Критерии гурвица. Критерии устойчивости: определение, виды. Аналитическая форма критерия гурвица

Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы x i max и x i min каждой альтернативы:

x i max = max (x ij ) , x i min = min (x ij ) , j = 1..M

Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1 . Формула для расчета критерия Гурвица для i -й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:

H i (λ) = λ x i max + (1 - λ) x i min

Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:

Х* = Х k , H k (λ) = max (H i (λ) ) , i = 1..N

Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ .

Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода x i min в оценке альтернативы должен быть выше, чем для x i mах . Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5 , исключая последнее значение.

При λ = 0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.

Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ = 1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.

Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5 .

Пример применения критерия Гурвица

В условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8 ), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3 ). Порядок действий таков:

1. Найдем максимальные x i max и минимальные x i min исходы для каждого проекта:

x 1 max = max (45, 25, 50) = 50 x 1 min = min (45, 25, 50) = 25

x 2 max = max (20, 60, 25) = 60 x 2 min = min (20, 60, 25) = 20

2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:

ЛПР-оптимист (λ=0.8 ):

H 1 (0.8) = λ x 1 max + (1 - λ) x 1 min = 0.8×50 + (1 - 0.8) ×25 = 45

H 2 (0.8) = λ x 2 max + (1 - λ) x 2 min = 0.8×60 + (1 - 0.8) ×20 = 52

ЛПР-пессимист (λ=0.3 ):

H 1 (0.3) = λ x 1 max + (1- λ) x 1 min = 0.3×50 + (1 - 0.3) ×25 = 32.5

H 2 (0.3) = λ x 2 max + (1- λ) x 2 min = 0.3×60 + (1 - 0.3) ×20 = 32

3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:

ЛПР-оптимист (λ = 0.8 ):

45 < 52 => H 1 (0.8) < H 2 (0.8) => X* = X 2

ЛПР-пессимист (λ = 0.3 ):

32.5 < 32 => H 1 (0.3) > H 2 (0.3) => X* = X 1

Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60 ) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году - полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

Каждая строка дополняется коэффициентами

с нарастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

должны быть больше

нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов.

Определители Гурвица составяются по следующему правилу (см. (6.11)):

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом:

т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и второе - границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. У р а в н е н и е третьего поря д к а

Для этого уравнения получаем условия

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

пятого поря д к а

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости но критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического управления. При этом в случае неустойчивости системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы:

Электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь управления состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

Общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К> О, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов

К неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при

этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления к, при котором система еще остается устойчивой.

Измеряется датчиком угла (нотенциометрическим, индукционным или др.), установленным на гиростабилизированной платформе. Передаточная функция датчика

Для формирования алгоритма управления дополнительно устанавливается датчик угловой скорости (ДУС). Напряжение на его выходе пропорционально производной от отклонения. Передаточная функция ДУС в идеальном случае

суммируются:

И производной от отклонения (см. § 2.2). Передаточная функция усилительно-преобразовательного устройства

В статье рассмотрены такие понятия, как критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Упор сделан преимущественно на первый. Критерий Гурвица подробно описан как с алгебраической точки зрения, так и с позиции принятия решения в условиях неопределенности.

Стоит начать с определения понятия устойчивости. Оно характеризует способность системы возвращаться к равновесному состоянию по окончании возмущения, которое нарушило сформировавшееся ранее равновесие.

Важно отметить, что его оппонент - неустойчивая система - постоянно удаляется от своего равновесного состояния (совершает колебания вокруг него) с возвращающей амплитудой.

Критерии устойчивости: определение, виды

Это свод правил, которые позволяют судить о существующих знаках корней характеристического уравнения без поиска его решения. А последние, в свою очередь, предоставляют возможность судить об устойчивости конкретной системы.

Как правило, они бывают:

алгебраическими (составление по конкретному характеристическому уравнению алгебраических выражений с применением специальных правил, которые характеризуют устойчивость САУ);
частотными (объект изучения - частотные характеристики).

Критерий устойчивости Гурвица с алгебраической точки зрения

Им выступает алгебраический критерий, подразумевающий рассмотрение определенного характеристического уравнения в виде стандартной формы:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0 .

Посредством его коэффициентов формируется матрица Гурвица.

Правило составления матрицы Гурвица

В направлении сверху вниз по порядку выписываются все коэффициенты соответствующего характеристического уравнения, начиная от aᵥ₋₁ до a0. Во всех столбцах вниз от главной диагонали указывают коэффициенты возрастающих степеней оператора p, затем вверх - убывающих. Недостающие элементы заменяются нулями.

Принято считать, что когда все имеющиеся диагональные миноры рассматриваемой матрицы положительны. Если главный определитель равен нулю, то можно говорить о нахождении ее на границе устойчивости, причем аᵥ=0. В случае соблюдения остальных условий рассматриваемая система располагается на границе новой апериодической устойчивости (предпоследний минор приравнивается к нулю). При положительном значении оставшихся миноров - на границе уже колебательной устойчивости.

Принятие решения в ситуации неопределенности: Гурвица, Сэвиджа

Они являются критериями выбора наиболее целесообразной вариации стратегии. Критерий Сэвиджа (Гурвица, Вальда) применяется в ситуации, когда имеют место неопределенные априорные вероятности состояний природы. Их основа - анализ либо платежной матрицы. В случае неизвестности распределения вероятностей будущих состояний вся имеющаяся информация сводится к списку ее возможных вариантов.

Итак, стоит начать с максиминного критерия Вальда. Он выступает критерием крайнего пессимизма (осторожного наблюдателя). Данный критерий можно сформировать и для чистых, и для смешанных стратегий.

Свое название он получил на основании предположения статиста касательно того, что природа может реализовать состояния, в рамках которых величина выигрыша приравнена к наименьшему значению.

Этот критерий тождественен пессимистическому, который применяется в ходе решения матричных игр, чаще всего в чистых стратегиях. Так, сначала необходимо выбрать из каждой строки минимальное значение элемента. Затем выделяется стратегия ЛПР, которая соответствует максимальному элементу среди уже отобранных минимальных.

Выбранные посредством рассматриваемого критерия варианты лишены риска, так как ЛПР не сталкивается с более плохим результатом, чем тот, который выступает ориентиром.

Итак, самой приемлемой, согласно критерию Вальда, признана чистая стратегия, так как она в худших условиях гарантирует максимально предельный выигрыш.

Далее стоит рассмотреть критерий Сэвиджа. Здесь при выборе 1-го из доступных решений на практике, как правило, останавливаются на таком, который приведет к минимальным последствиям в случае, если выбор все же окажется ошибочным.

Согласно данному принципу, всякое решение характеризуется некой величиной дополнительных потерь, возникающих в ходе его осуществления, по сравнению с правильным при имеющимся состоянии природы. Очевидно, что правильное решение не может нести дополнительные потери, ввиду чего их величина приравнена к нулю. Так, в роли наиболее целесообразной принимается стратегия, величина потерь в которой минимальна при худшем стечении обстоятельства.

Критерий пессимизма-оптимизма

Так по-другому называется критерий Гурвица. В процессе выбора решения, в ходе оценки сложившейся ситуации вместо двух крайностей придерживаются так называемой промежуточной позиции, которая учитывает вероятность как благоприятного, так и наихудшего поведения природы.

Данный компромиссный вариант предложил Гурвиц. Согласно ему, для всякого решения понадобится установить линейную комбинацию min и max, далее выбрать стратегию, которая соответствует их наибольшему значению.

Когда оправдано применение рассматриваемого критерия?

Использовать критерий Гурвица целесообразно в ситуации, характеризующейся следующими признаками:

Существует необходимость взятия во внимание наихудшего из вариантов.
Отсутствие знаний касательно вероятностей состояний природы.
Допустим некоторый риск.
Реализуется достаточно малое число решений.

Заключение

Напоследок будет нелишне напомнить, что в статье были рассмотрены критерии Гурвица, Сэвиджа и Вальда. Критерий Гурвица подробно описан с различных точек зрения.

Является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста . К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам - малая наглядность.

Формулировка

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица :

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если a с индексом n будет равна 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Москва: Наука, 1965.-234 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях:

критерий Гурвица - Hurwitzo kriterijus statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Hurwitz s criterion vok. Hurwitzkriterium, n rus. критерий Гурвица, m pranc. critère de Hurwitz, m ryšiai: sinonimas – Hurvico kriterijus … Automatikos terminų žodynas

Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия

Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… … Википедия

Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия - Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия

В 1895 г. швейцарским ученым А. Гурвицем был предложен критерий, определяющий условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения системы для обеспечения отрицательности вещественных частей корней ее характеристического уравнения.

Приведем формулировку критерия Гурвица без доказательства. Так как характеристическое уравнение всегда может быть приведено к виду, когда а п > 0, то можно дать следующую формулировку критерия Гурвица.

Для того, чтобы система управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все его диагональные миноры были положительными.

Если характеристическое уравнение системы я-го порядка имеет вид:

а п Х п + а я _ х я " х + ... + а } Х + я 0 =0,

то определитель Гурвица, составленный из коэффициентов характеристического уравнения, будет иметь вид:

а его диагональные миноры, определяемые из определителя Гурвица так, как показано в (6.8), будут иметь вид:

Для составления определителя Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения я-й степени целесообразно сначала выписать по главной диагонали определителя все коэффициента уравнения от я л _, до а 0 в порядке убывания индексов коэффициентов. Затем необходимо дополнить столбцы определителя вверх и вниз от элементов главной диагонали. При дополнении столбцов вверх следует вписать в столбец коэффициенты с последовательно убывающими индексами, а при дополнении вниз - коэф-

фициенты с последовательно возрастающими индексами. На место коэффициентов, индексы которых больше чем п и меньше чем нуль, необходимо поставить нули. Условия устойчивости системы порядка п по данному критерию запишутся в виде:

а п > 0; А, > 0; Д 2 > 0 ... Д > 0; Д„>0. (6.9)

Элементы последнего столбца определителя, за исключением нижнего, будут равны нулю. Поэтому он может быть представлен в следующем виде:

Так как для устойчивой системы Д„_, > 0, то условие Д„ > 0 сводится к условию а 0 > 0.

Для получения условий нахождения системы на границе устойчивости необходимо Д п приравнять нулю, т. е. Д„ =0, соблюдая при этом условие положительности всех остальных определителей (миноров). Но условие Д п =д 0 Д„_, =0 распадается на два условия:

а 0 = 0 (6.10)

А я _,=0. (6.11)

Условие (6.10) соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет нулевой корень (апериодическая граница устойчивости). Условие (6.11) соответствует границе устойчивости, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней (колебательная граница устойчивости).

Значения параметров систем управления, при которых система находится на границе устойчивости, будем называть критическими значениями параметров.

Рассмотрим определение условий устойчивости для систем 1-, 2- и 3-го порядков, используя критерий устойчивости Гурви-ца. При этом считаем, что характеристическое уравнение системы приведено к виду, когда а п > 0.

1. Система управления, движение которой описывается уравнением первого порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:

я,Х. + а 0 = 0.

Условия устойчивости:

д, > 0; Д, = д 0 > 0.

2. Система управления, движение которой описывается уравнением второго порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:

а 2 Х 2 + а{к + д 0 = 0; д 2 >0.

Условия устойчивости:

или д, д 0 > 0, но так как д, > 0, то для того чтобы Д2 = д, д 0 >0, необходимо, чтобы д 0 > 0.

Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости систем 1-го и 2-го порядков является положительность коэффициентов их характеристических уравнений, что подтверждает выводы, сделанные в предыдущем параграфе.

3. Система управления, движение которой описывается уравнением 3-го порядка. Ее характеристическое уравнение имеет вид:

д 3 А 3 + а 2 Х 2 + д,^ + д 0 =0; д 3 > 0. Условия устойчивости по Гурвицу имеют вид:

Д2 = Д 2 Д| - а ц а г >0» Д = о 0 а 2 > 0.

Так как Д 2 >0, то для выполнения последнего неравенства необходимо, чтобы д 0 > 0.

Окончательно условия устойчивости по критерию Гурвица для данной системы выглядят следующим образом:

д 3 > 0; д 2 > 0; д, > 0; д 0 > 0; д 2 д, >д 0 д 3 .

Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод, что положительность коэффициентов является только необходимым, но недостаточным условием устойчивости для систем третьего и выше порядков.

Рассмотрим для примера исследование устойчивости системы управления, уравнение движения которой имеет вид:

0,001 + 0,18-Р + 0,97-^- + 1,8- + 50* =

0,0015^^ + 1,5- + 10#. сИ 1 сИ

Характеристическое уравнение исследуемой системы имеет вид:

0,001Х 4 + 0,18А 3 + 0,97А. 2 + 1,8А. + 50 = 0.

Все коэффициенты характеристического уравнения положительные, поэтому необходимое условие устойчивости выполняется.

Составляем определитель Гурвица по ранее изложенному правилу:

0,18 1,8 0 0
0,001 0,97 50 0
0 0,18 1,8 0
0 0,001 0,97 50

Условия устойчивости:

1) Д = 0,18 > 0;
0,18 1,8 0,001 0,97
2) Д 2 =
3) Д, =

0,18-0,97 - 1,8 -0,001 =0,1728 > 0;

0,18 1,8 0 0,001 0,97 50 0 0,18 1,8

1,8(0,18-0,97 - 0,001 - 1,8) -

0,18 2 50 = -1,31

Следовательно, исследуемая система неустойчивая.

Применение критерия устойчивости Гурвица ограничено рядом присущих ему недостатков. Во-первых, применение этого критерия требует знания всех коэффициентов характеристического уравнения системы, т. е. всех параметров системы, что крайне неудобно при экспериментальных исследованиях систем, так как обычно характеристики рассматриваемой системы определяются из испытаний разомкнутой системы. Во-вторых, критерий устойчивости Гурвица позволяет определить, устойчива система или нет, но не позволяет определить, как следует изменить параметры системы, чтобы сделать систему устойчивой, если она неустойчивая. И, наконец, применение критерия Гурвица для системы высокого порядка связано со значительными математическими трудностями, особенно, если необходимо получить буквенный результат. Значительными достоинствами по сравнению с этим критерием обладают частотные критерии устойчивости.

Контрольные вопросы

1. Записать условия устойчивости по Гурвицу в общем виде для систем 5-го порядка.
2. Определить критическое значение передаточного коэффициента системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид:

-. Ответ: 1с п = 122,21.
(0,5р + 1)(0,05р + 1)(0,005 + 1) р
3. Исследовать устойчивость системы, характеристическое уравнение которой имеет вид: X 6 + 6А. 5 + 15Х 4 + 20А 3 + 5Х 2 + 6Х + 1 = 0. Ответ: система устойчивая.