Расположение корней квадратного трехчлена относительно отрезка. Расположение корней квадратного трехчлена. Что такое параметр

4. Расположение корней квадратного трехчлена в зависимости от параметра

Часто встречаются задачи с параметрами, в которых требуется определить расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси. Опираясь на основные положения и обозначения предыдущего параграфа, рассмотрим следующие случаи:

1. Пусть задан квадратный трехчлен , где
и точка m на оси Ox . Тогда оба коня
квадратного трехчлена
будут строго меньше m

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 3.1 и 3.2.

2.Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m на оси Ox . Неравенство
выполняется тога и только тогда, когда числа a и
имеют разные знаки, то есть
(рис. 4.1 и 4.2.)

3. Пусть задан квадратный трехчлен , где и точка m на оси Ox . Тогда оба коня
квадратного трехчлена будут строго больше m тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 5.1 и 5.2.

4. Пусть задан квадратный трехчлен , где и интервал (m , M ) Тогда оба корня квадратного трехчлена принадлежат указанному интервалу тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

или

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 6.1 и 6.2.

5. Пусть задан квадратный трехчлен , где , - его корни и отрезок
. Отрезок лежит в интервале
тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

Геометрическая иллюстрация приведена на рисунке 7.1 и 7.2.

Пример. Найти все значения параметра a , при каждом из которых оба корня уравнения
больше -2.

Решение. В условии задачи указано. Что уравнение имеет два корня, поэтому . Рассматриваемая ситуация описывается случаем 3 и изображена на рисунке 5.1. и 5.2.

Найдем ,
,

Учитывая все это, запишем совокупность двух систем:

или

Решая эти две системы, получим .

Ответ. При каждом значении параметра a из промежутка оба корня уравнения больше -2.

Пример. При каких значениях параметра a неравенство
выполняется для любых
?

Решение. Если множество X – решение данного неравенства, то условие задачи означает, что промежуток
должен находиться внутри множества X , то есть

.

Рассмотрим все возможные значения параметра а .

1.Если а=0 , то неравенство примет вид
, и его решением будет промежуток
. В этом случае условие выполняется и а=0 является решением задачи.

2.Если
, то графиком правой части неравенства является квадратный трехчлен, ветви которого направлены вверх. Решение неравенства зависит от знака .

Рассмотри случай, когда
. Тогда для того, чтобы для всех выполнялось неравенство , требуется, чтобы корни квадратного трехчлена были меньше числа -1, то есть:

или

Решив эту систему, получим
.

Если
, то парабола лежит выше оси О x , и решением неравенства будет любое число из множества действительных числе, в том числе, и промежуток . Найдем такие а из условия:

или

Решив эту систему, получим
.

3.Если
, то при
решением неравенства является промежуток , который не может включать в себя промежуток , а при
данное неравенство не имеет решений.

Объединяя все найденные значения а , получим ответ.

Ответ. Для любого значения параметра из промежутка
неравенство выполняется для любых .

Пример. При каких значениях параметра а множество значений функции содержит отрезок
?

Решение. 1. Если
, то

а) при а = 1 функция примет вид y = 2, и множество ее значений состоит из единственной точки 2 и не содержит отрезок ;

б) при а = -1 функция примет вид y = -2 x +2 . Ее множество значений
содержит отрезок , значит а = -1 является решением задачи.

2.Если
, то ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине параболы
:

,
.

Множество значений функции есть промежуток
, который содержит отрезок
, если выполняются условия:

.

3. Если
, то ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы
. Множество значений функции есть промежуток
, который содержит отрезок , если выполняются условия:

Решая эту систему неравенств, получим
.

Объединяя решения, получим
.

Ответ. При
множество значений функции содержит отрезок .

Задачи для самостоятельного решения

1. Не вычисляя корней квадратного уравнения
, найти

а)
, б)
, в)

2. Найти множество значений функции

а)
, б)
, в)
, г)

3. Решить уравнения

а)
, б)

4. При каких значениях параметра а оба корня уравнения
лежат на интервале (-5, 4)?

5. При каких значениях параметра а неравенство выполняется при всех значениях x ?

6. При каких значениях параметра а наименьшее значение функции

На отрезке
равно -1?

7. При каких значениях параметра а уравнение
имеет корни?

Карпова Ирина Викторовна

ПРОГРАММА И УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА по математике для учащихся 8-9 классов «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

Пояснительная записка

В настоящее время становится очевидной универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук развиваются на вероятносто-статистической базе.

Ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Круг вопросов, связанных с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех – все это находится в сфере реальных интересов становления и саморазвития личности.

Все вышесказанное обусловливает необходимость знакомства ребенка с вероятностно-статистическими закономерностями.

Цель курса: познакомить учащихся с некоторыми теоретико-вероятностными закономерностями и статистическими методами обработки данных.

Задачи курса

Познакомить учащихся с основным понятийным аппаратом теории вероятностей.

Научить определять вероятность событий в классической схеме испытаний.

Познакомить с методами первичной обработки статистических данных.

Требования к уровню усвоения содержания курса

В результате освоения программы курса учащиеся должны знать:

основные понятия теории вероятностей: испытание, исход испытания, пространство элементарных событий, случайное, достоверное, невозможное события, совместные и несовместные события;

условия классической схемы испытаний и определение вероятности события в классической схеме испытаний;

определение относительной частоты появления события и статистической вероятности;

определение вариационного ряда и его основных числовых характеристик.

В процессе изучения курса учащиеся должны пробрести умения:

определять все возможные исходы испытания, совместность и несовместность событий;

решать теоретико-вероятностные задачи на вычисление вероятности в классической схеме испытаний;

вычислять относительную частоту появления события;

составлять статистическое распределение выборки и вычислять её числовые характеристики.

Программа предполагает развитие у учащихся навыков :

использования имеющихся алгоритмов и при необходимости их творческой переработки в конкретных условиях задачи;

самостоятельного решения задач;

использования при решении задач обобщенных схем, содержащих основные определения и формулы.

Объем курса: предлагаемый курс рассчитан на 20 часов

Тематическое планирование

	Темы занятий	Количество часов
	Основные понятия теории вероятностей.
	Классическая схема испытаний. Определение вероятности в классической схеме испытаний.
	Частота абсолютная и относительная.
	Статистическое определение вероятности.
	Генеральная и выборочная совокупности.
	Статистическое распределение выборки.
	Числовые характеристики статистического распределения.
	Статистическое оценивание и прогноз.

Текст пособия

Математику многие любят за её вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую вы решали на уроках математики, у всех получался один и тот же ответ – нужно было только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе захотят в течение ближайшего часа позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными .

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орёл» выпадет приблизительно в половине случаев, чего никак нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. Обратите внимание на слово «приблизительно» – закон не утверждает, что число «орлов» будет в точности 500 или окажется в промежутке от 490 до 510. Он вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – теория вероятностей.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, рулетка и даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее чистом виде, и первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр так же далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать решения не только в играх и лотереях.

Математическая статистика – раздел математики, в котором изучаются методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений для выявления существующих закономерностей.

В некотором смысле задачи математической статистики обратны задачам теории вероятностей: имея дело только с экспериментально полученными значениями случайных величин, статистика ставит своей целью выдвижение и проверку гипотез о распределении этих случайных величин и оценку параметров их распределения.

1. Случайные события. Как сравнивать события?

Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой понятийный аппарат, который используется при формулировке определений, доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем использовать при дальнейшем изложении теории.

Испытание – осуществление комплекса условий.

Исход испытания (элементарное событие) – любой результат который может произойти при проведении испытания.

Примеры.

1) Испытание:

Исходы испытания: ω 1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;

ω 2 – на верхней грани кубика появилось два очка;

ω 3 – на верхней грани кубика появилось три очка;

ω 4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;

ω 5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;

ω 6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.

Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события).

2) Испытание: ученик сдает экзамен.

Исходы испытания: ω 1 – ученик получил двойку;

ω 2 – ученик получил тройку;

ω 3 – ученик получил четверку;

ω 4 – ученик получил пятерку.

Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).

Замечание . Обозначение ω – является стандартным обозначением для элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим обозначением.

Будем называть исходы данного испытания равновозможными , если исходы испытания имеют одинаковые шансы на появление.

Пространство элементарных событий – множество всех элементарных событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении испытания.

В примерах, которые мы рассмотрели выше, фактически были описаны пространства элементарных событий данных испытаний.

Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е. число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n .

Рассмотрим основное понятие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем.

Определение 1.1. Событием называется совокупность некоторого числа точек ПЭС.

События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими буквами: А, В, С .

Определение 1.2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти при проведении испытания, называется случайным событием.

Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; на уроке Вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать и т.п. Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания.

Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным событием.

Определение 1.3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.

Определение 1.4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.

Пример.

1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;

Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;

Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7.

События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому это случайные события.

Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным событием.

Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие.

Мы говорили, что случайные события при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить вероятность, как степень возможности наступления того или иного события.

Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, чем менее вероятные. Так что сравнивать вероятности можно по частоте, с которой события происходят.

Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале следующие события в порядке возрастания вероятности их появления.

Событие А: в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в воскресенье;

Событие В: свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз;

Событие С: при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;

Событие D: при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число очков;

Событие Е: при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков;

Событие F: при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков, меньшее 7.

Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0. Таким образом, это будет событие Е . В конечной точке нашей шкалы расположим достоверные событие – F . Все остальные события являются случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания степени их появления. Для этого мы должны выяснить какие из них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D : когда мы подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других – нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что событие D произойдет. Поэтому расположим событие D в середине нашей шкалы.

У события С только один шанс из 6, в то время как у события D – три шанса из 6 (как мы выяснили). Поэтому С менее вероятно и будет расположено на шкале левее события D .

Событие А еще менее вероятно, чем С , ведь в недели 7 дней и в любой из них с равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один шанс из 7. Событие А , таким образом, будет расположено еще левее, чем событие С .

Труднее всего расположить на шкале событие В . Здесь нельзя точно подсчитать шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»), поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D , поэтому на шкале расположим его правее, чем D . Таким образом, получим шкалу:

Е А С D В F

невозможное случайные достоверное

Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет числовых меток, делений. Перед нами встает задача научиться вычислять степень возможности наступления (вероятность) того или иного события.

При каком значении параметра a один корень уравнения

больше 1, а другой меньше 1?

Рассмотрим функцию -

Цель работы:

• Исследование всевозможных особенностей расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки и относительно заданного отрезка на основе свойств квадратичной функции и графических интерпретаций.
• Применение изученных свойств при решении нестандартных задач с параметром.

Задачи:

• Изучить различные приемы решения задач на основе исследования расположения корней квадратного трехчлена графическим методом.
• Обосновать всевозможные особенности расположения корней квадратного трехчлена, разработать теоретические рекомендации для решения нестандартных задач с параметром.
• Овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений, научится их использовать при решении задач.

Гипотеза:

Использование графического метода в нетрадиционных задачах с параметром упрощает математические выкладки и является рациональным способом решения.

тогда и только тогда:

1. Оба корня меньше числа А,

2. Корни лежат по разные стороны от числа А,

тогда и только тогда:

• тогда и только тогда:

тогда и только тогда:

3. Оба корня больше числа А, то есть

Найти все значения параметра а, для которых один корень уравнения

больше 1, а другой меньше 1.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных корня одного знака?

-6

-2

3

a

1. Оба корня лежат между точками A и B , то есть

тогда и только тогда:

2. Корни лежат по разные стороны от отрезка

тогда и только тогда:

3. Один корень лежит вне отрезка, а другой на нем, то есть

тогда и только тогда:

Исследуйте уравнение

на количество корней в зависимости от параметра.

уравнение не имеет решений.

имеет одно решение.

Исследуйте уравнение

на количество корней в

зависимости от параметра.

Если один корень лежит на отрезке, а другой слева от него.

Если один корень лежит на отрезке, а другой справа от него.

первоначальное уравнение будет иметь два различных корня.

при которых

уравнение имеет три различных корня.

Ответ: при

при которых

первоначальное уравнение будет иметь два

различных корня.

уравнение имеет четыре различных корня.

Министерство образования и молодежной политики Чувашской Республики

Автономное учреждение Чувашской Республики

«Цивильский аграрно-технологический техникум»

Направление – физико-математическое и информационно-технологическое

Исследовательская работа:

Расположение корней квадратного трехчлена

Работу выполнила:

студентка 1 курса гр.14 Б

специальности «Экономика

Руководитель:

Ешмейкина

Ирина Анатольевна,

преподаватель математики

Цивильск 2012

1. Введение.

2. Теоретическая часть

2.1. Расположение корней квадратного трехчлена.

2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена

3. Практическая часть

3.1. Примеры решения задач

3.2. Расположение корней относительно одной точки.

3.3. Расположение корней относительно двух и более точек.

4. Выводы.

5. Использованная литература.

6. Приложения

Введение

Актуальность: в заданиях ГИА (часть 2) и ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), встречаются задачи с параметрами, которые часто вызывают большие трудности у учащихся. Причем часто учащиеся испытывают психологические проблемы, бояться таких задач, т. к. в школе и техникуме мало решают задачи, содержащие параметры.

Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка (отрезка, интервала, луча).

Цель работы: исследовать расположение корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка.

Собрать материал по данной теме Рассмотреть правила расположения корней квадратного трехчлена. Решить задачи используя правила расположения корней квадратного трехчлена.

Объект исследования: квадратный трехчлен и расположение его корней.

1. Поисково – собирательный.

Практическая значимость: данный материал поможет при подготовке к ЕГЭ студентам, желающим продолжить образование в ВУЗе.

Теоретическая часть

2.1. Расположение корней квадратного трехчлена

Многие задачи с параметрами сводят к исследованию расположения корней квадратного трехчлена относительно заданной точки или заданного промежутка:

При каких значениях параметра корни (или корень) квадратного уравнения больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа; расположены между двумя заданными числами; не принадлежат заданным промежуткам и т. д. и т. п.

График квадратичной функции у = ах²+вх+с имеет следующие расположения относительно оси абсцисс.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202">Квадратное уравнение х²+pх+q=0 либо не имеет решение (парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (С), либо имеет один или два отрицательных корня (А), либо имеет корни разных знаков (В).

Разберем параболу С. Чтобы уравнение имело корни необходимо, чтобы дискриминант D ≥ 0. Так как оба корня уравнения по построению должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна, хв > 0.

Ордината вершины f(xв) ≤ 0 в силу того, что мы потребовали существование корней.

Если потребовать выполнение условия f(0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка х1(0;хв) такая, что f(х1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения. Итак, собирая все условия вместе, получаем: Квадратное уравнение х² + pх + q = 0 имеет два может быть кратных корня х1,х2 >

Рассуждая аналогичным образом, выведем следующие правила расположения корней квадратного трехчлена.

2.2. Десять правил расположения корней квадратного трехчлена

Правило 1. Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 (а ≠не имеет решений тогда

и только тогда, когда D < 0.

Правило 2.1. Квадратное уравнение (1) имеет два различных корня тогда и только тогда,

когда D > 0.

Правило 2.2. Квадратное уравнение (1) имеет два, может быть, кратных корня тогда и

только тогда, когда D ≥ 0.

Правило 3.1. Квадратное уравнение (1) имеет два корня х1 < М и х2 > М тогда и только

https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> только тогда, когда

Правило 4.1. Квадратное уравнение х2 + pх +q = 0 при а ≠ 0) имеет два

разных корня х1, х2 > М тогда и только тогда, когда

где =

Правило 4.2. Квадратное уравнение имеет два может быть кратных корня

х1,х2 > М тогда и только тогда, когда

Правило 4.3. Квадратное уравнение имеет два разных корня х1,х2 ≥ М тогда и

только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">

Правило 4.4. Квадратное уравнение имеет 2, может быть кратных корня

х1, х2 ≥ М тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">

Правило 5.1. Квадратное уравнение имеет 2 разных корня х1, х2 < М тогда и

только тогда, когда

Правило 6.1. < N < M < х2 тогда и

только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">

Правило 6.2. Квадратное уравнение имеет корни х1 = N < М < х2

тогда и только тогда, когда

Правило 6.3. Квадратное уравнение имеет корни х1< N < M = х2

тогда и только тогда, когда

Правило 7.1. Квадратное уравнение имеет корни х1 < m < x2 < M тогда и только

тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48">

Правило 7.2. К вадратное уравнение имеет корни N < x1 < M < x2 тогда и только

тогда, когда

Правило 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть

кратные корни N < x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98">

Правило 8.3. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 ≤ M (может

быть кратные корни N < x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

Правило 8.4. Квадратное уравнение (1) имеет разные корни N ≤ x1 < x2 ≤ M (может

быть кратные корни N ≤ x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда

https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">

Правило 9. Квадратное уравнение имеет один корень внутри интервала (N; M),

а другой расположен вне этого интервала тогда и только тогда, когда

f (N) f (M) < 0.

Правило 10. Квадратное уравнение (1) имеет единственное решение х1 = х2 > М

(х1 = х2 < М) тогда и только тогда, когда

Практическая часть

3.1. Примеры решения задач.

Пример 1. При каких значениях а уравнение х² - 2ах + а² + 2а – 3 = 0

а) не имеет корней; б) имеет корни разных знаков;

в) имеет положительные корни; г) имеет два разных отрицательных корня?

Решение: а) По правилу 1 решений нет, когда дискриминант D= - 4(2а-3) < 0, откуда а > 3/2.

б) По правилу 3.1 для М = 0 имеем f(0)=а² + 2а – 3 < 0, откуда а(-3;1).

в) По правилу 4.2 для М=0

Откуда .

г) По правилу 5.1 для М=0

Откуда а < - 3.

3.2. Расположение корней относительно одной точки.

Пример 2. При каких значениях параметра а корни уравнения х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 = 0 лежат на луче (-2;+∞).

Сделаем графический анализ задачи. По условию задачи возможны лишь следующие два случая расположения графика функции f(х) = х² + 2(а+1)х + а² + а + 1 относительно точки х = -2.

хв = - а – 1

Эти оба случая аналитически описываются условиями

Отсюда следует, что 0 ≤ а < .

Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а. (Приложение 1)

3.3. Расположение корней относительно двух и более точек.

Пример 4. При каких значениях параметра m корни уравнения х² - 2 mх + m² -1= 0 заключены между числами -2 и 4.

Дискриминант уравнения D = 4m² - 4m² + 4 = 4 есть полный квадрат. Найдем корни уравнения: х1= m+1, х2= m - 1. Эти корни удовлетворяют заданному условию, если

Ответ: при m(-1;3).

Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение 2х² + (а-4)х + а + 2 = 0 имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству ‌│х-1│>2. (Приложение 2)

Решение квадратных уравнений с параметрами можно записать в виде схемы исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена Ах²+Вх+С.

Исследование случая А = 0 (если зависит от параметров).

1. Нахождение дискриминанта D в случае А≠0.

2. Если D – полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение их условиям задачи.

3. Если корень квадратный из D не извлекается, то графический анализ задачи.

4. Аналитическое описание подходящих случаев расположения параболы, для чего учитываются:

Ø знак (значение) коэффициента при х²;

Ø знак (значение) дискриминанта;

Ø знаки (значения) квадратичной функции в изучаемых точках;

Ø расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.

4. Объединение некоторых неравенств (систем).

5. Решение полученных систем.

Я нашла 10 правил расположения корней квадратного трехчлена. Решила задачи на расположение корней относительно одной точки; расположение корней относительно двух и более точек.

Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов математики, уровня математического и логического мышления, математической культуры.

Использованная литература

1. Мочалов, и неравенства с параметрами/ , .-

Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 200с.

2. Кожухов, способы решения задач с параметрами/ // Математика в школе.- 1998. - № 6.

3. Еженедельное учебно – методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика» № 18, 2002г

Приложение 1

Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых корни квадратного трехчлена х ² + х + а различны и не больше а.

хв= -1/2

Найдем дискриминант D = 1 - 4а. учитывая, что не извлекается, решим пример графически.

Сделаем графический анализ. Так как корни х1, х2 функции f(х) = х² + х + а различны и х1≤ а, х2 ≤ а, то ее график может иметь лишь следующие расположения.

Опишем эти графики аналитически.

https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">

Узнаем, при каких а корни уравнения различны, т. е. дискриминант D=а²-16а положителен, и либо оба меньше -1, либо оба больше 3, либо один из них меньше -1, а другой больше 3. График функции f(х)=2х²+(а-4)х+а+2 в этих случаях имеет следующие расположения:

Аналитически эти графики описываются условиями

Квадратные уравнения с параметрами

(Методическая разработка для учащихся 9-11 классов)

учитель математики высшей квалификационной категории,

заместитель директора по УВР

Мегион 2013

Предисловие

https://pandia.ru/text/80/021/images/image002.png" height="22 src=">2.Применение теоремы Виета

Научные работы" href="/text/category/nauchnie_raboti/" rel="bookmark">научной работы учащегося. В задачах с параметрами содержится множество приёмов, необходимых не только для математического развития личности, но и и в любом другом научном исследовании. Поэтому решение задач с параметрами и в частности решение квадратных уравнений с параметрами является пропедевтикой научно-исследовательской работы учащихся. На ЕГЭ по математике (часто задания С5), ГИА (задания части 2) и на вступительных экзаменах встречаются, в основном, два типа задач с параметрами. Первый: «Для каждого значения параметра найти все решения некоторого уравнения или неравенства». Второй: «Найти все значения параметра, при каждом из которых для данного уравнения или неравенства выполняются некоторые условия». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В ответе к задаче первого типа перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. В ответе к задаче второго типа указываются все значения параметра, при которых выполняются условия, указанные в задаче.

Как известно, решению задач с параметрами в школе уделяется очень мало внимания. Поэтому решение задач с параметрами всегда вызывает большие трудности у учащихся; трудно рассчитывать на то, что учащиеся, подготовка которых не содержала «параметрическую терапию», смогут в жесткой атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с подобными задачами, следовательно, учащиеся должны специально готовиться к «встрече с параметрами». Многие учащиеся воспринимают параметр как «обычное» число. Действительно, в некоторых задачах параметр можно считать постоянной величиной, но это постоянная величина принимает неизвестные значения. Поэтому необходимо рассматривать задачу при всех возможных значениях этой постоянной величины. В других задачах бывает удобно искусственно объявить параметром одну из неизвестных.

Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью – с помощью задач с параметрами можно проверить знание основных разделов школьной математики, уровень математического и логического мышления, первоначальные навыки научно-исследовательской деятельности , а главное, перспективные возможности успешного овладения курсом математики данного вуза.

Анализ вариантов ЕГЭ по математике и вступительных экзаменов в различные вузы показывает, что большинство предлагаемых задач с параметрами связано с расположением корней квадратного трехчлена. Будучи основной в школьном курсе математики, квадратичная функция формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей – в основе их решения лежат свойства квадратичной функции. При решении таких задач рекомендуется работать с тремя типами моделей:

1. вербальная модель – словесное описание задачи;

2. геометрическая модель – эскиз графика квадратичной функции;

3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Методическое пособие содержит теоремы о расположении корней квадратного трехчлена (необходимые и достаточные условия расположения корней квадратичной функции относительно заданных точек), применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений с параметрами. Приведены подробные решения 15 задач с методическими рекомендациями . Назначение данного пособия – помочь выпускнику и учителю математики в подготовке к сдаче ЕГЭ и ГИА по математике, и вступительного экзамена в вуз в виде теста или в традиционной форме.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image004.png" width="16" height="32 src="> - лежит правее прямой х = n (условие xb>n);

3. парабола пересекается с прямой х = n в точке, лежащей в верхней полуплоскости при a>0 и в точке, лежащей в нижней полуплоскости при а<0 (условие a∙f(n) >0).

https://pandia.ru/text/80/021/images/image007.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="240">.png" width="38" height="31 src=">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="280" height="264">.png" width="311" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="290" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="263" height="264">.png" width="266" height="264">.png" width="153" height="43 src=">

Теорема 10. Квадратные уравнения х2 + p1x + q1 = 0 и x2 + p2x + q2 = 0,

дискриминанты которых неотрицательны, имеют по крайней мере один общий корень тогда и только тогда, когда (q2 – q1)2 = (p2 – p1)(p1q2 – q1p2).

Доказательство.

Пусть f1(x) = x2 + p1x + q1, f2(x) = x2 + p2x + q2 и числа х1, х2 являются корнями уравнения f1(x) = 0. Для того чтобы уравнения f1(x) = 0 и f2(x) = 0 имели по крайней мере один общий корень, необходимо и достаточно, чтобы f1(x)∙f2(x) = 0, т. е. чтобы (x12 + p2x1 + q2)(x22 + p2x2 + q2) = 0. Представим последнее равенство в виде

(x12 + p1x1 + q1 + (p2 – p1)x1 + q2 – q1) (x22 + p1x2 + q1 + (p2 – p1)x2 + q2 – q1) = 0.

Поскольку х12 + p1x1 + q1 = 0 и x22 + p1x2 + q1 = 0, отсюда получаем

((p2 – p1)x1 + (q2 – q1))((p2 – p1)x2 + (q2 – q1)) = 0, т. е.

(p2 – p1)2x1x2 + (q2 – q1)(p2 – p1)(x1 + x2) + (q2 – q1)2 = 0.

По теореме Виета x1 +x2 = - p1 и x1x2 =q1; следовательно,

(p2 – p1)2q1 – (q2 – q1)(p2 - p1)p1 + (q2 – q1)2 = 0, или

(q2 – q1)2 = (p2 - p1)((q2 – q1)p1 - (p2 - p1)q1) = (p2 – p1)(q2p1 – q1p1 – p2q1 + p1q1) =

(p2 – p1)(q2p1 – p2q1), что и требовалось доказать.

https://pandia.ru/text/80/021/images/image040.png" width="116" height="65 src=">

Квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0

1) имеет два действительных положительных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

2) имеет два действительных отрицательных корня тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

3) имеет два действительных корня разных знаков тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:

;

4) имеет два действительных корня одного знака, если

Замечание 1. Если коэффициент при х 2 содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Замечание 2. Если дискриминант квадратного уравнения является полным квадратом, то вначале удобней найти явные выражения для его корней.

Замечание 3. Если уравнение, содержащее несколько неизвестных, является квадратным относительно одной из них, то часто ключом к решению задачи служит исследование его дискриминанта.

Приведем схему исследования задач, связанных с расположением корней квадратного трехчлена f (x ) = ax 2 + bx + c :

1.Исследование случая а = о (если первый коэффициент зависит от параметров).

2.Нахождение дискриминанта D в случае а≠0.

3.Если D - полный квадрат некоторого выражения, то нахождение корней х1, х2 и подчинение условиям задачи.

4..png" width="13" height="22 src=">3. Примеры решения задач для подготовки к ГИА и ЕГЭ по математике

Пример 1. Решите уравнение (a - 2)x 2 – 2ax + 2a – 3 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая: а = 2 и а ≠ 2. в первом случае исходное уравнение принимает вид - 4х + 1 = 0..png" width="255" height="58 src=">

При а = 1 или а = 6 дискриминант равен нулю и квадратное уравнение имеет один корень: , т. е. при а = 1 получаем корень , а при а = 6 – корень .

При 1 < a < 6 дискриминант положителен и квадратное уравнение имеет два корня: https://pandia.ru/text/80/021/images/image053.png" width="163" height="24 src=">уравнение не имеет корней; при а = 1 уравнение имеет один корень х = -1; при уравнение имеет два корня ; при а = 2 уравнение имеет единственный корень ; при а = 6 уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. При каком значении параметра а уравнение (а - 2)х 2 + (4 – 2а )х + 3 = 0 имеет единственный корень?

Решение . Если а = 2, то уравнение превращается в линейное∙х + 3 = 0; которое не имеет корней.

Если а ≠ 2, то уравнение – квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте D .

D = 0 при а 1 = 2 и a 2 = 5. Значение а = 2 исключается, так как противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ : а = 5.

4.

(а - 1)х 2 + (2а + 3)х + а + 2 = 0 имеет корни одного знака?

Решение. Так как по условию задачи рассмотренное уравнение – квадратное, значит, а ≠ 1. очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицателность дискриминанта

D = (2a + 3)2 – 4(a - 1)(a + 2) = 8a + 17.

Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то х 1∙х 2 > 0, т. е..png" width="149" height="21 src=">.С учетом условий D ≥ 0 и а ≠ 1 получим https://pandia.ru/text/80/021/images/image060.png" width="191" height="52 src=">.

Пример 3. Найти все значения а, для которых уравнение х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) = 0 имеет два положительных корня.

Решение. Из теоремы Виета для того чтобы оба корня х1 и х2 данного уравнения были положительными, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант квадратного трехчлена х2 – 2(а – 1)х + (2а + 1) был неотрицательным, а произведение х1∙х2 и сумма х1 + х2 были положительными. Получаем, что все а, удовлетворяющие системе

И только они, являются решениями поставленной задачи. Э та система равносильна системе

Решением которой, а следовательно, и самой задачи являются все числа из промежутка

Задача № 3 .

При каких значениях параметра kкорни уравнения (k-2)х 2 -2kх+2k-3=0

принадлежат интервалу (0;1)?

Решение.

При k≠2 искомые значения параметра должны удовлетворять системе неравенств

ГдеD= 4k 2 -4(k-2)(2k-3) = -4(k 2 -7k+6), f(0) = 2k-3? F(1) = k-5, x в = k/(k-2).

Данная система не имеет решений.

При k = 2 заданное уравнение имеет вид -4х+1 = 0, его единственный корень

х = ¼, который принадлежит интервалу (0;1).

Задача №4 .

При каких значениях а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 -а = 0 расположены на отрезке?

Искомые значения должны удовлетворять системе неравенств

где D= 4а 2 -4(а 2 -а) = 4а, f(2) = a 2 -5a+4, f(6) = a 2 -13a+36, х в = а.

Единственным решением системы является значение, а = 4.

4. Самостоятельная работа (контрольно - обучающая).

Учащиеся работают в группах, выполняют один и тот же вариант, так как материал очень сложный и не всем может быть по силам.

№1. При каких значениях параметра а оба корня уравнения х 2 -2ах+а 2 - 1 =0 принадлежит интервалу (-2;4)?

№2. Найдите все значения k, при которых один корень уравнения

(k-5)x 2 -2kx+k-4=0 меньше1, а другой корень больше 2.

№3. При каких значениях а число 1 находится между корнями квадратного трехчлена х 2 + (а+1)х - а 2 ?

По окончании времени демонстрируются ответы. Осуществляется самопроверка самостоятельной работы.

5. Итог урока. Закончить предложение.

«Сегодня на уроке…».

«Мне запомнилось …».

«Хотелось бы отметить …».

Учитель анализирует весь ход урока и его основные моменты, оценивает деятельность каждого ученика на уроке.

6. Домашнее задание

(из сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе авт. Л. В. Кузнецова)