Знакочередующимися рядами называются ряды, члены которых попеременно то положительны, то отрицательны . Чаще всего рассматриваются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через один: за каждым положительным следует отрицательный, за каждым отрицательным - положительный. Но встречаются знакочередующиеся ряды, в которых члены чередуются через два, три и так далее.

Рассмотрим пример знакочередующегося ряда, начало которого выглядит так:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

и сразу же общие правила записи знакочередующихся рядов.

Как и в случае любых рядов, для продолжения данного ряда нужно задать функцию, определяющую общий член ряда. В нашем случае это n + 2 .

А как задать чередование знаков членов ряда? Умножением функции на минус единицу в некоторой степени. В какой степени? Сразу же подчеркнём, что не любая степень обеспечивает чередование знаков при членах ряда.

Допустим, мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с положительным знаком, как это и имеет место в приведённом выше примере. Тогда минус единица должна быть в степени n − 1 . Начните подставлять в это выражение числа начиная с единицы и вы получите в качестве показателя степени при минус единице то чётное, то нечётное число. Это и есть необходимое условие чередования знаков! Такой же результат получим при n + 1 . Если же мы хотим, чтобы первый член знакочередующегося ряда был с отрицательным знаком, то можем задать этот ряд умножением функции общего члена на единицу в степени n . Получим то чётное, то нечётное число и так далее. Как видим, уже описанное условие чередования знаков выполнено.

Таким образом, можем записать приведённый выше знакочередующийся ряд в общем виде:

Для чередования знаков члена ряда степень минус единицы может быть суммой n и любого положительного или отрицательного, чётного или нечётного числа. То же самое относится к 3n , 5n , ... То есть, чередование знаков членов знакочередующегося ряда обеспечивает степень при минус единицы в виде суммы n , умноженного на любое нечётное число и любого числа.

Какие степени при минус единице не обеспечивают чередование знаков членов ряда? Те, которые присутствуют в виде n , умноженного на любое чётное число, к которому прибавлено любое число, включая нуль, чётное или нечётное. Примеры показателей таких степеней: 2n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n + 3 ... В случае таких степеней в зависимости от того, с каким числом складывается "эн", умноженное на чётное число, получаются или только чётные, или только нечётные числа, что, как мы уже выяснили, не даёт чередования знаков членов ряда.

Знакочередующиеся ряды - частный случай знакопеременных рядов . Знакопеременные ряды - это ряды с членами произвольных знаков , то есть такими, которые могут быть положительными и отрицательными в любой последовательности. Пример знакопеременного ряда:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Далее рассмотрим признаки сходимости знакочередующихся и знакопеременных рядов. Условную сходимость знакочередующихся рядов можно установить при помощи признака Лейбница. А для более широкого круга рядов - знакопеременных (в том числе и знакочередующихся) - действует признак абсолютной сходимости.

Сходимость знакочередующихся рядов. Признак Лейбница

Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости – признак Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена, если одновременно выполняются следующие два условия:

• абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывают: u 1 > u 2 > u 3 > ... > u n > ... ;
• предел его общего члена при неограниченном возрастании n равен нулю.

Следствие. Если за сумму знакочередующегося ряда принять сумму его n членов, то допущенная при этом погрешность не превзойдёт абсолютной величины первого отброшенного члена.

Пример 1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Абсолютные величины его членов убывают:

а предел общего члена

равен нулю:

Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ряд сходится.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Сначала докажем, что :

, .

Если N = 1 , то для всех n > N выполняется неравенство 12n − 7 > n . В свою очередь для каждого n . Поэтому , то есть члены ряда по абсолютному значению убывают. Найдём предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя ):

Предел общего члена равен нулю. Оба условия признака Лейбница выполнены, поэтому ответ на вопрос о сходимости - положительный.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда

Решение. Дан знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница, то есть требование . Чтобы требование выполнялось, необходимо, чтобы

Мы убедились, что требование выполняется для всех n > 0 . Первый признак Лейбница выполняется. Найдём предел общего члена ряда:

.

Предел не равен нулю. Таким образом, второе условие признака Лейбница не выполняется, поэтому о сходимости не может быть и речи.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

Решение. В данном ряде за двумя отрицательными членами следуют два положительных. Данный ряд - также знакочередующийся. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница.

Требование выполняется для всех n > 1 . Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нуль. Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются. Сходимость имеет место быть.

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

Решение. Это знакочередующийся ряд. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница. Так как

,

Так как n ≥ 0 , то 3n + 2 > 0 . В свою очередь, для каждого n , поэтому . Следовательно, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена ряда (применяя правило Лопиталя):

.

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются, поэтому данный ряд сходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

Решение. Выясним, выполняется ли первое условие признака Лейбница для этого знакочередующегося ряда:

Члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

.

Предел общего члена не равен нулю. Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, данный ряд расходится.

Признак Лейбница является признаком условной сходимости ряда . Значит, выводы о сходимости и расходимости рассмотренных выше знакочередующихся рядов можно дополнить: эти ряды сходятся (или расходятся) условно.

Абсолютная сходимость знакопеременных рядов

Пусть ряд

– знакопеременный. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величины его членов:

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов . Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то такой знакопеременный ряд называется условно или неабсолютно сходящимся .

Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится и условно.

Пример 7. Установить, сходится ли ряд

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд , в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Напишем абсолютные значения первых пяти членов ряда:

.

Как видим, члены ряда по абсолютному значению убывают. Первый признак Лейбница выполняется. Выясним, равен ли нулю предел общего члена:

Получили нулевое значение. Оба условия признака Лейбница выполняются. То есть по признаку Лейбница сходимость имеет место быть. А соответствующий ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

Пример 8. Установить, сходится ли ряд

абсолютно, условно, или расходится.

Решение. Соответствующим данному ряду рядом с положительными членами является ряд Это обобщённый гармонический ряд, в котором , поэтому ряд расходится. Проверим соблюдение условий признака Лейбница.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Абсолютная и условная сходимость

Для того чтобы понять примеры данного урока необходимо хорошо ориентироваться в положительных числовых рядах: понимать, что такое ряд, знать необходимый признак сходимости ряда, уметь применять признаки сравнения, признак Даламбера, признаки Коши. Тему можно поднять практически с нуля, последовательно изучив статьи Ряды для чайников и Признак Даламбера. Признаки Коши . Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал! Какой-то новизны будет немного, и освоить знакочередующиеся ряды не составит большого труда. Всё просто и доступно.

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. Сразу простейший пример.

Рассмотрим ряд и распишем его подробнее:

А сейчас будет убийственный комментарий. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д. до бесконечности.

Знакочередование обеспечивает множитель : если чётное, то будет знак «плюс», если нечётное – знак «минус» (как вы помните ещё с урока о числовых последовательностях , эта штуковина называется «мигалкой»). Таким образом, знакочередующийся ряд «опознается» по минус единичке в степени «эн».

В практических примерах знакочередование членов ряда может обеспечивать не только множитель , но и его родные братья: , , , …. Например:

Подводным камнем являются «обманки»: , , и т.п. – такие множители не обеспечивают смену знака . Совершенно понятно, что при любом натуральном : , , . Ряды с обманками подсовывают не только особо одаренным студентам, они время от времени возникают «сами собой» в ходе решения функциональных рядов .

Как исследовать знакочередующийся ряд на сходимость? Использовать признак Лейбница. Про немецкого гиганта мысли Готфрида Вильгельма Лейбница я рассказывать ничего не хочу, так как помимо математических трудов, он накатал несколько томов по философии. Опасно для мозга.

Признак Лейбница : Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится.

Или в два пункта:

1) Ряд является знакочередующимся.

2) Члены ряда убывают по модулю: , причём, убывают монотонно.

Если выполнены эти условия, то ряд сходится .

Краткая справка о модуле приведена в методичке Горячие формулы школьного курса математики , но для удобства ещё раз:

Что значит «по модулю»? Модуль, как мы помним со школы, «съедает» знак «минус». Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа . Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше , чем предыдущий. Таким образом, следующие фразы обозначают одно и то же:

– Члены ряда без учёта знака убывают.
– Члены ряда убывают по модулю .
– Члены ряда убывают по абсолютной величине .
– Модуль общего члена ряда стремится к нулю:

// Конец справки

Теперь немного поговорим про монотонность. Монотонность – это скучное постоянство.

Члены ряда строго монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю МЕНЬШЕ, чем предыдущий: . Для ряда выполнена строгая монотонность убывания, её можно расписать подробно:

А можно сказать короче: каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: .

Члены ряда нестрого монотонно убывают по модулю, если КАЖДЫЙ СЛЕДУЮЩИЙ член ряда по модулю НЕ БОЛЬШЕ предыдущего: . Рассмотрим ряд с факториалом: Здесь имеет место нестрогая монотонность, так как первые два члена ряда одинаковы по модулю. То есть, каждый следующий член ряда по модулю не больше предыдущего: .

В условиях теоремы Лейбница должна выполняться монотонность убывания (неважно, строгая или нестрогая). Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю , но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

Не нужно пугаться того, что я нагородил, практические примеры всё расставят по своим местам:

Пример 1

В общий член ряда входит множитель , и это наталкивает на естественную мысль проверить выполнение условий признака Лейбница:

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Здесь нужно решить предел , который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю, и из этого автоматически следует его расходимость – по той причине, что предела не существует *, то есть, не выполнен необходимый признак сходимости ряда .

Пример 9

Исследовать ряд на сходимость

Пример 10

Исследовать ряд на сходимость

После качественной проработки числовых положительных и знакопеременных рядов с чистой совестью можно перейти к функциональным рядам , которые не менее монотонны и однообразны интересны.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u 1 – u 2 + u 3 – u 4 +… + u n + …, где u 1 , u 2 , …, u n , … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е.
, то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать сходимость знакочередующегося ряда:

.

Члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +…(1). Составим ряд | u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u 1 + u 2 +…+ u n +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u 1 |+| u 2 |+…+| u n |+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

Знакочередующийся ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
. Члены ряда монотонно убывают и
. Теперь исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:. Исследуем сходимость этого ряда с помощью признака Даламбера:
. Ряд сходится. Значит, заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд:
.

По теореме Лейбница
. Ряд сходится. Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, имеет вид
. По признаку Даламбера получим
. Ряд сходится, значит, заданный знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим последовательность функций, заданных на некотором промежутке [ a , b ] :

f 1 (x ), f 2 (x ), f 3 (x ) … f n (x ), ….

Приняв эти функции в качестве членов ряда, образуем ряд:

f 1 (x ) + f 2 (x ) + f 3 (x ) + … + f n (x ) + …, (1)

который называется функциональным рядом .

Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае функциональным рядом является ряд:

который называется степенным рядом , где
постоянные числа, называемыекоэффициентами членов степенного ряда .

Степенной ряд может быть записан и в такой форме:

где
некоторое постоянное число.

При определенном фиксированном или числовом значении x получим числовой ряд, который может быть сходящимся или расходящимся.

Определение : Совокупность всех значений х (или всех точек х числовой прямой), при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение (1 способ) .

Применим признак Даламбера.

Так как признак Даламбера применим к рядам только с положительными членами , то выражение, стоящее под знаком предела, взято по абсолютной величине.

По признаку Даламбера ряд сходится, если
и
.

Т.е. ряд сходится, если < 1, откуда
или-3< x <3.

Получим интервал сходимости данного степенного ряда: (-3;3).

В крайних точках интервала x =
, будем иметь
.

В этом случае теорема Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на сходимость в граничных точках:

x = -3 ,

Получим знакочередующийся ряд. Исследуем его на сходимость по признаку Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
Следовательно, ряд в точкеx = -3 сходится.

x = 3,

Получим положительный ряд. Применим интегральный признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, значит, ряд в точке x=3 расходится.

Ответ:

Второй способ определения области сходимости степенного ряда основан на применении формулы радиуса сходимости степенного ряда:

, где и
коэффициентыи
членов ряда.

Для данного ряда имеем:

. R =3.

ряд сходится

Интервал сходимости ряда: -3< x <3.

Далее, как и в предыдущем случае, надо исследовать в граничных точках: x =
.

Ответ: область сходимости ряда [-3;3).

Отметим, что второй способ определения области сходимости степенного ряда с использованием формулы радиуса сходимости ряда
более рационален.

Пример 2.

Найти область сходимости степенного ряда:
.

Найдем R – радиус сходимости ряда.

,
,
.

.
.

Интервал сходимости ряда (-;).

Исследуем ряд на сходимость в точках x = -иx = .

x = - ,

Получим знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают.

2.
, следовательно, ряд в точкеx = -сходится.

x = ,
.

Получили ряд с положительными членами. Применим интегральный признак Коши.

Здесь
:

, члены ряда
монотонно убывают.

Функция
на промежутке
:

.

Несобственный интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ: [-;) – область сходимости ряда.

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на – 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+ +(- 1) n - 1. u n + …, где u n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u 1 >u 2 >…>u n >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство . Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S 2 n =(u 1 - u 2)+(u 3 - u 4)+…+(u 2 n -1 - u 2 n ).

По условию u 1 >u 2 >…>u 2 n -1 >u 2 n , то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S 2 n возрастает с возрастанием n и S 2 n >0 при любом n .

С другой стороны S 2 n =u 1 -[(u 2 - u 3)+(u 4 - u 5)+…+(u 2 n -2 - u 2 n -1)+ u 2 n ]. Выражение в квадратных скобках положительно и S 2 n >0, поэтому S 2 n <u 1 для любого n . Таким образом, последовательность частичных сумм S 2 n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S 2 n =S . При этом 0<S ≤u 1 .

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S 2 n +1 =S 2 n +u 2 n +1 . Перейдём в последнем равенстве к пределу при n →∞ : S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 = S + 0= S . Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S , поэтому S n =S , то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

u n = >u n+1 =

u n =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие u n > u n + 1 выполняется, начиная с некоторого номера N .

2. Условие u n > u n +1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие u n > u n +1 не выполняется.

Определение 8 . Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9 . Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример .

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и u n =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Теорема 10 . (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

u 1 + u 2 +…+ u n +…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

│u 1 │+│ u 2 │+…+│ u n │+…= │ u n │.(21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство . Рассмотрим вспомогательный ряд

(u 1 +│u 1 │)+(u 2 +│u 2 │)+…+(u n +│u n │)+…= (u n +│u n │).(22)

Очевидно, 0≤ u n +│u n │≤2│u n │ при всех n =1, 2, … . Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│u n │, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈S n . Точность этого равенства возрастает с увеличением n .

Определение 7 . Если числовой ряд сходится, то разность R n =S -S n называется n -м остатком ряда.

Таким образом, R n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R n = u n+1 +u n+2 +… .

Заметим, что R n = (S-S n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S n равна |R n |=| S - S n |. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R n |< E . Однако в общем случае находить точно R n не удаётся.

Теорема 11. (о б оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство . Пусть ряд u 1 - u 2 + u 3 - u 4 +…+(-1) n -1. u n +… сходится по признаку Лейбница. Тогда n S ≈1-0,166≈0,84.

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если соседние его члены имеют различные знаки.

Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.

Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости, принадлежащий Лейбницу.

Теорема (признак сходимости Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующего ряда

образуют монотонно невозрастающую последовательность, стремящуюся к нулю, т. е. если

то ряд (4.32) сходится.

Доказательство. Мы имеем для любого

или, объединяя члены в группы (сумма содержит только конечное число слагаемых, и потому основные законы действий справедливы здесь без каких-либо ограничений),

На основании невозрастания последовательности абсолютных величин членов ряда во всех скобках стоят неотрицательные числа. Следовательно,

Поэтому частичные суммы ряда (4.32) с четными номерами составляют ограниченную последовательность.

С другой стороны, в силу той же монотонности

и поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами является неубывающей. Следовательно, эта последовательность имеет предел

Оба предела справа существуют, причем второй из них по условию равен нулю. Следовательно, существует и предел слева, и для него

Вместе с (4.35) это дает нам

что и требовалось.

Следствие. Для знакочередующегося ряда удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, остаток можно сверху оценить по абсолютной величине:

В самом деле, остаток можно рассматривать как сумму ряда

которая, как следует из доказанной теоремы, не превосходит по абсолютной величине своего первого члена, которым в данном случае является

Пример. В применении к ряду

признак Лейбница дает

что означает сходимость ряда. (Непосредственными выкладками эта сходимость была установлена в § 2.)

Мы видим, что признак сходимости Лейбница является довольно широким по применимости, весьма практичным и идеально чувствительным. Это не противоречит сказанному в конце § 5 главы 3: условная сходимость знакочередующегося ряда является «в среднем», если можно так выразиться, более широким фактом, чем сходимость ряда с положительными членами; поэтому и распознать ее оказывается в каком-то смысле легче.

Заметим, наконец, что признак Лейбница является не только достаточным, но и необходимым признаком сходимости для знакочередующихся рядов с монотонно убывающими членами: если то на основании необходимого признака сходимости из § 6 главы 2 ряд

сходиться не может.