Решение линейных уравнений методом крамера в excel. Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера

Решение систем линейных алгебраических уравнений в Excel Методы решения систем линейных алгебраических уравнений хорошо описаны в учебнике "Основы вычислительной математики. Демидович Б.П., Марон И.А. 1966". Скачать - 11Мб

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A - квадратная матрица, X,B - вектора;
причем B - известный вектор (т е столбец чисел), X - неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 - обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) - функцией МУМНОЖ().

Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно:

1. Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР(3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область Чтобы умножить матрицу на вектор: 1. Мышкой выделить область клеток, где будет размещён результат умножения 2. Начать вписывать формулу =МУМНОЖ(3. Выделить мышкой матрицу - первый сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 4. С клавиатуры ввести разделитель; (точка с запятой) 5. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. При этом правее скобки впишется соответствующий диапазон клеток. 6. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 7. Должно вычислиться произведение и заполнить предназначенную для него область Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel. Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Метод Гаусса подробно (по шагам) выполняется только в учебных целях, когда нужно показать, что Вы это умеете. А чтобы решить реальную СЛАУ, лучше применить в Excel метод обратной матрицы или воспользоваться специальными программами, например, этой

Краткое описание.

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

(1)’ = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) – 0,96*(4) (2)’ = (2) + 0,28*(1) – 1,73*(3) + 0,12*(4) (3)’ = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)’ = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Примечание: подбор коэффицентов выполнен на листе "Анализ". Решаются системы уравнений, цель которых - обратить внедиагональные элементы в нуль. Коэффиценты - это округлённые результаты решения таких систем уравнений. Конечно, это не дело. В результате получаю систему уравнений:
Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид:


А вектор В2:

Краткая теория из курса алгебры:

Пусть дана система линейных уравнений (1). Матричный способ решения систем линейных уравнений используется в тех случаях, когда число уравнений равно числу переменных.

Введем обозначения. Пусть А – матрица коэффициентов при переменных, B – вектор свободных членов, X – вектор значений переменных. Тогда X = A -1 × B , где А -1 – матрица, обратная А . Причем обратная матрица А -1 существует, если определитель матрицы А не равен 0. Произведение исходной матрицы А и обратной А -1 должно быть равно единичной матрице:

А -1 А=АА -1 =Е.

Задание : Решить систему линейных уравнений:

Технология работы:

Пусть на диапазоне А11:С13, задана исходная матрица А, составленная из коэффициентов системы. Сначала найдите определитель матрицы А. Для этого в ячейке F15 необходимо вызвать Мастер функций , В категории "Ссылки и массивы " найдите функцию МОПРЕД() , задайте ее аргумент A11:С13. Получили результат 344. Так как определитель исходной матрицы А не равен 0, т.е. существует обратная ей матрица, поэтому следующим этапом и будет нахождение обратной матрицы. Для этого выделите диапазон А15:С17, где будет размещаться обратная матрица. Вызвав Мастера функций , в категории "Ссылки и массивы " найдите функцию МОБР( ), задайте ее аргумент A11:С13 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Чтобы проверить правильность обратной матрицы, умножьте ее на исходную с помощью функции МУМНОЖ() . Вызовите эту функцию, предварительно выделив диапазон А19:А21. В качестве аргументов укажите исходную матрицу А, т.е. диапазон А11:С13 и обратную матрицу, т.е. диапазон А15:С17 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Получили единичную матрицу. Таким образом, обратная матрица найдена верно. Теперь для нахождения результата, выделите для него диапазон F18:F20. Вызовите функцию МУМНОЖ() , используя Мастера функций , укажите два массива-диапазона, которые будете перемножать − обратную матрицу и столбец свободных членов, т.е. А15:С17 и Е11:Е13 и нажмите Shift+Ctrl+Enter. Результат показан на рисунке 6.

Теперь можно произвести проверку правильности найденных решений х 1 , х 2 и х 3 . Для этого, выполните вычисление каждого уравнения, используя найденные значения х 1 , х 2 и х 3 . Например, в ячейке G11 подсчитайте значение , при этом результат должен быть равен 3. Введем следующую формулу =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Скопируйте эту формулу в две ячейки, расположенные ниже, т.е. в G12 и G13. Снова получите столбец свободных членов. Таким образом, решение системы линейных уравнений выполнено верно (рис.80).

Рисунок 80 - Решение системы линейных уравнений

Варианты индивидуальных заданий

Задание № 1. Средствами Microsoft Excel вычислить значение выражения:

Таблица 16 – Индивидуальные варианты лабораторной работы

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тема “Решение математических задач средствами EXCEL”, является значимой в курсе “Информатика и информационные технологии”, которая возникает на различных этапах изучения предмета. Например, вычисления алгебраических выражений, решения квадратных уравнений в различных средах, построение графиков функций и т.д.

На протяжении почти всего курса математики учащиеся изучают различные методы решения уравнений и систем уравнений. Когда школьники изучат методы решения систем уравнений на уроках алгебры, на уроках информатики целесообразно рассмотреть дополнительные, более эффективные, по времени, инструменты для выполнения таких заданий. Данная тема не является сложной для учащихся, но очень трудоемкая для учителя, необходимо делать много записей на доске, фактически учитель весь урок стоит спиной к учащимся. Для оптимизации и эффективности учебной деятельности учителя на уроке была создана презентация, которая может применяться на любом этапе прохождения темы фрагментарно или полностью учителями математики, а особенно полезна учителям информатики из-за ограниченного количества часов по предмету.

Данный урок можно отнести к интегрированным урокам, построенным на деятельной основе с применением проблемно-исследовательской технологии. Ценность урока заключается в том, что ученики решают стандартные математические задачи нестандартным способом – применяя современные компьютерные технологии. Этим достигается мотивационная цель – побуждение интереса, показ необходимости знаний по математике и информатики в реальной жизни. На уроке ученики покажут владение компьютером, умение работать с пакетом программ Microsoft Office, знания, умения и навыки, полученные на уроках математики. В результате будет достигнута образовательная цель урока: по математики обобщение знаний по темам: “Матрицы. Действия с матрицами. Решение систем линейных уравнений методом Крамера, Гаусса”, по информатике у учащихся формируется навык работы с табличными формулами, познакомятся с возможностями Excel для решения различных уравнений и систем уравнений.

11 класс, информатика.

Тема: “Применение табличного процессора MS Excel для решения систем линейных алгебраических уравнений”.

Тема рассчитана на два урока.

Тип урока: комбинированный урок, совершенствование знаний, умений и навыков.

Вид урока: интегрированный.

Цели урока:

обучающие:

• повторение и закрепление знаний учащихся математического аппарата по теме;
• отработать умение переходить от математической записи выражений к записи в среде электронных таблиц;
• продемонстрировать учащимся рациональность использования электронных таблиц для решения систем п линейных уравнений с п неизвестными;

Развитие внимания, памяти, представления, мышления, речи. Развитие интереса к предмету, навыка самостоятельной работы.

Развивающие и воспитательные:

• формирование умений анализировать, выделять главное, сравнивать, строить аналогии;
• развитие умения применять имеющиеся знания и умения в новой ситуации;
• развивать гибкость мышления, отыскивать наиболее краткий путь достижения цели развивать целенаправленность, рациональность, критичность мышления.
• умение устанавливать межпредметные связи.
• формирование способностей, позволяющих осуществлять быструю смену видов учебной деятельности.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

Методы и приемы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемного изложения, наглядно-иллюстративный, практический, эвристическая беседа.

Оборудование: доска, компьютеры, мультимедийный проектор и экран, презентация, карточки с индивидуальным заданием, папка с электронным материалом для урока.

Средства обучения: презентация учителя MS PowerPoint “Решение математических задач средствами Excel”, ресурсы Интернет.

Компьютерное программное обеспечение: пакет программ Microsoft Office 2007.

Структура урока

№	Название этапа	Приемы педагогической техники	Время (мин.)
1	Организационный момент. Постановка цели урока и проблемы исследования	Вступительное слово учителя. Рефлексия. Ознакомление с темой, постановка цели.	2
2	Актуализация опорных знаний	Фронтальная работа с классом. Работа с формулами в Excel. Относительные и абсолютные ссылки. Применение логических функций. Приложение 2.	10
4	Изучение нового материала	Формирование понятие табличной формулы. Частично-поисковая работа. Презентация учителя.	10
5	Подготовка к осмысление и применениеизученного материала. Повторение, обобщение математических знаний, дополненных демонстрацией новых функций Excel. Тренировочная практическая работа.	Объяснительно - иллюстративный, повторение и обобщение необходимых знаний из математики с дополнениями новых функций в Excel. Эвристическая беседа Презентация учителя. Задания для практической работы. (Выполняется вместе с учителем. Приложение 3)	25
6	Закрепление (тренировка, отработка умений). Практическая работа.	Беседа по вопросам из презентация учителя. Практическая работа. Приложение 3.	25
10	Итог урока. Контроль.	Анализ работы на уроке. Проверка достижений поставленной цели урока: обобщение изученного материала, выполнение практической работы, активность учащихся на всех этапах урока.	3
9	Постановка домашнего задания.	Домашнее задание творческое.	3
11	Самооценка деятельности.	Рефлексия.	2
Резерв времени 10 минут на индивидуальную работу при выполнении практической работы

Описание урока

1. Организационный момент.

• Учитель сообщает учащимся тему и цель урока. Учащиеся записывают тему урока Слайд Титульный лист.
• Рассказывает о том, как будет построен урок.
• Знакомит с задачами, которые должны быть решены в ходе урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Учитель. Для успешного проведения занятия по теме нам необходимо будет вспомнить и повторить материал из уроков математики “Методы решения линейных систем уравнений” и из информатики “Работа с формулами в Excel. Логические формулы. Относительные и абсолютные ссылки”.

Откройте файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 2. У учащихся файл без листа Решение.

Заполните все поля таблицы.

Фронтальная работа с учащимися по проверки знаний и умений работы с формулами и функциями в Excel. На экране демонстрируется пример таблицы,

в которой необходимо заполнить все поля. Учащиеся предлагают алгоритмы заполнения полей. В тетради выписывают формулу для заполнения столбца K (победители, призеры), далее сравнивают свое решение с решением, представленным на экране (лист Решение, Приложение 2).

3. Изучение нового материала.

Учитель

Какие методы решения линейных уравнений вы знаете? Если не просмотрели файл выложенный в домашнее задание предыдущего урока, то можете открыть файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 1 .

Учащиеся

Метод последовательного исключения неизвестных, метод Крамера.

Учитель

Посмотрите описание метода Крамера, с какими элементами нужно уметь работать при применении этого метода?

Учащиеся

С определителями.

Учитель

Т.е. с матрицами, на экране демонстрируется пример матрицы. Откройте файл D://Уроки_11/Решение СЛАУ/Приложение 3, лист Пример и выполните задание.

Учащиеся открывают документ Приложение 3 (лист Пример 1).

Выполняются задания, представленные на экране.

Учитель

Для работы с матрицами в Excel существуют специальные формулы, формулы для работы с массивом или их ещё называют табличные формулы.

Презентация. Слайд 3, 4. Учащиеся записывают понятие табличной формулы и особенности её ввода.

4. Подготовка к осмысление и применение изученного материала. Практическая работа.

Эвристическая беседа.

1. Для решения, каких задач можно применять табличные формулы?

Ответ может быть предопределен заданием, которое они выполняли – действия с матрицами, если решением должна получиться тоже матрица.

2. Дайте понятие матрицы? Может ли сказать, что любая прямоугольная таблица, заполненная числовыми значениями, есть матрица?

Ответ утвердительный. Слайд 5

3. Какие виды матриц вы знаете, чем они отличаются друг от друга? (заполнение, размерность и т.д.)

После обсуждения представить Слайд 6.

4. Можно ли с матрицами производить какие-либо действия?

Учащиеся могу перечислить некоторые действия с матрицами, сложение, умножение на число и т.д. Слайд 7.

Учитель информирует учащихся, о широких возможностях табличного процессора Excel для работы с матрицами.

Ученики записывают тему пункта темы Слайд8.

Повторение, обобщение математических знаний, дополненных демонстрацией новых функций Excel.

Презентация Слайды 9-14.

Демонстрация каждого слайда предопределяется вопросами по теме слайда.

В тетрадь учащиеся записывают только функции Excel для работы с матрицами и одновременно выполняют тренировочные практические задания из Приложение 3 Листы: пример 2, пример 3, пример 4. Подробно остановиться на примере 5, Приложение 3, Слайд 14.

Учитель

Теперь непосредственно перейдем к решению СЛАУ и познакомимся с методом, который вы рассматривали на уроках математики, это матричный метод. Слайд 16. Как вы думаете почему вы не решали системы матричным методом?

Учащиеся

Сложность вычисления обратной матрицы

Учитель

Запишите в тетрадь алгоритм решения системы матричным способом.

Откройте новую книгу Excel и решим вместе систему представленную на экране. Слайды 18-21.

Учитель открывает файл – заготовку упражнения и вместе с учащимися решает упражнение.

Решение сопровождается подробным объяснением. Решение учащихся сравнивается с предложенным решением в презентации. Слайды 18-21.

Учитель

Рассмотрим теперь решение СЛАУ методом Крамера, этот метод вам знаком, но на уроках математики вы решали, в основном, системы из двух уравнений с двумя неизвестными, почему? Слайд 22.

Ученики

Нужно много времени для вычисления определителей.

Учитель

Возможности Excel решают эту проблему. Откройте новый лист в книге и вместе решим систему уравнений представленную на экране.

Свои решения учащиеся сравнивают с решением, представленным в презентации. Слайды 23-25.

5. Закрепление (эвристическая беседа, тренировка, отработка умений).

Обсуждение темы по вопросам. Презентация. Слайд 26.

Практическая работа по группам: группа (практики) Приложение 3 Листы пример 6, пример 7, группа (технологи) Лист пример 8 решить систему методом Гаусса (можно воспользоваться Интернет-ресурсами), группа (программисты) создать программу на языке программирования Паскаль или С# решение системы уравнений методом Крамера, можно для ограниченного количества строк и столбцов.

6. Итог урока.

Проверка практической работы, обсудить проблемы в выполнении с каждой группой, если были выполнены не все задания, то откорректировать домашнее задание. Выставление оценок за урок.

Домашнее задание. На выбор:

1. (Приложение 4) Выполнить один из вариантов из карточки, разобрать программы решения систем уравнений на языке Паскаль из теоретического материала (Приложение 1)

2. Выполнить один из вариантов из карточки. Создать отдельно программу для решения систем методом Гаусса или матричным методом, группе программистов доработать программу метод Крамера.

7. Заключение.

Опыт работы с интегрированными уроками показывает, что у учащихся повышается качество знаний, оно может и не выражаться в оценках, но расширяется кругозор, развиваются творческие способности, повышается интерес к предметам, и вообще интерес к обучению, формируется убеждение, что учащиеся могут изучить больше, чем дается по программе.

Предложенное занятие по содержанию и выполнению заданий, кажется, насыщенным и перегруженным теорией и практическими упражнениями, но применение презентации, заготовок файлов (приложение 3) помогает выполнить все запланированные действия. Такое занятие рекомендуется проводить в математических классах, когда учащиеся уже изучили методы решения СЛАУ. За неделю до изучения этой темы выложить в эл. дневник, для ознакомления, информационный материал по методам решения систем уравнений и описание создания программ для решения систем уравнений на языке программирования.

Литература

1. Воронина Т.П. Образование в эпоху новых информационных технологий / Т.П. Воронина.- М.: АМО, 2008. -147 с.

2. Глинская Е. А. Межпредметные связи в обучении / Е.А. Глинская, С.В. Титова. – 3-е изд. – Тула: Инфо, 2007. - 44 с.

3. Данилюк Д. Я. Учебный предмет как интегрированная система /Д.Я. Данилюк //Педагогика. - 2007. - № 4. - С. 24-28.

4. Иванова М.А. Межпредметные связи на уроках информатики / М.А. Иванова, И.Л. Карева // Информатика и образование. – 2005. - №5. – С. 17-20.

5. А.В. Могилев, Н.И. Пак, Е.К. Хеннер "Информатика", Москва, ACADEMA, 2000 г.

6. С.А. Немнюгин, "Турбо ПАСКАЛЬ", Практикум, Питер, 2002 г.

Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Навигация по странице.

Метод Крамера - вывод формул.

Пусть нам требуется решить систему линейных уравнений вида

Где x 1 , x 2 , …, x n – неизвестные переменные, a i j , i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n – числовые коэффициенты, b 1 , b 2 , …, b n - свободные члены. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества.

В матричном виде эта система может быть записана как A ⋅ X = B , где - основная матрица системы, ее элементами являются коэффициенты при неизвестных переменных, - матрица – столбец свободных членов, а - матрица – столбец неизвестных переменных. После нахождения неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , матрица становится решением системы уравнений и равенство A ⋅ X = B обращается в тождество .

Будем считать, что матрица А – невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. (Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений).

Метод Крамера основывается на двух свойствах определителя матрицы:

Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1 . Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения – на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения – на А n 1 (то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А ):

Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений:

Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем

и предыдущее равенство примет вид

откуда

Аналогично находим x 2 . Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А :

Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя:

Откуда
.

Аналогично находятся оставшиеся неизвестные переменные.

Если обозначить

То получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера .

Замечание.

Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение (при ). Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Следовательно, формулы дадут .

Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Запишем алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Разберем решения нескольких примеров.

Пример.

Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид . Вычислим ее определитель по формуле :

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Запишем определители и . Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель . Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем .

Вычисляем эти определители:

Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам :

Выполним проверку. Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений:

Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно.

Ответ:

.

Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Разберем пример.

Пример.

Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера .

Решение.

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле

Имеем

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители :

Таким образом,

Ответ:

Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n . Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере.

Пример.

Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными .

Решение.

В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение (x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3 ). Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать . Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как . Теперь основную матрицу системы хорошо видно . Вычислим ее определитель:

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Запишем определители (обратите внимание на обозначения) и вычислим их:

Осталось найти неизвестные переменные по формулам :

Выполним проверку. Для этого умножим основную матрицу на полученное решение (при необходимости смотрите раздел ):

В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно.

Ответ:

x = 0, y = -2, z = 3 .

Пример.

Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b – некоторые действительные числа.

Решение.

Ответ:

Пример.

Найдите решение системы уравнений методом Крамера, - некоторое действительное число.

Решение.

Вычислим определитель основной матрицы системы: . выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях . Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Вычисляем и :

Решение систем линейных уравнений в Excel

1. Введение

Многие задачи организации строительного производства сводятся к решению систем линейных уравнений вида:

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 1,
				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
	n 1 1

называемой системой n линейных алгебраических уравнений(СЛАУ ) с n

неизвестными.

При этом произвольные числа a ij (i = 1, 2,…,n ;j = 1, 2,…,n ) называются

коэффициентами при неизвестных, а числа b i (i = 1, 2,…, n ) – свободными

членами.

Систему(1) можно записать в матричной форме

A X = B,

где A – матрица коэффициентов при неизвестных:

					a2 n
			an 1	an 1
	an 1				an 1

X – вектор- столбец неизвестных X= (x1 , x2 , …, xn ) T :

B – вектор-столбец свободных членов:

b 2B ,

или B = (b 1 ,b 2 ,...,b n )T .

2. Операции с матрицами в Excel

В Excel для операций с матрицами служат функции из категории «Математические»:

1) МОПРЕД(матрица) – вычисление определителя матрицы, 2)МОБР(матрица) – вычисление обратной матрицы, 3)МУМНОЖ(матрица1;матрица2) – произведение матриц, 4)ТРАНСП(матрица) – транспонирование матрицы.

Первая из этих функций в качестве результатавозвращает число (определитель матрицы ), поэтомувводится как обычная формула (ENTER ).

Последние три возвращают блок ячеек, поэтому должны вводиться как формулы массива (CTRL+SHIFT+ENTER ).

Рассмотрим задачурешения СЛАУ на следующем примере

8x 1 2x 2 8x 3 24,

2x 1 2x 2 10x 3 48,

2x 1 4x 2 8x 3 18.

Матрица коэффициентов при неизвестных A (3) имеет вид

а вектор-столбец свободных членов (5)B = (–24, –48, 18)T .

Решим СЛАУ (7) в среде MS Excel тремя различными способами.

Матричный способ решения (обратной матрицы)

Обе части матричного равенства (2) умножим на обратную матрицу А -1 . Получим A –1 A X =A –1 B . Так как A –1 A =E , гдеE – единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы (2) запишется в следующем виде

МУМНОЖ(матрица1;матрица2), завершая в каждом случае ввод комбинацией

CTRL+SHIFT+ENTER.

Метод Крамера

Решение СЛАУ находится по формулам Крамера

	det A
		det A
	det A 2
		det A
	det A
	det A

где det A =A – определитель матрицы (3) системы (главный определитель), detA i =A i (i = 1, 2, …,n )– определители матрицA i (вспомогательные определители), которые получаются изA заменой i -го столбца на столбец свободных членовB (5).

Для рассматриваемой СЛАУ (7) вспомогательные матрицы имеют следующий вид

A 148

Разместим их на рабочем листе (рис. 1).

Аналогичная формула (=МОПРЕД(A3:C5) ) для вычисления определителя матрицыA записана в ячейкуE8 . Осталось найти решение системы. Соответствующие формулы Excel запишем в интервал решенияB7:B9 (рис. 3), в котором и увидим результат (рис. 4).

Обратите внимание на то (рис. 3), что при вычислении x i (i = 1, 2, 3)

анализируется значение определителя матрицы системы A , вычисленное в ячейке E8, и, если оно равно нулю, то в B7 помещается текст« Решения нет», а в ячейки B8 и B9 – пустые строки.

3. Решение СЛАУ с использованием инструмента Поиск решения

Широкий класс производственных задач составляют задачи оптимизации. Задачи оптимизации предполагают поиск значений аргументов, доставляющих функции, которую называют целевой , минимальное или максимальное значение при наличии каких-либо дополнительных ограничений. Excel располагает мощным средством для решения оптимизационных задач.

Это инструмент-надстройка, который называетсяПоиск решения (Solver )

(доступен через менюСервис  Поиск решения ) .

Задачу решения СЛАУ можно свести к оптимизационной задаче.

Для чего одно из уравнений (например, первое) взять в качестве целевой функции, а оставшиеся n -1 рассматривать в качестве ограничений.

Запишем систему(1) в виде

a 11x 1a 12x 2a 1n x n b 10,

				a2 n xn
a 21x 1a 22x 2
							b 0.
	n 1 1

Для решения этой задачи необходимо записать выражения (формулы) для вычисления значений функций, стоящих слева в уравнениях системы (12). Отведем для примера под эти формулы интервал C7:C9 . В ячейкуC7 введем формулу =A3*$B$7+B3*$B$8+C3*$B$9-D3 и скопируем ее в оставшиесяC8 иC9 . В них появятся соответственно =A4*$B$7+B4*$B$8+C4*$B$9-D4 и =A5*$B$7+B5*$B$8+C5*$B$9-D5 .

В окне диалога Поиск решения (рис. 5) задать параметры поиска (установить целевую ячейкуC7 равной нулю, решение в изменяемых ячейкахB7:B9 , ограничения заданы формулами в ячейкахC8 и С9 ). После щелчка по кнопкеВыполнить в

интервале B7:B9 получим результат (рис. 6) – решение СЛАУ.