Нормальное распределение соответствует. Нормальный закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Нормальное распределение в MS EXCEL

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса ) с параметрами а и σ 2 , если ее плотность вероятности f (x ) имеет вид :

(6.19)

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой . На рис. 6.5 а), б) показана нормальная кривая с параметрами а и σ 2 и график функции распределения.

Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х = а , имеет максимум в точке х = а , равный , и две точки перегиба х = а σ с ординатами .

Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры распределения обозначены буквами а и σ 2 , которыми мы обозначали математическое ожидание и дисперсию. Такое совпадение не случайно. Рассмотрим теорему, которая устанавливает теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру a этого распределения , т.е.

М (Х ) = а ,

(6.20)

а ее дисперсия – параметру σ 2 , т.е.

D (X ) = σ 2 .

(6.21)

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и σ .

Если σ = const, и меняется параметр a (а 1 < а 2 < а 3), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Если а = const и меняется параметр σ , то меняется ордината максимума кривой f max (a ) = . При увеличении σ ордината максимума уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс. При уменьшении σ , напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (рис. 6.7).

Таким образом, параметр a характеризует положение, а параметр σ – форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами a = 0 и σ = 1 называется стандартным или нормированным , а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной .

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, связана с тем, что интеграл от функции нормального распределения не выражается через элементарные функции. Однако его можно вычислить через специальную функцию, выражающую определенный интеграл от выражения или . Такую функцию называют функцией Лапласа , для нее составлены таблицы. Существует много разновидностей такой функции, например:

, .

Мы будем использовать функцию

Рассмотрим свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.

1. Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал [α , β ] равна

Вычислим по этой формуле вероятности при различных значениях δ (используя таблицу значений функции Лапласа):

при δ = σ = 2Ф(1) = 0,6827;

при δ = 2σ = 2Ф(2) = 0,9545;

при δ = 3σ = 2Ф(3) = 0,9973.

Отсюда вытекает так называемое «правило трех сигм »:

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (a – 3σ ; a + 3σ ).

Пример 6.3. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина Х с параметрами а = 173 и σ 2 = 36, найти:

1. Выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины Х ;

2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 183 см) и долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы;

3. Сформулировать «правило трех сигм» для случайной величины Х .

1. Находим плотность вероятности

и функцию распределения случайной величины Х

= .

2. Долю костюмов 4-го роста (176 – 182 см) находим как вероятность

Р (176 ≤ Х ≤ 182) = = Ф(1,5) – Ф(0,5).

По таблице значений функции Лапласа (Приложение 2 ) находим:

Ф(1,5) = 0,4332, Ф(0,5) = 0,1915.

Окончательно получаем

Р (176 ≤ Х ≤ 182) = 0,4332 – 0,1915 = 0,2417.

Долю костюмов 3-го роста (170 – 176 см) можно найти аналогично. Однако проще это сделать, если учесть, что данный интервал симметричен относительно математического ожидания а = 173, т.е. неравенство 170 ≤ Х ≤ 176 равносильно неравенству │Х – 173│≤ 3. Тогда

Р (170 ≤Х ≤176) = Р (│Х – 173│≤ 3) = 2Ф(3/6) = 2Ф(0,5) = 2·0,1915 = 0,3830.

3. Сформулируем «правило трех сигм» для случайной величины Х:

Практически достоверно, что рост мужчин данной возрастной группы заключен в границах от а – 3σ = 173 – 3·6 = 155 до а + 3σ = 173 + 3·6 = 191, т.е. 155 ≤ Х ≤ 191. ◄

7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Как уже говорилось при изучении случайных величин, невозможно заранее предсказать, какое значение примет случайная величина в результате единичного испытания – это зависит от многих причин, учесть которые невозможно.

Однако при многократном повторении испытаний характер поведения суммы случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным. Наличие закономерностей связано именно с массовостью явлений, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону. Суть устойчивости массовых явлений сводится к следующему: конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы таких явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.

Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

В узком смысле слова под «законом больших чисел» в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Различные формы центральной предельной теоремы различаются между собой теми условиями, для которых устанавливается это предельное свойство суммы случайных величин.

Различные формы закона больших чисел с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Предельные теоремы дают возможность не только осуществлять научные прогнозы в области случайных явлений, но и оценивать точность этих прогнозов.

Определение 3. Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:

где m = M (X ), σ 2 = D (X ), σ > 0 .

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой (рис. 6.7).

Нормальная кривая симметрична относительно прямой х = m , имеет максимум в точке х = m , равный .

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х ) по формуле:

Ф(x ) – функция Лапласа.

Замечание. Функция Ф(х ) является нечетной (Ф(-х ) = -Ф(х )), кроме того, при х > 5 можно считать Ф(х ) ≈ 1/2.

Таблица значений функции Ф(х ) приведена в приложении (табл. П 2.2).

График функции распределения F (x ) изображен на рис. 6.8.

Вероятность того, что случайная величина Х примет значения, принадлежащие интервалу (a;b ) вычисляются по формуле:

Р (a < Х < b ) = .

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины от ее математического ожидания меньше положительного числа δ вычисляется по формуле:

P (| X - m| .

В частности, при m =0 справедливо равенство:

P (| X| .

"Правило трех сигм"

Если случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами m и σ, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале (m 3σ; m + 3σ), так как P (| X - m| = 0,9973.

Задача 6.3. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 32 и дисперсией 16. Найти: а) плотность распределения вероятностей f (x ); Х примет значение из интервала (28;38).

Решение: По условию m = 32, σ 2 = 16, следовательно, σ= 4, тогда

а)

б) Воспользуемся формулой:

Р (a< Х)= .

Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ= 4, получим

Р (28< Х< 38)= Ф(1,5) Ф(1)

По таблице значений функции Ф(х ) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P (28
Задачи

6.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функции распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (4<х <6).

6.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функцию распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (3≤х ≤6).

6.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды - желтый и 30 секунд - красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

6.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

6.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

6.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F (x ) и числовые характеристики случайной величины Х .

6.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

Х примет значение из интервала (2,5;5).

6.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

6.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.11. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1. Какое из событий: |Х |≤0,6 или |Х |≥0,6 имеет большую вероятность?

6.12. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1.Из какого интервала (-0,5; -0,1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

6.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M (X )= 10 ден. ед. и σ(Х ) = 0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б) с помощью "правила трех сигм" найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

6.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ= 5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не превзойдет по абсолютной величине 3 г.

6.15. Случайная величина Х распределена нормально с M (X)= 12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4; 13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

6.16. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 12 и D (X ) = 36. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х .

6.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и σ(Х ) = 0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1 % номинала.

Ответы

в) M (X )=1, D (X )=16/3, σ(Х )= 4/ , г)1/8.

в) M (X )=4,5, D (X ) =2 , σ (Х )= , г)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M (X )=1.

6.5. D (X ) = 1/64, σ (Х )=1/8

6.6. M (X )=1 , D (X ) =2 , σ (Х )= 1 .

6.7. Р(2,5<Х <5)=е -1 е -2 ≈0,2325 6.8. Р(2≤Х ≤5)=0,252.

б) Р (10 < Х < 14) ≈ 0,1574.

б) Р (3,1 ≤ Х ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x |≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. а) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

б) (9,1; 10,9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

) играет осо-бо важную роль в теории вероятностей и чаще других применяется в решении практических задач. Его главная особенность в том, что он является предельным законом, к которому приближаются дру-гие законы распределения при весьма часто встречающихся типич-ных условиях. Например, сумма достаточно большого числа неза-висимых (или слабо зависимых) случайных величин приближенно подчиняется нормальному закону, и это выполняется тем точнее, чем больше случайных величин суммируется.

Экспериментально доказано, что нормальному закону под-чиняются погрешности измерений, отклонения геометрических размеров и положения элементов строительных конструкций при их изготовлении и монтаже, изменчивость физико-механических характеристик материалов и нагру-зок, действующих на строительные конструкции.

Распределению Гаусса подчи-няются почти все случайные вели-чины, отклонение которых от сред-них значений вызывается большой совокупностью случайных факто-ров, каждый из которых в отдельности незначителен (центральная предельная теорема).

Нормальным распределением называется распределение случайной непрерывной величины, для которых плотность вероят-ностей имеет вид (рис. 18.1).

Рис. 18.1. Нормальный закон распределения при а 1 < a 2 .

(18.1)
где а и — параметры распределения.

Вероятностные характеристики случайной величины, распре-деленной по нормальному закону, равны:

Математическое ожидание (18.2)

Дисперсия (18.3)

Среднеквадратичное отклонение (18.4)

Коэффициент асимметрии А = 0 (18.5)

Эксцесс Е = 0. (18.6)

Параметр σ, входящий в распределение Гаусса равен сред-неквадратичному отношению слу-чайной величины. Величина а оп-ределяет положение центра рас-пределения (см. рис. 18.1), а величина а — ширину распределе-ния (рис. 18.2), т.е. статистический разброс вокруг средней величины.

Рис. 18.2. Нормальный закон распределения при σ 1 < σ 2 < σ 3

Вероятность попадания в заданный интервал (от x 1 до x 2) для нормального распределения, как и во всех случаях, определяется интегралом от плотности вероятности (18.1), который не выража-ется через элементарные функции и представляется специальной функцией, называется функцией Лапласа (интеграл вероятностей).

Одно из представлений интеграла вероятностей:

Величина и называется квантилем.

Видно, что Ф(х) — нечетная функция, т. е. Ф(-х) = -Ф(х). Значения этой функции вычислены и представлены в виде таблиц в технической и учебной литературе.

Функция распределения нормального закона (рис. 18.3) может быть выражена через ин-теграл вероятностей:

Рис. 18.2. Функция нормального закона распределения.

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в интервал от х. до х, определяется выра-жением:

Следует заметить, что

Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

При решении практических задач, связанных с распределе-нием, часто приходится рассматривать вероятность попадания в интервал, симметричный относительно математического ожидания, если длина этого интервала т.е. если сам интервал имеет грани-цу от до , имеем:

При решении практических задач границы отклонений слу-чайных величин выражаются через стандарт, среднеквадратичное отклонение, умноженное на некоторый множитель, определяющий границы области отклонений случайной величины.

Принимая и а также используя формулу (18.10) и таблицу Ф(х) (приложение № 1), получим

Эти формулы показывают , что если случайная величина име-ет нормальное распределение, то вероятность ее отклонения от сво-его среднего значения не более чем на σ составляет 68,27 %, не бо-лее чем на 2σ — 95,45 % и не более чем на Зσ — 99,73 %.

Поскольку величина 0,9973 близка к единице, практически считается невозможным отклонение нормального распределения случайной величины от математического ожидания более чем на Зσ. Это правило, справедливое только для нормального распределения, называется правилом трех сигм. Нарушение его имеет вероятность Р = 1 - 0,9973 = 0,0027. Этим правилом пользуются при установле-нии границ допустимых отклонений допусков геометрических ха-рактеристик изделий и конструкций.

Закон нормального распределения вероятностей непрерывной случайной величины занимает особое место среди различных теоретических законов, т. к. является основным во многих практических исследованиях. Им описывается большинство случайных явлений, связанных с производственными процессами.

К случайным явлениям, подчиняющимся нормальному закону распределения, относятся ошибки измерений производственных параметров, распределение технологических погрешностей изготовления, рост и вес большинства биологических объектов и др.

Нормальным называют закон распределения вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

a - математическое ожидание случайной величины;

Среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

График дифференциальной функции нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.7).

Рис. 7 Кривая Гаусса

Свойства нормальной кривой (кривой Гаусса):

1. кривая симметрична относительно прямой x = a;

2. нормальная кривая расположена над осью X, т. е. при всех значениях X функция f(x) всегда положительна;

3. ось ox является горизонтальной асимптотой графика, т. к.

4. при x = a функция f(x) имеет максимум равный

,

в точках A и B при и кривая имеет точки перегиба, ординаты которых равны.

При этом, вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит среднего квадратичного отклонения , равна 0,6826.

в точках E и G, при и , значение функции f(x) равно

а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит удвоенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9544.

Асимптотически приближаясь к оси абсцисс, кривая Гаусса в точках C и D, при и , очень близко подходит к оси абсцисс. В этих точках значение функции f(x) очень мало

а вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины, распределенной нормально, от ее математического ожидания не превысит утроенного среднего квадратичного отклонения, равна 0,9973. Это свойство кривой Гаусса называется "правило трех сигм ".

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Изменение величины параметра a (математического ожидания случайной величины) не изменяет форму нормальной кривой, а приводит лишь к ее смещению вдоль оси X: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.

При a=0 нормальная кривая симметрична относительно оси ординат.

Изменение величины параметра (среднего квадратичного отклонения) изменяет форму нормальной кривой: с возрастанием ординаты нормальной кривой убывают, кривая растягивается вдоль оси X и прижимается к ней. При убывании ординаты нормальной кривой увеличиваются, кривая сжимается вдоль оси X и становится более "островершинной".

При этом, при любых значениях и площадь ограниченная нормальной кривой и осью X, остается равной единице (т. е. вероятность того, что случайная величина, распределенная нормально, примет значение ограниченное на оси X нормальной кривой, равна 1).

Нормальное распределение с произвольными параметрами и , т. е. описываемое дифференциальной функцией

называется общим нормальным распределением .

Нормальное распределение с параметрами и называется нормированным распределением (рис. 8). В нормированном распределении дифференциальная функция распределения равна:

Рис. 8 Нормированная кривая

Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид:

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону в интервале (c, d). Тогда вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (c, d) равна

Пример. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение этой случайной величины равны a=30 и . Найти вероятность того, что X примет значение в интервале (10, 50).

По условию: . Тогда

Пользуясь готовыми таблицами Лапласа (см. приложение 3), имеем.

Случайная величина называется распределенной по нормальному (Гауссовскому) закону с параметрами аи () , если плотность распределения вероятностей имеет вид

Величина, распределенная по нормальному закону, всегда имеет бесчисленное множество возможных значений, поэтому ее удобно изображать графически, с помощью графика плотности распределения. Согласно формуле

вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала равна площади под графиком функции на этом интервале (геометрический смысл определенного интеграла). Рассматриваемая функция неотрицательна и непрерывна. График функции имеет вид колокола и называется кривой Гаусса или нормальной кривой.

На рисунке изображено несколько кривых плотности распределения случайной величины, заданной по нормальному закону.

Все кривые имеют одну точку максимума, при удалении от которой вправо и влево кривые убывают. Максимум достигается при и равен .

Кривые симметричны относительно вертикальной прямой, проведенной через наивысшую точку. Площадь подграфика каждой кривой равна 1.

Различие отдельных кривых распределения состоит лишь в том, что суммарная площадь подграфика, одна и та же для всех кривых, различным образом распределена между различными участками. Основная часть площади подграфика любой кривой сосредоточена в непосредственной близости наивероятнейшего значения , а это значение у всех трех кривых разное. При различных значениях и а получаются различные нормальные законы и различные графики плотности функции распределения.

Теоретические исследования показали, что большинство встречающихся на практике случайных величин имеет нормальный закон распределения. По этому закону распределяется скорость газовых молекул, вес новорожденных, размер одежды и обуви населения страны и много других случайных событий физической и биологической природы. Впервые эту закономерность заметил и теоретически обосновал А. Муавр.

При , функция совпадает с функцией , о которой уже шла речь в локальной предельной теореме Муавра–Лапласа. Плотность вероятности нормального распределения легко выражаетсячерез :

При таких значениях параметров нормальный закон называется основным .

Функция распределения для нормированной плотности называется функцией Лапласа и обозначается Φ(х) . Мы также уже встречались с этой функцией.

Функция Лапласа не зависит от конкретных параметров а и σ. Для функции Лапласа, с помощью методов приближенного интегрирования составлены таблицы значений на промежутке с разной степенью точности. Очевидно, что функция Лапласа является нечетной, следовательно, нет необходимости помещать в таблицу ее значения при отрицательных .

Для случайной величины, распределенной по нормальному закону с параметрами а и , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам: , .Среднее квадратическое отклонение равно .

Вероятность того, что нормально распределенная величина примет значение из интервала , равна

где есть функция Лапласа, введенная в интегральной предельной теореме.

Часто в задачах требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит некоторого значения , т.е. вычислить вероятность . Применяя формулу (19.2), имеем:

В заключение приведем одно важное следствие из формулы (19.3). Положим в этой формуле . Тогда , т.е. вероятность того, что абсолютная величина отклонения X от своего математического ожидания не превысит , равна 99,73%. Практически такое событие можно считать достоверным. В этом и состоит сущность правила трех сигм.

Правило трех сигм. Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания практически не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.