Делимость чисел. Простые и составные числа.

Делимость натуральных чисел.....................................................................................................................
Основная теорема арифметики...................................................................................................................
Признаки делимости....................................................................................................................................
Утверждения, связанные с делимостью чисел...........................................................................................
Устные задачи...............................................................................................................................................
«Полуустные» задачи..................................................................................................................................
Когда до полного числа десятков….............................................................................................................
Задачи на делимость сумм:..........................................................................................................................
Нестандартные задачи...............................................................................................................................
Некоторые задачи из учебников................................................................................................................
Сравнения....................................................................................................................................................
Малая теорема Ферма................................................................................................................................
Решение уравнений в целых числах..........................................................................................................
Список литературы:.....................................................................................................................................

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Одной из целей математического образования, нашедшей отражение в федеральном компоненте государственного стандарта по математике, является интеллектуальное развитие учащихся.

Тема «Делимость чисел. Простые и составные числа» – одна из таких тем, которые, начиная с 5 класса, позволяют в большей степени развивать математические способности детей. Работая в школе с углубленным изучением математики, физики и информатики, где обучение ведется с 7 класса, кафедра математики нашей школы заинтересована в том, чтобы ученики уже в 5-7 классах более подробно знакомились с данной темой. Мы стараемся это реализовать на занятиях в школе юных математиков (ШЮМ), а также в региональном летнем математическом лагере, где вместе с учителями нашей школы преподаю и я. Я постаралась подобрать такие задачи, которые интересны учащимся с 5 по 11 класс. Ведь ученики нашей школы изучают данную тему по программе. А выпускники школы последние 2 года встречаются с задачами по этой теме на ЕГЭ (в задачах типа С6). Теоретический материал в различных случаях рассматриваю в разном объеме.

Делимость натуральных чисел.

Некоторые определения:

Говорят, что натуральное число a делится на натуральное число b, если существует такое натуральное число c, что a=bc. При этом пишут: a b . В этом

случае b называют делителем числа a, а a- кратным числа b. Натуральное число называется простым , если у него нет делителей,

отличных от него самого и от единицы (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.). Число называетсясоставным , если оно не является простым. Единица не является ни простым, ни составным.

Число n делится на простое число p в том и только в том случае, если p встречается среди простых множителей, на которые разлагается n.

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, одновременно являющееся делителем a и делителем b, обозначается НОД (a;b) или D (a;b).

Наименьшим общим кратным называют наименьшее число, делящееся и на a, и на b, обозначается НОК (a;b) или K (a;b).

Числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен единице.

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число n единственным образом (с точностью до порядка множителей) раскладывается в произведение степеней простых сомножителей:

n = p1 k 1 p2 k 2 pm k m

здесь p1, p2 ,…pm - различные простыеделители числа n, а k1 , k2 , …km - степени вхождения (степени кратности) этих делителей.

Признаки делимости

∙ Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2 (то есть четная).

∙ Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

∙ Число делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, составленное из двух последних цифр, делится на 4.

∙ Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

∙ Чтобы узнать, делится ли число на 7 (на 13), надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по 3 цифры в каждой (самая левая группа может содержать 1 или 2 цифры), после чего взять группы с нечетными номерами со знаком «минус», а с четными номерами - со знаком «плюс». Если полученное выражение делится на 7 (на 13), то и заданное число делится на 7 (на 13).

∙ Число делится на 8 тогда и только тогда, когда трехзначное число, составленное из трех последних цифр, делится на 8.

∙ Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма цифр делится на 9.

∙ Число делится на 10 тогда и только тогда, когда последняя цифра - ноль.

∙ Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи, и сумма его цифр, стоящих на нечетных местах в десятичной записи, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Утверждения, связанные с делимостью чисел.

∙ Еслиa b иb c , тоa c .

∙ Если a m , то и ab m.

∙ Если a m и b m, то a+b m

∙ Если a+.b m и a m, то и b m

∙ Если a m и a k, причем m и kвзаимно просты, то a mk

∙ Если ab m и a взаимно просто с m, то b m

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

∙ На занятиях по данной теме в зависимости от возраста учеников, места и времени проведения занятий, я рассматриваю различные задачи. Подбираю эти задачи, в основном, из источников, которые указаны в конце работы, в том числе и из материалов Пермского регионального турнира юных математиков прошлых лет и материалов II и III этапов Российской олимпиады школьников по математике прошлых лет.

Следующие задачи использую для проведения занятий в 5, 6, 7 классах в ШЮМ1 е при прохождении темы «Делимость чисел. Простые и составные числа. Признаки делимости».

Устные задачи.

1. К числу 15 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 15.

Ответ: 1155, 3150, 4155, 6150, 7155, 9150.

2. К числу 10 слева и справа припишите по 1 цифре так, чтобы число делилось на 72.

Ответ: 4104.

3. Некоторое число делится на 6 и на 4. Обязательно ли оно делится на 24?

Ответ: нет, например, 12.

4. Найдите наибольшее натуральное число, кратное 36, в записи которого участвуют все цифры по 1 разу.

Ответ: 9876543120.

5. Дано число 645*7235. Замените * цифрой так, чтобы полученное число стало кратно 3. Ответ: 1, 4, 7.

6. Дано число 72*3*. Замените * цифрами так, чтобы полученное число стало кратно 45. Ответ: 72630, 72135.

«Полуустные» задачи.

1. Сколько воскресений может быть в году?

2. В некотором месяце три воскресенья пришлись на четные числа. Какой день недели был 7 числа этого месяца?

3. Начнем считать пальцы рук следующим образом: первым пусть будет большой палец, вторым – указательный, третьим – средний, четвертым – безымянный, пятым – мизинец, шестым – снова безымянный, седьмым – средний, восьмым – указательный, девятым – большой, десятым – указательный палец и т.д. Какой палец будет 2000-м?

1 ШЮМ – Школа Юных Математиков – субботняя школа при ФМШ №146

Генрих Г.Н.

ФМШ №146 г. Пермь

При каких n число1111...111 делится на 7?

При каких n число1111...111 делится на 999 999 999?

6. Дробь b a – сократима. Будет ли сократима дробьa a + − b b ?

7. В стране Анчурии в обращении имеются купюры достоинством 1 анчур, 10 анчуров, 100 анчуров, 1000 анчуров. Можно ли отсчитать 1 000 000 анчуров с помощью 500 000 купюр?

8. Найдите двузначное число, первая цифра которого равна разности между этим числом и числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке.

1. В году может быть 365 или 366 дней, каждый седьмой день – воскресенье, значит, 365=52× 7+1 или 366=52× 7+2, их может быть 52, или 53, если воскресенье пришлось на 1 число.

2. Эти 3 воскресенья пришлись на 2, 16 и 30 числа. Значит, 7 число этого месяца будет пятницей.

3. Количество пальцев при счете будут повторяться с периодом 8, значит, достаточно посчитать остаток от деления 2000 на 8. Он равен 0. Т.к. восьмым идет указательный палец, то и 2000-ым будет указательный палец.

нацело на 7, а 111111=7× 15873. Отсюда следует, что если в записи данного числа больше 6 единиц, то после каждой 6 единицы очередной остаток равен 0. Т.о.,

число вида 1111...111 делится на 7 тогда и только тогда, когда количество его

цифр делится на 6 , т.е. n=7× t, где tÎ Z.

одновременно. В данном числе количество единиц кратно 9. Однако первое и второе такие числа 111 111 111 и 111 111 111 111 111 111 не делятся на 999 999 999. А число, в котором 18 единиц, делится на 999 999 999. При этом, начиная с 18-го, каждое 18-ое число делится на 999 999 999, т.е. n=18× t, где tÎ N.

6. Дробь		a – сократима, т.е. a=bn, где nÎ Z. Тогда перепишем дробь					a − b
							a + b
bn − b		b (n − 1)		n − 1	Очевидно, что дробь a a + − b b	сократима.
bn + b		b (n + 1)		n + 1

7. Пусть было a купюр достоинством в 1 анчур, b – достоинством в 10 анчуров, c достоинством в 100 анчуров и d достоинством в 1000 анчуров. Получим

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком - удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем - многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55 , запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений.

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8 ÷ 2 = 4 .

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 · 4 = 8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4 , на которое мы умножали делитель, записываем на место частного.

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8 - 8 = 0 .

Данный пример - деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания - это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3 .

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем в результате:

3 · 0 = 0 < 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Под делимым записываем число, полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 - неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6 .

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример - деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1 .

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4 . Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком.

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором - дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число - 14 , так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4 .

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x = 14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ , включая нуль: 0 , 1 , 2 , 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x . Когда в результате умножения получается число 14 , записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делітелем. Если в результате умножения получается число, большее чем x , то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4 · 0 = 0 < 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Под выделенным числом записываем число 12 , полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3 .

3. Столбиком вычитаем из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.

4. Число 2 меньше числа 4 , поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следубщую цифру делимого - 0 . В итоге отмечаем новое рабочее число - 20 .

Важно!

Пункты 2 - 4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20 . Умножая 4 на 0 , 1 , 2 , 3 . . получаем:

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 - множитель, на который проводилось умножение.

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20 - 20 = 0 .

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап - еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае - число 2 .

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0 , 1 , 2 , 3 . . и сравниваем результат с отмеченным числом.

4 · 0 = 0 < 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0 , и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0 .

3. Выполняем операцию вычитания и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8 , так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число - 28 . Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого - 8 . В последний раз повторяем пункты алгоритма 2 - 4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0 . Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072 . Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

Пример 1. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 7136 на натуральное число 9 .

После второго, третьего и четвертого шага алгоритма запись примет вид:

Повторим цикл:

Последний проход, и поучаем результат:

Ответ: Неполное неполное частное чисел 7136 и 9 равно 792 , а остаток равен 8 .

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Пример 2. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим число 7042035 на 7 .

Ответ: 1006005

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2 - 4 остаются неизменными.
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе - добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

Пример 3. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим 5562 на 206 .

В записи делителя участвуют три знака, поэтому в делимом сразу выделим число 556 .
556 > 206 , поэтому принимаем это число за рабочее и переходим к пункту 2 аглоритма.
Умножаем 206 на 0 , 1 , 2 , 3 . . и получаем:

206 · 0 = 0 < 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556 , поэтому под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым - множитель 2

Выполняем вычитание столбиком

В результате вычитания имеем число 144 . Справа от результата под чертой записываем число из соответствующего разряда делимого и получаем новое рабочее число - 1442 .

Повторяем с ним пункты 2 - 4 . Получаем:

206 · 5 = 1030 < 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Под отмеченным рабочим числом записываем 1442 , а в следующий разряд частного записываем цифру 7 - множитель.

Выполняем вычитание в столбик, и понимаем, что на этом операция деления окончена: в делителе более нет цифр, чтобы записать их правее от результата вычитания.

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

Пример 5. Деление натуральных чисел в столбик

Разделим натуральное число 238079 на 34 .

Ответ: 7002

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Деление – одна из четырех основных математических операций (сложение , вычитание , умножение). Деление, как и остальные операции важно не только в математике, но и в повседневной жизни. Например, вы целым классом (человек 25) сдадите деньги и купите подарок учительнице, а потратите не все, останется сдача. Так вот сдачу вам надо будет поделить на всех. В работу вступает операция деления, которая поможет вам решить эту задачу.

Деление – интересная операция, в чем мы и убедимся с вами в этой статье!

Деление чисел

Итак, немного теории, а затем практика! Что такое деление? Деление – это разбивание на равные части чего-либо. То есть это может быть пакет конфет, который нужно разбить на равные части. Например, в пакетике 9 конфет, а человек которые хотят их получить – три. Тогда нужно разделить эти 9 конфет на трех человек.

Записывается это так: 9:3, ответом будет цифра 3. То есть деление числа 9 на число 3 показывает количество чисел три содержащихся в числе 9. Обратным действием, проверочным, будет умножение . 3*3=9. Верно? Абсолютно.

Итак, рассмотрим пример 12:6. Для начала обозначим имена каждому компоненту примера. 12 – делимое, то есть. число которое делиться на части. 6 – делитель, это число частей, на которое делится делимое. А результатом будет число, имеющее название «частное».

Поделим 12 на 6, ответом будет число 2. Проверить решение можно умножением: 2*6=12. Получается, что число 6 содержится 2 раза в числе 12.

Деление с остатком

Что же такое деление с остатком? Это то же самое деление, только в результате получается не ровное число, как показано выше.

Например, поделим 17 на 5. Так как, наибольшее число, делящееся на 5 до 17 это 15, то ответом будет 3 и остаток 2, а записывается так: 17:5=3(2).

Например, 22:7. Точно так же определяемся максимально число, делящееся на 7 до 22. Это число 21. Ответом тогда будет: 3 и остаток 1. А записывается: 22:7=3(1).

Деление на 3 и 9

Частным случаем деления будет деление на число 3 и число 9. Если вы хотите узнать, делиться ли число на 3 или 9 без остатка, то вам потребуется:

Найти сумму цифр делимого.

Поделить на 3 или 9 (в зависимости от того, что вам нужно).

Если ответ получается без остатка, то и число поделится без остатка.

Например, число 18. Сумма цифр 1+8 = 9. Сумма цифр делится как на 3, так и на 9. Число 18:9=2, 18:3=6. Поделено без остатка.

Например, число 63. Сумма цифр 6+3 = 9. Делится как на 9, так и на 3. 63:9=7, а 63:3=21.Такие операции проводятся с любым числом, чтобы узнать делится ли оно с остатком на 3 или 9, или нет.

Умножение и деление

Умножение и деление – это противоположные друг другу операции. Умножение можно использовать как проверку деления, а деление – как проверку умножения. Подробнее узнать об умножении и освоить операцию можете в нашей статье про умножение . В которой подробно описано умножение и как правильно выполнять. Там же найдете таблицу умножения и примеры для тренировки.

Приведем пример проверки деления и умножения. Допустим, дан пример 6*4. Ответ: 24. Тогда проверим ответ делением: 24:4=6, 24:6=4. Решено верно. В этом случае проверка производится путем деления ответа на один из множителей.

Или дан пример на деление 56:8. Ответ: 7. Тогда проверкой будет 8*7=56. Верно? Да. В данном случае проверка производится путем умножения ответа на делитель.

Деление 3 класс

В третьем классе только начинают проходить деление. Поэтому третьеклассники решают самые простые задачки:

Задача 1 . Работнику на фабрике дали задание разложить 56 пирожных в 8 упаковок. Сколько пирожных нужно положить в каждую упаковку, чтобы получилось равно количество в каждой?

Задача 2 . На кануне нового года в школе детям на класс, в котором учится 15 человек, выдали 75 конфет. Сколько конфет должен получить каждый ребенок?

Задача 3 . Рома, Саша и Миша собрали с яблони 27 яблок. Сколько каждый получит яблок, если нужно поделить их одинаково?

Задача 4 . Четыре друга купили 58 штук печенья. Но потом поняли, что им не разделить их поровну. Сколько ребятам нужно докупить печенья, чтобы каждый получил по 15 штук?

Деление 4 класс

Деление в четвертом классе – более серьезное, чем в третьем. Все вычисления проводятся методом деления в столбик, а числа, которые участвуют в делении – не маленькие. Что же такое деление в столбик? Ответ можете найти ниже:

Деление в столбик

Что такое деление в столбик? Это метод позволяющий находить ответ на деление больших чисел. Если простые числа как 16 и 4, можно поделить, и ответ понятен – 4. То 512:8 в уме для ребенка не просто. А рассказать о технике решения подобных примеров – наша задача.

Рассмотрим пример, 512:8.

1 шаг . Запишем делимое и делитель следующим образом:

Частное будет записано в итоге под делителем, а расчеты под делимым.

2 шаг . Деление начинаем слева направо. Сначала берем цифру 5:

3 шаг . Цифра 5 меньше цифры 8, а значит поделить не удастся. Поэтому берем еще одну цифру делимого:

Теперь 51 больше 8. Это неполное частное.

4 шаг . Ставим точку под делителем.

5 шаг . После 51 стоит еще цифра 2, а значит в ответе будет еще одно число, то есть. частное – двузначное число. Ставимвторую точку:

6 шаг . Начинаем операцию деления. Наибольшее число, делимое без остатка на 8 до 51 – 48. Поделив 48 на 8,получаем 6. Записываем число 6 вместо первой точки под делителем:

7 шаг . Затем записываем число ровно под числом 51 и ставим знак «-»:

8 шаг . Затем из 51 вычитаем 48 и получаем ответ 3.

* 9 шаг *. Сносим цифру 2 и записываем рядом с цифрой 3:

10 шаг Получившееся число 32 делим на 8 и получаем вторую цифру ответа – 4.

Итак, ответ 64, без остатка. Если бы делили число 513, то в остатке была бы единица.

Деление трехзначных

Деление трехзначных чисел выполняется методом деления в столбик, который был объяснен на примере выше. Пример как раз-таки трехзначного числа.

Деление дробей

Деление дробей не так сложно, как кажется на первый взгляд. Например, (2/3):(1/4). Метод такого деления довольно прост. 2/3 – делимое, 1/4 – делитель. Можно заменить знак деления (:) на умножение (), но для этого нужно поменять местами числитель и знаменатель делителя. То есть получаем: (2/3) (4/1), (2/3)*4, это равно – 8/3 или 2 целые и 2/3.Приведем еще пример, с иллюстрацией для наилучшего понимания. Рассмотрим дроби (4/7):(2/5):

Как и в предыдущем примере, переворачиваем делитель 2/5 и получаем 5/2, заменяя деление на умножение. Получаем тогда (4/7)*(5/2). Производим сокращение и ответ:10/7, затем выносим целую часть: 1 целая и 3/7.

Деление числа на классы

Представим число 148951784296, и поделим его по три цифры: 148 951 784 296. Итак, справа налево: 296 – класс единиц, 784 - класс тысяч, 951 – класс миллионов, 148 – класс миллиардов. В свою очередь, в каждом классе 3 цифры имеют свой разряд. Справа налево: первая цифра – единицы, вторая цифра – десятки, третья – сотни. Например, класс единиц – 296, 6 – единицы, 9 – десятки, 2 – сотни.

Деление натуральных чисел

Деление натуральных чисел – это самое простое деление описанные в данной статье. Оно может быть, как с остатком, так и без остатка. Делителем и делимым могут быть любые не дробные, целые числа.

Запишитесь на курс "Ускоряем устный счет, НЕ ментальная арифметика", чтобы научиться быстро и правильно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и даже извлекать корни. За 30 дней вы научитесь использовать легкие приемы для упрощения арифметических операций. В каждом уроке новые приемы, понятные примеры и полезные задания.

Деление презентация

Презентация – еще один способ наглядно показать тему деления. Ниже мы найдете ссылку на прекрасную презентацию, в которой хорошо объясняется как делить, что такое деление, что такое делимое, делитель и частное. Время зря не потратите, а свои знания закрепите!

Примеры на деление

Легкий уровень

Средний уровень

Сложный уровень

Игры на развитие устного счета

Специальные развивающие игры разработанные при участии российских ученых из Сколково помогут улучшить навыки устного счета в интересной игровой форме.

Игра "Угадай операцию"

Игра «Угадай операцию» развивает мышление и память. Главная суть игры надо выбрать математический знак, чтобы равенство было верным. На экране даны примеры, посмотрите внимательно и поставьте нужный знак «+» или «-», так чтобы равенство было верным. Знак «+» и «-» расположены внизу на картинке, выберите нужный знак и нажмите на нужную кнопку. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Упрощение"

Игра «Упрощение» развивает мышление и память. Главная суть игры надо быстро выполнить математическую операцию. На экране нарисован ученик у доски, и дано математическое действие, ученику надо посчитать этот пример и написать ответ. Внизу даны три ответа, посчитайте и нажмите нужное вам число с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение"

Игра «Быстрое сложение» развивает мышление и память. Главная суть игры выбирать цифры, сумма которых равна заданной цифре. В этой игре дана матрица от одного до шестнадцати. Над матрицей написано заданное число, надо выбрать цифры в матрице так, чтобы сумма этих цифр была равна заданной цифре. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Визуальная геометрия"

Игра «Визуальная геометрия» развивает мышление и память. Главная суть игры быстро считать количество закрашенных объектов и выбрать его из списка ответов. В этой игре на экране на несколько секунд показываются синие квадратики, их надо быстро посчитать, потом они закрываются. Снизу под таблицей написаны четыре числа, надо выбрать одно правильное число и нажать на него с помощью мышки. Если вы ответили правильно, вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Копилка"

Игра «Копилка» развивает мышление и память. Главная суть игры выбрать, в какой копилке больше денег.В этой игре даны четыре копилки, надо посчитать в какой копилке больше денег и показать с помощью мышки эту копилку. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Игра "Быстрое сложение перезагрузка"

Игра «Быстрое сложение перезагрузка» развивает мышление, память и внимание. Главная суть игры выбрать правильные слагаемые, сумма которых будет равна заданному числу. В этой игре на экране дается три цифры и дается задание, сложите цифру, на экране указывается какую цифру надо сложить. Вы выбираете из трех цифр нужные цифры и нажимаете их. Если вы ответили правильно, то вы набираете очки и продолжаете играть дальше.

Развитие феноменального устного счета

Мы рассмотрели лишь верхушку айсберга, чтобы понять математику лучше - записывайтесь на наш курс: Ускоряем устный счет - НЕ ментальная арифметика.

Из курса вы не просто узнаете десятки приемов для упрощенного и быстрого умножения, сложения, умножения, деления, высчитывания процентов, но и отработаете их в специальных заданиях и развивающих играх! Устный счет тоже требует много внимания и концентрации, которые активно тренируются при решении интересных задач.

Скорочтение за 30 дней

Увеличьте скорость чтения в 2-3 раза за 30 дней. Со 150-200 до 300-600 слов в минуту или с 400 до 800-1200 слов в минуту. В курсе используются традиционные упражнения для развития скорочтения, техники ускоряющие работу мозга, методика прогрессивного увеличения скорости чтения, разбирается психология скорочтения и вопросы участников курса. Подходит детям и взрослым, читающим до 5000 слов в минуту.

Развитие памяти и внимания у ребенка 5-10 лет

В курс входит 30 уроков с полезными советами и упражнениями для развития детей. В каждом уроке полезный совет, несколько интересных упражнений, задание к уроку и дополнительный бонус в конце: развивающая мини-игра от нашего партнера. Длительность курса: 30 дней. Курс полезно проходить не только детям, но и их родителям.

Супер-память за 30 дней

Запоминайте нужную информацию быстро и надолго. Задумываетесь, как открывать дверь или помыть голову? Уверен, что нет, ведь это часть нашей жизни. Легкие и простые упражнения для тренировки памяти можно сделать частью жизни и выполнять понемногу среди дня. Если съесть суточную норму еды за раз, а можно есть порциями в течение дня.

Секреты фитнеса мозга, тренируем память, внимание, мышление, счет

Мозгу, как и телу нужен фитнес. Физические упражнения укрепляют тело, умственные развивают мозг. 30 дней полезных упражнений и развивающих игр на развитие памяти, концентрации внимания, сообразительности и скорочтения укрепят мозг, превратив его в крепкий орешек.

Деньги и мышление миллионера

Почему бывают проблемы с деньгами? В этом курсе мы подробно ответим на этот вопрос, заглянем вглубь проблемы, рассмотрим наши взаимоотношения с деньгами с психологической, экономической и эмоциональных точек зрения. Из курса Вы узнаете, что нужно делать, чтобы решить все свои финансовые проблемы, начать накапливать деньги и в дальнейшем инвестировать их.

Знание психологии денег и способов работы с ними делает человека миллионером. 80% людей при увеличении доходов берут больше кредитов, становясь еще беднее. С другой стороны миллионеры, которые всего добились сами, снова заработают миллионы через 3-5 лет, если начнут с нуля. Этот курс учит грамотному распределению доходов и уменьшению расходов, мотивирует учиться и добиваться целей, учит вкладывать деньги и распознавать лохотрон.

В этой статье мы рассмотрим правила и алгоритмы деления натуральных чисел. Сразу отметим, что здесь мы смотрим только на деление нацело, то есть без остатка. О делении натуральных чисел с остатком читайте в нашем отдельном материале.

Перед тем, как формулировать правило деления натуральных чисел, нужно понять связь деления с умножением. После того, как мы установим эту связь, последовательно рассмотрим самые простые случаи: деление натурального числа на себя и на единицу. Далее разберем деление с помощью таблицы умножения, деление методом последовательного вычитания, деление на числа, кратные числу 10 , различные степени числа 10 .

Для каждого случая приведем и подробно рассмотрим примеры. В конце статьи покажем, как проводить проверку результата деления.

Связь деления с умножением

Чтобы проследить связь между делением и умножением, вспомним, что деление представляется, как разбиение исходного делимого множества на несколько одинаковых множеств. Умножение связано с объединением нескольких одинаковых множеств в одно.

Деление - действие, обратное умножению. Что это значит? Приведем аналогию. Представим, что у нас есть b множеств, в каждом из которых - по с предметов. Общее количество предметов во всех множествах равно a . Умножение - это объединение всех множеств в одно. Математически оно запишется так:

Обратный процесс разбиения полученного общего множества на b множеств по с предметов в каждом соответствует делению:

На основе сказанного можно перейти к следующему утверждению:

Если произведение натуральных чисел c и b равно a , то частное чисел a и b равно c . Перепишем в буквенном виде.

Если b · c = a , то a ÷ b = c

Пользуясь переместительным свойством умножения, можно записать:

Отсюда также следует, что a ÷ с = b .

На основании сказанного можно сформулировать общий вывод. Если произведение чисел c и b равно a , то соответственно частные a ÷ b и a ÷ c равны c и b .

Подытожим все изложенное выше и дадим определение деления натуральных чисел.

Деление натуральных чисел

Деление - нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому известному множителю.

Это определение станет базой, на основе которой мы будем строить правила и методы деления натуральных чисел.

Деление методом последовательного вычитания

Только что мы говорили о делении в контексте умножения. На основе этого знания можно проводить операцию деления. Однако, существует еще один, достаточно простой и достойный внимания подход - деление методом последовательного вычитания. Этот способ понятен интуитивно, поэтому рассмотрим его на примере, не приводя теоретических выкладок.

Заголовок

Сколько будет 12 разделить на 4 ?

Иными словами данную задачу можно сформулировать так: имеется 12 предметов (например, апельсинов), и их нужно разделить на равные группы по 4 предмета (разложить в коробки по 4 штуки). Сколько будет таких групп или коробок по четыре апельсина в каждой?

Шаг за шагом будем отнимать от исходного количества по 4 апельсина и формировать группы по 4 до того момента, пока апельсины не закончатся. Количество шагов, которые нам придется сделать, и будет ответом на изначальный вопрос.

Из 12 апельсинов откладываем первую четверку в коробку. После этого в исходной куче апельсинов остается 12 - 4 = 8 цитрусовых. Из этих восьми в другую коробку забираем еще 4 . Теперь в исходной куче апельсинов осталось 8 - 4 = 4 штуки. Из этих четырех штук как раз можно сформировать еще одну, отдельную третью коробку, после чего в исходной куче останется 4 - 4 = 0 апельсинов.

Итак, мы получили 3 коробки, по 4 предмета в каждой. Иными словами, мы разделили 12 на 4 , и получили в результате 3 .

Работая с числами, не нужно каждый раз проводить аналогию с предметами. Что мы делали с делимым и делителем? Последовательно вычитали делитель из делимого, пока не получили нуль в остатке.

Важно!

При делении методом последовательного вычитания количество операций вычитания до получения нулевого остатка и есть частное от деления.

Для закрепления рассмотрим еще один, более сложный пример.

Пример 1. Деление последовательным вычитанием

Вычислим результат деления числа 108 на 27 методом последовательного вычитания.

Первое действие: 108 - 27 = 81 .

Второе действие: 81 - 27 = 54 .

Третье действие: 54 - 27 = 27 .

Четвертое действие: 27 - 27 = 0 .

Более действий не требуется. Мы получили ответ:

Отметим, что данный метод удобен только в случаях, когда необходимое количество последовательных вычитаний невелико. В остальных случаях целесообразно применять правила деления, которые мы рассмотрим ниже.

Деление равных натуральных чисел

Согласно свойствам натуральных чисел, сформулируем правило, как делить равные натуральные числа.

Деление равных натуральных чисел

Частное от деления натурального числа на равное ему натуральное число равно единице!

Например:

1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 141 = 1 ; 2589 ÷ 2589 = 1 ; 100000000 ÷ 100000000 = 1 .

Деление на единицу

Основываясь на свойствах натуральных чисел, можно также сформулировать правило деление натурального числа на единицу.

Деление натурального числа на единицу

Частное от деления любого натурального числа на единицу равно самому делимому числу.

Например:

1 ÷ 1 = 1 ; 141 ÷ 1 = 141 ; 2589 ÷ 1 = 2589 ; 100000000 ÷ 1 = 100000000 .

Таблица умножения - удобный инструмент, который позволяет найти произведения однозначных натуральных чисел. Однако, ее можно использовать и для деления.

Таблица умножения позволяет находить не только результат произведения множителей, но и множитель по известному произведению и другому множителю. Как мы выяснили ранее, деление - это как раз и есть нахождение неизвестного множителя по известному произведению и еще одному множителю.

С помощью таблицы умножения можно проводить деление любого числа на желтом фоне на любое однозначное натуральное число. Покажем, как это делать. Есть два способа, применение которых мы будем рассматривать на примерах.

Разделим 48 на 6 .

Способ первый.

В столбце, верхняя ячейка которого содержит делитель 6 , находим делимое 48 . Результат деления при этом находится в крайней левой ячейке строки, содержащей делимое. Он обведен синей окружностью.

Способ второй.

Сначала в строке с делителем 6 находим делимое 48 . Результат деления при этом находится в крайней верхней ячейке столбца, содержащем делимое. Он обведен синей окружностью.

Итак, мы разделили 48 на 6 и получили 8 . Результат был найден по таблице умножения двумя способами. Оба способа абсолютно идентичны.

Для закрепления рассмотрим еще один пример. Разделим 7 на 1 . Приведем рисунки, иллюстрирующие процесс деления.

В результате деления числа 7 на 1, как вы уже догадались, получается число 7 . В делении с помощью таблицы умножения очень важно знать эту таблицу наизусть, так как не всегда можно иметь ее под рукой.

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Сразу сформулируем правило деления на натуральных чисел на 10 , 100 , 1000 и т.д. Сразу будем считать, что деление без остатка возможно.

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Результатом деления натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т.д. является такое натуральное число, запись которого получается из записи делимого если справа от него отбросить 1 , 2 , 3 и т.д. нулей.

Отбрасывается столько нулей, сколько из есть в записи делителя!

Например, 30 ÷ 10 = 3 . От числа 30 мы отбросили один нуль.

Частное 120000 ÷ 1000 равно 120 - от числа 120000 отбрасываем справа три нуля, именно столько их содержится в делителе.

Обоснование правила строится на правиле умножения натурального числа на 10 , 100 , 1000 и т.д. Приведем пример. Пусть нужно разделить 10200 на 100 .

10200 = 102 · 100

10200 ÷ 100 = 102 · 100 100 = 102 .

Представление делимого в виде произведения

При делении натуральных чисел не стоит забывать о свойстве деления произведения двух чисел на натуральное число. Иногда делимое можно представить в виде произведения, один из множителей в котором делится на делитель.

Рассмотрим типичные случаи.

Пример 2. Представление делимого в виде произведения

Разделим 30 на 3 .

Делимое 30 можно представить в виде произведения 30 = 3 · 10 .

Имеем: 30 ÷ 3 = 3 · 10 ÷ 3

Воспользовавшись свойством деления произведения двух чисел, получаем:

3 · 10 ÷ 3 = 3 ÷ 3 · 10 = 1 · 10 = 10

Приведем еще несколько аналогичных примеров.

Пример 3. Представление делимого в виде произведения

Вычислим частное 7200 ÷ 72 .

Представляем делимое в виде 7200 = 72 · 100 . При этом, результат деления будет следующим:

7200 ÷ 72 = 72 · 100 ÷ 72 = 72 ÷ 72 ÷ 100 = 100

Пример 4. Представление делимого в виде произведения

Вычислим частное: 1600000 ÷ 160 .

1600000 = 160 · 10000

1600000 ÷ 160 = 160 · 10000 ÷ 160 = 160 ÷ 160 · 10000 = 10000

В более сложных примерах удобно пользоваться таблицей умножения. Проиллюстрируем это.

Пример 5. Представление делимого в виде произведения

Разделим 5400 на 9 .

Таблица умножения подсказывает нам, что 54 делится на 9 , поэтому делимое целесообразно представить в виде произведения:

5400 = 54 · 100 .

Теперь закончим деление:

5400 ÷ 9 = 54 · 100 ÷ 9 = 54 ÷ 9 · 100 = 6 · 100 = 600

Для закрепления данного материала рассмотрим еще один пример, уже без подробных словесных пояснений.

Пример 6. Представление делимого в виде произведения

Посчитаем, сколько будет 120 разделить на 4 .

120 ÷ 4 = 12 · 10 ÷ 4 = 12 ÷ 4 · 10 = 3 · 10 = 30

Деление натуральных чисел, оканчивающихся на нуль

При делении чисел, записи которых оканчиваются цифрой 0 , полезно помнить свойство деления натурального числа на произведение двух чисел. При этом, делитель представляется в виде произведения двух множителей, после чего указанное свойство находит применение в совокупности с таблицей умножения.

Как всегда, поясним это на примерах.

Пример 7. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

Разделим 490 на 70 .

Запишем 70 в виде:

Используя свойство деления натурального числа на произведение, можно записать:

490 ÷ 70 = 490 ÷ 7 · 10 = 490 ÷ 10 ÷ 7 .

Деление на 10 мы уже разобрали в предыдущем пункте.

490 ÷ 10 ÷ 7 = 49 ÷ 7 = 7

Для закрепления разберем еще один, более сложный пример.

Пример 8. Деление натуральных чисел, оканчивающихся на 0

Возьмем числа 54000 и 5400 и разделим их.

54000 ÷ 5400 = ?

Представим 5400 в виде 54 · 100 и запишем:

54000 ÷ 5400 = 54000 ÷ 54 · 100 = 54000 ÷ 100 ÷ 54 = 540 ÷ 54 .

Теперь делимое 540 представляем в виде 54 · 10 и записываем:

540 ÷ 54 = 54 · 10 ÷ 54 = 54 ÷ 54 · 10 = 10

54000 ÷ 5400 = 10 .

Подведем итог по изложенному в данном пункте.

Важно!

Если в записях делимого и делителя справа присутствуют нули, то нужно избавиться от одинакового количества нулей как в делимом, так и в делителе. После этого выполнить деление получившихся чисел.

Например, деление чисел 64000 и 8000 сведется к делению чисел 64 и 8 .

Метод подбора частного

Прежде чем рассматривать этот способ деления, введем некоторые условия.

Пусть числа a и b делятся друг на друга, причем произведение b · 10 дает число, большее, чем a . В таком случае частное a ÷ b является однозначным натуральным числом. Иными словами, это число от 1 до 9 . Это типичная ситуация, когда метод подбора частного удобен и применим. Последовательно умножая делитель на 1 , 2 , 3 , . . , 9 и сравнивая результат с делимым, можно найти частное.

Рассмотрим пример.

Пример 9. Подбор частного

Разделим 108 на 27 .

Легко заметить, что 27 · 10 = 270 ; 270 > 108 .

Начнем подбор частного.

27 · 1 = 27 27 · 2 = 54 27 · 3 = 81 27 · 4 = 108

Бинго! Частное найдено методом подбора:

Отметим, что в случаях, когда b · 10 > a частное также удобно находить методом последовательного вычитания.

Представление делимого в виде суммы

Еще один способ, который может помочь найти частное - это представить делимое в виде суммы нескольких натуральных чисел, каждое из которых легко делится на делитель. После этого нам пригодится свойство деления суммы натуральных чисел на число. Вместе с примером рассмотрим алгоритм и ответим на вопрос: в виде каких слагаемых представлять делимое?

Пусть делимое равно 8551 , а делитель равен 17 .

1. Вычислим, на сколько в записи делимого больше знаков, чем в записи делителя. В нашем случае делитель содержит два знака, а делимое - четыре. Значит в записи делимого на два знака больше. Запоминаем число 2 .
2. Справа в делителе дописываем два нуля. Почему два? В предыдущем пункте мы как раз и определили это число. Однако, если записанное в результате число окажется больше делителя, из числа, полученного в предыдущем пункте, нужно вычесть 1 . В нашем примере, дописав нули к делителю, мы получили число 1700 < 8551 . Таким образом, отнимать единицу из двойки, полученной в первом пункте, не нужно. В памяти так же оставляем число 2 .
3. К числу 1 справа приписываем нули в количестве, определенном числом из предыдущего пункта. Тем самым мы получаем рабочую единицу разряда, с которым будем оперировать далее. В нашем случае, к единице приписываются два нуля. Рабочий разряд - сотни.
4. Проводим последовательное умножения делителя на 1 , 2 , 3 и т.д. единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее, чем делимое. 17 · 100 = 1700 ; 17 · 200 = 3400 ; 17 · 300 = 5100 ; 17 · 400 = 6400 ; 17 · 500 = 8500 ; 17 · 600 = 10200 Нас интересует предпоследний результат, так как следующий после него результат произведения больше делимого. Число 8500 , которое получено на предпоследнем шаге при умножении, и является первым слагаемым. Запоминаем равенство, которое мы будем использовать далее: 8500 = 17 · 500 .
5. Вычисляем разность между делимым и найденным слагаемым. Если она не равна нулю, возвращаемся к первому пункту и начинаем поиск второго слагаемого, используя вместо делимого уже полученную разность. Повторяем пункты до тех пор, пока в результате не получим нуль. В нашем примере разность равна 8551 - 8500 = 51 . 51 ≠ 0 , поэтому, переходим к пункту 1 .

Повторяем алгоритм:

1. Сравниваем количество знаков в новом делимом 51 и делителе 17 . В обоих записях по две цифры, разность количества знаков равно нулю. Запоминаем число 0 .
2. Так как мы запомнили число 0 , в записи делителя не нужно дописывать дополнительных нулей.
3. К единице также не будем добавлять нулей. Опять же, потому что в первом пункте мы запоминали число 0 . Таким образом, нашим рабочим разрядом являются единицы
4. Последовательно умножаем 17 на 1 , 2 , 3 , . . и т.д. Получаем: 17 · 1 = 17 ; 17 · 2 = 34 ; 17 · 3 = 51 .
5. Очевидно, на третьем шаге мы получили число, равное делителю. Это и есть второе слагаемое. Так как 51 - 51 = 0 , на этом этапе останавливаем поиск слагаемых - он завершен.

Теперь осталось найти частное. Делимое 8551 мы представили в виде суммы 8500 + 51 . Запишем:

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 .

Результаты делений в скобках известны нам из проведенных ранее действий.

8500 + 51 ÷ 17 = 8500 ÷ 17 + 51 ÷ 17 = 500 + 3 = 503 .

Результат деления: 8551 ÷ 17 = 503 .

Рассмотрим еще несколько примеров, уже не комментируя каждое действие столь детально.

Пример 10. Деление натуральных чисел

Найдем частное: 64 ÷ 2 .

1. В записи делимого на один знак больше, чем в записи делителя. Запоминаем цифру 1 .

2. Справа у делителя приписываем один нуль.

3. К числу 1 приписываем один нуль и получаем единицу рабочего разряда - 10 . Рабочий разряд, таким образом - десятки.

4. Начинаем последовательное умножение делителя на единицы рабочего разряда. 2 · 10 = 20 ; 2 · 20 = 40 ; 2 · 30 = 60 ; 2 · 40 = 80 ; 80 > 64 .

Первое найденное слагаемое - число 60.

Равенство 60 ÷ 2 = 30 ещё пригодится нам в будущем.

5. Ищем второе слагаемое. Для этого вычисляем разность 64 - 60 = 4 . Число 4 делится на 2 без остатка, очевидно, это и есть второе слагаемое.

Теперь находим частное:

64 ÷ 2 = 60 + 4 ÷ 2 = 60 ÷ 2 + 4 ÷ 2 = 30 + 2 = 32 .

Пример 11. Деление натуральных чисел

Решим: 1178 ÷ 31 = ?

1. Видим, что в записи делимого на два знака больше, чем в делителе. Запоминаем число 2 .

2. К делителю справа добавляем два нуля. Получаем число 3100 .

3100 > 1178 , поэтому запомненное число 2 из первого пункта нужно уменьшить на единицу.

3. К единице справа добавляем один нуль и получаем рабочий разряд - десятки.

4. Умножаем 31 на 10 , 20 , 30 , . . и т.д.

31 · 10 = 310 ; 31 · 20 = 620 ; 31 · 30 = 930 ; 31 · 40 = 1240

1240 > 1178 , следовательно, первым слагаемым является число 930 .

5. Вычисляем разность 1178 - 930 = 248 . С числом 248 на месте делимого начинаем искать второе слагаемое.

1. В записи числа 248 на один знак больше, чем в числе 31 . Запоминаем цифру 1 .

2. К 31 прибавляем справа один нуль. Так как 310 > 248 , уменьшаем полученную в предыдущем пункте единицу, и в итоге имеем число 0 .

3. Так как мы запомнили число 0 , то к единице не нужно приписывать дополнительных нулей, и разряд единиц - рабочий разряд.

4. Последовательно умножаем 31 на 1 , 2 , 3 , . . и т.д., сравнивая результат c делимым.

31 · 1 = 31 ; 31 · 2 = 62 ; 31 · 3 = 93 ; 31 · 4 = 124 ; 31 · 5 = 155 ; 31 · 6 = 186 ; 31 · 7 = 217 ; 31 · 8 = 248

Таким образом, именно число 248 и является вторым слагаемым, которое делится на 31 .

5. Разность 248 - 248 равна нулю. Заканчиваем поиск слагаемых, запоминаем соотношение 248 ÷ 31 = 8 и находим частное.

1178 ÷ 31 = 930 + 248 ÷ 31 = 930 ÷ 31 + 248 ÷ 31 = 30 + 8 = 38 .

Постепенно увеличиваем сложность примеров.

Пример 12. Деление натуральных чисел

Разделим 13984 на 32 .

В данном случае описанный выше алгоритм нужно будет применить три раза. Не будем приводить все выкладки, просто укажем, в виде каких слагаемых будет представлен делитель. Вы можете проверить себя, и провести вычисления самостоятельно.

Первое слагаемое равно 12800 .

12800 ÷ 32 = 400 .

Второе слагаемое равно 960 .

960 ÷ 32 = 30 .

Третье слагаемое равно 224 .

Результат:

13984 ÷ 32 = 12800 + 960 + 224 ÷ 32 = 12800 ÷ 32 + 960 ÷ 32 + 224 ÷ 32 = 400 + 30 + 7 = 437 .

Казалось бы, мы рассмотрели практически все возможные способы деления натуральных чисел. На этом, тему можно считать закрытой. Однако, есть способ, который в ряде случаев позволяет провести деление быстрее и рациональнее.

Рассмотрим его напоследок.

Представление делимого в виде разности натуральных чисел

Иногда делимое проще и удобнее представлять в виде разности, а не суммы. Это может значительно ускорить и облегчить процесс деления. Как именно? Покажем на примере.

Пример 13. Деление натуральных чисел

Разделим 594 на 6 .

Если воспользоваться алгоритмом из предыдущего пункта, мы получим в результате:

594 ÷ 6 = 540 + 54 ÷ 6 = 540 ÷ 6 + 54 ÷ 6 = 90 + 9 = 99 .

Однако, если число 594 представить в виде разности 600 - 6 , все становится гораздо очевиднее. Оба числа 600 и 6) делятся на 6 . По свойству деления разности натуральных чисел, мы получаем:

594 ÷ 6 = 600 - 6 ÷ 6 = 600 ÷ 6 - 6 ÷ 6 = 100 - 1 = 99

Результат тот же, но действия объективно легче и проще.

Решим еще один пример тем же методом. Отметим, что важно уметь правильно заметить, какую манипуляцию сделать с числами, чтобы провести деление легко. Скажем даже, что в этом присутствует некоторый элемент искусства.

Пример 14. Деление натуральных чисел

Вспоминаем таблицу умножение и понимаем: число 483 удобно представить в виде 483 = 490 - 7 .

490 ÷ 7 = 70 7 ÷ 7 = 1

Проводим деление:

483 ÷ 7 = (490 - 7) ÷ 7 = 490 ÷ 7 - 7 ÷ 7 = 70 - 1 = 69 .

Проверка результата деления

Проверка никогда не бывает лишней, особенно, если мы делили большие числа. Как проверять, правильно ли выполнено деление натуральных чисел? При помощи умножения!

Чтобы проверить правильно ли выполнено деление, нужно частное умножить на делитель. В результате должно получится делимое.

Смысл этого действия очень прост. Например, у нас было a предметов, и эти a предметов мы разложили на b кучек. В каждой кучке оказалось по с предметов. Математически это выглядит так:

Теперь объединим обратно все b кучек по с предметов. В результате должно получится та же совокупность предметов a .

Рассмотрим проведение проверки на двух примерах.

Пример 15. Проверка результата деления натуральных чисел

Число 475 разделили на 19 . В результате получилось 25 . Правильно ли выполнено деление?

Умножим частное 25 на делитель 19 и выясним, верно ли разделили числа.

25 · 19 = 475 .

Число 475 равно делимому, значит, деление выполнено верно.

Пример 16. Проверка результата деления натуральных чисел

Разделите и проверьте результат:

Будем представлять делимое в виде суммы слагаемых и осуществлять деление.

1024 ÷ 32 = 960 + 64 ÷ 32 = 960 ÷ 32 + 64 ÷ 32 = 30 + 2 = 32 .

Проверим результат:

32 · 32 = 1024 .

Вывод: деление выполнено верно.

Проверка результата деления чисел делением

Рассмотренный выше способ проверки основан на умножении. Существует также проверка делением. Как ее проводить?

Проверка результата деления

Чтобы проверить верно ли найдено частное, нужно делимое разделить на полученное частное. В результате должен получится делитель.

Если выходит иначе, можно сделать вывод о том, что где-то закралась ошибка.

Правило основано на той же связи между делимым, делителем и частным, что и правило из предыдущего пункта.

Рассмотрим примеры.

Пример 17. Проверка результата деления натуральных чисел

Верно ли равенство:

Разделим делимое на частное:

104 ÷ 8 = 80 + 24 ÷ 8 = 80 ÷ 8 + 24 ÷ 8 = 10 + 3 = 13 .

В результате получился делитель, значит, деление выполнено верно.

Пример 18. Проверка результата деления натуральных чисел

Вычислим и проверим: 240 ÷ 15 = ?

Представляя делимое в виде суммы, получаем:

240 ÷ 15 = 150 + 90 ÷ 15 = 150 ÷ 15 + 90 ÷ 15 = 10 + 6 = 16 .

Проверяем результат:

240 ÷ 16 = 160 + 80 ÷ 16 = 160 ÷ 16 + 80 ÷ 16 = 10 + 5 = 15 .

Деление выполнено верно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Отношение делимости. Если при делении с остатком натурального числа а на натуральное число b остаток равен 0, то говорят что а делится на b. В этом случае а называют кратным числа b, b называют делителем числа а.

Обозначение а:b

Запись символами (а,bN) (а:b)(сN) (а=вс).

Простое число. Натуральное число называют простым, если оно делится только на себя и на единицу, т.е если у него только два делителя.

Составное число. Натуральное число называют составным, если у него более двух делителей.

• 1 не является ни простым, ни составным числом, т.к имеет только один делитель - себя.
• 2 - единственное четное простое число.

Свойства отношения делимости:

• 1. если а делится на b, то а?b.
• 2. рефлексивность, т.е. каждое натуральное число делится само на себя.
• 3. антисимметричность, т.е. если два числа не равны, и первое из них делится на второе, то второе не делится на первое.
• 4. транзитивность, т.е. если первое число делится на второе число, второе число делится на третье число, то первое число делится на третье число.

Отношение делимости на N - это отношение частичного нестрогого порядка. Порядок частичный, т.к. есть такие пары разных натуральных чисел, ни одно из которых не делится на другое.

Признак делимости суммы на число. Если каждое слагаемое суммы делится на число, то вся сумма делится на это число (для того чтобы сумма делилась на число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если каждое слагаемое не делится на число, то вся сумма может делиться на это число.

Признак делимости разности на число. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на число и уменьшаемое больше вычитаемого, то разность делится на это число (для того чтобы разность делилась на число, достаточно, чтобы уменьшаемое и вычитаемое делились на это число, при условии, что эта разность положительна). Этот признак не является необходимым, т.е. уменьшаемое и вычитаемое могут не делиться на число, а их разность может делиться на это число.

Признак неделимости суммы на число. Если все слагаемые суммы, кроме одного, делятся на число, то сумма не делится на это число.

Признак делимости произведения на число. Если хотя бы один множитель в произведении делится на число, то произведение делится на это число (для того чтобы произведение делилось на число, достаточно, чтобы один множитель в произведении делился на это число). Этот признак не является необходимым, т.е. если ни один множитель в произведении не делится на число, то произведение может делиться на это число.

Признак делимости произведения на произведение. Если число а делится на число b, число с делится на число d, то произведение чисел а и с делится на произведение чисел b и d. Этот признак не является необходимым.

Признак делимости натуральных чисел на 2. Чтобы натуральное число делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на одну из цифр 0, 2, 4, 6 или 8.

Признак делимости натуральных чисел на 5. Чтобы натуральное число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5.

Признак делимости натуральных чисел на 4. Чтобы натуральное число делилось на 4, необходимо и достаточно, чтобы десятичная запись этого числа оканчивалась на 00 или две последние цифры в десятичной записи этого числа образовывали двузначное число, кратное 4.

Признак делимости натуральных чисел на 3. Чтобы натуральное число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 3.

Признак делимости натуральных чисел на 9. Чтобы натуральное число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех цифр десятичной записи этого числа делилась на 9.

Общий делитель натуральных чисел а и в - это натуральное число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Наибольший общий делитель натуральных чисел а и в- это наибольшее натуральное число из всех общих делителей этих чисел.

Обозначение НОД (а, в)

Свойства НОД (а, в):

• 1. всегда существует и только один.
• 2. не превосходит меньшего из а и в.
• 3. делится на любой общий делитель а и в.

Общее кратное натуральных чисел а и в - это натуральное число, кратное каждому из этих чисел.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел а и в - это наименьшее натуральное число из всех общих кратных этих чисел.

Обозначение НОК (а, в)

Свойства НОК (а, в):

• 1. всегда существует и только одно.
• 2. не меньше большего из а и в.
• 3. любое общее кратное а и в делится на него.

Взаимно простые числа. Натуральные числа а и в называют взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме 1, т.е. НОД (а, в)=1.

Признак делимости на составное число. Чтобы натуральное число а делилось на произведение взаимно простых чисел m и n, необходимо и достаточно, чтобы число а делилось на каждое из них.

• 1. Чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 3 и на 4.
• 2. Чтобы число делилось на 18, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 9.

Разложение числа на простые множители- это представление этого числа в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики. Любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Алгоритм нахождения НОД:

Записать произведение общих для данных чисел простых множителей, причем каждый множитель записать с наименьшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОД данных чисел.

Алгоритм нахождения НОК:

Разложить каждое число на простые множители.

Записать произведение всех простых множителей из разложений, причем каждый из них записать с наибольшим показателем, с каким он входит во все разложения.

Найти значение полученного произведения. Это и будет НОК данных чисел.

Множество положительных рациональных чисел

Дробь. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е , который состоит из n отрезков, равных e .

Если отрезок а состоит из m отрезков, равных e . то его длина может быть представлена в виде

Символ называют дробью ; m, n - натуральные числа; m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. n показывает, на сколько равных частей разделена единица измерения; m показывает, сколько таких частей содержится в отрезке a.

Равные дроби. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка в одной единице измерения, называют равными.

Признак равенства дробей.

Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

Сокращение дроби - это замена данной дроби другой, равной ей, но с меньшим числителем и знаменателем.

Несократимая дробь - это дробь, числитель и знаменатель которой взаимно простые числа, т.е. их НОД равен единице.

Приведение дробей к общему знаменателю - это замена данных дробей другими, равными им с равными знаменателями.

Положительное рациональное число - это бесконечное множество разных по написанию, но равных между собой дробей; каждая дробь этого множества есть форма записи этого положительного рационального числа.

Равные положительные рациональные числа - это числа, которые могут быть записаны равными дробями.

Сумма положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a b представлено дробью, то их суммой с , представленное дробью.

Переместительное свойство сложения. От перемены мест слагаемых, значение суммы не меняется.

Сочетательное свойство сложения. Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего.

Существование суммы и её единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их сумма всегда существует и причем единственна.

Правильная дробь - дробь. числитель которой меньше знаменателя.

Неправильная дробь - дробь, числитель которой больше знаменателя или равен ему.

Неправильную дробь можно записать в виде натурального числа или в виде смешанной дроби.

Смешанная дробь - это сумма натурального числа и правильной дроби (принято записывать без знака сложения).

Отношение «меньше» на Q . Положительное рациональное число b меньше положительного рационального числа a, если существует положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Свойства отношения «меньше».

• 1. Антирефлексивность. Ни одно число не может быть меньше самого себя.
• 2. Антисимметричность. Если первое число меньше второго, то второе не может быть меньше первого.
• 3. Транзитивность. Если первое число меньше второго, а второе меньше третьего, то первое число меньше третьего.
• 4. Связанность. Если два числа не равны, то либо первое меньше второго, либо второе меньше первого.

Отношение «меньше» на Q - это отношение строгого линейного порядка.

Разность положительных рациональных чисел. Разностью положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c , которое в сумме с b дает a .

Существование разности. Разность чисел a и b существует тогда и только тогда, когда b меньше a .

Если разность существует, то она единственная.

Произведение положительных рациональных чисел. Если положительное рациональное число a представлено дробью, положительное рациональное число b представлено дробью, то их произведением называется положительное рациональное число с , представленное дробью.

Существование произведения и его единственность. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b их произведение всегда существует и причем единственно.

Переместительное свойство умножения. От перемены мест сомножителей значение произведения не меняется.

Сочетательное свойство умножения. Чтобы произведение двух чисел умножить на третье, можно первое число умножить на произведение второго и третьего.

Распределительное свойство умножения относительно сложения. Чтобы сумму чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные произведения сложить.

Частное положительных рациональных чисел. Частным положительных рациональных чисел a и b называется положительное рациональное число c, которое при умножении на b дает a .

Существование частного. Каковы бы не были положительные рациональные числа a и b , их частное всегда существует и причем единственное.

Множество Q и его свойства.

• 1. Q линейно упорядоченно с помощью отношения «меньше».
• 2. В Q нет наименьшего числа.
• 3. В Q нет наибольшего числа.
• 4. Q бесконечное множество.
• 5. Q плотно в себе, т.е. меду любыми двумя разными положительными рациональными числами заключено бесконечное множество положительных рациональных чисел.

Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей.

Десятичная дробь - это дробь вида m/n , где m и n - натуральные числа.

Виды десятичных дробей. Конечные, бесконечные, периодические (чисто периодические и смешанно периодические), непериодические.

Конечная десятичная дробь - это дробь. в которой после запятой стоит конечное число цифр.

Бесконечная периодическая десятичная дробь - это дробь, которая получается бесконечным повторением одной и той же группой цифр, начиная с некоторого номера, а повторяющаяся группа цифр называется её периодом.

Чисто периодические и смешанно периодические дроби. Если период дроби начинается сразу после запятой, то эта дробь называется чисто периодической. Если между запятой и началом периода есть несколько цифр, то дробь называется смешано периодической.

Теорема. Любое положительное рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную. Для перевода надо числитель делить на знаменатель в столбик. При делении получится либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая.

Перевод конечной десятичной дроби в обыкновенную. Отбросить запятую, полученное число записать в числитель, а в знаменатель записать столько нулей после единицы, сколько цифр было после запятой.

Перевод чисто периодической дроби в обыкновенную. Период дроби записать в числитель, а в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде.

Перевод смешанно периодической дроби в обыкновенную. В числитель записать разность между числом, стоящим между запятой и второй скобкой, и числом, стоящим между запятой и первой скобкой; в знаменатель записать столько девяток, сколько цифр в периоде, и столько нулей после них, сколько цифр между запятой и первой скобкой.

Теорема. Чтобы несократимую дробь можно было записать в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5.