Фрактальная графика. Презентация к исследовательской работе фрактальная графика

Фрактальная графика Заречнева Полина ученица 10 класса «А» ГБОУ СОШ №351 г.Москва.

Виды графики Существую 4 основных вида графики: Векторная Растровая Фрактальная 3- D графика В данной презентации будет рассказано о фрактальной графике.

Фрактальная графика является на сегодняшний день одним из самых быстро развивающихся перспективных видов компьютерной графики. Математической основой фрактальной графики является фрактальная геометрия. Здесь в основу метода построения изображений положен принцип наследования от, так называемых, «родителей» геометрических свойств объектов-наследников.

Понятия фрактал, фрактальная геометрия и фрактальная графика, появившиеся в конце 70-х, сегодня прочно вошли в обиход математиков и компьютерных художников. Слово фрактал образовано от латинского « fractus » и в переводе означает «состоящий из фрагментов» . Оно было предложено математиком Бенуа Мандель-Бротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

В центре фрактальной фигуры находится равносторонний треугольник, который получил название «фрактальный» . Затем, на среднем отрезке сторон строятся равносторонние треугольники со стороной, равной (1/3a) от стороны исходного треугольника. Построение фрактального рисунка осуществляется по какому-то алгоритму или путём автоматической генерации изображений при помощи вычислений по конкретным формулам. Изменения значений в алгоритмах или коэффициентов в формулах приводит к модификации этих изображений. Главным преимуществом фрактальной графики есть то, что в файле фрактального изображения сохраняются только алгоритмы и формулы.

В свою очередь, на средних отрезках сторон полученных треугольников, являющихся объектами-наследниками первого поколения, выстраиваются треугольники-наследники второго поколения со стороной (1/9а) от стороны исходного треугольника. Таким образом, мелкие элементы фрактального объекта повторяют свойства всего объекта. Этот объект носит название «фрактальной фигуры» . Процесс наследования можно продолжать до бесконечности. Таким образом, можно описать и такой графический элемент, как прямую.

Изменяя и комбинирую окраску фрактальных фигур можно моделировать образы живой и неживой природы (например, ветви дерева или снежинки), а также, составлять из полученных фигур «фрактальную композицию» . Фрактальная графика, также как векторная и трёхмерная, является вычисляемой. Главное отличие в том, что изображение строится по уравнению или системе уравнений. Поэтому в памяти компьютера для выполнения всех вычислений, ничего кроме формулы хранить не требуется.

Итак, базовым понятием для фрактальной компьютерной графики являются «Фрактальный треугольник» . Затем идет «Фрактальная фигура» , «Фрактальный объект» ; «Фрактальная прямая» ; «Фрактальная композиция» ; «Объект-родитель» и «Объект наследник» . Следует обратить Ваше внимание на то, что фрактальная компьютерная графика, как вид компьютерной графики двадцать первого века получила широкое распространение не так давно.

Создатель фракталов - это художник, скульптор, фотограф, изобретатель и ученый в одном лице. Вы сами задаете форму рисунка математической формулой, исследуете сходимость процесса, варьируя его параметры, выбираете вид изображения и палитру цветов, то есть творите рисунок «с нуля». В этом одно из отличий фрактальных графических редакторов от прочих графических программ. Например, в Adobe Photoshop изображение, как правило, «с нуля» не создается, а только обрабатывается. Другой самобытной особенностью фрактального графического редактора Painter (как и прочих фрактальных программ, например Art Dabbler) является то, что реальный художник, работающий без компьютера, никогда не достигнет с помощью кисти, карандаша и пера тех возможностей, которые заложены в Painter программистами.

Фрактальная графика позволяет создавать абстрактные композиции, где можно реализовать такие композиционные приёмы как, горизонтали и вертикали, диагональные направления, симметрию и асимметрию и др. Фрактальное изображение можно сравнить со сложной структурой кристалла, со снежинкой, элементы которой выстраивается в одну сложную структуру. Это свойство фрактального объекта может быть удачно использовано при составлении декоративной композиции или для создания орнамента. Сегодня разработаны алгоритмы синтеза коэффициентов фрактала, позволяющего воспроизвести копию любой картинки сколь угодно близкой к исходному оригиналу.

Источники инфорамации: Яндекс. Картинки; http://www.esate.ru/page/fraktalnaya-grafika ; http:// ru.wikipedia.org Спасибо за внимание.

"Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий» Козьма Прутков"Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия
слабы, а потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий»
Козьма Прутков
Фракталы - самые красивые, очаровательные и странные порождения
геометрии XX века. Это детища сухой математики, но они настолько
эстетичны, что выставка фракталов, построенных с помощью
компьютера потрясла мир, а книга организаторов выставки ХайнцаОтто Пайтгена и Петера Рихтера, "Красота фракталов" раскупалась как
художественный альбом.
Они упорядочены, но это не упорядоченность монотонного
орнамента, повторяющего без изменений один и тот же мотив.
Они геометричны, но это геометрия не идеалиста Платона, искавшего
везде отполированные формы правильных многогранников, а
геометрия реального мира - ветвистого, пористого, шершавого,
зазубренного, изъеденного. Не зря человек, давший фракталам имя, польский математик Мандельброт с французским именем Бенуа,
проработавший большую часть жизни на американскую корпорацию
IBM, - назвал свой главный труд "Фрактальная геометрия природы".

" Облака не сферы, горы - не конусы, линии берегов - не окружности, и не гладка древесная кора и не прям путь молнии» Бенуа Мандельброт, Фракта

" Облака не сферы, горы - не конусы, линии берегов - не окружности,
и не гладка древесная кора и не прям путь молнии»
Бенуа Мандельброт, Фрактальная геометрия природы, 1982
Основное свойство фракталов - самоподобие. Любой
микроскопический фрагмент фрактала в том или
ином отношении воспроизводит его глобальную
структуру. В простейшем случае часть фрактала
представляет собой просто уменьшенный целый
фрактал.
Отсюда основной рецепт построения фракталов:
возьми простой мотив и повторяй его, постоянно
уменьшая размеры. В конце концов выйдет
структура, воспроизводящая этот мотив во всех
масштабах, - бесконечная лестница вглубь.
Как форма и размер отдельных элементов, так и их
взаимное расположение может быть описано
математической формулой.

Фрактальная графика может применяться во многих областях
естественных наук. Фракталы помогают геофизикам определять
и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры
и особенности распределения в ее слоях различных химических
элементов, а астрономам – моделировать формирование
планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и
космической пыли.
Многие природные объекты также самоподобны и состоят из
повторяющихся элементов разных размеров. Очевидные
примеры – дерево, куст, колония кораллов.
Еще более наглядным
примером может
служить соцветие
«сложный зонтик» –
«зонтик», состоящий, в
свою очередь, из
маленьких зонтиков. На
рисунке слева показано
соцветие растения из
семейства зонтичных, а
справа - его схема,
построенная с
использованием
фрактальной графики.

Фрактальная графика

Фрактальная графика, как и векторная - вычисляемая, но
отличается от нее тем, что никакие объекты в памяти
компьютера не хранятся. Фрактальное изображение строится по
уравнению (или по системе уравнений), поэтому ничего, кроме
формулы, хранить не надо. Изменив коэффициенты в
уравнении, можно получить совершенно другую фрактальную
картину.
Для выполнения расчетов, связанных с фрактальной
геометрией, и графического представления получающихся
результатов существует множество различных компьютерных
программ. В их основе лежит возможность ввода базовой
формулы, отражающей предполагаемый тип элемента
фрактала и ее последующих изменений, позволяющих
трансформировать фигуры – элементы фрактала: увеличивать
их или уменьшать, поворачивать относительно центра рисунка
или начальной точки и, главное, задавать количество вложений,
т.е. число шагов программы.

Построение фракталов

Простейшим фрактальным объектом является фрактальный
треугольник.
1. Постройте обычный равносторонний треугольник.
2. Разделите каждую из его сторон на три отрезка.
3. На среднем отрезке стороны постройте
равносторонний треугольник со стороной,
равной 1/3 стороны исходного треугольника, а
на других отрезках постройте равносторонние
треугольники со стороной, равной 1/9.
4. С полученными треугольниками повторите те
же операции. Вскоре вы увидите, что
треугольники последующих поколений
наследуют свойства своих родительских
фрактальных структур.
5. Так рождается фрактальная фигура.

Процесс фрактального
наследования можно
продолжать до
бесконечности.
Взяв такой бесконечный
фрактальный объект и
рассмотрев его в лупу или
микроскоп, можно найти в
нем все новые и новые
детали, повторяющие
свойства исходной
фрактальной структуры.

Построение фракталов

Еще один известный фрактал – кривая
Коха.
Берем отрезок и среднюю его треть
переламываем под углом 60 градусов.
Затем повторяем эту операцию с каждой
из частей получившейся ломаной - и так
до бесконечности. В результате мы
получим простейший фрактал - триадную
кривую, которую в 1904 году открыла
математик Хельга фон Кох.
Если на каждом шаге не только
уменьшать основной мотив, но также
смещать и поворачивать его, можно
получить более интересные и
реалистически выглядящие образования,
например, лист папоротника или даже
целые их заросли.

Построение фракталов

Фрактальными свойствами обладают
многие объекты живой и неживой природы.
Обычная снежинка, многократно
увеличенная, оказывается фрактальным
объектом. Фрактальные алгоритмы лежат в
основе роста кристаллов и растений.
Взгляните на ветку папоротникового
растения, и вы увидите, что каждая
дочерняя ветка во многом повторяет
свойства ветки более высокого
фрактального уровня.
В отдельных ветках деревьев чисто
математическими методами можно
проследить фрактальные свойства всего
дерева. А если ветку поставить в воду, то
вскоре можно получить саженец, который
со временем разовьется в полноценное
дерево (это легко удается сделать с веткой
тополя).

Фракталы

1.Введение.

Разветвления трубочек трахей, листья на деревьях, вены в руке, река, бурлящая и изгибающаяся, рынок ценных бумаг - это все фракталы. От представителей древних цивилизаций до Майкла Джексона, ученые, математики и артисты, как и все остальные обитатели этой планеты, были зачарованы фракталами и применяли их в своей работе.

Программисты и специалисты в области компьютерной техники так же без ума от фракталов, так как фракталы бесконечной сложности и красоты могут быть сгенерированы простыми формулами на простых домашних компьютерах. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Цель моей работы показать красоту фрактальной графики и увидеть при изучении не только треугольники, пирамиды, углы и системы счисления, но и разнообразные фракталы.

2.Понятие «фрактал».

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Фрактал (от лат. – дробленый, состоящий из фрагментов) – термин, обозначающий геометрическую фигуру, составленную из нескольких частей, каждая их которых подобна всей фигуре целиком. Небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Слово «фрактал» было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «The Fractal Geometry of Nature».

Роль фракталов в компьютерной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения компьютерной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

3. Свойства.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Фракталы – геометрические объекты с дробной размерностью. К примеру, размерность линии – 1, площади – 2, объема – 3. У фрактала же значение размерности может быть между 1 и 2 или между 2 и 3. К примеру, фрактальная размерность скомканного бумажного шарика приблизительно равна 2,5. В математике существует специальная сложная формула для вычисления размерности фракталов.

4.Применение.

Фракталы находят все большее и большее применение в науке. Основная причина этого заключается в том, что они описывают реальный мир иногда даже лучше, чем традиционная физика или математика.

- компьютерные системы:

Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией. При этом, картинки сжимаются гораздо лучше, чем это делается обычными методами.

Другое преимущество фрактального сжатия в том, что при увеличении картинки, не наблюдается эффекта пикселизации (увеличения размеров точек до размеров, искажающих изображение). При фрактальном же сжатии, после увеличения, картинка часто выглядит даже лучше, чем до него.

-механика жидкостей:

Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков

Например, атмосфера Юпитера представляет собой одно из самых захватывающих зрелищ в Солнечной системе (рис.). Между ледяным холодом космического пространства и тысячеградусной жарой в глубинах атмосферного океана гигантской планеты зарождаются циклопические облачные вихри самых причудливых форм.

-телекоммуникации:

Для передачи данных на расстояния используются антенны, имеющие фрактальные формы, что сильно уменьшает их размеры и вес.

-физика поверхностей:

Фракталы используются для описания кривизны поверхностей. Неровная поверхность характеризуется комбинацией из двух разных фракталов.

-медицина:

Биосенсорные взаимодействия. Биения сердца.

-биология:

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная и альвеолярная системы человека и животных, кристаллы, снежинки, элементы которых выстраиваются в одну сложную структуру, побережья

-фрактальное искусство:

Еще одной захватывающей, но спорной областью применения фракталов служит компьютерное искусство. Фракталы не только служат ученым, но и помогают художникам передавать их мысли, чувства и настроения, воплощая самые невероятные фантазии. В наше время живописец уже не может обойтись без компьютерной программы, которая строит причудливые картины-фракталы

5. Виды фракталов.

Решётка Серпинского

Треугольник Серпинского

Губка Серпинского

Кривая Коха

Фрактал Мандельброта

Кривая Дракона

Множество Мандельброта

Множество Жюлиа

6.Как построить фрактал.

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно.

Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

задать форму рисунка математической формулой

исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры

выбрать вид изображения

выбрать палитру цветов

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)

«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

7.Заключение.

Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего. Вся наша жизнь представлена фракталами. Не только визуальными, но ещё и структура этого изображения отражает нашу жизнь. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями на основе трёхмерных моделей комплексных множеств и броуновского движения. Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день

Слайд 2

Введение

Цель моей работы показать красоту фрактальной графики и увидеть при изучении не только треугольники, пирамиды, углы и системы счисления, но и разнообразные фракталы.

Слайд 3

Понятие "фрактал"

Слайд 4

Роль фракталов

Слайд 5

Свойства

Слайд 6

Применение фракталов

Слайд 7

Компьютерные системы

Слайд 8

Механика жидкостей

Слайд 9

Телекоммуникации

Слайд 10

Физика поверхностей

Слайд 11

Медицина

Биосенсорные взаимодействия
Биения сердца

Слайд 12

Биология

Моделирование хаотических процессов, в частности при описании моделей популяций

Слайд 13

Фрактальное искусство

Слайд 14

Виды фракталов

Решётка Серпинского.
Губка Серпинского.
Треугольник Серпинского.

Слайд 15

Тетрикс (tetrix) – трехмерный аналог треугольника Серпинского.

Слайд 16

Кривая Коха

Она была изобретена в девятнадцатом веке немецким математиком по имени Хельге фон Кох. Инициатор - прямая линия. Генератор – равносторонний треугольник, стороны которого равны трети длины большего отрезка. Эти треугольники добавляются к середине каждого сегмента снова и снова

Слайд 18

Кривая Дракона

Изобретенная итальянским математиком Джузеппе Пеано, Кривая Дракона или Взмах Дракона.

Слайд 19

Множество Мандельброта

Множество Мандельброта, которое было построено Бенуа Мандельбротом, наверное первая ассоциация, возникающая у людей, когда они слышат слово фрактал.

Этот фрактал, напоминающий чесальную машину с прикрепленными к ней пылающими древовидными и круглыми областями

Слайд 20

Множество Жюлиа

Множество Жюлиа было изобретено французским математиком Гастоном Жюлиа, по имени которого и было названо множество.

Слайд 21

Еще некоторые примеры конструктивных фракталов.

Слайд 22

Как построить фрактал?

Среди фрактальных графических редакторов и прочих графических программ можно выделить:

«Art Dabbler»
«Painter» (без компьютера ни один художник никогда не достигнет заложенных программистами возможностей лишь посредством с помощью карандаша и пера кисти)
«Adobe Photoshop» (но здесь изображение «с нуля» не создается, а, как правило, только обрабатывается)

Создатель фракталов выполняет роль художника, фотографа, скульптора, и ученого-изобретателя одновременно.

Какие предстоят этапы работы сотворения рисунка «с нуля»?

задать форму рисунка математической формулой
исследовать сходимость процесса и варьировать его параметры
выбрать вид изображения
выбрать палитру цветов

Слайд 23

Заключение

Слайд 24

Игнацевич С.В.

Посмотреть все слайды