Г.^КОРН и Т. КОРН МОСКВА 1973 K67 УДК 510 Справочник по математике (для научных работников и инженеров) Г. Корн, Т. Корн. «Справочник» содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы и теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. В настоящем издании заново написаны главы 11, 20 и значительная часть глав 13 и 18. Книга пополнилась значительным количеством новых разделов. MATHEMATICAL HANDBOOK FOR SCIENTISTS AND ENGINEERS DEFINITIONS, THEOREMS AND FORMULAS FOR REFERENCE AND REVIEW SECOND, ENLARGEND AND REVISED EDITION GRANINO A. KORN, PH. D., THERESA M. KORN, M. S. McGraw-Hill Book Company New York San Francisco Toronto London Sydney, 1968 К 0223-1741 75.73 K 042(02)-73 /6/d ОГЛАВЛЕНИЕ Перечень таблиц 20 Предисловие переводчиков 23 Из предисловия авторов ко второму американскоглу изданию 25 ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ) 1.1. Введение. Система действительных чисел 27 1.1-1. Вводные замечания (27). 1.1-2. Действительные числа (27). 1.1-3. Отношение равенства (28). 1.1-4. Отношение тождества (28). 1.1-5. Неравенства (28). 1.1-6. Абсолютные величины (28). 1.2. Степени, корни, логарифмы и факториалы. Обозначения сумм и произведений 28 1.2-1. Степени и корни (28). 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби (29). 1.2-3. Логарифмы (29). 1.2-4. Факториалы (30). 1.2-5. Обозначения сумм и произведений (30). 1.2-6. Арифметическая прогрессия (30). 1.2-7. Геометрическая прогрессия (30). 1.2-8. Некоторые числовые суммы (31). 1.3. Комплексные числа 31 1.3-1. Вводные замечания (31). 1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (32). 1.3-3. Представление суммы, произведения и частного. Степени и корни (32). 1.4. Различные формулы 33 1.4-1. Бином Ньютона и родственные формулы (33). 1.4-2. Пропорции (34). 1.4-3. Многочлены. Симметрические функции (34). 1.5. Определители 35 1.5-1. Определение (35). 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или по столбцу (35). 1.5-3. Примеры. (35). 1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа (36). 1.5-5. Различные теоремы (36). 1.5-6. Умножение определителей (37). 1.5-7. Изменение порядка определителей (37). 1.6. Алгебраические уравнения: общие теоремы 37 1.6-1. Вводные замечания (37). 1.6-2. Решение уравнения. Корни (37). 1.6-3. Алгебраические уравнения (37). 1.6-4. Соотношения между корнями и коэффициентами (38). 1.6-5. Дискриминант алгебраического уравнения (38). 1.6-6. Действительные алгебраические уравнения и их корни (39). 1.7. Разложение многочленов на множители и деление многочленов. Элементарные дроби 41 1.7-1. Разложение многочленов на множители (41). 1.7-2. Деление многочленов. Остаток (41). 1.7-3. Общие делители и общие корни двух многочленов (41). 1.7-4. Разложение на элементарные дроби (42). 1.8. Линейные, квадратные, кубичные уравнения и уравнения четвертой степени 43 1.8-1. Решение линейных уравнений (43). 1.8-2. Решение квадратных уравнений (43). 1.8-3. Кубичные уравнения: решение Кардано (43). 1.8-4. Кубичные уравнения: тригонометрическое решение (44). 1.8-5. Уравнения четвертой степени: решение Декарта - Эйлера (44). 1.8-6. Уравнения четвертой степени: решение Феррари (44). 1.9. Системы уравнений 45 1.9-1. Системы уравнений (45). 1.9-2. Системы линейных уравнений: правило Крамера (45). 1.9-3. Линейная независимость (45). 1.9-4. Системы 4 ОГЛАВЛЕНИЕ линейных уравнений: общая теория (46). 1.9-5. Системы линейных уравнений: п однородных уравнений с п неизвестными (46). 1-10. Формулы, описывающие плоские фигуры и тела 47 1.10-1. Трапеция (47). 1.10-2. Правильные многоугольники (48). 1.10-3. Круг (48). 1.10-4. Призмы, пирамиды, цилиндры и конусы (48). 1.10-5. Тела вращения (48). 1.10-6. Правильные многогранники (49). 1.11. Тригонометрия на плоскости 49 1.11-1. Вводные замечания. Прямоугольные треугольники (49). 1.11-2. Свойства плоских треугольников (50). 1.11-3. Формулы для решения треугольников (50). 1-12. Сферическая тригонометрия 51 1.12-1. Введение. Сферические треугольники (51). 1.12-2. Свойства сферических треугольников (52). 1.12-3. Прямоугольный сферический треугольник (53). 1.12-4. Формулы для решения сферических треугольников (53). ГЛАВА 2 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ 2.1. Введение и основные понятия 56 2.1-1. Вводные замечания (56). 2.1-2. Декартова система координат (56). 2.1-3. Правая декартова прямоугольная система координат (57). 2.1-4. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах (57). 2-1-5. Преобразование декартовых координат при параллельном переносе осей (58). 2.1-6. Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей (58). 2.1-7. Одновременный перенос и поворот координатных осей (58). 2.1-8. Полярные координаты (59). 2.1-9. Способы задания кривых (60). 2.2. Прямая линия 60 2.2-1. Уравнение прямой линии (60). 2.2-2. Другие способы задания прямой (61). 2.3. Взаимное расположение точек и прямых 62 2.3-1. Точки и прямые (62). 2.3-2. Две или несколько прямых (62). 2.3-3. Тангенциальные координаты (63). 2.4. Кривые второго порядка (конические сечения) 64 2.4-1. Общее уравнение второй степени (64). 2.4-2. Инварианты (64). 2.4-3. Классификация кривых второго порядка (64). 2.4-4. Условие подобия невырожденных кривых второго порядка (64). 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (64). 2.4-6. Центры и диаметры кривых второго порядка (64). 2.4-7. Главные оси (66). 2.4-8. Приведение уравнения кривой второго порядка к стандартному (каноническому) виду (66). 2.4-9. Геометрическое определение невырожденной кривой второго порядка (67). 2.4-10. Касательные и нормали к кривым второго порядка. Полюсы и поляры (67). 2.4-11. Другие способы задания кривых второго порядка (69). 2.5. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол 70 2.5-1. Окружность: формулы и теоремы (70). 2.5-2. Эллипс и гипербола: формулы и теоремы (70). 2.5-3. Построение эллипсов и гипербол, их касательных и нормалей (71). 2.5-4. Построение параболы, ее касательных и нормалей (73). 2.6. Уравнения некоторых плоских кривых 73 2.6-1. Примеры алгебраических кривых (73). 2.6-2. Примеры трансцендентных кривых (74). Г Л А В А 3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 3.1. Введение и основные понятия 76 3.1-1. Вводные замечания (76). 3.1-2. Декартова система координат (76). 3.1-3. Правая система осей (76). 3.1-4. Правая декартова прямоугольная система координат (76). 3.1-5. Радиус-вектор (77). 3.1-6. Цилиндрическая и сферическая системы координат (77). 3.1-7. Основные формулы в декартовых прямоугольных координатах и в векторной форме (77). 3.1-8. Направляющие косинусы (78). 3.1-9. Проекции (79). 3.1-10. Вектор площади (79). 3.1-11. Вычисление объемов (79). 3.1-12. Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе и повороте осей ОГЛАВЛЕНИЕ 5 (79). 3.1-13. Аналитическое задание кривых (81). 3.1-14. Способы задания поверхностей (81). 3.1-15. Специальные типы поверхностей (82). 3.1-16. Поверхности и кривые (82). 3.2. Плоскость 83 3.2-1. Уравнение плоскости (83). 3.2-2. Параметрическое задание плоскости (84). 3.3. Прямая линия 84 3.3-1. Уравнения прямой (84). 3.3-2. Параметрические уравнения прямой (85). 3.4. Взаимное расположение точек, плоскостей и прямых 85 3.4-1. Углы (85). 3.4-2. Расстояния (86). 3.4-3. Специальные случаи взаимного расположения точек, прямых и плоскостей (87). 3.4-4. Тангенциальные координаты плоскости и принцип двойственности (88). 3.4-5. Некоторые дополнительные соотношения (88). 3.5. Поверхности второго порядка 89 3.5-1. Общее уравнение второй степени (89). 3.5-2. Инварианты (89). 3.5-3. Классификация поверхностей второго порядка (89). 3.5-4. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение (89). 3.5-5. Диаметральные плоскости, диаметры и центры поверхностей второго порядка (91). 3.5-6. Главные плоскости и главные оси (91). 3.5-7. Приведение уравнения поверхности второго порядка к стандартному (каноническому) виду (92). 3.5-8. Касательные плоскости и нормали поверхности второго порядка. Полюсы и поляры (93). 3.5-9. Некоторые дополнительные формулы и теоремы (96). 3.5-10. Параметрическое задание поверхностей второго порядка (97). Г Л А В А 4 ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 4.1. Введение 98 4.2. Функции 93 4.2-1. Функции и переменные (98). 4.2-2. Функции со специальными свойствами (99). 4.3. Точечные множества, интервалы и области 9Э 4.3-1. Вводные замечания (99). 4.3-2. Свойства множеств (100). 4.3-3. Границы (100). 4.3-4. Интервалы (101). 4.3-5. Определение окрестностей (101). 4.3-6. Открытые и замкнутые множества и области (101). 4.4. Пределы, непрерывные функции и смежные вопросы 102 4.4-1. Пределы функций и последовательностей (102). 4.4-2. Операции над пределами (103). 4.4-3. Асимптотические соотношения между двумя функциями (103). 4.4-4. Равномерная сходимость (104). 4.4-5. Пределы по совокупности переменных и повторные пределы (104). 4.4-6. Непрерывные функции (104). 4.4-7. Односторонние пределы. Односторонняя непрерывность (105). 4.4-8. Монотонные функции и функции ограниченной вариации (106). 4.5. Дифференциальное исчисление 107 4.5-1. Производные и дифференцирование (107). 4.5-2. Частные производные (107). 4.5-3. Дифференциалы (109). 4.5-4. Правила дифференцирования (ПО). 4.5-5. Однородные функции (112). 4.5-6. Якобианы и функциональная зависимость (112). 4.5-7. Неявные функции (112). 4.6. Интегралы и интегрирование 113 4.6-1. Определенные интегралы (интеграл Римана) (113). 4.6-2. Несобственные интегралы (115). 4.6-3. Среднее значение (117). 4.6-4. Неопределенные интегралы (117). 4.6-5. Основная теорема интегрального исчисления (117). 4.6-6. Методы интегрирования (117). 4.6-7. Эллиптические интегралы (119). 4.6-8. Кратные интегралы (119). 4.6-9. Длина дуги спрямляемой кривой (120). 4.6-10. Криволинейные интегралы (120). 4.6-11. Площади и объемы (121). 4.6-12. Интегралы по поверхности и по объему (122). 4.6-13. Замена переменных в интегралах по объему и по поверхности (123). 4.6-14. Мера Лебега. Измеримые функции (123). 4.6-15. Интеграл Лебега (124). 4.6-16. Теоремы о сходимости (теоремы о непрерывности) (126). 4.6-17. Интеграл Стилтьеса (126). 4.6-18. Свертки (128). 4.6-19. Неравенства Минковского и Гельдера (128). 6 ОГЛАВЛЕНИЕ 4.7. Теоремы о среднем значении. Раскрытие неопределенностей. Теоремы Вейер- штрасса о приближении 129 4.7-1. Теоремы о среднем значении (129). 4.7-2. Раскрытие неопределенностей (130). 4.7-3. Теоремы Вейерштрасса о приближении (131). 4.8. Бесконечные ряды, бесконечные произведения и непрерывные дроби.... 131 4.8-1. Бесконечные ряды. Сходимость (131). 4.8-2. Ряды функций. Равномерная сходимость (132). 4.8-3. Операции над сходящимися рядами (13L")- 4.8-4. Операции над бесконечными рядами функций (133). 4.8-5. Улучшение сходимости и суммирование рядов. Суммы некоторых рядов (134). 4.8-6. Расходящиеся бесконечные ряды (136). 4.8-7. Бесконечные произведения (137). 4.8-8. Непрерывные (цепные) дроби (138). 4.9. Признаки сходимости и равномерной сходимости бесконечных рядов и несобственных интегралов 139 4.9-1. Признаки сходимости бесконечных рядов (139). 4.9-2. Признаки равномерной сходимости бесконечных рядов (140). 4.9-3. Признаки сходимости несобственных интегралов (140). 4.9-4. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов (142). 4.10. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом. Степенные ряды и ряд Тейлора 142 4.10-1. Разложение функций в бесконечный ряд и представление их интегралом (142). 4.10-2. Степенные ряды (143). 4.10-3. Теоремы Абеля и Таубера (145). 4.10-4. Ряд Тейлора (145), 4.10-5. Кратный ряд Тейлора (146). 4.11. Ряды Фурье и интегралы Фурье 146 4.11-1. Вводные замечания (146). 4.11-2. Ряды Фурье (146). 4.11-3. Интеграл Фурье и преобразование Фурье (148). 4.11-4. Функции, разложимые в ряд Фурье и представимые интегралом Фурье. Гармонический анализ (149). 4.11-5. Некоторые свойства коэффициентов Фурье и преобразования Фурье (156). 4.11-6. Интегралы Дирихле и Фейера (157). 4.11-7. Суммирование средними арифметическими (160). 4.11-8. Кратные ряды и интегралы Фурье (160). Г Л А В А 5 ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ 5.1. Векторы в евклидовом пространстве 162 5.2. Векторная алгебра 162 5.2-1. Сложение векторов и умножение вектора на (действительный) скаляр (162). 5.2-2. Разложение векторов по базисным векторам (163). 5.2-3. Декартовы прямоугольные координаты вектора (163). 5.2-4. Векторы и физические размерности (163). 5.2-5. Модуль (корма, абсолютная величина, длина) вектора (164). 5.2-6. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов (164). 5.2-7. Векторное произведение двух векторов (164). 5.2-8. Смешанное (векторно-скалярное) произведение (165). 5.2-9. Другие произведения, содержащие более двух векторов (166). 5.2-10. Разложение вектора а по направлению единичного вектора и н ему перпендикулярному (166). 5.2-11. Решение уравнений (16G). 5.3. Векторные функции скалярного аргумента 16G 5.3-1. Векторные функции и их пределы (166). 5.3-2. Дифференцирование (166). 5.3-3. Интегрирование и обыкновенные дифференциальные уравнения (167). 5.4. Скалярные и векторные поля 163 5.4-1. Вводные замечания (168). 5.4-2. Скалярные поля (168). 5.4-3. Векторные поля (168). 5.4-4. Векторный элемент линии и длина дуги (168). 5.4-5. Криволинейные (линейные) интегралы (169). 5.4-6. Поверхностные интегралы (169). 5.4-7. Объемные интегралы (170). 5.5. Дифференциальные операторы 170 5.5-1. Градиент, дивергенция и ротор; инвариантные определения (170). 5.5-2. Оператор V (171). 5.5-3. Полный дифференциал, полная производная и производная по направлению (172). 5.5-4. Производные высших порядков по направлению. Ряд Тейлора (173). 5.5-5. Оператор Лапласа (173). 5.5-6. Операции второго порядка (173). 5.5-7. Операции над простейшими функциями от г (174). 5.5-8. Функции от двух и более радиусов-векторов (174). 5.6. Интегральные теоремы 175 5.6-1. Теорема о дивергенции и связанные с ней теоремы (175). 5.6-2. Теорема о роторе и связанные с ней теоремы (176). 5.6-3. Поля с разрывами на поверхностях (176). ОГЛАВЛЕНИЕ 7 5.7. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции 176 5.7-1. Безвихревое векторное поле (176). 5.7-2. Соленоидальные (трубчатые) векторные поля (177). 5.7-3. Отыскание векторного поля по его ротору и дивергенции (177). Г Л А В А 6 СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ 6.1. Вводные замечания 179 6.2. Системы криволинейных координат 179 6.2-1. Криволинейные координаты (179). 6.2-2. Координатные поверхности и координатные линии (179). 6.2-3. Элементы длины дуги и объема (179). 6.3. Криволинейные координаты вектора 180 6.3-1. Координаты вектора и локальный (местный) базис (180). 6.3-2. Физические координаты вектора (182). 6 3-3. Контравариантные и ковариант- ныс координаты вектора (182). 6.3-4. Запись векторных соотношений в криволинейных координатах (183). 6.4. Системы ортогональных координат. Векторные соотношения в ортогональных координатах 183 6.4-1. Ортогональные координаты (183). 6.4-2. Векторные соотношения (184). 6.4-3. Криволинейный интеграл, поверхностный интеграл и объемный интеграл (185), 6.5. Формулы для специальных систем ортогональных координат........ 185 Г Л А В А 7 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 7.1. Вводные замечания 197 7.2. Функции комплексного переменного. Области в комплексной плоскости 197 7.2-1. Функции комплексного переменного (197). 7.2-2. г-плоскость и w-ило- скость. Окрестности. Бесконечно удаленные точки (197). 7.2-3. Кривые и контуры (200). 7.2-4. Границы и области (200). 7.2-5. Комплексные контурные интегралы (200). 7.3. Аналитические (регулярные, голоморфные) функции 201 7.3-1. Производная функция (201). 7.3-2. Уравнения Коши - Римана (201). 7.3-3. Аналитические функции (202). 7.3-4. Свойства аналитических функций (202). 7.3-5. Теорема о максимуме модуля (203). 7.4. Многозначные функции 203 7.4-1. Ветви (203). 7.4-2. Точки разветвления и разрезы (203). 7.4-3. Рима- новы поверхности (204). 7.5. Интегральные теоремы и разложения в ряды 205 7.5-1. Интегральные теоремы (205). 7.5-2. Разложение в ряд Тейлора (206). 7.5-3. Разложение в ряд Лорана (206). 7.6. Нули и изолированные особые точки 207 7.6-1. Нули (207). 7.6-2. Особые точки (207). 7.6-3. Нули и особенности в бесконечности (209). 7.6-4. Теоремы Вейерштрасса и Пикара (209). 7.6-5. Целые функции (209). 7.6-6. Разложение целой функции в произведение (210) 7.6-7. Мероморфные функции (210). 7.6-8. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби (211). 7.6-9. Нули и полюсы мероморфных функций (211). 7.7. Вычеты и контурные интегралы " 211 7.7-1. Вычеты (211). 7.7-2. Теорема о вычетах (212). 7.7-3. Вычисление определенных интегралов (212). 7.7-4. Применение вычетов к суммированию рядов (213). 7.8. Аналитическое продолжение 214 7.8-1. Аналитическое продолжение и моногенные аналитические функции (214). 7.8-2. Методы аналитического продолжения (214). 7.9. Конформное отображение 215 7.9-1. Конформное отображение (215), 7.9-2. Дробно-линейное отображение (преобразование) (216). 7.9-3. Отображение w = -%- (г -J- - j (217). & ОГЛАВЛЕНИЕ 7.9-4. Интеграл Шварца - Кристоффеля (217). 7.9-5. Таблица отображений (218). 7.9-6. Функции, отображающие специальные области на единичный круг (227). Г Л А В А 8 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 8.1. Вводные замечания 228 8.2. Преобразование Лапласа 223 8.2-1. Определение (228). 8.2-2. Абсолютная сходимость (228). 8.2-3. Область определения (229). 8.2-4. Достаточные условия существования преобразования Лапласа (229). 8.2-5. Обратное преобразование Лапласа (229). 8.2-6. Теорема обращения (229). 8.2-7. Существование обратного преобразования Лапласа (230). 8.2-8. Единственность преобразования Лапласа и его обращения (230). 8.3. Соответствие между операциями над оригиналами и изображениями. . . 230 8.3-1. Таблица соответствия операций (230). 8.3-2. Преобразования Лапласа периодических функций и произведений оригиналов на синус или косинус (230). 8.3-3. Преобразование произведения (теорема о свертке) (233). 8.3-4. Предельные теоремы (233). 8.4. Таблицы преобразования Лапласа и вычисление обратных преобразований Лапласа 234 8.4-1. Таблицы преобразования Лапласа (234). 8.4-2. Вычисление обратных преобразований Лапласа (234). 8.4-3. Применение контурного интегрирования (234). 8.4-4. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение Хевисайда (234). 8.4-5. Обратное преобразование Лапласа для рациональных алгебраических функций: разложение на простейшие дроби (252). 8.4-6. Разложения в ряды (252). 8.4-7. Разложения по степеням t (253). 8.4-8. Разложения по многочленам Лагерра (253). 8.4-9. Разложения в асимптотические ряды (254). 8.5. Формальное преобразование Лапласа импульсных функций 255 8.6. Некоторые другие функциональные преобразования 256 8.6-1. Вводные замечания (256). 8.6-2. Двустороннее преобразование Лапласа (256). 8.6-3. Преобразование Лапласа в форме интеграла Стилтьеса (256). 8.6-4. Преобразования Ганкеля и Фурье - Бесселя (258). 8.7. Конечные интегральные преобразования, производящие функции и г-пре- образование 260 8.7-1. Ряды как функциональные преобразования. Конечные преобразования Фурье и Ганкеля (260). 8.7-2. Производящие функции (260). 8.7-3. 2-преобразование. Определение и формула обращения (263). Г Л А В А 9 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 9.1. Введение 265 9.1-1. Вводные замечания (265). 9.1-2. Обыкновенные дифференциальные уравнения (265). 9.1-3. Системы дифференциальных уравнений (266). 9.1-4. Существование решений (266). 9.1-5. Общие указания (266). 9.2. Уравнения первого порядка 26S 9.2-1. Существование и единственность решений (266). 9.2-2. Геометрическое толкование. Особые интегралы (267). 9.2-3. Преобразование переменных (268). 9.2-4. Решение специальных типов уравнений первого порядка (268). 9.2-5. Общие методы интегрирования (270). 9.3. Линейные дифференциальные уравнения 271 9.3-1. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип наложения (271). 9.3-2. Линейная независимость и фундаментальные системы решений (271). 9.3-3. Решение методом вариации постоянных. Функции Грина (272). 9.3-4. Приведение двухточечных краевых задач к задачам Коши (275). 9.3-5. Линейные дифференциальные уравнения в комплексной области. Тейлоровские разложения решения и влияние особенностей (275). 9.3-6. Решение однородных уравнений путем разложения в ряд в окрестности правильной особой точки (276). 9.3-7. Методы интегральных преобразований (277). 9.3-8. Линейные уравнения второго порядка (278). 9.3-9. Гипергеометрическое дифференциальное уравнение Гаусса и Р-уравнение Римана (279). ОГЛАВЛЕНИЕ 9 9.3-10. Вырожденные гипергеометрические функции (282). 9.3-11. Обобщенные гипергеометрические ряды (283). 9.4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 283 9.4-1. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами (283). 9.4-2. Неоднородные уравнения (285). 9.4-3. Свертки и функции Грина (286). 9.4-4. Устойчивость (287). 9.4-5. Операторный метод решения (288). 9.4-6. Периодические внешние нагрузки и решения (289). 9.4-7. Передаточные функции и частотные характеристики (290). 9.4-8. Нормальные координаты и собственные колебания (291). 9.5. Нелинейные уравнения второго порядка 292 9.5-1. Вводные замечания (292). 9.5-2. Представление на фазовой плоскости. Графический метод решения (292). 9.5-3. Особые точки и предельные циклы (293). 9.5-4. Устойчивость решений по Ляпунову (294). 9.5-5. Приближенный метод Крылова и Боголюбова (296). 9.5-6. Интеграл живых сил (297). 9.6. Дифференциальные уравнения Пфаффа 298 9.6-1. Дифференциальные уравнения Пфаффа (298). 9.6-2. Вполне интегрируемый случай (298). ГЛАВА 10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 10.1. Введение и обзор 299 10.1-1. Вводные замечания (299). 10.1-2. Дифференциальные уравнения с частными производными (299). 10.1-3. Решение дифференциальных уравнений с частными производными; разделение переменных (300). 10.2. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка 301 10.2-1. Уравнения с двумя независимыми переменными. Геометрическая интерпретация (301). 10.2-2. Задача с начальными условиями (задача Коши) (302). 10.2-3. Полные интегралы. Общие, частные, особые интегралы; решения характеристических уравнений (303). 10.2-4. Уравнения с п независимыми переменными (304). 10.2-5. Преобразования соприкосновения (306). 10.2-6. Канонические уравнения и канонические преобразования (307). 10.2-7. Уравнение Гамильтона - Якоби. Решение канонических уравнений (310). 10.3. Гиперболические, параболические и эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными. Характеристики 312 10.3-1. Квазилинейные уравнения с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными. Характеристики (312). 10.3-2. Решение гиперболических уравнений методом характеристик (313). 10.3-3. Преобразование гиперболических, параболических и эллиптических уравнений к каноническому виду (314). 10.3-4. Типичные краевые задачи для уравнений второго порядка (315). 10.3-5. Одномерное волновое уравнение (316). 10.3-6. Метод Римана - Вольтерра для линейных гиперболических уравнений (317). 10.3-7. Уравнения с тремя и более независимыми переменными (318). 10.4. Линейные уравнения математической физики. Частные решения 319 10.4-1. Физические основы и обзор (319). 10.4-2. Линейные краевые задачи (321). 10.4-3. Частные решения уравнения Лапласа: трехмерный случай (322). 10.4-4. Частные решения для трехмерного уравнения Гельмгольца (324). 10.4-5. Частные решения двумерных задач (325). 10.4-6. Уравнение Шредингера (326). 10.4-7. Частные решения для уравнения теплопроводности и диффузии (326). 10.4-8. Частные решения для волнового уравнения. Синусоидальные волны (326). 10.4-9. Решение краевой задачи разложением в ортогональные ряды. Примеры (328). 10.5. Метод интегральных преобразований 329 10.5-1. Общая теория (329). 10.5-2. Преобразование Лапласа по временной переменной (330). 10.5-3. Решение краевых задач методом интегральных преобразований. Примеры (331). 10.5-4. Формулы Дюамеля (332). ГЛАВА И МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ 11.1. Вводные замечания 333 11.2. Экстремумы функций одного действительного переменного 333 11.2-1. Локальные максимумы и минимумы (333). 11.2-2, Условия существования внутренних максимумов и минимумов (333). 10 ОГЛАВЛЕНИЕ 11.3. Экстремумы функций двух и большего числа действительных переменных 334 11.3-1. Локальные максимумы и минимумы (334). 11.3-2. Формула Тейлора для приращения функции (334). 11.3-3. Условия существования внутренних максимумов и минимумов (334). 11.3-4. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (335). 11.3-5. Численные методы (336). 11.4. Линейное программирование, игры и смежные вопросы 33G 11.4-1. Задача линейного программирования (336). 11.4-2. Симплекс-метод (339). 11.4-3. Нелинейное программирование. Теорема Куна - Такера (342). 11.4-4. Введение в конечные игры двух партнеров с нулевой суммой (342). 11.5. Вариационное исчисление. Максимумы и минимумы определенных интегралов 344 11.5-1. Вариации (344). 11.5-2. Максимумы и минимумы определенных интегралов (345). 11.5-3. Решение вариационных задач (346). 11.6. Экстремали как решения дифференциальных уравнений: классическая теория 346 11.6-1. Необходимые условия максимумов и минимумов (346). 11.6-2. Условные экстремумы. Метод множителей Лагранжа (348). 11.6-3. Изопериметрн- ческие задачи (349). 11.6-4. Решение вариационных задач в случае, когда подынтегральная функция содержит производные высших порядков (350). 11.6-5. Вариационные задачи с неизвестными граничными значениями и неизвестными пределами интегрирования (350). 11.6-6. Задачи Больца и Майера (351). 11.6-7. Ломаные экстремали. Отражение, преломление и односторонние экстремумы (352). 11.6-8. Канонические уравнения и уравнение Гамильтона - Якоби (353). 11.6-9. Вариационные задачи в случае нескольких независимых переменных: максимумы и минимумы кратных интегралов (354). 11.6-10. Достаточные условия для максимума и минимума в простейшей задаче (355). 11.7. Решение вариационных задач прямыми методами 353 11.7-1. Прямые методы (356). 11.7-2. Метод Релея - Ритца (357). 11.7-3. Приближение у (х) полигональными функциями (357). 11.8. Задачи управления и принцип максимума 357 11.8-1. Постановка задачи (357). 11.8-2. Принцип максимума Понтрягина (360). 11.8-3. Примеры (362). 11.8-4. Матричные обозначения в задачах управления (364). 11.8-5. Ограничения-неравенства для переменных состояния. Угловые условия (365). 11.8-6. Метод динамического программирования (366). 11.9. Шаговые задачи управления и динамическое программирование 363 11.9-1. Постановка задачи (366). 11.9-2. Принцип оптимальности Беллмана (367). ГЛАВА 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 12.1. Введение 333 12.1-1. Математические модели (368). 12.1-2. Обзор (369). 12.1-3. «Равенство» и отношения эквивалентности (369). 12.1-4. Преобразования, функции, операции (369). 12.1-5. Инвариантность (370). 12.1-6. Представление одной модели другой: гомоморфизмы и изоморфизмы (370). 12.2. Алгебра моделей с одной определяющей операцией: группы 371 12.2-1. Определение и основные свойства группы (371). 12.2-2. Подгруппы (371). 12.2-3. Циклические группы. Порядок элемента группы (372). 12.2-4. Произведения подмножеств. Смежные классы (372). 12.2-5. Сопряженные элементы и подгруппы. Нормальные делители. Фактор-группы (372). 12.2-6. Нормальный ряд. Композиционный ряд (372). 12.2-7. Центр. Нормализаторы (373). 12.2-8. Группы преобразований или операторов (373). 12.2-9. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Представление групп (373). 12.2-10. Аддитивные группы. Классы вычетов и сравнимость (374). 12.3. Алгебра моделей с двумя определяющими операциями: кольца, поля и области целостности 374 12.3-1. Определения и основные теоремы (374). 12.3-2. Подкольца и под- поля. Идеалы (375). 12.3-3. Расширения (375). 12.4. Модели, включающие в себя более одного класса математических объектов: линейные векторные пространства и линейные алгебры 375 12.4-1. Линейные векторные пространства (375). 12.4-2. Линейные алгебры (376). ОГЛАВЛЕНИЕ И 12.5. Модели, допускающие определение предельных процессов: топологические пространства 377 12.5-1. Топологические пространства (377). 12.5-2. Метрические пространства (378). 12.5-3. Топология, окрестности и сходимость в метрическом пространстве (378). 12.5-4. Метрические пространства со специальными свойствами. Теория точечных множеств (379). 12.5-5. Примеры: пространства числовых последовательностей и функций (380). 12.5-6. Теорема Банаха о сжатых отображениях и последовательные приближения (382). 12.6. Порядок 382 12.6-1. Частично упорядоченные множества (382). 12.6-2. Линейно упорядоченные множества (382). 12.6-3. Упорядоченные поля (383). 12.7. Комбинации моделей: прямое произведение, топологическое произведение и прямая сумма 383 12.7-Ь Декартово произведение (383). 12.7-2. Прямое произведение групп (383). 12.7-3. Прямое произведение действительных векторных пространств (383). 12.7-4. Топологическое произведение (384). 12.7-5. Прямая сумма (384). 12.8. Булевы алгебры 384 12.8-1. Булевы алгебры (384). 12.8-2. Булевы функции. Приведение к каноническому виду (385). 12.8-3. Отношение включения (386). 12.8-4. Алгебра классов (386). 12.8-5. Изоморфизм булевых алгебр. Диаграммы Венна (386). 12.8-6. Алгебры событий и символическая логика (387). 12.8-7. Представление булевых функций истинностными таблицами. Карты Карно (389). 12.8-8. Полная аддитивность. Алгебры меры (389). ГЛАВА 13 МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ 13.1. Вводные замечания 390 13.2. Алгебра матриц и матричное исчисление 390 13.2-1. Прямоугольные матрицы (390). 13.2-2. Основные операции (392). 13.2-3. Нулевая и единичная матрицы; обратные матрицы (393). 13.2-4. Целочисленные степени квадратных матриц (393). 13.2-5. Матрицы как строительные блоки математических моделей (393). 13.2-6. Умножение на матрицы специального вида. Матрицы перестановки (394). 13.2-7. Ранг, след и определитель матрицы (394). 13.2-8. Разбиение матриц (394). 13.2-9. Клеточные матрицы. Прямые суммы (395). 13.2-10. Прямое (внешнее) произведение матриц (395). 13.2-11. Сходимость и дифференцирование (395). 13.2-12. Функции матриц (395). 13.3. Матрицы со специальными свойствами симметрии 396 13.3-1. Транспонированная и эрмитово сопряженная матрица (396). 13.3-2. Матрицы со специальными свойствами симметрии (396). 13.3-3. Правила комбинирования (396). 13.3-4. Теоремы о разложении. Нормальные матрицы (397). 13.4. Эквивалентные матрицы, собственные значения, приведение к диагональному виду и смежные вопросы 398 13.4-1. Эквивалентные и подобные матрицы (398). 13.4-2. Собственные значения и спектры квадратных матриц (398). 13.4-3. Приведение квадратной матрицы к треугольному виду. Алгебраическая кратность собственного значения (399). 13.4-4. Приведение матриц к диагональному виду (399). 13.4-5. Собственные значения и характеристическое уравнение матрицы (400). 13.4-6. Собственные значения клеточных матриц (прямых) сумм (401). 13.4-7. Теорема Кэли - Гамильтона и смежные вопросы (401). 13.5. Квадратичные н эрмитовы формы 401 13.5-1. Билинейные формы (401). 13.5-2. Квадратичные формы (401). 13.5-3. Эрмитовы формы (402). 13.5-4. Преобразование квадратичных и эрмитовых форм. Приведение к сумме квадратов (402). 13.5-5. Одновременное приведение двух квадратичных или эрмитовых форм к сумме квадратов (404). 13.5-6. Признаки положительной определенности, неотрицательности и т. д. (404). 13.6. Матричные обозначения для систем дифференциальных уравнений (динамических систем). Возмущения и теория устойчивости Ляпунова 405 13.6-1. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Матричные обозначения (405). 13.6-2. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (406). 13.6-3. Линейные системы с переменными коэффициентами (407). 13.6-4. Методы возмущений и уравнения в вариациях (408). 13.6-5. Устойчивость решений: определения (409). 13.6-6. Функции Ляпунова и устойчивость (410). 13.6-7. Приложения и примеры (411). 12 ОГЛАВЛЕНИЕ ГЛАВА 14 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ 14.1. Введение. Системы отсчета и преобразования координат 414 14.1-1. Вводные замечания (414). 14.1-2. Числовое описание математических моделей: системы отсчета (414). 14.1-3. Преобразования координат (414). 14.1-4. Инвариантность (415). 14.1-5. Системы мер (415). 14.2. Линейные векторные пространства 415 14.2-1. Определяющие свойства (415). 14.2-2. Линейные многообразия и подпространства в 21 (416). 14.2-3. Линейно независимые и линейно зависимые векторы (416). 14.2-4. Размерность линейного многообразия или векторного пространства. Базисы и системы координат (системы отсчета) (416). 14.2-5. Нормированные векторные пространства (417). 14.2-6. Унитарные векторные пространства (417). 14.2-7. Норма, метрика и сходимость в унитарных векторных пространствах. Гильбертовы пространства (418). 14.2-8, Теорема о проекции (419). 14.3. Линейные преобразования (линейные операторы) 419 14.3-1. Линейные преобразования векторных пространств. Линейные операторы (419). 14.3-2. Множество значений, ядро и ранг линейного преобразования (оператора) (419). 14.3-3. Сложение и умножение на скаляры. Нулевое преобразование (420). 14.3-4. Произведение двух линейных преобразований (операторов). Тождественное преобразование (420). 14.3-5. Невырожденные линейные преобразования (операторы). Обратные преобразования (операторы) (420). 14.3-6. Целые степени операторов (420). 14.4. Линейные операторы в нормированном или гильбертовом пространстве. Эрмитовы и унитарные операторы 421 14.4-1. Ограниченные линейные преобразования (421). 14.4-2. Ограниченные линейные операторы в нормированном векторном пространстве (421). 14.4-3. Сопряженный оператор (421). 14.4-4. Эрмитовы операторы (422). 14.4-5. Унитарные операторы (422). 14.4-6. Симметрические, кососиммет- рические и ортогональные операторы в действительных унитарных векторных пространствах (422). 14.4-7. Правила комбинирования (423). 14.4-8. Теоремы о разложении. Нормальные операторы (423). 14.4-9. Сопряженные векторные пространства. Более общее определение сопряженных операторов (424). 14.4-10. Бесконечно малые линейные преобразования (424). 14.5. Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) 425 14.5-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «активная» точка зрения (425). 14.5-2, Матричное представление векторов и линейных преобразований (операторов) (426). 14.5-3. Матричные обозначения для систем линейных уравнений (426). 14.5-4. Диадическое представление линейных операторов (427). 14.0. Замена системы координат 427 14.6-1. Преобразование базисных векторов и координат векторов: «пассивная» точка зрения (427). 14.6-2. Представление линейного оператора в различных базисах (428). 14.6-3. Последовательное применение операторов (428). 14.7. Представление скалярного произведения. Ортонормированные базисы... 429 14.7-1. Представление скалярного произведения (429). 14.7-2. Замена системы координат (430). 14.7-3. Ортогональные векторы и ортонормированные системы векторов (430). 14.7-4. Ортонормированные базисы (полные ортонормированные системы) (430). 14.7-5. Матрицы соответствующие сопряженным операторам (431). 14.7-6. Взаимные базисы (432). 14.7-7. Сравнение обозначений (433). 14.8. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. . . 433 14.8-1. Вводные замечания (433). 14.8-2. Инвариантные многообразия. Разложимые линейные преобразования (линейные операторы) и матрицы (433). 14.8-3. Собственные векторы, собственные значения и спектр (434). 14.8-4. Собственные векторы и собственные значения нормальных и эрмитовых операторов (435). 14.8-5. Определение собственных значений и собственных векторов: конечномерный случай (436). 14.8-6. Приведение и диагонализация матриц. Преобразование к главным осям (437). 14.8-7. «Обобщенная» задача о собственных значениях (439). 14.8-8. Задачи о собственных значениях как задачи о стационарных значениях (439). 14.8-9. Границы для собственных значений линейных операторов (441). 14.8-10. Неоднородные линейные векторные уравнения (442). ОГЛАВЛЕНИЕ 13 14.9. Представления групп и смежные вопросы 443 14.9-1. Представления групп (443). 14.9-2. Приведение представлений (443). 14.9-3. Неприводимые представления группы (444). 14.9-4. Характер представления (445). 14.9-5. Соотношения ортогональности (445). 14.9-6. Прямые произведения представлений (446). 14.9-7. Представления колец, полей и линейных алгебр (446). 14.10. Математическое описание вращений 446 14.10-1. Вращения в трехмерном евклидовом векторном пространстве (446). 14.10-2. Угол поворота. Ось вращения (447). 14.10-3. Параметры Эйлера и вектор Гиббса (448). 14.10-4. Представление векторов и вращений спиновыми матрицами и кватернионами. Параметры Кэли - Клейна (448). 14.10-5. Вращения вокруг осей координат (449). 14.10-6. Углы Эйлера (450). 14.10-7. Бесконечно малые вращения, непрерывное вращение и угловая скорость (452). 14.10-8. Группа трехмерных вращений и ее представления (454). ГЛАВА 15 ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ 15.1. Введение. Функциональный анализ 456 15.1-1. Вводные замечания (456). 15.1-2. Обозначения (456). 15.2. Функции как векторы. Разложения по ортогональным функциям 457 15.2-1. Квадратично интегрируемые функции как векторы. Скалярное произведение и нормирование (457). 15.2-2. Метрика и сходимость в L2. Сходимость в среднем (458). 15.2-3. Ортогональные функции и ортонормированные последовательности функций (459). 15.2-4. Полные ортонормированные последовательности функций. Ортонормированные базисы (459). 15.2-5. Ортогонализация и нормирование последовательности функций (460). 15.2-6. Аппроксимации и разложения в ряды по ортогональным функциям (460). 15.2-7. Линейные операции над функциями (460). 15.3. Линейные интегральные преобразования и линейные интегральные уравнения 461 15.3-1. Линейные интегральные преобразования (461). 15.3-2. Линейные интегральные уравнения. Обзор (462). 15.3-3. Однородное интегральное уравнение Фредгольма второго рода. Собственные функции и собственные значения (463). 15.3-4, Теоремы разложения (463). 15.3-5. Итерированные ядра (464). 15.3-6. Эрмитовы интегральные формы. Задача о собственных значениях как вариационная задача (465). 15.3-7. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода (465). 15.3-8. Решение линейного интегрального уравнения (16) (467). 15.3-9. Решение линейного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (468). 15.3-10. Интегральные уравнения Воль- терра (469). 15.4. Линейные краевые задачи и задачи о собственных значениях для дифференциальных уравнений 470 15.4-1. Линейные краевые задачи. Постановка задачи и обозначения (470). 15.4-2. Дополнительное дифференциальное уравнение и краевые условия для линейной краевой задачи. Теоремы о суперпозиции (470). 15.4-3. Эрмитово сопряженные и сопряженные краевые задачи. Эрмитовы операторы (471). 15.4-4. Теорема Фредгольма об альтернативе (473). 15.4-5. Задачи о собственных значениях для линейных дифференциальных уравнений (473). 15.4-6. Собственные значения и собственные функции эрмитовой задачи о собственных значениях. Полные ортонормированные множества собственных функций (474). 15.4-7. Эрмитова задача о собственных значениях как вариационная задача (475). 15.4-8. Одномерная задача Штурма - Лиувилля о собственных значениях (476). 15.4-9. Задача Штурма - Лиу- вилля для уравнений с частными производными второго порядка (477). 15.4-10. Теоремы сравнения (477). 15.4-11. Решение дискретных задач о собственных значениях методами возмущений (478). 15.4-12. Решение краевых задач посредством разложений в ряды по собственным функциям (479). 15.5. Функции Грина. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями 480 15.5-1. Функции Грина для краевой задачи с однородными краевыми условиями (480). 15.5-2. Связь краевых задач и задач о собственных значениях с интегральными уравнениями. Резольвента Грина (481). 15.5-3. Приложение метода функций Грина к задаче с начальными условиями: обобщенное уравнение диффузии (482). 15.5-4. Метод функций Грина для неоднородных краевых условий (483). 14 ОГЛАВЛЕНИЕ 15.6. Теория потенциала 484 15.6-1. Введение. Дифференциальные уравнения Лапласа и Пуассона (484). 15.6-2. Трехмерная теория потенциала. Классические краевые условия задачи (484). 15.6-3. Теорема Кельвина об инверсии (485). 15.6-4. Свойства гармонических функций (485). 15.6-5. Решения уравнений Лапласа и Пуассона как потенциалы (486). 15.6-6. Решение трехмерных краевых задач посредством функций Грина (488). 15.6-7. Двумерная теория потенциала. Логарифмический потенциал (490). 15.6-8. Двумерная теория потенциала; сопряженные гармонические функции (490). 15.6-9. Решение двумерных краевых задач. Функции Грина и конформные отображения (492). 15.6-10. Распространение теории на более общие дифференциальные уравнения. Запаздывающие и опережающие потенциалы (493). ГЛАВА 16 ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ 16.1. Введение 494 16.1-1. Вводные замечания (494). 16.1-2. Системы координат и допустимые преобразования (494). 16.1-3. Компоненты объектов. Индексные обозначения (494). 16.1-4. Системы отсчета и индуцированные преобразования. Геометрические объекты (495). 16.2. Абсолютные (истинные) тензоры и относительные тензоры (псевдотензоры) 496 16.2-1. Определение абсолютных и относительных тензоров, основанное на законе преобразования их компонент (496). 16.2-2. Йнфинитезимальноэ перемещение. Градиент скалярного поля (498). 16.3. Тензорная алгебра: определение основных операций 499 16.3-1. Равенство тензоров (499). 16.3-2. Нуль-тензор (499). 16.3-3. Сложение тензоров (499). 16.3-4. Умножение тензора на абсолютный скаляр (499). 16.3-5. Свертывание смешанного тензора (499). 16.3-6. Произведение (внешнее) двух тензоров (500). 16.3-7. Внутреннее произведение (500). 16.3-8. Признак тензора (500). 16.4. Тензорная алгебра. Инвариантность тензорных уравнений......... 501 16.4-1. Инвариантность тензорных уравнений (501). 16.5. Симметричные и антисимметричные тензоры 502 16.5-1. Симметричные и антисимметричные объекты (502). 16.5-2. Символы Кронекера (502). 16.5-3. е-объекты (символы Леви-Чивита) (503). 16.5-4. Альтернированное произведение двух векторов (503). 16.6. Локальная система базисных векторов (локальный базис) 504 16.6-1. Выражение векторов и тензоров через векторы локального базиса (504). 16.6-2. Преобразование локального базиса при преобразовании координат (504). 16.7. Тензоры в римановых пространствах. Ассоциированные тензоры 505 16.7-1. Риманово пространство и фундаментальные тензоры (505). 16.7-2. Ассоциированные тензоры. Поднятие и опускание индексов (506). 16.7-3. Эквивалентность ассоциированных тензоров (506). 16.7-4. Операции над тензорами в римановых пространствах (507). 16.8. Скалярное произведение векторов и связанные с ним понятия 507 16.8-1. Скалярное (внутреннее) произведение двух векторов в римановом пространстве (507). 16.8-2. Скалярные произведения локальных базисных векторов. Ортогональная система координат (507). 16.8-3. Физические компоненты тензора (508). 16.8-4. Векторное произведение и смешанное произведение (508). 16.9. Тензоры ранга 2 в римановом пространстве 509 16.9-1. Диадные произведения (509). 16.9-2. Умножение тензоров ранга 2 и векторов и связанная с ним система обозначений (510). 16.9-3. Собственные векторы и собственные значения (510). 16.10. Абсолютное дифференциальное исчисление. Ковариантное дифференцирование 510 16.10-1. Абсолютные дифференциалы (510). 16.10-2. Абсолютный дифференциал относительного тензора (512). 16.10-3. Символы Кристоффеля (512). 16.10-4. Ковариантное дифференцирование (513). 16.10-5. Правила ковари- аитного дифференцирования (514). 16.10-6* Ковариантные производные высших порядков (514). 16.10-7. Дифференциальные операторы и дифференциальные инварианты (515). 16.10-8. Абсолютные (внутренние) производ- ОГЛАВЛЕНИЕ iu ные и производные по направлению (515). 16.10-9. Тензоры, постоянные вдоль кривой. Уравнения параллелизма (517). 16.10-10. Интегрирование тензорных величин. Элемент объема (517). 16.10-11. Дифференциальные инварианты тензоров ранга 2; интегральные теоремы (517). ГЛАВА 17 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 17.1. Кривые на евклидовой плоскости 518 17.1.1. Касательная к плоской кривой (518). 17.1-2. Нормаль к плоской кривой (518). 17.1-3. Особые точки (519). 17.1-4. Кривизна плоской кривой (519). 17.1-5. Порядок касания плоских кривых (520). 17.1-в. Асимптоты (520). 17.1-7. Огибающая семейства плоских кривых (520). 17.1-8. Изогональные траектории (520). 17.2. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве 521 17.2-1. Вводные замечания (521). 17.2-2. Подвижной трехгранник (521). 17.2-3. Формулы Фроне - Серре. Кривизна и кручение пространственной кривой (522). 17.2-4. Уравнения касательной, нормали и бинормали; уравнения соприкасающейся, нормальной и спрямляющей плоскостей (523). 17.2-5. Дополнительные замечания (523). 17.2-6. Порядок касания (524). 17.3. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 524 17.3-1. Вводные замечания (524). 17.3-2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности (524). 17.3-3. Первая основная квадратичная форма поверхности. Дифференциал длины дуги и элемент площади (525). 17.3-4. Геодезическая и нормальная кривизна кривой на поверхности. Теорема Менье (52G). 17.3-5. Вторая основная квадратичная форма. Главные кривизны, гауссова кривизна и средняя кривизна (527). 17.3-6. Некоторые направления и кривые на поверхности. Минимальные поверхности (528). 17.3-7. Поверхности как римановы пространства. Трсхиндексные символы Кристоффеля и параметры Бельтрами (529). 17.3-8. Уравнения с частными производными, связывающие коэффициенты основных квадратичных (£орм. Theorema Egregium Гаусса (530). 17.3-9. Определение поверхности коэффициентами ее основных квадратичных форм (530). 17.3-10. Отображения (530). 17.3-11. Огибающие (531). 17.3-12. Геодезические линии поверхности (531). 17.3-13. Геодезические нормальные координаты. Геометрия на поверхности (532). 17.3-14. Теорема Гаусса - Бонне (533)s 17.4. Пространства с кривизной 533 17.4-1. Вводные замечания (533). 17.4-2. Кривые, длины и направления в римановом пространстве (533). 17.4-3. Геодезические линии в римано- вом пространстве (534). 17.4-4. Римановы пространства с неопределенной метрикой. Изотропныз направления и геодезические нулевой длины (535). 17.4-5. Тензор кривизны риманова пространства (535). 17.4-6. Геометрическое истолкование тензора кривизны. Плоские пространства и евклидовы пространства (536). 17.4-7.Специальные координатные системы (537). ГЛАВА 18 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 18.1. Введение 530 18.1-1. Вводные замечания (539). 18.2. Определение и представление вероятностных моделей 539 18.2-1. Алгебра событий, связанных с данным испытанием (539). 18.2-2. Определение вероятности. Условные вероятности (540). 18.2-3. Независимость случайных событий (540). 18.2-4. Сложные испытания. Независимые испытания и повторные независимые испытания (540). 18.2-5. Правила сочетаний (541). 18.2-6. Теоремы Банеса (542). 18.2-7. Представление событий как множеств в пространстве выборок (542). 18.2-8. Случайные величины (542). 18.2-9. Описание вероятностных моделей на языке случайных величин и их функций распределения (542). 18.3. Одномерные распределения вероятностей 543 18.3-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3-2. Непрерывные одномерные распределения вероятностей (543). 18.3-3. Математическое ожидание и дисперсия. Числовые характеристики одномерного распределения вероятностей (544). 18.3-4. Нормирование (546). 18.3-5. Неравенство Чебышева и связанные с ним формулы (546). 18.3-6. Единое описание распределений вероятностей с помощью интеграла Стилтьеса (546). 18.3-7. Моменты одномерного распределения вероятностей (547). 18.3-8. Ха- 16 ОГЛАВЛЕНИЕ рактсристические и производящие функции (548). 18.3-9. Семиинварианты (549). 18.3-10. Вычисление моментов и семиинвариантов через % (q), M (s) и у (s). Соотношения между моментами и семиинвариантами (549). 18.4. Многомерные распределения вероятностей 550 18.4-1. Многомерные случайные величины (550). 18.4-2. Двумерные распределения вероятностей. Распределения координат случайной величины (550). 18.4-3. Дискретные и непрерывные двумерные распределения вероятностей (550). 18.4-4. Математическое ожидание, моменты, ковариация и коэффициент корреляции (551). 18.4-5. Условные распределения вероятностей, связанные с двумя случайными величинами (552). 18.4-6. Регрессии (553). 18.4-7. n-мерные распределения вероятностей (553). 18.4-8. Математические ожидания и моменты (555). 18.4-9. Регрессия. Коэффициенты корреляции (556). 18.4-10. Характеристические функции (557). 18.4-11. Независимость случайных величин (557). 18.4-12. Энтропия распределения вероятностей (558). 18.5. Функции от случайных величин. Замена переменных 559 18.5-1. Вводные замечания (559). 18.5-2. Функции (или преобразования) одномерной случайной величины (559). 18.5-3. Линейные преобразования одномерной случайной величины (560). 18.5-4. Функции (или преобразования) многомерных случайных величин (561). 18.5-5. Линейные преобразования (562). 18.5-6. Математическое ожидание и дисперсия суммы случайных величин (562). 18.5-7. Суммы независимых случайных величин (563). 18.5-8. Распределение суммы случайного количества случайных величин (564). 18.6. Сходимость по вероятности и предельные теоремы 564 18.6-1. Последовательность распределений вероятностей. Сходимость по вероятности (564). 18.6-2. Пределы функций распределения, характеристических и производящих функций. Теоремы непрерывности (564). 18.6-3. Сходимость в среднем (565). 18.6-4. Асимптотически нормальные распределения вероятностей (565). 18.6-5. Предельные теоремы (565). 18.7. Специальные методы решения вероятностных задач 566 18.7-1. Вводные замечания (566). 18.7-2. Задачи с дискретным распределением вероятностей: подсчет событий и комбинаторный анализ (567). 18.7-3. Применение производящих функций. Теорема Пойа (569). 18.7-4. Задачи с дискретным распределением вероятностей: успехи и неудачи в составляющих испытаниях (571). 18.8. Специальные распределения вероятностей 571 18.8-1. Дискретные одномерные распределения вероятностей (571). 18.8-2. Дискретные многомерные распределения вероятностей (573). 18.8-3. Непрерывные распределения вероятностей: нормальное распределение (Гаусса) (575). 18.8-4. Нормальные случайные величины: распределение отклонений от центра (576). 18.8-5. Различные непрерывные одномерные распределения вероятностей (582). 18.8-6. Двумерные нормальные распределения (582). 18.8-7. Круговое нормальное распределение (583). 18.8-8. n-мерные нормальные распределения (583). 18.8-9. Теоремы сложения для специальных распределений (583). 18.9. Теори-я случайных процессов 584 18.9-1. Случайные процессы (584). 18.9-2. Описание случайных процессов ( 584). 18.9-3. Средние по множеству наблюдений. Корреляционные функции (585). 18.9-4. Интегрирование и дифференцирование случайных функций (586). 18.9-5. Процессы, определяемые случайными параметрами (588). 18.9-6. Разложение по ортонормнрованной системе (588). 18.10. Стационарные случайные процессы. Корреляционные функции и спектральные плотности 589 18.10-1. Стационарные случайные процессы (589). 18.10-2. Корреляционные функции по множеству наблюдений (589). 18.10-3. Спектральная плотность по множеству наблюдений (590). 18.10-4. Корреляционные функции и спектры действительных процессов (590). 18.10-5. Спектральное разложение средней «мощности» действительных процессов (590). 18.10-6. Другие виды спектральной плотности по множеству наблюдений (591). 18.10-7. Средние по времени и эргодические процессы (591). 18.10-8. Корреляционные функции и спектральные плотности по времени (592). 18.10-9. Функции с периодическими компонентами (593). 18.10-10. Обобщенные преобразования Фурье и спектральные функции (595). 18.11. Типы случайных процессов. Примеры 596 18.11-1. Процессы с постоянными и периодическими реализациями (596). 18.11-2. Процессы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова (598). 18.11-3. Гауссовские случайные процессы (599). 18.11-4. Марковские процессы и процесс Пуассона (599). 18.11-5. Некоторые случайные процессы. ОГЛАВЛЕНИЕ 17 порождаемые процессом Пуассона (601). 18.11-6. Случайные процессы, порождаемые периодической выборкой (602). 18.12. Действия над случайными процессами 603 18.12-1. Корреляционные функции и спектры сумм (603). 18.12-2. Соотношения между входным и выходным сигналами для линейных систем (604). 18.12-3. Стационарный случай (604). 18.12-4. Соотношения для корреляционных функций и спектров по времени (605). 18.12-5. Нелинейные операции (605). 18.12-6. Нелинейные операции над гауссовскими процессами (606). ГЛАВА 19 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 19.1. Введение в статистические методы 607 19.1-1. Статистики (607). 19.1-2. Классическая вероятностная модель: статистики случайной выборки. Понятие о генеральной совокупности (607). 19.1-3. Связь вероятностной модели с опытом: оценка и проверка (608). 19.2. Статистическое описание. Определение и вычисление статистик случайной выборки 609 19.2-1. Относительные частоты (609). 19.2-2. Распределение выборки. Группированные данные (609). 19.2-3. Выборочные средние (610). 19.2-4. Выборочные дисперсии и моменты (611). 19.2-5. Упрощенное вычисление выборочных средних и дисперсий. Поправка на группировку (612). 19.2-6. Размах выборки (613). 19.3. Типовые распределения вероятностей 613 19.3-1. Вводные замечания (613). 19.3-2. Класс распределений Кэптейна (613). 19.3-3. Ряды Грама - Шарлье и Зджворта (614). 19.3-4. Усеченные нормальные распределения и распределение Парето (614). 19.3-5. Типы распределений Пирсона (615). 19.4. Оценки параметров 615 19.4-1. Свойства оценок (615). 19.4-2. Некоторые свойства статистик, применяемых в качестве оценок (616). 19.4-3. Нахождение оценок. Метод моментов (617). 19.4-4. Метод наибольшего правдоподобия (617). 19.4-5. Другие методы нахождения оценок (618). 19.5. Выборочные распределения 618 19.5-1. Вводные замечания (618). 19.5-2. Асимптотически нормальные выборочные распределения (618). 19.5-3. Выборки из нормальной совокупности. Распределения %2, / и и2 (619). 19.5-4. Распределение размаха выборки (619). 19.5-5. Выборочный метод для конечной совокупности (620). 19.6. Проверка статистических гипотез 630 19.6-1. Статистические гипотезы (630). 19.6-2. Критерии с фиксированной выборкой; определения (630). 19.6-3. Уровень значимости. Правило Неймана - Пирсона отбора критериев для простых гипотез (630). 19.6-4. Критерии значимости (632). 19.6-5. Доверительная область (632). 19.6-6. Критерии сравнения нормальных совокупностей. Дисперсионный анализ (634). 19.6-7. Критерий согласия %2 (637). 19.6-8. Непараметрическое сравнение двух совокупностей: критерий знаков (638). 19.6-9. Обобщения (638). 19.7. Некоторые статистики, выборочные распределения и критерии для многомерных распределений 638 19.7-1. Вводные замечания (638). 19.7-2. Статистики, получаемые на основе многомерных выборок (638). 19.7-3. Оценки параметров (639). 19.7-4. Выборочные распределения в случае нормальной совокупности (640). 19.7-5. Выборочная средняя квадратическая сопряженность признаков. Критерий независимости двух случайных величин, основанный на таблице сопряженности признаков (642). 19.7-6. Порядковая корреляция по Спирмену. Непараметрический критерий независимости (642). 19.8. Статистики и измерения случайного процесса 643 19.8-1. Средние по конечному промежутку времени (643). 19.8-2. Усредняющие фильтры (644). 19.8-3. Примеры (645). 19.8-4. Выборочные средние (646). 19.9. Проверка и оценка в задачах со случайными параметрами. . . . 647 19.9-1. Постановка задачи (647). 19.9-2. Оценка и проверка с помощью формул Байеса (648). 19.9-3. Случай двух состояний, проверка гипотез (648). 19.9-4. Оценки по методу наименьших квадратов (650). 18 ОГЛАВЛЕНИЕ Г Л А В А 20 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ 20.1. Введение 652 20.1-1. Вводные замечания (652). 20.1-2. Ошибки (G52). 20.2. Численное решение уравнений (352 20.2-1. Вводные замечания (652). 20.2-2. Итерационные методы (653). 20.2-3. Вычисление значений многочлена (655). 20.2-4. Численное решение алгебраических уравнений. Итерационные методы (655). 20.2-5. Специальные методы решения алгебраических уравнений (656). 20.2-6. Системы уравнений и экстремальные задачи (659). 20.2-7. Градиентные методы (660). 20.2-8. Метод Ньютона и теорема Канторовича (661). 20.3. Системы линейных уравнений и обращение матриц. Собственные значения и собственные векторы матриц 662 20.3-1. Методы исключения (662). 20.3-2. Итерационные методы (663). 20.3-3. Обращение матриц (665). 20.3-4. Решение системы линейных уравнений и обращение матриц при помощи разбиения на клетки (666). 20.3-5. Собственные значения и собственные векторы матриц (667). 20.4. Конечные разности и разностные уравнения 668 20.4-1. Конечные разности и центральные средние (668). 20.4-2. Операторные обозначения (669). 20.4-3. Разностные уравнения (670). 20.4-4. Линейные обыкновенные разностные уравнения (671). 20.4-5. Линейные обыкновенные разностные уравнения с постоянными коэффициентами (672), 20.4-6. Методы преобразований для линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами (672). 20.4-7. Системы обыкновенных разностных уравнений. Матричная запись (674). 20.4-8. Устойчивость (675). 20.5. Интерполяция функций 675 20.5-1. Вводные замечания (675). 20.5-2. Общие формулы параболической интерполяции (значения аргумента могут быть и неравноотстоящими) (675). 20.5-3. Интерполяционные формулы для равноотстоящих значений аргумента. Ромбовидные диаграммы (677). 20.5*-4. Обратная интерполяция (677). 20.5-5. Интерполяция с оптимальным выбором узлов (682). 20.5-6. Интерполяция функций нескольких переменных (682). 20.5-7. Обратные разности и интерполяция рациональными дробями (683). 20.6. Аппроксимация функций ортогональными многочленами, отрезками ряда Фурье и другими методами 683 20.6-1. Вводные замечания (683). 20.6-2. Приближения функций многочленами по методу наименьших квадратов на интервале (683). 20.6-3. При- ближения фуькций многочленами по методу наименьших квадратов на дискретном множестве точек (684). 20.6-4. Равномерные приближения (686). 20.6-5. Зкономизация степенных рядов (686). 20.6-6. Численный гармонический анализ и тригонометрическая интерполяция (687). 20.6-7. Разные приближения (693). 2С 7. Численное дифференцирование и интегрирование 695 20.7-1. Численное дифференцирование (695). 20.7-2. Численное интегрирование для равноотстоящих узлов (696). 20.7-3. Квадратурные формулы Гаусса и Чебышева (698). 20.7-4. Построение и сравнение квадратурных формул (700). 20.7-5. Вычисление кратных интегралов (700). 20.8. Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений 701 20.8-1. Вводные замечания (701). 20.8-2. Одношаговые методы решения задачи Коши. Методы Эйлера и Рунге - Кутта (701). 20.8-3. Многошаговые методы решения задачи Коши (703). 20.8-4. Улучшенные многошаговые методы (704). 20.8-5. Сравнение различных методов решения. Контроль величины шага и устойчивость (704). 20.8-6. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и системы дифференциальных уравнений (706). 20.8-7. Специальные формулы для уравнений второго порядка (707). 20.8-8. Анализ частотных характеристик (708). 20.9. Численное интегрирование уравнений с частными производными, краевые задачи; интегральные уравнения 709 20.9-1. Вводные замечания (709). 20.9-2. Двухточечная краевая задача для обыкновенных дифференциальных уравнении (709). 20.9-3. Обобщенный метод Ньютона (квазилинеаризация) (710). 20.9-4. Разностные методы численного решения уравнений с частными производными для случая двух независимых переменных (710). 20.9-5. Двумерные разностные операторы (711). 20.9-6. Представление краевых условий (711). 20.9-7. Задачи, содержащие более двух независимых переменных (714). 20.9-8. Пригодность разностных схем. Условия устойчивости (714). 20.9-9. Методы аппроксими- ОГЛАВЛЕНИЕ 19 рующих функций для численного решения краевых задач (715). 20.9-10. Численное решение интегральных уравнений (716). 20.10. Методы Монте-Карло 717 20.10-1. Методы Монте-Карло (717). 20.10-2. Два метода уменьшения дисперсии оценки (718). 20.10-3. Использование предварительной информации. Метод значимой выборки (719). 20.10-4. Некоторые методы генерирования случайных чисел. Проверка случайности (719). Г Л А В А 21 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 21.1. Введение 720 21.1-1. Взодные замечания (720). 21.2. Элементарные трансцендентные функции 720 21.2-1. Тоигонометрические функции (720). 21.2-2. Соотношения между тригонометрическими функциями (722). 21.2-3. Теоремы сложения и формулы для кратных углов (723). 21.2-4. Обратные тригонометрические функции (724). 21.2-5. Гиперболические функции (725). 21.2-6. Соотношения между гиперболическими функциями (726). 21.2-7. Формулы сложения для гиперболических функций (726). 21.2-8. Обратные гиперболические функции (727). 21.2-9. Соотношения между показательной, тригонометрическими и гиперболическими функциями (728). 21.2-10. Определение логарифма (728). 21.2-11. Соотношения между обратными тригонометрическими, обратными гиперболическими и логарифмической функциями (729). 21.2-12. Разложения в степенные ряды (729). 21.2-13. Разложения в бесконечные произведения (730). 21.2-14. Некоторые полезные неравенства (730). 21.3. Некоторые интегральные функции 730 21.3-1. Интегральные синус, косинус, логарифм и показательная функция (730). 21.3-2. Интегралы Френеля и интеграл вероятностей (738). 21.4. Гамма-функция и связанные с ней функции 739 21.4-1. Гамма-функция (739). 21.4-2. Асимптотическое разложение Стирлинга для Г (г) и п\ (743). 21.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции (743). 21.4-4. Бета-функция (743). 21.4-5. Неполные гамма- и бета-функции (744). 21.5. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены. Многочлены и числа Бернулли 744 21.5-1. Биномиальные коэффициенты и факториальные многочлены (744). 21.5-2 Многочлены и числа Бернулли (746). 21.5-3. Формулы, связывающие многочлены Бернулли и факториальные многочлены (747). 21.5-4. Приближенные формулы для f) (747). 21.6. Эллиптические функции, эллиптические интегралы и связанные с ними функции 748 21.6-1. Эллиптические функции; общие свойства (748). 21.6-2. #?-функния Вейерштрасса (748). 21.6-3. £- и о-функции Вейерштрасса (750). 21.6-4. Эллиптические интегралы (751). 21.6-5. Приведение эллиптических интегралов (751). 21.6-6. Нормальные эллиптические интегралы Лежандра (753). 21.6-7. Эллиптические функции Якоби (761). 21.6-8. Тэта-функции Якоби (765). 21.6-9. Соотношения между эллиптическими функциями Якоби, Вейерштрасса и тэта-функциями (767). 21.7. Ортогональные многочлены 767 21.7-1. Введение (767). 21.7-2. Действительные нули ортогональных многочленов (768). 21.7-3. Функции Лежандра (768). 21.7-4. Многочлены Чебы- шева первого и второго рода (768). 21.7-5. Обобщенные многочлены и присоединенные функции Лагерра (774). 21.7-6. Функции Эрмита (775). 21.7-7. Некоторые интегральные формулы (776). 21.7-8. Многочлены Якоби и Гегенбауэра (776). 21.8. Цилиндрические функции, присоединенные функции Лежандра и сферические гармоники 777 21.8-1. Функции Бесселя и другие цилиндрические функции (777). 21.8-2. Интегральные формулы (779). 21.8-3. Нули цилиндрических функций (780). 21.8-4. Функции Бесселя целого порядка (781). 21.8-5. Решение дифференциальных уравнений при помощи функций Бесселя и связанных с ними функций (782). 21.8-6. Модифицированные функции Бесселя и Гаи- келя (782). 21.8-7. Функции bermz, beimz, hermz, heimz, kerwz, keimz (783). 21.8-8. Сферические функции Бесселя (784). 21.8-9. Асимптотические раз- 20 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ ложения цилиндрических функций и сферических функций Бесселя для больших значений \z\ (785). 21.8-10. Присоединенные функции и многочлены Лежандра (785). 21.8-11. Интегральные свойства присоединенных функций Лежандра (787). 21.8-12. Сферические гармоники. Ортогональность (787). 21.8-13. Теоремы сложения (789). 21.9. Ступенчатые функции и символические импульсные функции 790 21.9-1. Ступенчатые функции (790). 21.9-2. Символическая дельта-функция Дирака (792). 21.9-3. Производные ступенчатых и импульсных функций (793). 21.9-4. Аппроксимация импульсных функций (794). 21.9-5. Представления интегралом Фурье (795). 21.9-6. Асимметричные импульсные функции (795). 21.9-7. Многомерные дельта-функции (795). Литература 796 Указатель важнейших обозначении 801 Предметный указатель 804 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ Глава 1 1.10-1. Правильные многоугольники 47 1.10-2. Тела вращения 48 1.10-3. Пять правильных многогранников 49 1.11-1. Решение плоских треугольников 50 1.12-1. Решение сферических треугольников 54 Глава 2 2.4-1. Классификация кривых второго порядка 65 2.4-2. Касательные, нормали, поляры и полюсы кривых второго порядка... 68 2.5-1. Эллипс, гипербола и парабола. Канонические уравнения и основные формулы 72 Глава 3 3.5-1. Классификация поверхностей второго порядка 90 3.5-2. Стандартные (канонические) уравнения и основные свойства невырожденных поверхностей второго порядка 94 Г л а в а 4 4.5-1. Производные часто встречающихся функций 108 4.5-2. Правила дифференцирования 111 4.6-1. Свойства интегралов 114 4.7-1. Некоторые часто встречающиеся пределы 130 4.8-1. Суммы некоторых числовых рядов 135 4.10-1. Действия со степенными рядами 144 4.11-1. Коэффициенты Фурье и среднеквадратические значения периодических функций 151 4.11-2. Свойства преобразования Фурье 154 4.11-3. Преобразования Фурье 155 4.11-4. Косинус-преобразования Фурье 158 4.11-5. Синус-преобразования Фурье 159 Глава 5 5.2-1. Свойства скалярного произведения 164 5.2-2. Свойства векторного произведения 165 5.3-1. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента 167 5.5-1. Правила действий с оператором V Ц2 5.5-2. Операции над скалярными функциями 174 5.5-3. Операции над векторными функциями 1"4 5.6-1. Теоремы, связывающие объемные и поверхностные интегралы 175 Глава 6 6.3-1. Соотношения между базисными векторами и координатами векторов в различных локальных системах отсчета 181 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ 21 6.4-1. Векторные соотношения в ортогональных координатах 184 6.5-1. Векторные формулы в сферических и цилиндрических координатах... 186 6.5-2. Общие эллипсоидальные координаты к, ц, v 189 6.5-3. Координаты о, т, ф вытянутого эллипсоида вращения 190 6.5-4. Координаты о, т, ф сплюснутого эллипсоида вращения 191 6.5-5. Координаты о, т, z эллиптического цилиндра 191 6.5-6. Конические координаты и, v, w 192 6.5-7. Параболоидальные координаты к, |ы, V 192 6.5-8. Параболические координаты о, х, ф 193 6.5-9. Координаты о, т, z параболического цилиндра 193 6.5-10. Бицилиндрические координаты о, т, z 194 6.5-11. Тороидальные координаты о, х, ф 195 6.5-12. Биполярные координаты о, т, ф 195 Глава 7 7.2-1. Действительная и мнимая части, нули и особенности для наиболее часто встречающихся функций / (г) = и (х, у) + iv (x, у) комплексного переменного z = х + iy 193 7.9-1. Свойства отображения w =-^-1 z -\) 218 7.9-2. Примеры конформных отображений 219 7.9-3. Конформные отображения некоторых областей D на единичный круг. . . 226 Глава 8 8.3-1. Теоремы соответствия операций над оригиналами и изображениями. . . 231 8.4-1. Таблица преобразований Лапласа 235 8.4-2. Таблица преобразований Лапласа для рациональных изображений F (s) = = Dx (s)/D (s) 242 8.6-1. Некоторые линейные интегральные преобразования, связанные с преобразованием Лапласа 257 8.6-2. Преобразования Ганкеля 259 8.7-1. Некоторые конечные интегральные преобразования 261 8.7-2. Соответствие операций при z-преобразовании. 264 Глава 9 9.3-1. Функции Грина для линейных краевых задач 274 9.3-2. Дополнительные формулы для гипергеометрических функций 281 9.3-3. Дополнительные формулы для вырожденных гипергеометрических функций 283 Глава 10 10.2-1. Полные интегралы для некоторых специальных типов уравнений с частными производными первого порядка 304 10.4-1. Важнейшие линейные дифференциальные уравнения математической физики 320 Глава 12 12.5-1. Некоторые пространства числовых последовательностей 380 12.5-2. Некоторые пространства функций х (/), у (t) 381 12.8-1. Истинностная таблица для булевой функции 389 Глава 13 13.2-1. Некоторые нормы матриц 391 Глава 14 14.7-1. Сравнение различных обозначений скаляров, векторов и линейных операторов 432 Глава 16 16.2-1. Определения тензорных величин наиболее распространенного типа, основанные на законе преобразования их компонент 497 16.10-1. Дифференциальные инварианты, определенные в римановых пространствах 516 Глава 18 18.2-1. Вероятности логически связанных событий м 541 18.3-1. Числовые характеристики одномерных распределений вероятностей.... 545 22 ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ 18.7-1. Перестановки и разбиения 667 18.7-2. Сочетания и выборки 568 18.7-3. Размещения в ячейках или расположения 668 18.8-1. Вырожденное (причинное) распределение 571 18.8-2. Гипергеометрическое распределение 571 18.8-3. Биномиальное распределение 572 18.8-4. Распределение Пуассона 574 18.8-5. Геометрическое распределение 574 18.8-6. Распределение Паскаля 574 18.8-7. Распределение Пойа 575 18.8-8. Плотность нормального распределения (стандартизованного) 577 18.8-9. Интеграл вероятностей 578 18.8.10. Функция ошибок 579 18.8-11. Непрерывные одномерные распределения вероятностей 580 Глава 19 19.5-1. х?"РаспРеДеление с т степенями свободы 621 19.5-2. ^-распределение Стьюдента с т степенями свободы 622 19.5-3. Распределение отношения дисперсий (^-распределение) и связанные с ним распределения 623 19.5-4. ^-распределение 625 19.5-5. ^-распределение Стьюдента 626 19.5-6. /^-распределение (распределение v2) 627 19.6-1. Некоторые критерии значимости, относящиеся к параметрам £, о2 нормальной совокупности 633 19.6-2. Доверительные границы для нормальной совокупности 634 19.6-3. Критерии значимости для сравнения нормальных совокупностей 636 19.8-1. Усредняющие фильтры 644 Глава 20 20.2-1. Таблица алгоритма разделенных разностей 657 20.4-1. Краткая таблица 2-преобразований и преобразований Лапласа от ступенчатых функций 673 20.5-1. Интерполяционные формулы с центральными разностями 678 20.5-2. Коэффициенты интерполяционных формул 680 20.6-1. Многочлены Чебышева и степени х 687 20.6-2. Приближения некоторых функций многочленами 688 20.6-3. Некоторые приближения цилиндрических функции 690 20.6-4. Приближения многочленами Чебышева 691 20.6-5. Схема гармонического анализа на 12 ординат 692 20.6-6. Разные приближения 694 20.7-1. Квадратурные формулы Ньютона - Котеса, замкнутый тип 697 20.7-2. Абсциссы и веса для квадратурных формул 699 20.8-1. Некоторые методы Рунге - Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений 702 20.8-2. Некоторые методы четвертого порядка типа «предсказание -- коррекция» 705 Глава 21 21.2-1. Специальные значения тригонометрических функций 720 21.2-2, Соотношения между тригонометрическими функциями различных аргументов 722 21.3-1. Интегральный синус Si (х) 732 21.3-2. 5t (x) и интегральный косинус Ci {x) 733 21.3-3. Интегральная показательная функция 734 21.4-1. Гамма-функция Г (*) 741 21.5-1. Определение и свойства биномиальных коэффициентов 745 21.6-1. Преобразование к нормальной форме Лежандра 754 21.6-2. Преобразования эллиптических интегралов 758 21.6-3. Преобразования полных эллиптических интегралов 759 21.6-4. Полные эллиптические интегралы К и Е -^ J60 21.6-5. Периоды, нули, полюсы и вычеты эллиптических функций Якоои 762 21.6-6. Специальные значения эллиптических функций Якобп 763 21.6-7. Изменение переменной на четверть и половину периода. . . -^ 764 21 6-8. Преобразования первого порядка эллиптических функций Якоби 766 21.7-1. Ортогональные многочлены Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрм.ла... 769 21.7-2. Первые ортогональные многочлены 7"4 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ Книгу Г. Корна и Т. Корн «Справочник по математике (для научных работников и инженеров)» отличает весьма широкий охват материала. В ней освещаются почти все вопросы как общего курса математики, так и большинства специальных разделов, изучаемых во втузах с повышенной программой по математике (векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, уравнения математической физики, функции комплексного переменного и операционное исчисление, вариационное исчисление, линейная алгебра, теория вероятностей и математическая статистика и т. д.). Кроме того, в книгу включены главы, посвященные современной алгебре, теории интегралов Лебега и Стилтьеса, римановой геометрии, интегральным уравнениям, специальным функциям, а также целому ряду других вопросов, далеко выходящих за рамки математической подготовки инженеров, но постепенно становящихся необходимым орудием для научных работников и инженеров-исследователей, работающих в самых разных областях. Много внимания уделено связи рассматриваемых математических проблем с прикладными дисциплинами (методы расчета и синтеза электрических цепей, линейные и нелинейные колебания и др.). В новом издании книга подверглась весьма существенной переработке. Заново написаны главы 11 и 20 и значительная часть глав 13 и 18; и без того обширный материал книги пополнился новыми разделами: дискретное преобразование Лапласа (г-преобразование), конечные интегральные преобразования, матричные методы решения систем дифференциальных уравнений, теория устойчивости Ляпунова, математическое программирование, принцип максимума Понтрягина, шаговые задачи управления и динамическое программирование - вот далеко не полный перечень того, что добавлено авторами. Кроме того, из дополнений в книгу включены справочные сведения по геометрии и сферической тригонометрии. Конечно, можно иметь различные точки зрения на то, какой материал следует включать в такого рода справочник; кроме того, в одной книге невозможно изложить все разделы с одинаковой степенью полноты. Однако, как нам кажется, ответы на вопросы, не нашедшие отражения в книге, следует искать уже либо в монографиях, либо в специализированных справочных руководствах (типа отдельных выпусков серии «Справочная математическая библиотека», выпускаемой Главной редакцией физико-математической литературы издательства «Наука»). В книге принята следующая рубрикация: глава, параграф, пункт; названия всех пунктов указаны в оглавлении. Сплошная нумерация формул (и таблиц) ведется в пределах одного параграфа; соответственно этому, если в тексте нужно сослаться на формулу этого же параграфа, то указывается только ее номер. При перекрестных ссылках указывается полностью номер главы, параграфа и пункта. В конце книги приводится подробный предметный указатель, а также указатель важнейших обозначений; во всех случаях читатель отсылается к соответствующему пункту. В процессе перевода был обнаружен ряд дефектов и неточностей; кроме того, в некоторых случаях изложение не соответствовало принятому в нашей отечественной литературе. Переводчики учитывали справочный характер книги, и для удобства читателя большинство исправлений, замен и дополнений вносилось прямо в текст. Принадлежащие переводчикам дополнения и подстрочные примечания 24 ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ отмечены звездочками. Пункты, подвергшиеся значительной переработке, также отмечены звездочками. Нам пришлось в значительной мере заменить цитируемую литературу; во многих случаях ссылки делались на неизвестные нашему читателю учебные руководства. Приведенный в конце книги список литературы (ссылки на него помещены в квадратные скобки) меньше всего претендует хотя бы на относительную полноту; в него лишь включены наиболее известные издания (при этом мы сочли возможным не указывать обычные втузовские курсы математики). Значительной переработке подверглись дополнения в книге, включающие разного рода таблицы. Ради уменьшения объема книги некоторые широко распространенные таблицы были изъяты, а остальные помещены в соответствующие разделы «Справочника». Перечень всех имеющихся в книге таблиц приведен после оглавления на стр. 20-22. Мы признательны всем читателям, обратившим наше внимание на те или иные недочеты книги, и будем рады дальнейшим откликам на новое издание. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ Новое издание «Справочника по математике» существенно расширено и дополнено оригинальным материалом. Включены новые разделы, посвященные 2-щеоб- разованию, матричным методам решения систем дифференциальных уравнений, теории устойчивости, представлению вращений, математи ческому программированию, теории оптимального управления, случайным процессам и т. д. Глава о численных методах почти целиком написана заново. Добавлены многие примеры и таблицы. Эту книгу можно рассматривать, во-первых, как достаточно полное собрание математических определений, теорем и формул для научных работников, инженеров и студентов. Ею могут пользоваться читатели, стоящие на разных уровнях математического развития. Отсутствие доказательств и сжатость табличного представления родственных формул сделали возможным объединение весьма большого по объему справочного материала в одном томе. Книга, однако, предназначена не только для наведения справок; в ней мы пытались дать связное обозрение математических методов, применяемых в различных приложениях. Каждая глава озаглавлена так, чтобы читатель мог быстро ориентироваться в данном разделе математики. Такое изложение делает текст удобным для пользования благодаря отсутствию доказательств; многочисленные ссылки открывают доступ к более детальному изучению материала книги. Особое внимание уделяется выявлению взаимосвязи различных разделов и их роли в научных и инженерных приложениях; это достигается при помощи соответствующих вводных замечаний и перекрестных ссылок. Авторы пытались удовлетворить запросы разных кругов читателей, разделив материал книги на три группы: 1. Наиболее важные определения и формулы, специально выделенные для наиболее быстрого их обозрения. 2. Основной текст, состоящий из сжатого и связного обзора основных результатов. 3. Более детальное обсуждение дополнительных вопросов, выделенное мелким шрифтом. При таком построении включение этого материала не нарушает структуры основного изложения. Главы с 1 по 5 дают обзор основного курса колледжа *) по алгебре, аналитической геометрии и анализу; глава 4 содержит также изложение интегралов Лебега и Стилтьеса и рядов и интегралов Фурье, а глава 5 - векторный анализ. Главы 6, 7 и 8 посвящены криволинейным координатам, функциям комплексного переменного и преобразованиям Лапласа. Добавлен новый материал по конечным интегракьным преобразованиям и z-преобразованшо. В главах 9 и 10 излагаются обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными, включая методы интегральных преобразований, метод характеристик и теорию потенциала; проблемы собственных значений трактуются в главе 15. Глава 11 существенно изменилась; в дополнении к обычной теории экстремума и классического вариационного исчисления здесь добавлены разделы по линейному *) Это примерно соответствует общему курсу математики, изучаемому в наших втузах. {Прим. ред.) 26 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ АМЕРИКАНСКОМУ ИЗДАНИЮ и нелинейному программированию, теории игр, теории оптимального управления, принципу максимума и динамическому программированию. В главе 12 вводятся элементы современного абстрактного языка и описывается конструкция математических моделей, таких, как группы, кольца, поля, векторные пространства, булевы алгебры и метрические пространства. Изучение функциональных пространств, продолженное в 14-й главе, позволяет расширить применение методов функционального анализа к краевым задачам и проблемам собственных значений в главе 15. Разделы, имеющие дело с более специальными темами, не претендуют на полноту; их цель заключается в том, чтобы познакомить читателя с сущностью определений и побудить его к чтению современной специальной литературы. В главе 13 рассмотрены матрицы; здесь добавлены новые пункты по матричным методам решения систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и по теории устойчивости Ляпунова. В главе 14 рассмотрены линейные векторные пространства, линейные преобразования (линейные операторы), задачи о собственных значениях и описывается применение матриц для представления математических моделей. Дополнен материал по представлению вращений, в связи с его важностью для физики. Глава 15 содержит изложение разделов, связанных с проблемой собственных значений, включая задачу Штурма - Лиувилля, краевые задачи для двульерных и трехмерных областей и линейные интегральные уравнения. Главы 16 и 17 соответственно касаются тензорного анализа и дифференциальной геометрии и включают описание плоских и пространственных линий, поверхностей и кривизны пространства. В связи с возрастающей ролью статистических методов глава 18 представляет довольно детальное изложение теории вероятностей и включает заново написанное введение в теорию случайных процессов, корреляционных функций и спектров. Глава 19 касается важнейших методов математической статистики и включает подробные таблицы формул, описывающих специальные выборочные распределения. В новой главе 20 рассмотрены конечно-разностные методы и разностные уравнения и изложены основные методы численного анализа. Глава 21 представляет по существу собрание формул, описывающих свойства высших трансцендентных функций. Авторы надеются и верят, что эта книга даст читателю удобный повод детально познакомиться с математическими методами и таким образом расширить свой кругозор и взглянуть на свои специальные знания с более общей точки зрения. /■ ГЛАВА 1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ) 1.1. ВВЕДЕНИЕ. СИСТЕМА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 1.1-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Эта глава посвящена алгебре1) действительных и комплексных чисел, т. е. изучению тех соотношений между действительными и комплексными числами, в которые входит конечное число сложений и умножений. Уравнения, основанные на таких соотношениях, рассмат- пиваются здесь даже и в том случае, если при фактическом их точном числовом решении нельзя обойтись конечным числом сложений и/или умножений*). Определения и соотношения, изложенные в этой главе, служат основным орудием во многих более общих математических моделях (см. также п. 12.1-1). 1.1-2. Действительные числа. Сложение и умножение действительных чисел обладают следующими свойствами. Если а и £ -действительные числа (алгебраические, рациональные, целые, положительные целые), то таковыми же являются а-\-Ь и ab (замкнутость), а + 6 = # + а, ab - ba (коммутативность), a+(b + c) = (a-\-b)-\-c=-a + b + c, a (be) = (ab) с - abc а \ = а (единица), а (Ь + с) - ab + ас (дистрибутивность), из а^гС - Ь-\-с следует а - Ь, из ca = cb, сф§, следует а = 6 (сокращение). " > (ассоциативность), W1.1 -1) Действительное число 0 (нуль) обладает свойствами а + 0 та} "-"-2> для каждого действительного числа а. (Единственное) противоположное число -а и (единственное) обратное число a_1=l/a для действительного числа а определяются соответственно так: а+(- а) = а - a = 0, aa~1=l (а^О). (1.1-3) Делить на нуль нельзя. Помимо «алгебраических» свойстз (1), класс положительных целых, или натуральных, чисел 1, 2, . . . обладает свойством упорядоченности (п. 12.6-2; п «больше, чем» т, или п">т, если п = т-\-х, где х - некоторое натуральное число) и полной упорядоченности (каждое непустое множество натуральных чисел имеет наименьший элемент). Множество натуральных чисел, содержащее число 1 и для каждого из своих элементов п следующий за ним элемент п -j-1, содержит все натуральные числа (принцип полной индукции). Свойства натуральных чисел могут быть выведены нз пяти аксиом Пеано: 1) 1 есть натуральное число; 2) для каждого натурального числа N существует единственное следующее за ним натуральное число S(n); 3) S(n)^rl; 4) из S(n) - S(m) следует п = т и 5) имеет место принцип полной индукции. (При его формулировке элемент, следующий *) См. также Подстрочное примечание к п. 12.1-2. *) Термин «Л и/или В» (по английски «and/or») означает, что имеет место или Л, или В, или Л и В вместе. Этот термин применяется в дальнейшем очень часто. ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.1-3. за п, обозначается через S(n).) Сложение и умножение, подчиняющиеся правилам (1.1-1), определяются «рекуррентными» соотношениями п + 1 = S{n), n + S(m) == 5(я + т), пЛ = п, п 5 (т) = п т + /г. Целыми числами называются числа вида п,- п и 0, где п - натуральное число, а рациональными - числа вида р/<7, где р и # -- целые числа и q ф 0. Действительные числа можно ввести, исходя из множества рациональных чисел, с помощью предельного процесса (см., например, ). Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Действительными алгебраическими числами называются действительные корни алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами (п. 1.6-3), а действительными трансцендентными числами - остальные действительные числа. Класс всех рациональных чисел содержит корни всех линейных уравнений (п. 1.8-1) с рациональными коэффициентами и включает в себя все целые числа. Класс всех действительных алгебраических чисел содержит действительные корни всех алгебраических уравнений (п. 1.6-3) с алгебраическими коэффициентами и включает в себя все рациональные числа. 1.1-3. Отношение равенства (см. также п. 12.1-3). Из а - Ь следует b = a (симметрия отношения равенства), а-\-с~Ь-\-с и ас = Ьс (вообще /(а)=/(6), если / (а) обозначает некоторую операцию, приводящую к единственному результату). Из а - Ь и Ь = с следует а = с (транзитивность отношения равенства). Из ab^zQ следует аф§ и Ь^ЬО. 1.1-4. Отношение тождества. Вообще говоря, уравнение относительно какой-либо величины л: или нескольких величин хи х2, . . . будет удовлетворяться только при некоторых специальных значениях х или специальных множествах значений xlfx2, . . (см. также п. 1.6-2). Если хотят подчеркнуть тот факт, что какое-нибудь уравнение удовлетворяется при всех значениях х или хг,х2, ... в известных представляющих интерес пределах, то вместо символа = иногда пользуются символом тождества ~ (пример: (х - 1) {х + 1) - х2 - 1), а пределы изменения рассматриваемых переменных иногда указывают справа от уравнения. Символ а~Ь употребляется также в смысле: «а по определению равно Ь». 1.1-5. Неравенства (см. также пп. 12.6-2 и 12.6-3). Действительное число а может быть положительно (а > 0), отрицательно (а < 0) или равно нулю (а = 0). Сумма и произведение положительных чисел положительны. Действительное число а больше действительного числа b (я > b, b < а), если a^=b-\-xt где х- некоторое действительное положительное число. Из а>£ следует а + с> b + cy aobc, если с>0, и ас<Ьс, если с<0 (в частносги, - а< - Ь)у 1/а< 1/6, если я&>0 и 1/а>1/6, если ab<0. Из а^Ь и Ь^с следует а ^ с. Из а ^ А и b ^ В следует а-\-Ь^А + В. 1.1-6. Абсолютные величины (см. также пп. 1.3-2 и 14.2-5). Абсолютная величина | а | действительного числа а по определению есть число, равное а, если а>:0, и равное -а, если д<0. Отметим: а |^=0; из |а| = 0 следует а = 0, МЧЬ||^|а + Ь|^|а| + 1Н |а|-|*||^|а-*|^|а| + 1Н \ab\ = \a\ \Ь\, Из \а\^А и \Ь\^В следует а + Ь\ (ЬфО). А + В и \аЬ\ \АВ. (1.1-4) (1.1-5) (1.1-6) 1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ. ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ И ПРОИЗВЕДЕНИЙ 1.2-1. Степени и корни. В случае, когда показатель степени п есть натуральное число, п-я степень произвольного действительного числа а (основания степени) есть произведение п множителей, равных а. При а^О по определе^- нию я°=1. Если а>0 и п - любое натуральное число, то арифметический корень я-й степени из а есть единственное положительное решение уравнения 1.2-3. 1.2. СТЕПЕНИ, КОРНИ, ЛОГАРИФМЫ И ФАКТОРИАЛЫ 29 хп = а\ он обозначается символом а}1пЕ=^а- При а = 0, 01//г = -|/0 =0. Если же а<0, то корень п-\\ степени из а определяется лишь при нечетном п. Именно, а "п^уа есть в этом случае единственное действительное (на самом деле отрицательное) решение уравнения хп = а. Пусть теперь а^О. Если р = п/т, где п и т- натуральные числа, то по определению flp = (fll/m)" = (a")l/m и аГР=\/аР (az£Q). При любых натуральных пит т,-- (т.- \п т/ тп,- -Уа* = [Уа) , у у~= У а, (1.2-1) Степени с иррациональными показателями могут быть введены с помощью некоторого предельного процесса (см. также п. 21.2-12). Соотношения aP.cfl = 0^+1, (аР)^ = аРЧ (я>0), (1.2-2) верные для рациональных показателей, остаются справедливыми и для любых действительных р и q. Далее, для любых действительных р и^/(а>0и&>0) аР-ч, (аЬ)Р = аРЬР, а } ЪР% (1.2-3) Замечание, у а (квадратный корень из числа а^О) обычно обозначается символом У а. О степенях комплексных чисел и корнях из них см. п. 1.3-3. 1.2-2. Формулы для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби. V7~^Vb Vs* ■уь» 0.2-4) Vb±Vc b-c (Vb +Vc), b2-c Уь+ yc "- Y(b*-c) ф-Ych (1.2-5) " ±C (1.2-6) 1.2-3. Логарифмы. Логарифм x = \ogca числа а>0 при основании с>0 (сф\) можно определить как решение уравнения сх = а. (1.2-7) В табл. 7.2-1 и в п. 21.2-10 приведены некоторые более общие сведения о логарифмах. logca может быгь трансцендентным числом (п. 1.1-2). Отметим: }ozra s0). (1.2-12) k = i В п, 21.4-2 приведены приближенные формулы для вычисления факториалов п\ при больших п. 1.2-5. Обозначения сумм и произведений. Для любых двух целых чисел (положительных, отрицательных или равных нулю) п и т^п т 2 аА = ал + ая + 1 + ... + ат-1+ат (т-п+1 слагаемых), (1.2-13) k = п т Лак^апап + 1...ат_1ат (т-п+\ множителей). (1.2-14) k = п Отметим: т т" т" т т т" т" гп Ъ 2 ««- 2 S «I*. П П %= П П % (1-2-15) i = n k - п" k = n" i = n i = n k- n" k = n" i - п Бесконечные ряды см. в гл. 4. 1.2-6. Арифметическая прогрессия. Если а0 -первый член, a d - постоянна я разность между следующим и предыдущим членами, называемая разностью прогрессии, то aj = a0 + jd (/==0, 1, 2,..), *л = 2 a^^±l(2a0 + nd) = ^ K + a„). (1.2-16) / = о 1.2-7. Геометрическая прогрессия. Если а{) - первый член, аг^= 1 - постоянное отношение следующего члена к предыдущему, называемое знаменателем прогрессии, то я/ = аог"(/ = 0, 1, 2,...), " JL 1 _ г" + 1 <^ - о/ *„ = S */ = 2 ^ = -.-1777-=-1^-- d-2-17) (1.2-11) 1.3-1. 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 31 О бесконечной геометрической прогрессии см. п. 4.10-2. 1.2-8. Некоторые числовые суммы (см. также ). 2 *=^±А 2 <2*-i)=*a. 1=1 k=i п п У ho. _П(П -\- \) (2/2+ 1)^ у! (2^-1)2 = ^1^1=-^-, 2 #=^+^, 2 (2/е -1)з = ^(2/г^ -1) A=l 6 = 1 (общую формулу для сумм 2 kN см. в п. 4.8-5, d). k = i п 1.1 п Z-I & (£+ D л + 1 /1+1 1 Г 1 k (k + 1) (* + 2) 2 L 1 -2 (/г + 1) (/г + 2) ] Бесконечные ряды см. в 4.8. 1.3. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 1.3-1. Вводные замечания (см. также п. 7.1-1). Комплексные числа (иногда называемые мнимыми числами) не являются числами в элементарном смысле слова, применяемыми при подсчетах и измерениях. Они составляют новый класс математических объектов, определяемый описанными ниже свойствами (см. также п. 12.1-1). Каждому комплексному числу с можно поставить в соответствие единственную пару (а, 6) действительных чисел а и 6 и обратно. Сумма и произведение двух комплексных чисел с1^-^(а1, Ь±) и с2+-*(а2> 62) определяются соответственно следующим образом: сг-{-с2 *-+(ах-\-а2> Ьг-\-Ь2) и с^ *-* (а^г- -61621^1^2 + ^1)- Действительные числа а содержатся в классе комплексных чисел в качестве пар (а,0). Мнимая единица /, определяемая условием t->(0,1), удовлетворяет соотношению i"2 = - 1. (1.3-1) Каждое комплексное число с^->(а6,) может быть записано в виде суммы с - а-\-ib действительного числа а«->(а,0) и чисто мнимого числа 76 ^-* (0,6). Действительные числа a -Re с 11 6= Im с соответственно называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа с. Два комплексных числа с = a + ib ис = а - ib, имеющие одинаковые действительные и противоположные мнимые части, называются сопряженными комплексными числами. Два комплексных числа ^ - ах -f- ibi и с2 = a2 -f- ib2 равны в том и только в том случае, если соответственно равны их действительные и мнимые части, т. е. сх = с2, лишь если аг - а2 и Ь± = 62» Из с = a + ib = 0 следует а - 6 = 0. Г Л 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.3-2. Сложение и умножение комплексных чисел удовлетворяют правилам пп. 1.1-2 и 1.2-1, причем f4«-H = i, £^+2==-.^ ^+3==.../, ^ = 1 (/i=of l, 2,...); сг ± с2^(аг ± a2)-\-i (Ьг ± 62), CiC2 = (fltfl2-M2) + i (fli^ + ^i). сл - Ql ~h ^1 - (д*аз + ^ib2) + < (^fri с2 ■ а^з) «2 4- ib2 ^1 + ^2=^ + ^, (ЪФО), ai + b* сгс2 = схс2, (ct/c2) = ct/c2 (с2ф0), ~с = с, a = Re ¢ = - :Im с = - 2« (13-2) (1.3-3) Класс всех комплексных чисел содержит корни всех алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами и включает в себя действительные числа. 1.3-2. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Тригонометрическая форма комплексного числа (см. также п. 7.2-2). Комплексное число z-x-\-iy удобно изображать точкой (г) = (х, у) или соответствующим радиусом-вектором (пп. 2.1-2 и 3.1-5) на комплексной плоскости (рис. 1.3-1). Оси Ох и Оу (в прямоугольной декартовой системе координат) называются соответственно действительной и мнимой осью. Абсцисса и ордината каждой точки (г) изображают соответственно действительную часть х и мнимую часть у числа г. Соответствующие полярные координаты (п. 2.1-8) ■ Ух2 + у2 Дейстйитепьная ось. Рис. 1.3-1. Изображение комплексных чисел точками или радиусами-векторами. Оси Ох и Оу называются соответственно действительной и мнимой осью. (p = Arge, :ф = - -Vzz-Ul (х Ф 0) (1.3-4) называются модулем и аргументом комплексного числа г. Отметим: х = r cos ф, у- г sm ф, z = х + iy = r (cos ф + i sin ф). (1.3-5) Модула комплексных чисел удовлетворяют соотношениям (1.1-4)-(1.1-6). Если г -действительное число, то его модуль \г\ равен его абсолютной величине (п. 1.1-6). * Аргумент комплексного числа г определяется с точностью до слагаемого 2&л, где k - любое целое число. В качестве главного значения Arg z обычно выбирают значение, определенное неравенствами - л < Arg г ^с д. Главное значение аргумента г обозначают через arg г. При принятом условии arg z =- arg г. * Для любых двух множеств (действительных или) комплексных чисел alf a2, ..., an и рх, р2, ..., ря 2 a (1.4-11) (k>n) J 1.5. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 1.5-1. Определение. Определитель (детерминант) \ап а12 ... а1п D = det = «21 а22 ап\ ап2 (1.5-1) квадратной таблицы (матрицы, п. 13.2-1) с п2 (действительными или комплексными) числами (элементами) Я/& есть сумма п\ членов (-1)г ацгга2к2--- ankn, каждый из которых соответствует одному из п\ различных упорядоченных множеств къ /г2, ..., kn, полученных г попарными перестановками (транспозициями) элементов из множества 1, 2, ..., п. Число п есть порядок определителя (1). Фактическое вычисление определителя по его элементам упрощается с помощью пп. 1.5-2 и 1.5-5,а. Отметим, что |£42=S ТТ 5j И**"** (неравенство Адамара). *=1 Л==1 (1.5-2) 1.5-2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке или по столбцу. (Дополнительный) минор D-lk элемента a-tk в определителе /г-го порядка (1) есть определитель (л - 1)-го порядка, получающийся из определителя (1), если из него вычеркнуть i"-ю строку и /г-й столбец. Алгебраическое дополнение Aik элемента а^ есть коэффициент при а^ в разложении определителя D, или Aik = (-l)i+kDik=-gL (1.5-3) 0aik Определитель D можно следующим образом выразить через элементы произвольной его строки или столбца и их алгебраические дополнения: п п D = det [а/л]= 2 M(/e 2 aikAik 0-5-4) (/=1, 2,..., п) (разложение по столбцу или по строке). Отметим также, что 2 ауАц - S aJkAlk = 0 (у ф /). (1.5-5) * = i &=i 1,5-3. Примеры. Определители второго и третьего порядка: = «ц«2а- a12a21, (1.5-6) «и Я21 «22 | «11 «18 «18 a8i «аа a29 «SI «82 «85 - «18«22«31 = «11 («82«33 -«23^82) - «21 («12^33-«13«32) + «31 («12«23 - «13«22> == = an(«a2«38- «28^32) - «12 («21^38- «23^31) + «43 («2i«32 ~ «22«3l) H Т. Д. (1.5-7) == «il#22«33 - «ll«23«32 + «12a23«31 - «12«2l«33 + «13#21«32 - 36 ГЛ. 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ 1.5-4. 1.5-4. Дополнительные миноры. Разложение Лапласа. Определитель т-го порядка Mt получающийся из определителя п-го порядка D(m^n), если из него вычеркнуть какие- либо п - т строк и какие-либо п - т столбцов, называется минором т-го порядка определителя D. Минор т-го порядка М и минор (п - т)-го порядка Л1" определителя D, получающийся, если из D вычеркнуть строки и столбцы, сохранившиеся в Mt называются дополнительными минорами: в частном случае m~nf М" = 1. Алгебраическое дополнение М" минора М в D по определению равно (-1) 1 2 " т l""1- 2 ■" * ,_г" тлА".где <г12 im - номера строк, a kx,kv ... tk - номера столбцов, входящих в М. Пусть заданы любые т строк (или столбцов) определителя D. Тогда D равен сумме произведений ММ" всевозможных миноров т-го порядка М, расположенных в этих строках (или столбцах), на их алгебраические дополнения М" (разложение Лапласа по нескольким строкам или столбцам). Определитель п-vo порядка D имеет Ст главных миноров т-го порядка, диагональные элементы которых являются и диагональными элементами D. 1.5-5. Различные теоремы. (а) Величина D определителя (1) не меняется при любой из следующих операций: 1) замене строк столбцами и столбцов строками (перемене местами индексов i и k в равенстве

Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г., Корн Т.

М.: Наука, 1974.- 832 с..

Справочник содержит сведения по следующим разделам: высшая алгебра, аналитическая и дифференциальная геометрия, математический анализ (включая интегралы Лебега и Стилтьеса), векторный и тензорный анализ, криволинейные координаты, функции комплексного переменного, операционное исчисление, дифференциальные уравнения обыкновенные и с частными производными, вариационное исчисление, абстрактная алгебра, матрицы, линейные векторные пространства, операторы н теория представлений, интегральные уравнения, краевые задачи, теория вероятностей и математическая статистика, численные методы анализа, специальные функции. В настоящем издании заново написаны главы 11, 20 н значительная часть глав 13 н 18. Кинга пополнилась значительным количеством новых разделов.

Справочник рассчитан на студентов старших курсов математических специальностей, научных работников и инженеров.

Формат: djvu

Размер: 13 ,7 Мб

Скачать: drive.google

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АЛГЕБРА, ГЕОМЕТРИЯ И ТРИГОНОМЕТРИЯ (ПЛОСКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ)
ГЛАВА 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 4. ФУНКЦИИ И ПРЕДЕЛЫ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 5. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ
ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ГЛАВА 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ДРУГИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ГЛАВА 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГЛАВА 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
ГЛАВА 11. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ
ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ: СОВРЕМЕННАЯ (АБСТРАКТНАЯ) АЛГЕБРА И АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ГЛАВА 13. МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
ГЛАВА 14. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ (ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ). ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ МАТРИЦАМИ
ГЛАВА 15. ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЯХ
ГЛАВА 16. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ. ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
ГЛАВА 17. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
ГЛАВА 19. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
ГЛАВА 20. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ
ГЛАВА 21. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Литература 796
Указатель важнейших обозначений 801
Предметный указатель 804

Идет семьсот тридцать первый год от основания Рима - двадцать третий год до новой эры. В доме императора Августа на Палатинском холме лучший поэт Рима - Вергилий (70 - 19 до н. э.) читает свою «Энеиду» - поэму, которую он пишет уже шесть лет и все еще не считает завершенной. С трудом уговорил его Август прочитать из нее хотя бы отрывки. Рядом с Августом сидят его ближайшие советники. Остальные присутствующие - поэты, любители искусств. Между ними друг Вергилия - поэт Гораций (65 - 8 до н. э.), раньше времени поседевший человек. Он недавно опубликовал свои «Оды» - три книги лирических стихотворений - и теперь наслаждается славой. Рядом с ним драматург Варий, тоже друг Вергилия. Здесь и Тибулл (ок. 50 - 19

до н. э.) - молодой, но уже известный поэт, автор нежных любовных элегий, и Проперций (ок. 50 - 15 до н. э.) - «ученый лирик», когда-то встретивший начало работы Вергилия над «Энеидой» восторженными стихами:

Сдайтесь, писатели Рима, сдавайтесь, поэты Эллады: Большее нечто растет здесь «Илиады» самой!

(Перевод М. Гаспарова.)

Вергилий

Гораций.

С восхищением и вниманием слушают собравшиеся. Для них это не просто развлечение. Речь идет о создании великой литературы, творцами которой римляне могли бы гордиться не меньше, чем греки Гомером и Эсхилом. Речь идет о создании литературы, достойной могущества Рима - мировой державы, во власти которой все Средиземноморье. До сих пор у римлян были лишь комедии веселого Плавта, поэма великого мыслителя-материалиста Лукреция «О природе вещей», полные глубокого чувства лирические стихотворения поэта Катулла. Но все это лишь подступы к созданию классической национальной римской поэзии, расцвет которой связан с именами Вергилия и Горация.

Вергилий и Гораций стали свидетелями того, как погибла в Риме республика и утвердилась в лице Августа империя. Сам Гораций когда-то сражался в армии Брута, последнего защитника римской свободы. К Августу Вергилий и Гораций примкнули потому, что хотели видеть в нем продолжателя республиканских традиций. Прославляя Августа, они славили в его лице величие Рима.

Поэму Вергилия «Энеида» признали лучшим классическим произведением римской поэзии. В основе ее - миф, сложенный когда-то римлянами о том, что их предок - троянец Эней, сын богини Венеры, - приплыл в Италию после падения Трои. Римляне хотели показать, что история их народа такая же древняя, как и история греков.

Поэма рассказывает о том, как корабли Энея, спасшиеся от страшной бури, причаливают к берегам Африки, где пунийская (древние римляне называли пунийцами население Карфагена и других городов Северной Африки) царица Дидона возводит свой город Карфаген. Эней рассказывает ей о своей судьбе: о том, как пала Троя, как спасся он из горящего города и с немногими товарищами решил отыскать неизвестную землю, где по велению оракула они должны основать новый город. Дидона и Эней полюбили друг друга. Прервав свой путь, долгие дни и месяцы проводят троянцы в Карфагене. Но однажды во сне Энею является вестник богов - Меркурий.

Он требует, чтобы Эней свершил то, что назначено судьбой: основал город, новую родину для своих потомков. Скорбный Эней тайно покидает Дидону и отплывает из Карфагена. Не в силах вынести разлуки, Дидона пронзает себя мечом. А Эней продолжает свой путь и наконец достигает берегов Италии. Здесь, чтобы узнать о своей грядущей судьбе, он спускается в страшную Авернскую пешеру, где, по преданию, находился вход в царство мертвых. Перед ним проходят величественные образы будущих героев римского народа. Воодушевленный этими видениями, Эней ведет своих спутников, чтобы создать поселение на этой земле. Но Энею и его товарищам пришлось выдержать долгую войну с местными племенами, прежде чем они заложили заветный город Альба-Лонга. От царей Альба-Лонги родился Ромул, основатель Рима, а сын Энея Асканий стал прародителем римского рода Юлиев, к которому принадлежит император Август. Так неразрывно сплетаются в поэме прославление Рима и Августа, напоминание об общем для греков и римлян мифическом прошлом и утверждение особенного, дарованного только Риму величия в настоящем.

Археологи, раскапывая древние города Римской империи, то и дело находят обломки стен с грубо начертанными строчками из «Энеиды», видимо полюбившимися некогда простым людям. А для римских писателей «Энеида» навсегда осталась непревзойденным образцом. Много веков спустя многие поэты Возрождения и эпохи классицизма подражали этому гениальному творению Вергилия в своих поэмах.

Овидий

Если Вергилий создал классический римский эпос, то его друг и современник Гораций создал классическую римскую лирику. Он также воспевал в своих стихотворениях доблесть предков; однако охотнее он вспоминал о древней простоте нравов, учил наслаждаться «золотой серединой» скромного достатка, писал о тоске и радости любви, о веселых пирушках с добрыми друзьями. Эти стихи брали за образец многие поэты нового времени, в том числе и русские стихотворцы XVIII - начала XIX в. Но едва ли не лучшие стихи Гораций посвятил прославлению своего призвания - поэзии. Среди них - знаменитый «Памятник»:

Воздвиг я памятник вечнее меди прочной
И зданий царственных превыше пирамид;
Его ни едкий дождь, ни Аквилон полночный,
Ни ряд бесчисленных годов не истребит.

(Перевод А. Фета.)

В русской поэзии тема горациевского «Памятника» прозвучала в замечательных стихотворениях Державина и Пушкина.

Труд Вергилия и Горация проложил дорогу третьему великому поэту эпохи Августа - Овидию (43 до н. э. - ок. 18 н. э.). Наиболее значительное его произведение - поэма «Метаморфозы» («Превращения»). Овидий собрал едва ли не все мифы «о превращениях» (их оказалось свыше двухсот) и пересказал в своей поэме. Получилось собрание самых поэтических образцов греческой и римской мифологии. Обращается в камень Ниоба, в наказание за надменность лишившаяся своих детей; вырастают ослиные уши у глупого царя Мидаса и т. д.

Иллюстрация Д. Бисти к «Энеиде» Вергилия.

Жизнь Овидия сложилась несчастливо. Он сочинял любовные элегии и мифологические поэмы, мало заботясь о прославлении римской мощи и императорского имени. Стареющему императору Августу это не нравилось. Он сослал поэта на окраину империи, к берегам Черного моря, где теперь находится румынский город Констанца. Там Овидий и умер, проведя десять лет в изгнании. На чужбине он создал свою последнюю книгу - «Печальные элегии». Много веков спустя неподалеку от этих мест жил сосланный в Кишинев Пушкин. Он часто обращался мыслью к судьбе Овидия - такого же изгнанника, как он. Одно из своих южных стихотворений Пушкин назвал «К Овидию». А тот, кто читал поэму «Цыганы», никогда не забудет прекрасных слов о римском поэте, вложенных в уста старого цыгана:

Он был уже летами стар,
Но млад и жив душой незлобной;
Имел он песен дивный дар
И голос, шуму вод подобный.

Из огромного множества произведений древнегреческой литературы до нас дошли лишь весьма немногие; немало писателей и их сочинений известны нам только по именам; почти нет ни одного древнегреческого писателя, от которого дошло бы к нам все его литературное достояние. Ко всему этому присоединяется порча первоначальных текстов по вине времени, по невежеству переписчиков и иным обстоятельствам. Понятно, почему до настоящего времени не существует такого обозрения Греческой литературы, которое изображало бы все последовательное её развитие, без пробелов или произвольных теоретических построений. Однако вековыми усилиями учёных достигнуто многое в смысле восстановления древних текстов и разностороннего выяснения литературных произведений.

Отличавшая древнего эллина способность живо воспринимать окружающее и быстро отзываться на него, проникать глубоко в основные мотивы явлений и улавливать их типические, существенные черты, пластичность греч. речи, позволявшая эллину выражать легко и точно каждую свою мысль и настроение со всеми их оттенками, сообщили древнегреческой литературе гуманистический характер и обеспечили за нею общечеловеческий интерес. В основных свойствах эллинского гения кроется разгадка несравненной оригинальности его научного и художественного творчества, долговечности множества выработанных им идей, образов и целых систем мировоззрения; этим же обусловливается то громадное влияние, какое имела древнеэллинская литература на все позднейшие, начиная с римской, и на европейскую образованность вообще.

Всестороннему развитию природных дарований благоприятствовали особенности политического общежития, поощрявшие высокое напряжение умственных сил и допускавшие широкую свободу мысли и слова. Успехи драмы, красноречия и изучения форм политического общежития находились в ближайшей зависимости от демократического строя городских республик. Вовсе не случайно то обстоятельство, что по степени и качеству умственной производительности в древней Греции первое место принадлежало афинской демократии, где и политические учреждения, и нравы, и вкусы общества наиболее содействовали свободному развитию и упражнению всех способностей гражданина, потребных для деятельного сознательного участия в делах общины.

Крайними пределами истории древнегреческой литературы следует признавать XI в. до н. э., когда сложились многочисленные сказания о героях Троянской войны, и первую половину VI в. н. э., когда по распоряжению императора Юстиниана (529) были закрыты философские школы в Афинах.

В этом промежутке времени различаются два отдела:

• один - от начала литературы до III в. до н. э., по преимуществу творческий;
• другой - от начала александрийской учёности до Юстиниана, по преимуществу время изучения прежней литературы и усвоения древнегреческой образованности другими народностями.

В творческой эпохе Г. литературы различаются два периода:

• развитие эпоса, лирики, возникновение драмы и всех видов прозы - приблизительно до 480 г. до н. э.,
• другой период, аттический, пора высшего процветания драмы, красноречия, философии, историографии с переходом к точным наукам.

В первом периоде руководящая роль принадлежала колониям, во втором неоспоримо господствовали Афины.

Сейчас мы познакомимся с девятью наиболее влиятельными античными писателями и одной поэтессой. Есть нечто, что их объединяет, - речь идет о том влиянии на современную культуру и общество, которое они оказали. Пройдемся в порядке хронологии.

1. Гомер
(VIII-ой век до н.э.)

Гомер

Гоме́р (др.-греч. Ὅμηρος, VIII век до н. э.) - легендарный древнегреческий поэт-сказитель, создатель эпических поэм «Илиада» (древнейшего памятника европейской литературы) и «Одиссея». Примерно половина найденных древнегреческих литературных папирусов - отрывки из Гомера.

Ясно, однако, что «Илиада» и «Одиссея» были созданы значительно позже описываемых в них событий, но раньше VI века до н. э., когда достоверно зафиксировано их существование. Хронологический период, в котором локализует жизнь Гомера современная наука, - приблизительно VIII век до н. э. По словам Геродота, Гомер жил за 400 лет до него, что указывает на дату 850 лет до н. э. Неизвестный историк в своих записках указывает, что Гомер жил за 622 года до Ксеркса, что указывает на 1102 год до н. э. Другие древние источники говорят, что он жил во времена Троянской войны. На данный момент существует несколько дат рождения и доказательств к ним.

Даже сами греки признают влиятельность Гомера и не считают достаточно образованными тех своих соотечественников, кто не читал его произведений. При этом до сих пор ведутся споры относительно того, является ли Гомер реальной исторической фигурой. О нем и его жизни неизвестно абсолютно ничего. Произведения «Илиада», и «Одиссея» внесли огромный вклад в литературу. Фактически даже Шекспир написал одну из своих пьес на основе «Илиады».

2. Сапфо
(630/612 - 572/570 до н. э.)

Сапфо

Сапфо́ (тж. Сафо́, Са́фо, Сафо Митиленская; аттич. др.-греч. Σαπφώ (произносится - /sapːʰɔː/), эолийск. др.-греч. Ψάπφω (произносится - /psapːʰɔː/); около 630 года до н. э., о-в Лесбос - 572/570 до н. э.) - древнегреческая поэтесса и музыкант, автор монодической мелики (песенной лирики). Была включена в канонический список Девяти лириков. «Сапфо фиалкокудрая, сладкоулыбающаяся, чистая…», - писал о ней её друг поэт Алкей.
Биографические данные Сапфо скудны и разноречивы. Она родилась на острове Лесбос в Митилене. Её отец Скамандроним был «новым» аристократом; будучи представителем знатного рода, он занимался торговлей. Её мать звали Клеидой. Помимо Сапфо у них было трое сыновей. Чувство слова и ритма обнаружилось у Сапфо в раннем возрасте, и, по-видимому, уже с ранних лет она писала гимны для хора, выступавшего на Термийских панегиреях - главном религиозном празднестве Митилены, которое было посвящено Артемиде Термии, древней богине, хозяйке водных источников на о. Лесбос. Помимо гимнов для хора Сапфо писала оды, гимны, элегии, праздничные и застольные песни. См. об этом в детальном исследовании Т. Г. Мякина.

3. Софокл
(496-406 гг. до н. э.)

Софокл

Софо́кл (др.-греч. Σοφοκλῆς, 496/5 - 406 до н. э.) - афинский драматург, трагик.

Родился в 495 году до н. э., в афинском предместье Колон. Место своего рождения, издавна прославленное святынями и алтарями Посейдона, Афины, Евменид, Деметры, Прометея, поэт воспел в трагедии «Эдип в Колоне». Происходил из обеспеченной семьи Софилла, получил хорошее образование.

После Саламинской битвы (480 год до н. э.) участвовал в народном празднике как руководитель хора. Дважды был избран на должность стратега и один раз исполнял обязанности члена коллегии, ведавшей союзной казной. Афиняне выбрали Софокла в стратеги в 440 году до н. э. во время Самосской войны под впечатлением его трагедии «Антигона», постановка которой на сцену относится, таким образом, к 441 году до н. э.

Главным его занятием было составление трагедий для афинского театра. Первая тетралогия, поставленная Софоклом в 469 году до н. э., доставила ему победу над Эсхилом и открыла собой ряд побед, одержанных на сцене в состязаниях с другими трагиками. Критик Аристофан Византийский приписывал Софоклу 123 трагедии (в том числе и Антигона). Из рукописей уцелели лишь семь, но они стали настоящей классикой. Речь идет о таких произведениях, как «Антигона», «Царь Эдип» и «Электра». Он развивал театральное искусство путем добавления массовки, сокращения важности хора и введения сценографии. Софокл также упразднил традицию ставить трагедии в форме трилогии. Он сделал так, чтобы каждая постановка была самостоятельной, что увеличивало их драматизм.

Софокл отличался весёлым, общительным характером, не чуждался радостей жизни, как видно из слов некоего Кефала в Платоновом «Государстве» (I, 3). Был близко знаком с историком Геродотом. Умер Софокл на 90-м году жизни, в 405 году до н. э. в городе Афины. Горожане соорудили ему жертвенник и ежегодно чествовали как героя.

4. Геродот
(484-425 гг. до н. э.)

Геродот

Геродо́т Галикарна́сский (др.-греч. Ἡρόδοτος Ἁλικαρνᾱσσεύς, около 484 г до н. э. - около 425 г до н. э.) - древнегреческий историк, по крылатому выражению Цицерона «отец истории» - автор первого сохранившегося значительного трактата «История», описывающего греко-персидские войны и обычаи многих современных ему народов. Труды Геродота имели огромное значение для античной культуры.

Геродот признан отцом истории Западной культуры. Он приблизил историю к науке, систематически собирая и упорядочивая материалы, а также проверяя их соответствие действительности. Геродот также был талантливым рассказчиком. Сама по себе история слова истоками уходит к книге Геродота «История» (а «история» в переводе с греческого языка означает «расспрашивание»). Эта книга также признана первым историческим произведением в Западной культуре.

5. Еврипид
(480-406 до н. э.)

Еврипид

Еврипи́д (правильнее Эврипи́д, др.-греч. Εὐριπίδης, лат. Euripides, 480-е - 406 до н. э.) - древнегреческий драматург, крупнейший (наряду с Эсхилом и Софоклом) представитель классической афинской трагедии. Написал около 90 драм, из которых до нас дошло 17 трагедий и сатировская драма «Киклоп», а большинство уцелело лишь фрагментарно. Его самые известные произведения - «Алкеста», «Медея» и «Вакханки». Его пьесы для своего времени казались слишком современными, персонажи в них изображались очень реалистично, и среди них можно было увидеть сильных женщин и мудрых рабов, что для того времени было несвойственно и считалось отступлением от традиций. Еврипид - греческий трагик, оказавший огромное влияние на европейскую трагедию в целом.

6. Гиппократ
(460-370 гг. до н. э.)

Гиппократ

Гиппократ был врачом и отцом всей медицины. Гиппократовский корпус - коллекция размышлений на различные медицинские темы - насчитывает 70 работ. Значительная их часть основана на случаях из практики. Самая известная работа Гиппократа - «Клятва», рассказывающая о врачебной этике. Производные положения этой клятвы и по сей день принимаются врачами всего мира. Непосредственный вклад Гиппократа в медицину состоит также в описании огромного количества заболеваний. До сих пор подвергается сомнению тот факт, был ли сам Гиппократ автором Гиппократовского корпуса. Многие склоняются к точке зрения, что как минимум несколько его частей были написаны учениками и последователями великого медика.

7. Аристофан
(446 - 386 гг. до н. э.)

Аристофан

Аристофа́н (др.-греч. Ἀριστοφάνης) (444 до н. э. - между 387 и 380 гг., Афины) - древнегреческий комедиограф, прозванный «отцом комедии». Первую свою комедию Аристофан поставил в 427 г до н.э, но ещё под чужим именем. Когда год спустя (426) он осмеял в своих «Вавилонянах» могущественного демагога Клеона, назвав кожевником, последний обвинил его перед советом в том, что он в присутствии уполномоченных от союзных государств порицал и выставил в смешном виде политику Афин. Позднее Клеон поднял против него довольно обычное в Афинах обвинение в незаконном присвоении звания афинского гражданина. Аристофан, как говорят, защищался перед судом стихами Гомера:
«Мать уверяет, что сын я ему, но сам я не знаю:
Ведать о том, кто отец наш, наверное, нам невозможно».
Аристофан отомстил Клеону, жестоко напав на него в комедии «Всадники». Влияние этого демагога было столь велико, что никто не согласился делать маску для Пафлагонца, напоминающую Клеона, а образ Пафлагонца был рисован настолько отталкивающим, что эту роль вынужден был играть сам Аристофан. Нападки на Клеона появляются и в последующих комедиях. Вот почти всё, что известно о жизни Аристофана; древние называли его попросту Комиком, подобно тому, как Гомер был известен у них под именем Поэта.

Аристофан написал 40 пьес, 11 из которых дошли до наших дней в виде законченных рукописей, а от других остались лишь фрагменты. Пера Аристофана боялись, поскольку он мог высмеять и обидеть знаменитых афинян. Платон обратил внимание на его пьесу «Облака», которая выступала ключевым аргументом в суде над Сократом. Однако так ли это было на самом деле - вопрос спорный. Другие примечательные работы, вышедшие из-под его руки, - «Осы» и «Лисистрата». Работы Аристофана не только оказали художественное влияние на дальнейшее развитие театра, но и стали подлинными историческими свидетельствами жизни в Афинах.

8. Платон
(424-348 гг. до н. э.)

Платон

Плато́н (др.-греч. Πλάτων, 428 или 427 до н. э., Афины - 348 или 347 до н. э., там же) - древнегреческий философ, ученик Сократа, учитель Аристотеля. Платон - первый философ, чьи сочинения сохранились не в кратких отрывках, цитируемых другими, а полностью.

Поскольку сам Сократ после себя никаких письменных трудов не оставил, его философские идеи мы узнаем в основном из работ Платона. Не меньше, чем сам образ мысли Сократа, на Платона сильно повлиял суд над ним, в котором последний выступил свидетелем, когда ему было 29 лет. Платону приписывается авторство 35 диалогов и 13 писем, самыми известными из которых являются «Государство» и «Пир». Платона почитают как одного из отцов западной философии, а его теория эйдосов (чистых идей) и идея идеального государства (обе изложены в «Государстве») активно обсуждаются и по сей день.

9. Аристотель
(384-322 гг. до н. э.)

Аристотель

Аристо́тель (др.-греч. Ἀριστοτέλης; 384 год до н. э., Стагира, Фракия - 322 год до н. э., Халкида, остров Эвбея) - древнегреческий философ. Ученик Платона. С 343 года до н. э. - воспитатель Александра Македонского. В 335/4 годах до н. э. основал Ликей (др.-греч. Λύκειον Лицей, или перипатетическую школу). Натуралист классического периода. Наиболее влиятельный из философов древности; основоположник формальной логики. Создал понятийный аппарат, который до сих пор пронизывает философский лексикон и стиль научного мышления.

Аристотель был первым мыслителем, создавшим всестороннюю систему философии, охватившую все сферы человеческого развития: социологию, философию, политику, логику, физику. Его взгляды на онтологию имели серьёзное влияние на последующее развитие человеческой мысли. Метафизическое учение Аристотеля было принято Фомой Аквинским и развито схоластическим методом. Карл Маркс называл Аристотеля величайшим мыслителем древности.

Аристотель был учеником Платона и первым, кто осмелился раскритиковать его. Сохранились 47 его произведений, большинство из которых по своей сути - лекции. Аристотель - последний из великих греческих философов (два других - Сократ и Платон), он также был признан первым биологом. Он открыл логику как науку, заложил основы научного метода, писал он и на другие различные темы. Аристотель некоторое время был учителем Александра Великого и оказал большое влияние на Фому Аквинского, а, следовательно, на католическое образование и теологию.

10. Евклид
(приблизительно 300 год до н. э.)

Евклид

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета - около 300 года до н. э.) - древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения об Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в III в. до н. э.

Евклид - первый математик Александрийской школы. Его главная работа «Начала» (Στοιχεῖα, в латинизированной форме - «Элементы») содержит изложение планиметрии, стереометрии и ряда вопросов теории чисел; в ней он подвёл итог предшествующему развитию древнегреческой математики и создал фундамент дальнейшего развития математики. Из других его сочинений по математике надо отметить «О делении фигур», сохранившееся в арабском переводе, 4 книги «Конические сечения», материал которых вошёл в произведение того же названия Аполлония Пергского, а также «Поризмы», представление о которых можно получить из «Математического собрания» Паппа Александрийского. Евклид - автор работ по астрономии, оптике, музыке и др.

Одисеас Элитис - один из самых выдающихся греческих поэтов, удостоенный, наряду с Йоргосом Сеферисом, Нобелевской премии по литературе. Имя великого поэта известно во всем цивилизованном мире, а его бессмертные произведения внесли неоценимый вклад в сокровищницу мировой поэзии. Поэт награжден многими Университетами Греции и всего мира. Он путешествовал по Европе и Америке, пользуясь везде огромным уважением за свои труды, вдохнувшие новую жизнь в греческую поэзию. До конца своей жизни Элитис прожил в маленькой квартире на улице Скуфа в Афинах. Непревзойденный мастер речи, выдающийся лирик, пионер в преобразовании созерцания в язык эмоций. Традиционный и классический, но вместе с тем и реформатор. Баснописец и историк. Мастер аллегории и образных метафор.

Будущий поэт Одисеас Элитис (литературный псевдоним Одисеаса Алепуделиса) родился 2 ноября 1911 года в городе Ираклион острова Крит и был шестым ребенком в семье Панайотиса Алепуделиса и Марии Врана. Отец Одисеаса, уроженец Лесбоса, поселился в Ираклионе в 1895 году, где вместе с братом основал мыловаренный завод. Его мать была также родом с острова Лесбос. В 1914 году братья Алепуделисы перенесли свое производство в Пирей, и семья поселилась в Афинах. В возрасте шести лет Одисеас поступил в частную школу Д. Н. Макри, где обучался у известных педагогов, в числе которых были И. М. Панагиотопулос и И. Т. Какридис.

В сентябре 1924 года Элитис поступил в афинскую гимназию для мальчиков. Будучи учеником, начал сотрудничать с известным журналом для детей, публикуя свои стихи под различными литературными псевдонимами. Летом 1928 года получил диплом гимназии и, по настоянию родителей выбрав в качестве своей будущей профессии химию, начал готовиться к вступительным экзаменам следующего учебного года. В тот же период Элитис знакомится с литературными работами Кавафиса и Калву, освежая свои представления о необычайно чарующей лирической поэзии. Одновременно происходит его знакомство с творчеством Поля Элюара и французскими сюрреалистами, значительно повилявшими на его взгляды на литературу.

В 1930 году Элитис поступает на юридический факультет Афинского университета, однако диплома так и не получает. С сюрреалистическим движением в греческой поэзии Элитиса знакомит Андреас Эмпирикос, и хоть Одисеас не был полностью покорен сюрреализмом, многие его элементы были использованы в дальнейшем творчестве поэта. Его ранние работы, среди которых особо выделяются сборники стихов «Ориентиры» (1940) и «Солнце первое» (1943), характеризуются глубоким пониманием жизни остовов, почти языческим поклонением греческой природе. Вместе с тем они переполнены элементами древнегреческих литературных традиций, прежде всего мифологией.

В декабре 1940 года поэт призывается на албанский фронт в качестве офицера запаса. Попав в больницу Янины с тяжелой формой брюшного тифа, накануне вступления немецких войск в город, Элитис становится перед выбором - остаться и быть захваченным в плен или отправиться в Афины, рискуя жизнью. Он выбирает последнее. Ужасы войны, равно как и картина послевоенной Греции, измученной оккупацией и последствиями гражданской войны, наложили глубокий отпечаток на творчество поэта. В его стихотворениях уже начинает звучать гнев. Греческие пейзажи используются в переносном смысле и олицетворяют свободу, в то время как Элитис жестко клеймит войну и покорение души. Произведение «Солнце первое» - яркий пример становления поэтической зрелости писателя.

Одно из самых выдающихся творений Элитиса - его уникальная поэма «Аксион Эсти» («Достойно есть»), шедевр, созданный в 1959 году и принесший поэту почетное место в национальной литературе. Литературные критики подчеркнули огромную художественную ценность поэмы, а также ее техническое совершенство. Язык произведения был оценен за свою классическую точность, в то время как его строгая структура характеризуется как феномен «не допускающий ни малейшего насилия над спонтанностью выражения». Национальный характер поэмы «Аксион Эсти» признали многие видные филологи, в том числе Димитриос Маронитис и Йоргос Саввидис. Последний подчеркнул, что Элитис, как никто другой, заслуживает права называться народным поэтом и сравнил его работу с творчеством ведущих литераторов современности - Соломоса, Паламаса и Сикелианоса.

Уклон поэта как к традиционному наследию греческой поэзии, так и к европейскому модернизму, приводят его к созданию совершенно уникального, индивидуального стиля, лирического и одновременно национального. В его оригинальных работах отражается поразительная способность использовать , превращая в поэзию даже прозу и эссе. В 1960 году Одисеас Элитис был удостоен народной поэтической премии, а в 1979 - Нобелевской премии в области литературы. Он считается одним из новаторов греческой поэзии, выступающих за нравственность, с выразительным и прозрачным слогом, очищающим душу, наполняющим ее спокойствием и новыми надеждами. В этом и заключалось главное желание Элитиса: упрочить нравственные ценности, укрепить «греческий» дух, вдохновить мечту.

Великий греческий поэт скончался 18 марта 1996 года от остановки сердца в Афинах. Он был похоронен на афинском кладбище с христианским молчанием, без общепринятых пышных церемоний и прощальных речей - таково было последнее желание Элитиса.