Что показывает множественный коэффициент корреляции. Множественный коэффициент корреляции. Коэффициент частной корреляции

Попробуем для начала найти ответ на каждый из обозначенных нами вопросов в ситуации, когда наша каузальная модель содержит всего две независимые переменные.

Множественная корреляция R и коэффициент детерминация R2

Для оценки совокупной связи всех независимых переменных с зависимой переменной используется множественный коэффициент корреляции R. Отличие коэффициента множественной корреляции R от бивариативного коэффициента корреляции г заключается в том, что он может быть лишь положительным. Для двух независимых переменных он может быть оценен следующим образом:

Коэффициент множественной корреляции может быть определен и в результате оценки частных коэффициентов регрессии, составляющих уравнение (9.1). Для двух переменных это уравнение, очевидно, примет следующий вид:

(9.2)

Если наши независимые переменные будут трансформированы в единицы стандартного нормального распределения, или Z-распределения, уравнение (9.2), очевидно, примет следующий вид:

(9.3)

В уравнении (9.3) коэффициент β обозначает стандартизированное значение коэффициента регрессии В.

Сами стандартизированные коэффициенты регрессии могут быть вычислены по следующим формулам:

Теперь формула для вычисления коэффициента множественной корреляции будет выглядеть так:

Еще одним способом оценки коэффициента корреляции R является вычисление бивариативного коэффициента корреляции r между значениями зависимой переменной У и соответствующими им значениями , вычисленными на основании уравнения линейной регрессии (9.2). Иными словами, величина R может быть оценена следующим образом:

Наряду с этим коэффициентом мы можем оценить, как и в случае простой регрессии, величину R 2, которую принято еще обозначать как коэффициент детерминации. Так же как и в ситуации оценки связи между двумя переменными, коэффициент детерминации R 2 показывает, какой процент дисперсии зависимой переменной Y , т.е. , оказывается связанным с дисперсией всех независимых переменных – . Иными словами, оценка коэффициента детерминации может быть осуществлена следующем образом:

Также мы можем оценить процент остаточной дисперсии зависимой переменной, нс связанный ни с одной из независимых переменных 1 – R 2. Квадратный корень от этой величины, т.е. величина , так же, как и в случае бивариативной корреляции, называют коэффициентом отчуждения.

Корреляция части

Коэффициент детерминация R 2 демонстрирует, какой процент дисперсии зависимой переменной может быть связан с дисперсией всех независимых переменных, включенных в каузальную модель. Чем больше этот коэффициент, тем более значимой является выдвинутая нами каузальная модель. Если этот коэффициент оказывается не слишком большим, то и вклад исследуемых нами переменных в общую дисперсию зависимой переменной также оказывается незначительным. На практике, однако, часто требуется не только оценить совокупный вклад всех переменных, но и отдельный вклад каждой из рассматриваемых нами независимых переменных. Такой вклад может быть определен как корреляция части.

Как мы знаем, в случае бивариативной корреляции процент дисперсии зависимой переменной, связанный с дисперсией независимой переменной, может быть обозначен как r 2. Однако часть этой дисперсии в случае исследования эффектов нескольких независимых переменных оказывается обусловлена одновременно дисперсией независимой переменной, которую мы используем в качестве контрольной. Наглядно эти соотношения показаны на рис. 9.1.

Рис. 9.1. Соотношение дисперсий зависимой (Y ) и двух независимых (X 1 и Х 2) переменных в корреляционном анализе с двумя независимыми переменными

Как показано на рис. 9.1, вся дисперсия Y , связанная с двумя нашими независимыми переменными, состоит из трех частей, обозначенными а, b и с. Части а и b дисперсии Y принадлежат по отдельности дисперсии двух независимых переменных – Х 1 и Х 2. В то же время дисперсия части с одновременно связывает и дисперсию зависимой переменной У, и дисперсию двух наших переменных X. Следовательно, для того чтобы оценить связь переменной X 1 с переменной Y, которая не обусловлена влиянием переменной Х 2 на переменную Y , необходимо из величины R" 2 вычесть величину квадрата корреляции Y с Х 2:

(9.6)

Аналогичным образом можно оценить часть корреляции У с Х 2, которая не обусловлена ее корреляцией с Х 1.

(9.7)

Величина sr в уравнениях (9.6) и (9.7) и есть искомая нами корреляция части.

Определить корреляцию части можно также и в терминах обычной бивариативной корреляции:

По-другому корреляция части называется полупарциальной корреляцией. Это название означает, что при расчете корреляции эффект второй независимой переменной устраняется применительно к значениям первой независимой переменной, но нс устраняется по отношению к зависимой переменной. Эффект Х 1 как бы корректируется с помощью значений Х 2, так что коэффициент корреляции рассчитывается не между Y и X 1 а между Y и , причем значения рассчитываются на основе значений Х 2 так, как было рассмотрено в главе, посвященной простой линейной регрессии (см. подпараграф 7.4.2). Таким образом, оказывается справедливым следующее соотношение:

Для того чтобы оценить корреляцию одной независимой переменной с зависимой переменной в отсутствие влияния других независимых переменных как на саму независимую переменную, так и на зависимую переменную, в регрессионном анализе используется понятие частной корреляции.

Частные корреляции

Частная, или парциальная, корреляция определяется в математической статистике через пропорцию дисперсии зависимой переменной, связанной с дисперсией данной независимой переменной, по отношению ко всей дисперсии этой зависимой переменной, не считая той ее части, которая связана с дисперсией других независимых переменных. Формально для случая двух независимых переменных это можно выразить следующим образом:

Сами значения частной корреляции рr могут быть найдены на основе значений бивариативной корреляции:

Частная корреляция, таким образом, может быть определена как обычная бивариативная корреляция между скорректированными значениями как зависимой, так и независимой переменной. Непосредственно коррекция осуществляется в соответствии со значениями независимой переменной, выступающей в качестве контрольной. Иными словами, частная корреляция между зависимой переменной Y и независимой переменной X i может быть определена как обычная корреляция между значениями и значениями , причем значения и предсказываются на основе значений второй независимой переменной Х 2.

При изучении сложных явлений необходимо учитывать более двух случайных факторов. Правильное представление о природе связи между этими факторами можно получить только в том случае, если подвергнуть исследованию сразу все рассматриваемые случайные факторы. Совместное изучение трех и более случайных факторов позволит исследователю установить более или менее обоснованные предположения о причинных зависимостях между изучаемыми явлениями. Простой формой множественной связи является линейная зависимость между тремя признаками. Случайные факторы обозначаются как X 1 , X 2 и X 3 . Парный коэффициенты корреляции между X 1 и X 2 обозначается как r 12 , соответственно между X 1 и X 3 - r 12 , между X 2 и X 3 - r 23 . В качестве меры тесноты линейной связи трех признаков используют множественные коэф-фициенты корреляции, обозначаемые R 1 ּ 23 , R 2 ּ 13 , R 3 ּ 12 и частные коэффициенты корреляции, обозначаемые r 12.3 , r 13.2 , r 23.1 .

Множественный коэффициент корреляции R 1.23 трех факторов - это показатель тесноты линейной связи между одним из факторов (индекс перед точкой) и совокупностью двух других факторов (индексы после точки).

Значения коэффициента R всегда находятся в пределах от 0 до 1. При приближении R к единице степень линейной связи трех признаков увеличивается.

Между коэффициентом множественной корреляции, например R 2 ּ 13 , и двумя коэффициентами парной корреляции r 12 и r 23 существует соотношение: каждый из парных коэффициентов не может превышать по абсолютной величине R 2 ּ 13 .

Формулы для вычисления множественных коэффициентов корреляции при известных значениях коэффициентов парной корреляции r 12 , r 13 и r 23 имеют вид:

Квадрат коэффициента множественной корреляции R 2 называется коэффициентом множественной детерминации. Он показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов.

Значимость множественной корреляции оценивается по F -критерию:

n – объем выборки; k – число факторов. В нашем случае k = 3.

нулевая гипотеза о равенстве множественного коэффициента корреляции в совокупности нулю (h o :r =0)принимается, если f ф <f t , и отвергается, если
f ф ³ f т.

теоретическое значение f -критерия определяется для v 1 = k - 1 и v 2 = n - k степеней свободы и принятого уровня значимости a (приложение 1).

Пример вычисления коэффициента множественной корреляции . При изучении взаимосвязи между факторами были получены коэффициенты парной корреляции (n =15): r 12 ==0,6; г 13 = 0,3; r 23 = - 0,2.

Необходимо выяснить зависимость признака X 2 от признака X 1 и X 3 , т. е. рассчитать коэффициент множественной корреляции:

Табличное значение F -критерия при n 1 = 2 и n 2 = 15 – 3 = 12 степенях свободы при a = 0,05 F 0,05 = 3,89 и при a = 0,01 F 0,01 = 6,93.

Таким образом, взаимосвязь между признаками R 2.13 = 0,74 значима на
1%-ном уровне значимости F ф > F 0,01 .

Судя по коэффициенту множественной детерминации R 2 = (0,74) 2 = 0,55, вариация признака X 2 на 55% связана с действием изучаемых факторов, а 45% вариации (1-R 2) не может быть объяснено влиянием этих переменных.

Частная линейная корреляция

Частный коэффициент корреляции - это показатель, измеряющий степень сопряженности двух признаков.

Математическая статистика позволяет установить корреляцию между двумя признаками при постоянном значении третьего, не ставя специального эксперимента, а используя парные коэффициенты корреляции r 12 , r 13 , r 23 .

Частные коэффициенты корреляции рассчитывают по формулам:

Цифры перед точкой указывают, между какими признаками изучается зависимость, а цифра после точки - влияние какого признака исключается (элиминируется). Ошибку и критерий значимости частной корреляции определяют по тем же формулам, что и парной корреляции:

Теоретическое значение t- критерия определяется для v = n – 2 степеней свободы и принятого уровня значимости a (приложение 1).

Нулевая гипотеза о равенстве частного коэффициента корреляции в совокупности нулю (H o : r = 0)принимается, если t ф < t т, и отвергается, если
t ф ³ t т.

Частные коэффициенты могут принимать значения, заключенные между -1 и+1. Частные коэффициенты детерминации находят путем возведения в квадрат частных коэффициентов корреляции:

D 12.3 = r 2 12ּ3 ; d 13.2 = r 2 13ּ2 ; d 23ּ1 = r 2 23ּ1 .

Определение степени частного воздействия отдельных факторов на результативный признак при исключении (элиминировании) связи его с другими признаками, искажающими эту корреляцию, часто представляет большой интерес. Иногда бывает, что при постоянном значении элиминируемого признака нельзя подметить его статистического влияния на изменчивость других признаков. Чтобы уяснить технику расчета частного коэффициента корреляции, рассмотрим пример. Имеются три параметра X , Y и Z . Для объема выборки n = 180 определены парные коэффициенты корреляции

r xy = 0,799; r xz = 0,57; r yz = 0,507.

Определим частные коэффициенты корреляции:

Частный коэффициент корреляции между параметром X и Y Z (r хуּz = 0,720) показывает, что лишь незначительная часть взаимосвязи этих признаков в общей корреляции (r xy = 0,799) обусловлена влиянием третьего признака (Z ). Аналогичное заключение необходимо сделать и в отношении частного коэффициента корреляции между параметром X и параметром Z с постоянным значением параметраY (r х z ּу = 0,318 и r xz = 0,57). Напротив, частный коэффициент корреляции между параметрами Y и Z с постоянным значением параметра X r yz ּx = 0,105 значительно отличается от общего коэффициента корреляции r у z = 0,507. Из этого видно, что если подобрать объекты с одинаковым значением параметра X , то связь между признаками Y и Z у них будет очень слабой, так как значительная часть в этой взаимосвязи обусловлена варьированием параметра X .

При некоторых обстоятельствах частный коэффициент корреляции может оказаться противоположным по знаку парному.

Например, при изучении взаимосвязи между признаками X, У и Z - были получены парные коэффициенты корреляции (при n = 100): r ху = 0,6; r х z = 0,9;
r у z = 0,4.

Частные коэффициенты корреляции при исключении влияния третьего признака:

Из примера видно, что значения парного коэффициента и частного коэффициента корреляции разнятся в знаке.

Метод частной корреляции дает возможность вычислить частный коэффициент корреляции второго порядка. Этот коэффициент указывает на взаимосвязь между первым и вторым признаком при постоянном значении третьего и четвертого. Определение частного коэффициента второго порядка ведут на основе частных коэффициентов первого порядка по формуле:

где r 12 . 4 , r 13 ּ4 , r 23 ּ4 - частные коэффициенты, значение которых определяют по формуле частного коэффициента, используя коэффициенты парной корреляции r 12 , r 13 , r 14 , r 23 , r 24 , r 34 .

Построение линейной регрессии, оценивание ее параметров и их значимости можно выполнить значительнее быстрей при использовании пакета анализа Excel (Регрессия). Рассмотрим интерпретацию полученных результатов в общем случае (k объясняющих переменных) по данным примера 3.6.

В таблице регрессионной статистики приводятся значения:

Множественный R – коэффициент множественной корреляции ;

R - квадрат – коэффициент детерминации R 2 ;

Нормированный R - квадрат – скорректированный R 2 с поправкой на число степеней свободы;

Стандартная ошибка – стандартная ошибка регрессии S ;

Наблюдения – число наблюдений n .

В таблице Дисперсионный анализ приведены:

1. Столбец df - число степеней свободы, равное

для строки Регрессия df = k ;

для строкиОстаток df = n – k – 1;

для строкиИтого df = n – 1.

2. Столбец SS – сумма квадратов отклонений, равная

для строки Регрессия ;

для строкиОстаток ;

для строкиИтого .

3. Столбец MS дисперсии, определяемые по формуле MS = SS /df :

для строки Регрессия – факторная дисперсия;

для строкиОстаток – остаточная дисперсия.

4. Столбец F – расчетное значение F -критерия, вычисляемое по формуле

F = MS (регрессия)/MS (остаток).

5. Столбец Значимость F –значение уровня значимости, соответствующее вычисленной F -статистике.

Значимость F = FРАСП(F- статистика, df (регрессия), df (остаток)).

Если значимость F < стандартного уровня значимости, то R 2 статистически значим.

	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-cта-тистика	P-значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y	65,92	11,74	5,61	0,00080	38,16	93,68
X	0,107	0,014	7,32	0,00016	0,0728	0,142

В этой таблице указаны:

1. Коэффициенты – значения коэффициентов a , b .

2. Стандартная ошибка –стандартные ошибки коэффициентов регрессии S a , S b .

3. t- статистика – расчетные значения t -критерия, вычисляемые по формуле:

t-статистика = Коэффициенты / Стандартная ошибка.

4.Р -значение (значимость t ) – это значение уровня значимости, соответствующее вычисленной t- статистике.

Р -значение = СТЬЮДРАСП (t -статистика, df (остаток)).

Если Р -значение < стандартного уровня значимости, то соответствующий коэффициент статистически значим.

5. Нижние 95% и Верхние 95% – нижние и верхние границы 95 %-ных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии.

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное y	Остатки e
	72,70	-29,70
	82,91	-20,91
	94,53	-4,53
	105,72	5,27
	117,56	12,44
	129,70	19,29
	144,22	20,77
	166,49	24,50
	268,13	-27,13

В таблице ВЫВОД ОСТАТКА указаны:

в столбце Наблюдение – номер наблюдения;

в столбце Предсказанное y – расчетные значения зависимой переменной;

в столбце Остатки e – разница между наблюдаемыми и расчетными значениями зависимой переменной.

Пример 3.6. Имеются данные (усл. ед.) о расходах на питание y и душевого дохода x для девяти групп семей:

x
y

Используя результаты работы пакета анализа Excel (Регрессия), проанализируем зависимость расходов на питание от величины душевого дохода.

Результаты регрессионного анализа принято записывать в виде:

где в скобках указаны стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Коэффициенты регрессии а = 65,92 и b = 0,107. Направление связи между y и x определяет знак коэффициентарегрессии b = 0,107, т.е. связь является прямой и положительной. Коэффициент b = 0,107 показывает, что при увеличении душевого дохода на 1 усл. ед. расходы на питание увеличиваются на 0,107 усл. ед.

Оценим значимость коэффициентов полученной модели. Значимость коэффициентов (a, b ) проверяется по t -тесту:

Р-значение (a ) = 0,00080 < 0,01 < 0,05

Р-значение (b ) = 0,00016 < 0,01 < 0,05,

следовательно, коэффициенты (a, b ) значимы при 1 %-ном уровне, а тем более при 5 %-ном уровне значимости. Таким образом, коэффициенты регрессии значимы и модель адекватна исходным данным.

Результаты оценивания регрессии совместимы не только с полученными значениями коэффициентов регрессии, но и с некоторым их множеством (доверительным интервалом). С вероятностью 95 % доверительные интервалы для коэффициентов есть (38,16 – 93,68) для a и (0,0728 – 0,142) для b.

Качество модели оценивается коэффициентом детерминации R 2 .

Величина R 2 = 0,884 означает, что фактором душевого дохода можно объяснить 88,4 % вариации (разброса) расходов на питание.

Значимость R 2 проверяется по F- тесту: значимость F = 0,00016 < 0,01 < 0,05, следовательно, R 2 значим при 1 %-ном уровне, а тем более при 5 %-ном уровне значимости.

В случае парной линейной регрессии коэффициент корреляции можно определить как . Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

линейной;
параболической;
степенной;
экспоненциальной;
гиперболической;
показательной;
логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:


		Количество уволившихся	Зарплата
			30000 рублей
			35000 рублей
			40000 рублей
			45000 рублей
			50000 рублей
			55000 рублей
			60000 рублей

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.


номер месяца	название месяца	цена товара N
		1750 рублей за тонну
		1755 рублей за тонну
		1767 рублей за тонну
		1760 рублей за тонну
		1770 рублей за тонну
		1790 рублей за тонну
		1810 рублей за тонну
		1840 рублей за тонну

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

кредиторская задолженность (VK);
объем годового оборота (VO);
дебиторская задолженность (VD);
стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

вызывают окно «Анализ данных»;
выбирают раздел «Регрессия»;
в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.