.к.новая единица длины- сантиметр-в 100 раз меньше метра.

Площадь фигуры и её измерение .

Площадью фигуры называется неотрицательная величина, определённая для каждой фигуры так, что:1)равные фигуры имеют равные площади; 2)если фигура состоит из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей. Чтобы измерить площадь фигуры, надо иметь единицу площади. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной е. Площадь квадрата со стороной е обозначается е 2 . Н., S=20см 2 при единице площади1 см 2 . Измерение площади фигур с помощью палетки. Палетка-это сетка квадратов, нанесённая на прозрачный материал. Измерение с помощью палетки яв-ся приблизительным и вычисляется по формуле: S , где S 1 - площадь внутренней системы квадратов, S 2 - площадьсистемы квадратов, которые целиком покрывают фигуру. Другие способы измерения площадей фигур состоят в применении формул дляих вычисления: 1.Площадь прямоугольника: S=ab, где a- длина, b- ширина прямоугольника. 2.Площадь параллелограмма: S=ah, где a- длина стороны параллелограмма, h- его высота. 3.Площадь треугольника: S= ah, где a- длина стороны треугольника, h- его высота. 4.Площадь ромба: S= d 1 d 2 , где d 1 и d 2 - длины диагоналей ромба. 5.Площадь трапеции: S= , где a и b- длины оснований трапеции, h- её высота. 6.Площадь круга: S= 2 , где R- длина радиуса круга. Площади плоскихфигур обладают св-ми: а)площади равных фигур при одной и той же единице площади равны между собой. б)если фигура F состоит из фигур F 1 ,F 2 ,…,F n , то значение площади фигуры F равно сумме площадей фигур F 1 , F 2 ,…, F п при одной и той же единице площади. в)при замене единицы измерения площади числовое значение площади фигуры увеличивается (уменьшается) во столько же раз, во сколько раз новая единица измерения меньше (больше) старой.П: 12 м 2 =12 2 = 12 2 = 1200дм 2 . Первоначальную единицу измерения 1м 2 уменьшили в 100 раз, а значение площади увеличилось в 100 раз. Это связано с тем, что 1м 2 =100дм 2 , а 1дм 2 =0,01м 2 .

выработка навыка решения заданий на применение свойств делимости суммы и произведения;

включение каждого учащегося в осознанную учебную деятельность;

Развивать творческие способности, математическую культуру, умение выявлять закономерности, обобщать.

Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант	2 вариант
а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12	1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6
а) любое число, кратное 90	2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11
3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4	3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7

3. Усвоение новых знаний

Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.

Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b , и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.

В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.

2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.

Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.

Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.

4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.

Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.

333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Пример 3

Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х 3 –10х 2 -6х + 240 =0.

Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство

17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.

Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.

Пример 4

Докажем, что если n - простое число, большее чем 3, то разность n 2 - 1 делится на 24.

Имеем n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое - на 4, и поэтому их произведение делится на 8.

Итак, разность n 2 -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.

Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.

4. Подведение итогов

5. Домашнее задание

§ 63. Содержание главы.

Мы изучили сложение, вычитание, умножение и деление целых чисел. Сложение и умножение всегда выполнимы независимо от того, над какими числами они выполняются,

Иначе обстоит дело с обратными действиями, т. е. с вычитанием и делением. Относительно вычитания мы говорили, что оно возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.

Гораздо больше затруднений связано с делением. Прежде всего возникает затруднение в том случае, когда делимое меньше делителя (14: 20), но это специальный вопрос, которым мы будем заниматься в следующей части нашей книги. Обратимся к другому случаю. Вы знаете, что деление иногда выполняется без остатка или, как говорят, «нацело», а иногда с остатком. Возникают вопросы: какими должны быть данные числа, чтобы они могли разделиться без остатка одно на другое? Можно ли по каким-нибудь признакам данных чисел установить, что деление в данном случае выполнимо?

§ 64. Кратное и делитель.

Определение. Если одно число делится без остатка на другое, то первое называется кратным второго, а второе - делителем первого.

Значит, число 6 будет кратно 3 (трём), а само число 3 будет делителем 6 (шести). Число 15 кратно 5, а само 5 будет делителем 15.

Число может быть кратно нескольким числам.

Например число 36 кратно числам: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 и 36.

Числа, делящиеся на 2, называются чётными. Число нуль тоже относится к чётным числам. Все же остальные числа называются нечётными. Следовательно:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... - чётные, 1, 3, 5, 7, 9, 11... - нечётные.

§ 65. Делимость суммы и разности.

1. Рассмотрим следующее важное свойство суммы .

Если каждое слагаемое делится без остатка на какое-нибудь число, то и сумма разделится на это число.

П р им е р:

14 делится на 7, 21 делится на 7, их сумма 14 + 21, т. е. 35, тоже делится на 7.

Ещё пример: 39 делится на 13, 65 делится на 13, их сумма 39 + 65 = 104 тоже делится на 13.

Мы можем взять сумму более чем двух слагаемых, например трёх, и высказанное утверждение окажется справедливым:

25 делится на 5,

35 делится на 5,

50 делится на 5.

Сумма 25 + 35 +50 = 110 тоже разделится на 5.

Этим свойством суммы мы можем воспользоваться, если хотим узнать, делится ли какое-нибудь число на другое. Например, я хочу узнать, не выполняя деления, разделится ли 756 на 7. Можно поступить так: 756 представить как сумму двух слагаемых 700 + 56. Теперь нужно подумать, делится ли каждое из этих слагаемых на 7. Здесь уже легко сообразить, что 700 делится на 7 и 56 делится на 7, значит и сумма, т. е. 756, разделится на 7.

Возникает вопрос: если слагаемые не делятся на какое-нибудь число, то разделится ли на это число сумма или нет?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть различные возможные здесь случаи:

а) Слагаемые 21 и 22 не делятся на 5; их сумма 43 тоже не делится на 5.

б) Слагаемые 22 и 23 не делятся на 5; но их сумма 45 делится на 5.

Значит, если отдельные слагаемые не делятся на данное число, то их сумма в некоторых случаях может разделиться на это число.

Теперь подумаем, будет ли сумма двух слагаемых делиться на некоторое число, если одно из слагаемых не делится на это число, а другое делится.

Пусть одно из слагаемых будет 33, а другое 17, их сумма 50. Первое слагаемое (33) делится на 11, а второе 17 не делится, сумма 50 тоже не делится на 11.

Возьмём сумму трёх слагаемых: 15, 20 и 23, т. е. 58. Каждое из первых двух слагаемых (15 и 20) делится на 5, но третье слагаемое 23 на 5 не делится, сумма 58 тоже не делится на 5.

Из рассмотрения этих примеров можно сделать вывод:

Если каждое слагаемое, кроме одного, делится на некоторое число, а это одно на него яе делится, то сумма всех этих слагаемых на него не разделится.

Используем этот вывод для решения вопроса о том, разделится ли число 150 на 14. Представим 150 следующим образом:

Первое слагаемое этой суммы (140) делится на 14, но так как второе слагаемое, т. е. 10, на 14 не делится, то и150 на 14 не разделится.

2. Теперь рассмотрим важное свойство разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся нацело на какое-нибудь число, то и разность разделится на это число.

45 делится на 9, 18 делится на 9, их разность 45-18, т. е. 27, тоже делится на 9.

Ещё пример:

88 делится на 11, 33 делится на 11, их разность 88-33 = 55 тоже делится на 11.

Этим свойством разности мы можем иногда воспользоваться для выяснения вопросов о делимости одного числа на другое. Пусть требуется ответить на вопрос, делится ли на 7 число 693. Прибавим к нему 7, получим 700. Тогда мы можем написать такое равенство: 700 - 7 = 693. В нём уменьшаемое 700 делится на 7, вычитаемое 7 делится на 7, значит и разность 693 тоже делится на 7.

§ 66. О признаках делимости чисел.

Во многих случаях очень важно бывает определить, не выполняя деления, разделится ли нацело одно число на другое. Пусть требуется, например, ответить на вопрос, будет ли 156 делиться на 4. Такие вопросы в будущем, например при изучении дробей, придётся ставить очень часто. Чтобы ответить на поставленный вопрос, можно, конечно, разделить первое число на второе, но такой приём является невыгодным. Поэтому в арифметике пытаются, не производя деления, узнать, разделится ли одно число на другое нацело или нет. В силу этого мы теперь займёмся изучением таких особенностей или свойств чисел, которые позволяют судить о делимости одного числа на другое. Сейчас мы выведем некоторые из этих «признаков» делимости.

§ 67. Признак делимости на 2.

Какие числа делятся на 2? Чем отличаются числа, делящиеся на 2, от чисел, не делящихся на 2? Возьмём два числа: 35 и 32. Первое из них, т. е. 35, не делится на 2, а 32 делится на 2. В чём же между ними разница? Мы уже знаем из предыдущего, что если каждое из двух чисел делится на третье, то сумма их разделится на это число. Представим данные числа в виде суммы десятков и единиц:

35 составляется из трёх десятков и пяти единиц. Каждый десяток делится на 2, значит и 3 десятка, т. е. 30, разделится на 2, но второе слагаемое, т. е. 5, не делится на 2; именно поэтому и всё число 35 не делится на 2.

Если же мы рассмотрим число 32, то увидим, что оно есть сумма 30 и 2, т. е. таких чисел, из которых каждое делится на 2. Значит, число 32 разделится на 2.

Рассмотрим ещё одно число, причём выберем большее число, чем 32, например 876. Это число мы можем представить так:

Первое слагаемое 870 делится на 2, так как состоит из 87 десятков, второе слагаемое 6 тоже делится на 2, значит и всё число 876 разделится на 2.

Эти примеры показывают, что делимость чисел на 2 зависит исключительно от делимости второго слагаемого (единиц). Ведь число 35 не разделилось на 2 потому, что у него не делилось на 2 второе слагаемое. Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то оно разделится на 2, в противном случае - не разделится.

На основе изложенного признак делимости на 2 мы можем высказать так: на 2 делятся те и только те числа, которые оканчиваются чётной цифрой. (Нуль относится к чётным числам.)

§ 68. Признак делимости на 4.

Прежде всего установим такой факт; на 4 делится число 100 и, следовательно, всякое число, представляющее собой сумму сотен (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 2 000, ...). Но всякое число, являющееся суммой сотен, оканчивается двумя нулями. Значит, на 4 делится всякое число, оканчивающееся двумя нулями.

Возьмём теперь число, которое оканчивается не нулями, а какими-нибудь другими цифрами, например 123 456.

Представим его как сумму двух слагаемых следующим образом:

Первое слагаемое этой суммы (123 400) разделится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Если второе слагаемое (56) разделится на 4, то и сумма (123 456) разделится на 4. Второе слагаемое 56 делится на 4. Значит, и число 123 456 разделится на 4.

Возьмём число 1 634 и представим его как сумму двух слагаемых так:

Первое слагаемое этой суммы 1 600 делится на 4, но второе (34) не делится. Значит, сумма, т. е. число 1 634, на 4 не разделится.

Таким образом, на 4 делятся те и только те числа, которые оканчиваются двумя нулями или у которых две последние цифры выражают число, делящееся на 4.

Например делятся на 4: 4 600, 1 264; не делятся на 4: 110, 4 562.

§ 69. Признак делимости на 5.

Прежде всего отметим, что на 5 делится число 10 и, значит, всякое число, состоящее из десятков (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2 160, 2 170, ...).

С другой стороны, всякое многозначное число можно рассматривать как сумму десятков и единиц.

Первое слагаемое, как состоящее из одних десятков, всегда разделится на 5. Значит, делимость всякого многозначного числа на 5 будет зависеть исключительно от делимости на 5 второго слагаемого, т. е. единиц числа.

Но среди единиц есть единственное число, делящееся на 5, - это самое число 5. Следовательно, у чисел, делящихся на 5, вторым слагаемым может быть только число 5.

Если же мы возьмём, например, число 2 347, у которого на месте единиц стоит не 5, а 7, то это число не разделится на 5, так как в сумме 2 340 + 7 первое слагаемое делится, а второе слагаемое (7) не делится на 5.

В силу этого признак делимости на 5 можно высказать так: на 5 делятся те и только те числа, которые оканчиваются нулём или цифрой 5.

Например, на 5 делятся: 1 320; 4 065; на 5 не делятся: 21; 432; 6 543.

§ 70. Признак делимости на 25.

Число 100 делится на 25. Следовательно, и всякое число, составленное из сотен, должно делиться на 25 (200, 300, ..., 1 400, 1 500, ..., 5 600, ...). Но так как число, состоящее из сотен, оканчивается двумя нулями, то на 25 должны делиться все числа, оканчивающиеся двумя нулями.

Теперь возьмём два числа, оканчивающиеся не нулями, а какими-нибудь другими цифрами: 23 456 и 34 875.

Каждое из них можно представить в виде двух слагаемых так:

23 400 + 56 и 34 800 + 75.

В первом случае второе слагаемое (56) не делится на 25, поэтому и всё число (сумма) не делится на 25. Во втором случае второе слагаемое (75) делится на 25,поэтому всё число разделится на 25. Значит, делимость числа на 25 зависит от деления на 25 числа, составленного двумя последними цифрами. Но в пределах сотни есть только три таких числа: 25, 50 и 75.

На этом основании мы можем сказать, что на 25 делятся те и только те числа, которые оканчиваются на 00; 25; 50 и 75.

§ 71. Признаки делимости на 9 и на 3.

Какие числа делятся на 9? Прежде всего на 9 делятся все числа, которые написаны посредством цифры 9, т. е. 9; 99; 999; 9 999 и т. д.

Далее, запомним, что числа изображаемые единицей с нулями, при делении на 9 дают в остатке 1. В самом деле: 10: 9 = 1 и 1 в остатке; 100: 9 = 11 и 1 в остатке; 1 000: 9 = 111 и 1 в остатке; 10 000: 9 = 1 111 и 1 в остатке.

Приняв это во внимание, разделим на 9 число 567. Представим его в виде суммы разрядных единиц:

567 = 500 + 60 + 7.

Число 500 при делении на 9 даёт в остатке пять (5) единиц, потому что каждая сотня при делении на 9 даёт в остатке 1.

Число 60 при делении на 9 даёт в остатке шесть (6) единиц, потому что каждый десяток при делении на 9 даёт в остатке 1.

Число семь (7) не делится на 9 и тоже является остатком.

Таким образом, у нас получились следующие остатки: 5, 6 и 7.

Если сумма этих остатков, т. е. 5 + 6 + 7 = 18, разделится на 9, то и число 567 разделится на 9. В данном случае сумма остатков на 9 делится.

Если же мы возьмём другое число, например 476, у которого сумма остатков, как легко сообразить на основании предыдущего, будет:

то здесь сумма остатков на 9 не делится; значит, и всё число (476) на 9 не разделится.

Но что представляет собой эта сумма остатков? Это есть сумма чисел, соответствующих цифрам данного числа (ради краткости говорят, что это есть сумма цифр числа).

Поэтому признак делимости на 9 можно высказать так: на 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.

Всякое число, делящееся на 9, будет делиться и на 3 (но не наоборот). Мы могли бы провести подобные рассуждения, применительно к числу 3. Тогда признак делимости на 3 был бы высказан так: на 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, на 3 делятся: 51; 231; 8 112; 12 345.

Если каждое из натуральных чисел a1, a2, ... , an b , то их сумма a1 + a 2 + ... + an делится на это число.

Если в сумме одно слагаемое не делится на число b , а все остальные слагаемые делятся на число b , то вся сумма на число b не делится.

Если числа a1 и a2 делятся на b и a1 ≥ a2 , то их разность a1 – a 2 делится на b .

Если в произведении a·b множитель a делится на натуральное число m , а множитель b делится на натуральное число n , то a·b делится на m·n .

Если произведение a·c делится на произведение b·c , причем c – натуральное число, то и a делится на b .

Задача 19. Не производя вычислений, установите, делятся ли на 4 выражения: а) 132 + 360 + 536; б) 540 - 332; в) 2512·127.

Решение . а) так как на 4 делится каждое слагаемое, то сумма 132 + 360 + 536 делится на 4; б) так как уменьшаемое 540 делится на 4 и вычитаемое 332 делится на 4, то и разность 540 - 332 делится на 4; в) так как число 2512 делится на 4, то и произведение 2512·127 делится на 4.

Задача 20. Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел n и n + 1 делится на 2.

Решение. n·(n + 1) делится на 2, надо рассмотреть две возможности:

1) n делится на 2, т.е. n = 2k . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: 2 k·(2k + 1) . Это произведение делится на 2, так как первый множитель в нем делится на 2;

2) n не делится на 2, т.е. n = 2k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1) будет иметь вид: (2 k + 1)·(2k + 2) . Это произведение делится на 2, так как второй множитель делится на 2.

Задача 21. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2 делится на 3.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2) делится на 3, надо рассмотреть три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: 3 k·(3k + 1)·(3k + 2) . Это произведение делится на 3, так как первый множитель в нем делится на 3;

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 1)·(3k + 2)·(3k + 3) . Это произведение делится на 3, т.к. третий множитель делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2. Тогда произведение n·(n + 1)·(n + 2) будет иметь вид: (3 k + 2)·(3k + 3)·(3k + 4) . Это произведение делится на 3, т.к. второй множитель в нем делится на 3.

На основании задач 20 и 21 можно сформулировать утверждение, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

Задача 22. Доказать, что произведение четырех последовательных натуральных чисел n, n + 1, n + 2, n + 3 делится на 4.

Решение. Чтобы показать, что произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) делится на 4 надо рассмотреть четыре возможности:

1) n делится на 4, т.е. n = 4k . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: 4k·(4k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3) . Это произведение делится на 4, так как первый множитель в нем делится на 4;

2) n при делении на 4 дает в остатке 1, т.е. n = 4k + 1 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 1)·(4k + 2)·(4k + 3)·(4k + 4) . Это произведение делится на 4, так как последний множитель делится на 4;

3) n при делении на 4 дает в остатке 2, т.е. n = 4k + 2 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 2)·(4k + 3)·(4 k+ 4)·(4k + 5) . Это произведение делится на 4, так как третий множитель делится на 4;

4) n при делении на 4 дает в остатке 3, т.е. n= 4k + 3 . Тогда n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) будет иметь вид: (4 k + 3)·(4k + 4)·(4k + 5)·(4k + 6) . Это произведение делится на 4, так как второй множитель делится на 4.

Поскольку произведение n·(n + 1)·(n + 2)·(n + 3) содержит произведение двух, трех последовательных натуральных чисел, то оно делится на 2 и на 3.

Задача 23. Доказать, что при любом натуральном значении n .

Решение . Преобразуем данное выражение: (2 n - 1)3 - (2n - 1)= = (2n - 1)·(4n2 - 4n + 1 - 1) = 4n·(n - 1)·(2n - 1) . Это произведение делится на 4. Кроме того, произведение двух последовательных натуральных чисел n·(n - 1) делится на 2. Таким образом, произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) делится на 8. Осталось показать, что это произведение делится на 3. Для этого рассмотрим три возможности:

1) n делится на 3, т.е. n = 3k . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·3 k·(3k - 1)·(6k - 1)

2) n при делении на 3 дает в остатке 1, т.е. n = 3k + 1 . Тогда произведение 4 n·(n - 1)·(2n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 1)·3k·(6k + 1) . Это произведение делится на 3;

3) n при делении на 3 дает в остатке 2, т.е. n = 3k + 2 . Тогда произведение 4 n·(n - 1) ·(2 n - 1) будет иметь вид: 4 ·(3 k + 2)·(3k + 2 -1) · (6 k + 4 - 1)= 4 ·(3 k + 2) ·(3 k +1) ·(6 k+3). Это произведение делится на 3, т.к. последний множитель в нем делится на 3.

Так как 8 и 3 - взаимно , то , т.е. на 24, что и требовалось доказать.

Задача 24. Доказать, что разность любого трехзначного числа и трехзначного, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке делится на 9.

Решение. Представим любое трехзначное число в виде . Нам надо доказать, что . Преобразуем выражение

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что произведение пяти последовательных натуральных чисел делится на 5.

2. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 + 5n делится на 6.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n 3 - n делится на 24.

4. Доказать, что разность любого четырехзначного числа и четырехзначного числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9.

5. Доказать, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37.