Площадь треугольника. Полезные теоремы, следствия и задачи. Презентация на тему "Площадь треугольника. Полезные теоремы, следствия и задачи"

«Доказательство теоремы Пифагора» - Доказательство. Значение теоремы состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Самое простое доказательство. Теорема Пифагора - это одна из самых важных теорем геометрии. Доказательство Евклида. Формулировка теоремы. И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далёкий век.

«Действия над векторами» - Геометрия. Правило треугольника. Сложение векторов. Векторы. Урок изучения нового материала. Вычитание векторов. Изучение правил сложения и вычитания векторов. Тема: «Векторы». Правило параллелограмма. Сложение векторов. Вектор – это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.

«Форма снежинок» - Небесная геометрия. Шарик из пылинки и молекулы воды растет, принимая форму шестигранной призмы. Величина, форма и узор снежинок зависят от температуры и влажности. Цели и задачи. Внутренне строение снежного кристалла определяет его внешний облик. Зависимость форм снежинок от внешних условий. Существуют снежные кристаллы 48 видов, разбитые на 9 классов.

«Теория числа Пи» - Фазовый радиус вселенной. Какие экспериментальные факты могли бы опровергнуть Теорию. Стрела времени имеет только одно направление. Фазовые объемы. Нарушение принципа причинности. Бесконечная скорость распространения взаимодействий. Применение К-принципа (частный случай). Фазовый и метрический объемы тела.

«Площадь треугольника» - Теорема. Площадь треугольника. АС- основание. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. ВС- основание. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. АН1- высота. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

«Геометрия в музыке» - Музыка - есть таинственная арифметика души. Музыка вычисляет, сама того не сознавая. Готфирд Лейбниц. Содружество математики и музыки. Морис Корнелис Эшер. Музыка – дисциплина квадривиума. Геометрия в музыке. Размышления Пифагора. Монохорд. Иоганн Бах. Инструмент с одной струной, которая могла пережиматься в разных местах.

Всего в теме 42 презентации

Видеоурок по геометрии для 8-го класса поможет учащимся изучить тему о нахождении площади треугольника. В теме рассматривается, какой существует способ вычисления площади треугольника, приводятся два следствия, теорема об отношении площадей треугольников.

Вначале урока обозначим некоторые положения для упрощения рассмотрения темы. Рассмотрим для примера треугольник ABC. Часто для удобства одну из сторон в треугольнике принимают за основание. Тогда рассматриваемой высотой будет высота, которая проведена к основанию.

Разберем теорему: площадь треугольника можно вычислить как произведение его основания на высоту, деленное пополам. Утверждение требует доказательства. Допустим, дан треугольник ACB, где его площадь выражается значением S. Будем считать, что сторона AB - это основание треугольника. Проведем перпендикуляр CH. Нужно доказать, что S = 0,5 x AB x CH.

Воспользуемся следующим методом: на основе треугольника ACB начертим параллелограмм ABCD как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники ACB и CBD. CB - это их общая сторона, сторона BA равна DC, сторона CA равна DB, таккак это лежащие напротив друг друга стороны параллелограмма. Треугольники ACB и CBD равны, так как выполняется равенство трех сторон. Из равенства треугольников следует, что равны и их площади. Следовательно, площадь треугольника ACB равна площади параллелограмма ABCD, деленной пополам. Мы знаем, что площадь параллелограмма можно вычислить путем умножения основания на высоту: S ABCD = AB x CH. Значит, площадь треугольника находится как S = 0,5 x AB x CH, что и необходимо было доказать.

Из теоремы следует несколько утверждений.

Первое следствие. Площадь прямоугольного треугольника находится как произведение катетов, деленное на 2.

Второе следствие. Если в двух треугольниках высоты равные, то отношение площадей треугольников равно отношению их оснований.

Второе следствие можно применить при доказательстве теоремы об отношении площадей треугольников, в случае, когда у них один из углов равный.

Эта теорема говорит о том, что, если в двух треугольниках выполняется равенство одного из углов, то отношение площадей этих треугольников будет равно значению отношения произведения сторон, которые заключают равные углы.

Разберем доказательство. Пусть даны два треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 , площади которых равны соответственно S и S 1 . Известно, что угол А равен углу А 1. Докажем, что верно выражение S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 , т.е. площади этих треугольников относятся друг к другу как произведения сторон, которые заключают равные углы.

Далее совместим два треугольника таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A 1 , а стороны A 1 B 1 и A 1 C 1 совпали с лучами AB и AC.Треугольники ABC и AB 1 C (выделен цветом на рисунке) имеют общую высоту CH. Запишем площади этих треугольников. Площадь треугольника ABC равна 0,5 x AB x CH. Площадь треугольника AB 1 C равна 0,5 x AB 1 x CH. Тогда площади относятся друг к другу как (0,5 x AB x CH) / (0,5 x AB 1 x CH) или AB / AB 1 . По аналогии, треугольники AB 1 C и AB 1 C 1 также имеют общую высоту B 1 H 1 (отмечена на рисунке). Площадь треугольника AB 1 C 1 равна 0,5 x A 1 С 1 x BH 1 , а площадь треугольника AB 1 C можно записать по-другому как 0,5 x AC x BH 1 .

Тогда площади треугольников AB 1 C и AB 1 C 1 относятся друг к другу как (0,5 x AC x BH 1) / (0,5 x A 1 С 1 x BH 1) или AС / AС 1 . Перемножив полученные равенства, найдем, что площади треугольников ABC и AB 1 C 1 относятся друг к другу как (AB x AC) / (AB 1 x AC 1). Т.е. S / S 1 = (AB x AC) / A 1 B 1 x A 1 C 1 . Мы доказали теорему.

Слайд 2

Вспомните ответы на вопросы

1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры. 2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур. 3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма? 2

Слайд 3

Площадь геометрической фигуры

Площадью геометрической фигуры называется величина, характеризующая размер данной фигуры. 3

Слайд 4

Основные свойства площадей геометрических фигур

Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. - Эта площадь – единственная. - Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. - Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. - Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается. 4

Слайд 5

Площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. 5 а в S = а · в

Слайд 6

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону 6 а S= а ·h h

Слайд 7

Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними. 7 а в А В С Д S= а · в ·sin А

Слайд 8

Теорема Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную на эту сторону. 8 А В С Д S= ½ AC ·ВД

Слайд 9

Доказательство теоремы

9 А В Д С К S(АВС)= ½ S(АВДС)=1/2 АС · ВК

Слайд 10

Следствия из теоремы

Попробуй доказать самостоятельно следующие следствия из теоремы: 10

Слайд 11

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 11 А В С S= ½ ВС · АС

Слайд 12

Следствие 2

Площадь тупоугольного треугольника равна произведению любой из его сторон на высоту, опущенную на прямую, содержащую эту сторону. 12 А В С Д

Слайд 13

Следствие 3

Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними. 13 А В С S= ½ АВ · АС ·sin А

Слайд 14

Следствие 4

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: 14 где а – сторона треугольника

Слайд 15

Сначала реши легкие задачки

1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см. 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см. 15

Слайд 16

Поясняющие чертежи к этим легким задачкам

16 20 16 6 12 9 1 2 3

Слайд 17

Теперь реши задачки потруднее

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника 21.03.2017 17

Слайд 18

Теперь реши самые трудные задачи

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника. 2. Высота равностороннего треугольника равна h.Вычислите его площадь. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника. 18

Слайд 19

Ответы к легким задачкам

1. 160 см2 2. 9 см 2 3. 54 см 2 19

Слайд 20

Ответы к более трудным задачкам

1. 60 см 2 2. 3. 24 см 2 20

Слайд 21

Ответы к самым трудным задачкам

1. ½ a2sin2 2. 3. 21

Слайд 22

Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения. 22

Слайд 23

Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм: 23

Слайд 24

Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. -Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника. -Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию. -Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм. 24

Слайд 25

Поясняющий чертеж

Слайд 26

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма. 26

Слайд 27

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту! 27

Слайд 28

И в заключении…

Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»! Благодарю за внимание! 28

Посмотреть все слайды

1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры. 1) Сформулируй понятие площади геометрической фигуры. 2) Сформулируй основные свойства площадей геометрических фигур. 3) Как можно вычислить площадь прямоугольника и параллелограмма?

- Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. - Любая плоская геометрическая фигура имеет площадь. - Эта площадь – единственная. - Площадь любой геометрической фигуры выражается положительным числом. - Площадь квадрата со стороной,равной единице,равна единице. - Площадь фигуры равна сумме площадей частей,на которые она разбивается.

1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, 1. Найти площадь треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, опущенная на это основание, равна 20 см. 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 6 см. 3. Найти площадь прямоугольного треугольника, катеты которого равны 9 см и 12 см.

1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь треугольника. 2. Дан равносторонний треугольник со стороной а. Найти площадь треугольника, составленного из средних линий данного треугольника. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из его катетов равен 8 см. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника

1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника. 1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, а угол при основании равен . Найдите площадь треугольника. 2. Высота равностороннего треугольника равна h. Вычислите его площадь. 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен . Найдите площадь треугольника.

Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Определение площадей геометрических фигур - одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу. Один из самых простых и доступных способов вычисления площадей был открыт Евклидом. При вычислении площадей он использовал простой прием, называемый методом разбиения.

Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм: Например, мы уже знаем, как можно вычислить площадь квадрата, прямоугольника и параллелограмма, а нам нужно вычислить площадь произвольного треугольника. Применим следующий алгоритм:

-Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. -Отметим на одной из сторон треугольника точку, которая является серединой этой стороны. -Проведем через эту точку прямую, параллельную одной из сторон этого треугольника. -Прямая разбивает этот треугольник на малый треугольник и трапецию. -Переставим меньший треугольник к трапеции так, чтобы получился параллелограмм.

Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма. Исходный треугольник и полученный параллелограмм являются равносоставными фигурами, а значит и равновеликими.Мы знаем, что равновеликие фигуры - это фигуры, имеющие равные площади. Значит площадь исходного треугольника равна площади полученного параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту! Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, а высота исходного треугольника по построению в 2 раза больше высоты параллелограмма. Значит площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту!

Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»! Надеюсь, что эта информация поможет вам хорошо разобраться в этой теме, а значит получить на контрольной работе только «5»! Благодарю за внимание!