Иллюзия корреляции Представьте, что вы являетесь участником исследования того, как люди устанавливают связи между событиями. Психологи Уильям Уорд и Герберт Дженкинс показывают вам результаты гипотетического пятидесятидневного эксперимента по засеву облаков

Корреляции и причинность

Корреляции и причинность Тот факт, что два события происходят одновременно и коррелируют между собой, не обязательно означает, что одно из них является причиной другого. Вообще, события А и Б могут произойти одновременно по одной из четырех причин: (I) А является причиной

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

ЗАДАНИЕ 1 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (ССЧ работающих, чел.) (табл. 2).

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Так как при параболическом виде связи j= 1,23, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 5

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 1) к эмпирическим данным близко лежит график гиперболической зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,14 > 0,11 корреляционное отношение при линейной зависимости, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,14

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,02.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы.

5. Таким образом, применяется гиперболический тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 2 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 6).

Таблица 6

Таблица 7

Таблица 8

Так как при параболическом виде связи j= 1,81, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 9

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график линейной зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,80 > 0,45 корреляционное отношение при гиперболической зависимости, а значит его значение близко к 1.

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,63.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой.

5. Таким образом, применяется линейный тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 3 : Исследуем зависимость между X (ССЧ работающих, чел.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 10).

Таблица 10

Таблица 11

Таблица 12

Таблица 13

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график параболической зависимости. Потому что корреляционное отношение при этом равно 0,90 > 0,09 и >0,06 корреляционное отношение при гиперболической и линейной зависимостях, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,80

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,80.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если связь между признаками нелинейная и с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка.

5. Таким образом, применяется параболический тип зависимости.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Исторически первым показателем тесноты связи был парный коэффициент корреляции, предложенный К. Пирсоном. Он основан на показателе ковариации, который представляет собой среднее значение произведения отклонений индивидуальных значений результативного и факторного признаков от своих средних значений. Показатель ковариации оценивает совместное изменение двух признаков, результата и фактора:

где - значение признака-результата у i-й единицы совокупности; - значение признака-фактора у i-й единицы совокупности; - среднее значение признака-результата; - среднее значение признака-фактора.

Показатель ковариации содержательно сложно интерпретировать. Нормированное значение показателя ковариации – это и есть показатель парной корреляции Пирсона.

, (53)

или после преобразований:

, (54)

где - стандартное отклонение признака-результата; - стандартное отклонение признака-фактора.

Достоинством коэффициента корреляции является то, что он имеет пределы изменения, следовательно, его величина легко может быть интерпретирована. Значения показателя изменяются от -1 до +1. Близость коэффициента к нулю свидетельствует об отсутствии корреляционной зависимости. Близость к единице – о тесной корреляционной зависимости. Знак коэффициента корреляции указывает на прямую, либо обратную зависимость. Величина конкретных значений интерпретируется следующим образом:

- связь практически отсутствует;

- связь заметная;

- связь умеренная;

- связь тесная.

Парный коэффициент корреляции – симметричный показатель, т.е. . Это означает, что высокое значение коэффициента корреляции не может свидетельствовать о наличии причинно-следственной связи, а говорит лишь о наличии параллельной вариации признаков (показателей). Что есть фактор, а что есть результат, не имеет значения. Наличие причинно-следственной связи обосновывается теоретическим анализом изучаемого объекта на основе положений экономической теории.

Расчет коэффициента корреляции, как и большинства статистических показателей, рассчитываемых по ограниченному объему совокупности, сопровождается оценкой его значимости (существенности). Необходимо подтвердить, что полученное значение коэффициента – не результат действия случайных факторов. Для оценки значимости рассчитывается t-статистика, как отношение оцениваемой характеристики (в данном случае - r) к ее стандартной ошибке (). Иными словами, осуществляется проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между изучаемыми переменными, т.е. предполагается, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю ():

(55)

При условии справедливости нулевой гипотезы, распределение t-статистики соответствует закону распределения вероятностей Стьюдента с n-2 степенями свободы. Исходя из этого, находится табличное значение t-статистики, соответствующее заданному аналитиком уровню вероятности и полученному числу степеней свободы. Если расчетное значение t окажется больше табличного, то гипотеза об отсутствии связи должна быть отвергнута (с вероятностью ошибки =1- принятый уровень вероятности) и принята альтернативная гипотеза о значимости полученного коэффициента корреляции, т.е. о наличии статистически значимой связи между изучаемыми признаками.

В практике экономических исследований и анализа часто приходится изучать множественную корреляционную зависимость, т.е. оценивать влияние двух и более факторов на признак-результат. Теснота связи между комплексом факторов и зависимой переменной оценивается с помощью множественного коэффициента корреляции (). При двухфакторной зависимости множественный коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:

где - парные коэффициенты корреляции результата и каждого из факторов, - коэффициент корреляции между факторами.

Множественный коэффициент корреляции изменяется от нуля до единицы, не может быть отрицательным. Интерпретация конкретных значений множественного коэффициента корреляции аналогична интерпретации значений парного коэффициента с той только разницей, что оценивается теснота корреляционной зависимости между результативным признаком и всей совокупностью анализируемых факторов.

Квадрат коэффициента корреляции (r 2 ; ) – это показатель, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю объясненной (факторной) дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака.

При изучении множественной корреляционной зависимости рассчитываются также частные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи между результатом и одним признаком-фактором, при условии элиминирования влияния других факторов, включенных в анализ. Элиминирование выполняется путем закрепления значений факторов (кроме оцениваемого) на неизменном уровне (как правило, на среднем).

При двухфакторной корреляционной зависимости рассчитывается два частных коэффициента корреляции:

, (57)

- данный частный коэффициент характеризует степень тесноты корреляционной зависимости между результатом (y) и фактором x 1 при элиминировании фактора x 2.

, (58)

Этот коэффициент характеризует тесноту зависимости признака-результата (y) от признака- фактора x 2 при элиминировании фактора x 1.

Коэффициенты корреляции, в большей степени, пригодны для оценки линейной зависимости между изучаемыми признаками. Если связь нелинейная, то следует отдать предпочтение универсальному показателю, который называется корреляционное отношение() . Оно может быть:

Ø Эмпирическое, рассчитанное по данным аналитической группировки, как отношение межгрупповой дисперсии () к общей ():

. (59)

Ø Теоретическое, рассчитанное по результатам регрессионного анализа, как отношение факторной дисперсии () к общей ():

. (60)

Корреляционное отношение изменяется так же от нуля до единицы и интерпретируется аналогично коэффициенту корреляции. Квадрат корреляционного отношения () - коэффициента детерминации.

Для понимания сути корреляционного отношения и коэффициента детерминации, следует сформулировать правило сложения дисперсий в терминах регрессионного анализа. Оно звучит так: общая дисперсия признака-результата есть сумма факторной и остаточной дисперсий:

. (61)

Факторная дисперсия () – это аналог межгрупповой дисперсии. Показатель характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией признаков-факторов, включенных в анализ.

Остаточная дисперсия( ) – аналог внутригрупповой дисперсии. Характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией факторов, не включенных в анализ, т.е. оставшихся за пределами внимания аналитика.

Общая дисперсияпризнака-результата () обусловлена вариацией всех факторов, объективно влияющих на результат (зависимую переменную).

Коэффициент детерминации ( , )– это важный аналитический показатель, характеризующий долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака, т.е. долю объясненной вариации зависимой переменной, которую удается объяснить вариацией факторов, включенных в анализ.

Величина коэффициента детерминации реагирует на число факторов, включенных в уравнение регрессии. Поэтому для ответа на вопрос, какую часть дисперсии результативного признака удается объяснить в каждом конкретном случае, исходят из величины скорректированного коэффициента детерминации. Корректировка коэффициента осуществляется с учетом числа степеней свободы, т.е. с учетом объема изучаемой совокупности и числа факторов, включенных в анализ:

, (62)

где - коэффициента детерминации, скорректированный с учетом числа степеней свободы; n – объем изучаемой совокупности; k – число факторов, включенных в анализ.

Оценка корреляционной зависимости может быть также дана на основе индекса корреляции ( - «ро»), который рассчитывается с использованием величины остаточной дисперсии по следующей формуле:

. Суть данного показателя также вытекает из правила сложения дисперсий, т.е. - аналог коэффициента корреляции, а - коэффициента детерминации.

1. Парная корреляция 1

2. Множественная корреляция 26

1. Парная корреляция

При парной корреляции устанавливают зависимость меж­ду двумя признаками, один из которых является факторным, другой  результатив­ным. Связь между ними может иметь различный характер. Поэтому важно правильно установить форму связи между признаками и в соответствии с этим по­добрать математическое уравнение, выражающее эту связь.

Вопрос о форме связи можно решить несколькими спосо­бами: на основе логического анализа, по данным статистичес­кой группировки или графическим способом. При парной корреляции предпочтителен последний способ, так как он позволяет выявить не только характер связи, но дает пред­ставление о степени связи.

После того, как определен вид уравнения связи, необхо­димо найти числовые значения его параметров. При вычисле­нии параметров применяют различные методы: метод наи­меньших квадратов, метод средних, метод наименьшего пре­дельного уклонения и др. Наиболее распространенным явля­ется метод наименьших квадратов. При его использовании находят такие значения параметров уравнения регрессии, при которых сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных является минимальной:

где y – фактическое значение результативного признака;

расчетное значение результативного признака.

Для этого решают систему нормальных уравнений, кото­рые строятся следующим образом. Исходное уравнение пере­множают сначала на коэффициент при первом неизвестном и полученные данные суммируют. Затем исходное уравнение перемножают на коэффициент при втором неизвестном, полу­ченные данные также суммируют и т. д.

Рассмотрим, как получается система нормальных уравне­ний для уравнения линейной регрессии
.

В данном уравнении коэффициент при первом неизвестном а 0 равен 1. Следовательно, исходное уравнение после перемножения сохраняет прежний вид:

,

а после суммирования

.

Коэффициент при втором неизвестном a 1 равен x . Умно­жая на него все члены исходного уравнения, получим:

,

а после суммирования

.

Значения
,
,
и
рассчитывают по данным на­блюдения, а неизвестные параметрыa 0 и a 1  путем решения системы уравнений:

Правила получения системы нормальных уравнений распространяются на все виды уравнений регрессии. После того, как определены параметры уравнения регрес­сии, необходимо его оценить, то есть проверить, насколько оно соответствует изучаемой совокупности и как тесно связан результативный признак с фактором, обусловливающим его уровень. Для этого сравнивают вариацию значений результа­тивного признака, рассчитанных по уравнению регрессии, то есть зависящих от факторного признака, с вариацией факти­ческих (исходных) значений результативного признака. Чем ближе первая вариация будет ко второй, тем в большей сте­пени уравнение регрессии отражает связь между признаками, тем теснее они связаны.

Показатель, характеризующий отношение вариаций рас­четных и исходных значений результативного признака, на­зывают индексом корреляции. Его рассчитывают по формуле:

,

где I – индекс корреляции;

общая дисперсия результативного признака (средний квадрат отклонений фактических значений у от средней );

факторная дисперсия результативного признака, рассчитанного по уравнению регрессии (средний квадрат отклонений расчетных значений от средней);

n – численность совокупности.

Индекс корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Он показывает, что чем ближе его значение к 1, тем сильнее связь между признаками, и тем лучше уравнение регрессии описывает взаимосвязь между признаками. При индексе кор­реляции равном 1 взаимосвязь между признаками является функциональной. Если же индекс корреляции равен 0, то связь между признаками отсутствует.

Поскольку факторная дисперсия показывает вариацию результативного признака, зависящую от факторного призна­ка, то можно рассчитать остаточную дисперсию, показываю­щую вариацию других неучтенных факторов. Она равна раз­нице между общей и факторной дисперсиями:

где  остаточная дисперсия.

Остаточная дисперсия показывает вариацию фактических значений результативного признака относительно расчетных значений, то есть колеблемость фактических значений относи­тельно линии регрессии. Чем меньше будет эта колеблемость, тем в большей степени уравнение регрессии отражает связь между признаками.

Формула индекса корреляции, рассчитанного на основе ос­таточной и общей дисперсий, имеет вид:

.

Для линейной регрессии индекс корреляции называют коэффициентом корреляции. Формула его при парной корре­ляции после преобразования имеет вид:

,

где r – коэффициент корреляции;

средние значения факторного и результативного признаков;

среднее значение произведений факторного и результативного признаков;

средние квадратические отклонения факторного и результативного признаков.

В отличие от индекса корреляции коэффициент корреля­ции показывает не только тесноту связи, но и ее направление, поскольку меняется в пределах от −1 до +1. Если коэффи­циент корреляции положительный, то связь между призна­ками прямая (прямо пропорциональная), если отрицательный, то связь обратная (обратно пропорциональная).

Квадраты индекса корреляции и коэффициента корреля­ции называют соответственно индексом детерминации (I 2) и коэффициентом детерминации (r 2). Индекс детерминации и коэффициент детерминации показывают, какая доля общей вариации результативного признака определяется изучаемым фактором.

Так как надежность изучения связей в значительной сте­пени зависит от количества сопоставляемых данных, необхо­димо измерять существенность полученного уравнения регрес­сии и индекса (коэффициента) корреляции. Показатели кор­реляции, исчисленные для ограниченной по объему совокуп­ности, могут быть искажены действием случайных факторов.

Существенность индекса (коэффициента) корреляции, а, следовательно, всего уравнения регрессии, может быть оцене­на с помощью дисперсионного анализа (F -критерия Фишера). При этом сравнивают факторную и остаточную дисперсии с учетом числа степеней свободы вариации. F -критерий в данном случае рассчиты­вают по формуле:

,

где
 выборочная факторная дисперсия;

выборочная остаточная дисперсия;

n – численность выборочной совокупности;

k – число параметров в уравнении регрессии.

Значение F -критерия можно получить также, используя значения индекса или коэффициента корреляции:

;
.

Полученное значение F-критерия сравнивают с табличным значением. При этом для факторной дисперсии число степеней свободы вариации составляет
, а для остаточной дисперсии
Если фактическое значе­ниеF -критерия больше табличного, следовательно, связь между признаками достоверна и уравнение регрессии в пол­ной мере отражает эту связь. Если фактическое значение F -критерия меньше табличного, то можно сделать вывод, что связь между признаками носит случайный характер.

Для оценки значимости индекса (коэффициента) корреля­ции и уравнения регрессии также используют t -критерий Стьюдента, который для больших выборок рассчитывают по формулам:

Для малых выборок формулы имеют вид:

Также, как при дисперсионном анализе, фактическое зна­чение t -критерия сравнивают с табличным с учетом числа степеней свободы вариации  = n  k . Если фактическое значение t -критерия больше табличного, то связь достоверна, если меньше, то связь несущественна.

Рассмотрим методику корреляционного анализа для пар­ной корреляции.

Пример 1 . По выборочным данным получены сведения о среднегодовом удое коров и расходе кормов на голову (табл. 7.1).