Сергиев-Посад, 2012 год

ВВЕДЕНИЕ

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

По итогам ЕГЭ-2011 (таблица 1) можно сделать вывод, что решение задач с параметрами вызывает наибольшую трудность у учащихся. Около 87,9% не приступают к выполнению данного типа заданий, а максимальный балл получают только 0,87 %. Это связано с тем, что программа по математике средней общеобразовательной школы не уделяет большого внимания решению задач с параметрами. Следовательно, каждый учитель должен сам найти время на уроке для решения таких задач. Эти задачи представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для отработки навыков.

Не приступали (в %)	34,7	64,9	56,6	84,4	87,9	87,7
Приступили, но получили 0 баллов (в %)	23,5	21,2	23,9	11,16	6,08	7,94
1 балл (в %)	22,2		12,8	1,81
2 балла (в %)	19,6			1,84
3 балла (в %)				0,79	0,65	0,38
4 балла (в %)				–	0,87	0,28
Положительный результат (в %)	41,8	13,9	19,5	4,44	6,02	4,36

Таблица 1. Средние результаты выполнения заданий С1-С6

Все рассмотренные задания в данной работе имеют цель – помочь учащимся составить представление о тригонометрических уравнениях с параметрами, о том, что значит решить уравнение с ним. В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен его противоречивыми характеристиками. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой, конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой может принимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Эти противоречивые высказывания точно отражают суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.

1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего при решении задач с параметрами надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду, если это, конечно, возможно: разложить рациональное выражение на множители; разложить тригонометрический многочлен на множители; избавиться от модулей, логарифмов и т.д. Затем необходимо еще и еще раз прочитать задание.

Основные типы задач с параметрами:

Тип 1. Задачи, которые необходимо решить для всех значений параметра или для значений параметра из заданного промежутка.

Тип 2. Задачи, где требуется найти количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Задачи, где необходимо найти значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений

Тип 4. Задачи, в которых необходимо найти значения параметра, при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям.

В данной работе рассмативаются тригонометрические уравнения с параметрами и определенные алгоритмы, которые могут помочь в решении столь нелегких заданий.

Итак, рассмотрим уравнение

F (х, у, ..., z; α,β, ..., γ ) = 0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,γ ; при всякой допустимой системе значений параметров α 0 ,β 0 , ..., γ 0 уравнение (F) обращается в уравнение F(х, у, ..., z; α 0 ,β 0 , ..., γ 0 ) = 0 (F 0 )

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo ) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащему параметры, и устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (F ), Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) = 0 (Ф )

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Приведем формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

1. Подходы решений тригонометрических уравнений с параметрами

Пример 1. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Имеет решение.

Решение .

Введем новую переменную: x, t . Тогда данное уравнение принимает вид: t 2 – (а + 2)t – (a + 3) = 0.

Чтобы решить получившееся квадратное уравнение с переменной t, найдем его дискриминант: D = a 2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a 2 + 8a + 16 = (a + 4) 2 . Так как D≥0, квадратное уравнение имеет решение

t 1,2 = = ;

t 1 =

t 2 =

Число -1 не принадлежит промежутку таким образом, заданное нам тригонометрическое уравнение с параметром имеет решение при условии

0 ≤ а +3 ≤ 1, -3 ≤ а ≤ -2.

Ответ. Уравнение имеет решение при а .

Пример 2. (Введение дополнительных переменных, )

Найдите все значения параметра р, при которых уравнение

6sin 3 x = p – 10cos2x не имеет корней.

Решение:

6sin 3 x = p – 10cos2x ;

6sin 3 x + 10cos2x = p;

6sin 3 x + 10(1 – 2sin 2 x) = p;

6sin 3 x – 20sin 2 x + 10 = p.

Введем новую переменную: , t тогда тригонометрическое уравнение примет вид 6t 3 – 20t 2 + 10 = p.

Рассмотрим функцию у = 6t 3 – 20t 2 + 10 и исследуем ее на наибольшее и наименьшее значения на отрезке

Находим производную:

Определяем критические точки функции:

Число 2 не принадлежит промежутку , поэтому вычисляем значения функции в точке 0 и на концах отрезка:

у(0) = 0 – 0 + 10 = 10,

у(-1) = -6 – 20 + 10 = -16,

у(1) = 6 – 20 + 10 = -4.

max y(t) = 10, min y(t) = -16 на отрезке .

Значит, при р исходное уравнение не имеет корней.

Ответ. Уравнение 6sin 3 x=p–10Cos2x не имеет корней при р

Пример 3. (Введение дополнительных переменных, )

При каких значениях параметра а выражение 2 + cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х?

Решение:

Другими словами, необходимо найти все значения параметра а, при которых уравнение 2 + cosx(3cosx + asinx)=0 не имеет корней.

2+cosx(3cosx + asinx)=0;

2(cos 2 x + sin 2 x) + cosx(3cosx + asinx)=0;

2cos 2 x + 2sin 2 x + 3cos 2 x + asinxcosx = 0;

2sin 2 x + asinxcosx + 5cos 2 x = 0 – однородное уравнение второй степени.

Если бы cosx = 0, то и sinx = 0, что невозможно, так как cos 2 x + sin 2 х = 1, поэтому разделим левую и правую часть однородного уравнения на .

Получим уравнение вида 2tg 2 x + atgx + 5 = 0. Для решения этого уравнения введем новую переменную: t = tgx, t тогда 2t 2 + at + 5 = 0.

Способ 1.

Найдем сначала множество всех значений параметра а, при которых полученное квадратное уравнение разрешимо. Дополнение этого множества до R и будет искомым ответом.

Квадратное уравнение имеет корни тогда и только тогда, когда D≥0.

D = а 2 – 40, а 2 – 40 ≥ 0, а 2 ≥ 40,

а ] ; ).

Дополнением этого множества до R является промежуток (-2

Способ 2. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда D

D = a 2 – 40, a 2 – 40 а 2 40,

A ; ).

Ответ. Выражение 2+cosx(3cosx + asinx) не равно нулю ни при каких значениях х, если a ; ).

Пример 4. (Функция задана в виде )

При каких значениях a и b уравнение

Имеет единственное решение?

Решение:

Решение задачи основывается на том факте, что если функция f задана равенством , то условия A=B, C=0 являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы уравнение f(x)=0 имело единственное решение. Таким образом, решение задачи сводится к решению относительно параметров a и b системы:

Из первого уравнения системы находим, что

А так как

то приходим к рассмотрению систем

Как легко видеть, решениями второй системы являются все значения параметра а, определяемые равенством

Что же касается первой системы, то она оказывается несовместной. Отсюда с учетом второго уравнения системы поиск требуемых параметров a и b сводится к поиску решений системы:

Ответ здесь очевиден:

Пример 5. (Применение классических формул)

Найти наибольшее целое значение параметра а , при котором уравнение

cos2x + asinx = 2 a – 7 имеет решение.

Решение:

Преобразуем заданное уравнение:

cos2x + a sinx = 2 a – 7;

1 – 2sin 2 х + asinx = 2 a – 7;

sin 2 х - a sinx + a – 4 = 0;

Решение уравнения
дает:

1. (sinх – 2) = 0;

sinx=2;

Решений нет, или .

При ≤ 1.

Неравенство ≤ 1 имеет решение 2 ≤ а ≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое значение параметра а равно 6.

Ответ: 6.

Пример 6. Применение классических формул

Решить уравнение

Решение:

Уравнение легко преобразуется к виду:

Если то и уравнение корней не имеет.

Если Последнее уравнение имеет корни, если

тогда

Ответ: при

при корней нет.

Пример 7. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решение:

При уравнение решений не имеет.

При

Ответ:

Пример 8. (Разделение области возможных значений переменных и параметров)

Решить уравнение

Пример 1: Определить при каких значениях параметра а уравнение (а 2 -4) соsх=а+2 имеет решения. Решение: а 2 -4=0 а 2 =4.а=±2. а) Если а=2, то данное уравнение имеет вид: 0 cos=4 0=4 – не имеет решений. б) Если а=-2,то то данное уравнение имеет вид: 0 cos=0 0=0 – верно при х R. Следовательно при а = -2, х - любое. в) Если а ±2, то запишем уравнение в виде Так как, то уравнение имеет решения, если Ответ: а (- ;1] , обратная функции. Таким образом,

2. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции. Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

3. - это функция, определенная на интервале, обратная функции. Таким образом,

Для любого x имеем:

4. - это функция, определенная на интервале, обратная функции. Таким образом,

Для любого x имеем:

Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями. Отметим некоторые важные тождества

Пример 6. Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение

Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись тождеством

На координатной плоскости tOb (рис. 12) множество всех точек (t;b), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют смешанной системе (2), (3), представляет собой часть параболы расположенной в области задаваемой неравенствами системы (2), (3).

Следовательно, если

Ответ: если, то;

если, то решений нет .

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три решения.

Перепишем исходное уравнение в виде

Поскольку равенство равносильно тому, что и, исходное уравнение равносильно тригонометрическому уравнению

Решим уравнение (1).

При совокупность, а значит и уравнение (1), имеет бесконечно много корней вида: , которые удовлетворяют условию (2). Т. е. не удовлетворяет требованию задачи.

При уравнение (1) имеет бесконечно много корней вида: .

Для них условие (2) превращается в неравенство

Параметр a включается в ответ тогда и только тогда, когда это неравенство имеет ровно три целочисленных решения. Используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, видно, что это равносильно неравенству

Учитывая условие, получаем

Если решением уравнения (1) являются все действительные числа, условие же (2) принимает вид: , так что множество решений исходного уравнение - это интервал. Поскольку это множество бесконечно, значение не входит в ответ.

Ответ: при уравнение имеет ровно три решения .

Исходя из всех рассмотренных задач, можно сделать вывод, что решать трансцендентные уравнения с параметрами первого и четвертого типов лучше всего методом «ветвления», т. к. требуется найти все значения переменной при каждом возможном значении параметра (или при значениях параметра из заданного промежутка) или же при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. Однако такой метод не всегда надежен, поскольку ход решения достаточно длителен и сложен, поэтому изначально целесообразно определить, возможно ли применить к заданному уравнению функциональный подход, который значительно упрощает решение.

А вот решать трансцендентные уравнения с параметрами второго и третьего типов значительно проще, используя графический метод, поскольку в условии всего лишь требуется определить либо количество решений в зависимости от значения параметра, либо, наоборот, значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений. Из построенных графиков наглядно видно, когда выполняются заданные условия.

Однако не всегда возможно применение того или иного метода, иногда встречаются и такие задачи, для решения которых нужно применить не один, а несколько методов решения.

Графики и их функции

По причине того, что тригонометрические функции изучаются в школьной программе, в реферате на них уделено минимум внимания. Все основные положения указанны в таблице (см. приложение 12), а их графики приведены далее (см. приложение 13)...

Интегрирование иррациональных функций

Среди интегралов от иррациональных функций большое практическое применение имеют интегралы вида. Такие интегралы можно находить с помощью тригонометрических подстановок. Выделим полный квадрат под знаком радикала: , а затем сделаем замену...

В процессе формирования у школьников умений решать тригонометрические уравнения рекомендуется выделить три этапа: 1. подготовительный, 2. формирование умений решать простейшие тригонометрические уравнения и неравенства, 3...

Рассмотрим уравнение F(х,у,...,z;б,в,...,г)=0 (1) с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами б,в, ..., г;при всякой допустимой системе значений параметров б0,в0, ..., г0 уравнение (1) обращается в уравнение F(х,у,...,z;б0,в0,...,г0)=0 (2) с неизвестными х, у,..., z...