Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Где y x - расчетное значение по уравнению.

Значение средней ошибки аппроксимации до 15% свидетельствует о хорошо подобранной модели уравнения.

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии .
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии:
y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	|y - y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
... ... ...

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

F-статистики. Критерий Фишера.










3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

б) степенная регрессия ;
Решение проводится с помощью сервиса Нелинейная регрессия . При выборе укажите Степенная y = ax b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Министерство сельского хозяйства РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Пермская государственная сельскохозяйственная академия

имени академика Д.Н.Прянишникова»

Кафедра финансов, кредита и экономического анализа

Контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» Вариант - 10

Ошибки аппроксимации и ее определение………………………………….3

Аналитический способ выравнивания временного ряда и используемые при этом функции……………………………………………………………..4

Практическая часть……………………………………………………….....11

1. Задание 1………………………………………………………………11

   Задание 2……………………………………………….……………...19

Список использованной литературы……………………………………….....25

1. Ошибки аппроксимации и ее определение.

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных данных от фактических. Она определяется в процентах по модулю.

Фактические значения результативного признака отличаются от теоретических. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным, это лучшее качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Их число соответствует объему совокупности. В отдельных случаях ошибка апроксимации может оказаться равной нулю. Для сравнения используются величины отклонений, выраженные в процентах к фактическим значениям.

Поскольку может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Отклонения можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, и как относительную ошибку аппроксимации. Чтоб иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации как среднюю арифметическую простую.

Среднюю ошибку аппроксимации рассчитают по формуле:

Возможно и иное определение средней ошибки аппроксимации:

Если А£10-12%, то можно говорить о хорошем качестве модели.

1. Аналитический способ выравнивания временного ряда и используемые при этом функции.

Более совершенным приемом выявления основной тенденции развития в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями. Вид уравнения определяется характером динамики развития конкретного явления. На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции y=f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая и экспоненциальная. Во многих случаях моделирование рядов динамики с помощью полиномов или экспоненциальной функции не дает удовлетворительных результатов, так как в рядах динамики содержатся заметные периодические колебания вокруг общей тенденции. В таких случаях следует использовать гармонический анализ (гармоники ряда Фурье). Применение, именно, этого метода предпочтительно, поскольку он определяет закон, по которому можно достаточно точно спрогнозировать значения уровней ряда.

Целью же аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической или графической зависимости y=f(t). Функцию y=f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Это могут быть различные функции.

Системы уравнений вида y=f(t) для оценки параметров полиномов по МНК

(кликабельно)

Графическое представление полиномов n-порядка

1. Если изменение уровней ряда характеризуется равномерным увеличением (уменьшением) уровней, когда абсолютные цепные приросты близки по величине, тенденцию развития характеризует уравнение прямой линии.

2. Если в результате анализа типа тенденции динамики установлена криволинейная зависимость, примерно с постоянным ускорением, то форма тенденции выражается уравнением параболы второго порядка.

3. Если рост уровней ряда динамики происходит в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста более или менее постоянны, выравнивание ряда динамики ведется по показательной функции.

После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения - это метод наименьших квадратов, в котором в качестве решения принимается точка минимума суммы квадратов отклонений между теоретическими (выравненными по выбранному уравнению) и эмпирическими уровнями.

Выравнивание по прямой (определение линии тренда) имеет выражение: yt=a0+a1t

t-условное обозначение времени;

а 0 и a1-параметры искомой прямой.

Параметры прямой находятся из решения системы уравнений:

Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась Σt = 0, т. е. начало отсчета времени перенести в середину рассматриваемого периода. Если до переноса точки отсчета t = 1, 2, 3, 4…, то после переноса:

если число уровней ряда нечетное t = -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4

если число уровней ряда четное t = -7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7

Таким образом, ∑t в нечетной степени всегда будет равна нулю.

Аналогично находятся параметры параболы 2-го порядка из решения системы урав­нений:

Выравнивание по среднему абсолютному приросту или среднему коэффициенту роста:

Δ-средний абсолютный прирост;

К-средний коэффициент роста;

У0-начальный уровень ряда;

Уn-конечный уровень ряда;

t-порядковый номер уровня, начиная с нуля.

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Значимость выбранного уравнения регрессии, параметров уравнения и коэффициента корреляции следует оценить, применив критические методы оценки:

F-критерий Фишера, t–критерий Стьюдента, при этом, расчетные значения критериев сравниваются с табличными (критическими) при заданном уровне значимости и числе степеней свободы. Fфакт > Fтеор - уравнение регрессии адекватно.

n - число наблюдений (уровней ряда), m - число параметров уравнения (модели) регрессии.

Проверка адекватности уравнения регрессии (качества модели в целом) осуществляется с помощью средней ошибки аппроксимации, величина которой не должна превышать 10-12% (рекомендовано).

Курсовая работа

по дисциплине «Эконометрика»

«Комплексный анализ взаимосвязи финансово-экономических показателей деятельности предприятий»

Вариант № 12

Выполнил:

студент группы ЭЭТ-312

Логунов Н.Ю.

Проверила:

доц. Ишханян М.В.

Москва 2015

Постановка задачи

1. Составление корреляционной матрицы. Отбор факторов

2. Построение уравнения множественной линейной регрессии. Интерпретация параметров уравнения

3. Коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции

4.Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии

4.1.Средняя относительная ошибка аппроксимации

4.2.Проверка статистической значимости уравнения множественной регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера

4.3.Проверка статистической значимости параметров уравнения множественной регрессии. Интервальные оценки параметров

5.Применение регрессионной модели

5.1.Точечный прогноз

5.2.Частные коэффициенты эластичности и средние частные коэффициенты эластичности

6.Анализ остатков регрессионной модели (проверка предпосылок теоремы Гаусса-Маркова)

6.1.Оценки математического ожидания остатков

6.2.Проверка наличия автокорреляции в остатках

7.Критерий Грегори Чоу

Постановка задачи

Заданы значения 6 показателей, характеризующих экономическую деятельность 53 предприятий. Требуется:

1. Составить корреляционную матрицу. Скорректировать набор независимых переменных (отобрать 2 фактора).

4.2. Проверить статистическую значимость уравнения множественной регрессии в целом с помощью F-критерия Фишера. Сделать выводы

4.3. Проверить статистическую значимость параметров уравнения множественной регрессии. Построить интервальные оценки параметров. Сделать выводы.

5. Применение регрессионной модели:

5.1. Используя построенное уравнение, дать точечный прогноз. Найти значение исследуемого параметра y, если значение первого фактора (наиболее тесно связанного с у) составит 110% от его среднего значения, значение второго фактора составит 80% от его среднего значения. Дать экономическую интерпретацию результата.

5.2. Найти частные коэффициенты эластичности и средние частные коэффициенты эластичности. Интерпретировать результаты. Сделать выводы.

6. Провести анализ остатков регрессионной модели (проверить требования теоремы Гаусса-Маркова):

6.1. Найти оценки математического ожидания остатков.

6.2. Проверить наличие автокорреляции в остатках. Сделать вывод.

7. Разделите выборку на две равные части. Рассматривая первые и последние наблюдения как независимые выборки, проверить гипотезу о возможности объединения их в единую выборку по критерию Грегори-Чоу.

Составление корреляционной матрицы. Отбор факторов

№ предприятия	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
	13,26	1,45	167,69	0,78	1,37
	10,16	1,3	186,1	0,75	1,49
	13,72	1,37	220,45	0,68	1,44
	12,85	1,65	169,3	0,7	1,42
	10,63	1,91	39,53	0,62	1,35
	9,12	1,68	40,41	0,76	1,39
	25,83	1,94	102,96	0,73	1,16
	23,39	1,89	37,02	0,71	1,27
	14,68	1,94	45,74	0,69	1,16
	10,05	2,06	40,07	0,73	1,25
	13,99	1,96	45,44	0,68	1,13
	9,68	1,02	41,08	0,74	1,1
	10,03	1,85	136,14	0,66	1,15
	9,13	0,88	42,39	0,72	1,23
	5,37	0,62	37,39	0,68	1,39
	9,86	1,09	101,78	0,77	1,38
	12,62	1,6	47,55	0,78	1,35
	5,02	1,53	32,61	0,78	1,42
	21,18	1,4	103,25	0,81	1,37
	25,17	2,22	38,95	0,79	1,41
	19,4	1,32	81,32	0,77	1,35
		1,48	67,26	0,78	1,48
	6,57	0,68	59,92	0,72	1,24
	14,19	2,3	107,34	0,79	1,40
	15,81	1,37	512,6	0,77	1,45
	5,23	1,51	53,81	0,8	1,4
	7,99	1,43	80,83	0,71	1,28
	17,5	1,82	59,42	0,79	1,33
	17,16	2,62	36,96	0,76	1,22
	14,54	1,75	91,43	0,78	1,28
	6,24	1,54	17,16	0,62	1,47
	12,08	2,25	27,29	0,75	1,27
	9,49	1,07	184,33	0,71	1,51
	9,28	1,44	58,42	0,74	1,46
	11,42	1,4	59,4	0,65	1,27
	10,31	1,31	49,63	0,66	1,43
	8,65	1,12	391,27	0,84	1,5
	10,94	1,16	258,62	0,74	1,35
	9,87	0,88	75,66	0,75	1,41
	6,14	1,07	123,68	0,75	1,47
	12,93	1,24	37,21	0,79	1,35
	9,78	1,49	53,37	0,72	1,4
	13,22	2,03	32,87	0,7	1,2
	17,29	1,84	45,63	0,66	1,15
	7,11	1,22	48,41	0,69	1,09
	22,49	1,72	13,58	0,71	1,26
	12,14	1,75	63,99	0,73	1,36
	15,25	1,46	104,55	0,65	1,15
	31,34	1,6	222,11	0,82	1,87
	11,56	1,47	25,76	0,8	1,17
	30,14	1,38	29,52	0,83	1,61
	19,71	1,41	41,99	0,7	1,34
	23,56	1,39	78,11	0,74	1,22

1.Составить корреляционную матрицу. Скорректировать набор независимых переменных (отобрать 2 фактора).

Рассмотрим результативный признак Y3 и факторные признаки Х10, X12, Х5, Х7, Х13 .

Составим корреляционную матрицу с помощью опции «Анализ данных→Корреляция» в MS Excel:

	Y3	X10	X12	X5	X7	X13
Y3	1,0000	0,3653	0,0185	0,2891	0,1736	0,0828
X10	0,3653	1,0000	-0,2198	-0,0166	-0,2061	-0,0627
X12	0,0185	-0,2198	1,0000	0,2392	0,3796	0,6308
X5	0,2891	-0,0166	0,2392	1,0000	0,4147	0,0883
X7	0,1736	-0,2061	0,3796	0,4147	1,0000	0,1939
X13	0,0828	-0,0627	0,6308	0,0883	0,1939	1,0000

Отбираем 2 фактора по критериям:

1) связь Y и X должна быть максимальной

2) связь между Xми должна быть наименьшей

Таким образом, в следующих пунктах работа будет производиться с факторами X10 , X5.

Построение уравнения множественной линейной регрессии. Интерпретация параметров уравнения.

2. Построить уравнение множественной линейной регрессии. Дать интерпретацию параметров уравнения.

Составим регрессионную модель с помощью пакета анализа «Анализ данных→Регрессия» в MS Excel:

	Коэффициенты
Y	-20,7163
X 10	5,7169
X 5	34,9321

Уравнение регрессии будет выглядеть следующим образом:

ŷ = b 0 + b 10 * x 10 + b 5 * x 5

ŷ = -20,7163-5,7169* x 10 +34,9321* x 5

1) b10 положительный;

2) b5 положительный;

Коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции

3. Найти коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции. Сделать выводы.

В регрессионном анализе, выполненном с помощью пакета анализа «Анализ данных→Регрессия» в MS Excel, найдём таблицу «Регрессионная статистика»:

Множественный R-связь между Y3 и X10,X5 слабая

R-квадрат-22,05% вариации признака Y объясняется вариацией признаков X10 и X5

Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии

4. Оценить качество уравнения множественной линейной регрессии:

Средняя относительная ошибка аппроксимации

4.1. Найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать выводы.

Рассчитаем прогнозные значения для каждого наблюдения или воспользуемся столбцом «Предсказанное У» в таблице «Вывод остатка» в регрессионном анализе, выполненном с помощью пакета анализа «Анализ данных→Регрессия» в MS Excel)

Вычислим относительные ошибки для каждого наблюдения по формуле:

Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Вывод: 20% < А < 50%, качество уравнения среднее (удовлетворительное).

Эмпирические коэффициенты регрессии b 0 , b 1 будем определять с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного процессораMS Excel.

Алгоритм определения коэффициентов состоит в следующем.

1. Вводимисходные данные в табличный процессор MS Excel.

2. Вызываемнадстройку Анализ данных(рисунок 2).

3.Выбираем инструмент анализа Регрессия(рисунок 3).

4. Заполняем соответствующие позиции окна Регрессия (рисунок 4).

5. Нажимаем кнопку ОК окна Регрессия и получаем протокол решения задачи (рисунок 5)

Рисунок 3 – Выбор инструмента Регрессия

Рисунок 4 – Окно Регрессия

Рисунок 5 – Протокол решения задачи

Из рисунка 5 видно, что эмпирические коэффициенты регрессии соответственно равны

b 0 = 223,

b 1 = 0, 0088.

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающая величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимумахимеет вид

.(3.2)

Далее, в соответствии с заданием необходимо оценить тесноту статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции . Величина этого коэффициента на рисунке 5 обозначена как множественный R и соответственно равна 0,038. Поскольку теоретически величина данного коэффициента находится в пределахот –1 до +1, то можно сделать вывод о не существенности статистической связимежду величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у.

Параметр «R – квадрат», представленныйна рисунке 5 представляет собой квадрат коэффициента корреляции и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную регрессией (объясняющей переменной х). Соответственно величина 1- характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из рисунка 5 видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 1- 0,00145 = 0,998 или 99,8%.

На следующем этапе, в соответствии с заданием необходимо определить степень связи объясняющей переменной х с зависимой переменной у, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной линейной регрессии определяется в виде:

Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется на 0,000758%.

. (3.4)

Для этого исходную таблицу 1 дополняем двумя колонками, в которых определяем значения, рассчитанные с использованием зависимости (3.2) и значения разности .

Таблица 3.2. Расчет средней ошибки аппроксимации.

Тогда средняя ошибка аппроксимации равна

.

Из практики известно, что значение средней ошибки аппроксимации не должно превышать (12…15)%

На последнем этапе выполним оценкустатистической надежности моделирования спомощью F – критерия Фишера. Для этого выполним проверку нулевой гипотезы Н 0 о статистической не значимости полученного уравнения регрессиипо условию:

если при заданном уровне значимости a = 0,05 теоретическое (расчетное) значение F-критерия больше его критического значения F крит (табличного), то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Из рисунка 5 следует, что F расч = 0,0058. Критическое значение F-критерия определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР (рисунок 6). Входными параметрами функции является уровень значимости (вероятность) и число степеней свободы 1 и 2. Для модели парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 (одна объясняющая переменная) и n-2 = 6-2=4.

Рисунок 6 – Окно статистической функции FРАСПОБР

Из рисунка 6 видно, что критическое значение F-критерия равно 7,71.

Так как F расч < F крит, то нулевая гипотеза не отвергается и полученное регрессионное уравнение статистически незначимо.

13. Построение модели множественной регрессии с использованием EXCEL.

В соответствии с вариантом задания, используя статистический материал, необходимо.

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии пояснить экономический смысл его параметров.

2. Дать сравнительную оценку тесноты связи факторов с результативным признаком с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.

3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F-критерия.

4. Оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации.

Исходные данные для построения модели парной регрессии приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3. Исходные данные.

Чистый доход, млн. долларов США у	Оборот капитала, мл. долл. США, х 1	Использованный капитал, мл. долл. США, х 2
6,6	6,9	83,6
2,7	93,6	25,4
1,6	10,0	6,4
2,4	31,5	12,5
3,3	36,7	14,3
1,8	13,8	6,5
2,4	64,8	22,7
1,6	30,4	15,8
1,4	12,1	9,3
0,9	31,3	18,9

Технология построения уравнения регрессии аналогична алгоритму, изложенному в пункте 3.1. Протокол построения уравнения регрессии показан на рисунке 7.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,901759207
R-квадрат	0,813169667
Нормированный R-квадрат	0,759789572
Стандартная ошибка	0,789962026
Наблюдения
Дисперсионный анализ
	df	MS	F
Регрессия		9,50635999	15,23357468
Остаток		0,624040003
Итого
	Коэффициенты	t-статистика
Y-пересечение	1,113140304	2,270238114
Переменная X 1	-0,000592199	-0,061275574
Переменная X 2	0,063902851	5,496523193

Рисунок 7. Вывод итогов.

Для общей оценки качества построенной эконометрической определяются такие характеристики как коэффициент детерминации, индекс корреляции, средняя относительная ошибка аппроксимации, а также проверяется значимость уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера. Перечисленные характеристики являются достаточно универсальными и могут применяться как для линейных, так и для нелинейных моделей, а также моделей с двумя и более факторными переменными. Определяющее значение при вычислении всех перечисленных характеристик качества играет ряд остатков ε i , который вычисляется путем вычитания из фактических (полученных по наблюдениям) значений исследуемого признака y i значений, рассчитанных по уравнению модели y рi .

Коэффициент детерминации

показывает, какая доля изменения исследуемого признака учтена в модели. Другими словами коэффициент детерминации показывает, какая часть изменения исследуемой переменной может быть вычислена, исходя из изменений включённых в модель факторных переменных с помощью выбранного типа функции, связывающей факторные переменные и исследуемый признак в уравнении модели.

Коэффициент детерминации R 2 может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе коэффициент детерминации R 2 к единице, тем лучше качество модели.

Индекс корреляции можно легко вычислить, зная коэффициент детерминации:

Индекс корреляции R характеризует тесноту выбранного при построении модели типа связи между учтёнными в модели факторами и исследуемой переменной. В случае линейной парной регрессии его значение по абсолютной величине совпадает с коэффициентом парной корреляции r (x, y) , который мы рассмотрели ранее, и характеризует тесноту линейной связи между x и y . Значения индекса корреляции, очевидно, также лежат в интервале от 0 до 1. Чем ближе величина R к единице, тем теснее выбранный вид функции связывает между собой факторные переменные и исследуемый признак, тем лучше качество модели.

(2.11)

выражается в процентах и характеризует точность модели. Приемлимая точность модели при решении практических задач может определяться, исходя из соображений экономической целесообразности с учётом конкретной ситуации. Широко применяется критерий, в соответствии с которым точность считается удовлетворительной, если средняя относительная погрешность меньше 15%. Если E отн.ср. меньше 5%, то говорят, что модель имеет высокую точность. Не рекомендуется применять для анализа и прогноза модели с неудовлетворительной точностью, то есть, когда E отн.ср. больше 15%.

F-критерий Фишера используется для оценки значимости уравнения регрессии. Расчётное значение F-критерия определяется из соотношения:

. (2.12)

Критическое значение F -критерия определяется по таблицам при заданном уровне значимости α и степенях свободы (можно использовать функцию FРАСПОБР в Excel). Здесь, по-прежнему, m – число факторов, учтённых в модели, n – количество наблюдений. Если расчётное значение больше критического, то уравнение модели признаётся значимым. Чем больше расчётное значение F -критерия, тем лучше качество модели.

Определим характеристики качества построенной нами линейной модели для Примера 1 . Воспользуемся данными Таблицы 2. Коэффициент детерминации :

Следовательно, в рамках линейной модели изменение объёма продаж на 90,1% объясняется изменением температуры воздуха.

Индекс корреляции

.

Значение индекса корреляции в случае парной линейной модели как мы видим, действительно по модулю равно коэффициенту корреляции между соответствующими переменными (объём продаж и температура). Поскольку полученное значение достаточно близко к единице, то можно сделать вывод о наличии тесной линейной связи между исследуемой переменной (объём продаж) и факторной переменноё (температура).

F-критерий Фишера

Критическое значение F кр при α = 0,1; ν 1 =1; ν 2 =7-1-1=5 равно 4,06. Расчётное значение F -критерия больше табличного, следовательно, уравнение модели является значимым.

Средняя относительная ошибка аппроксимации

Построенная линейная модель парной регрессии имеет неудовлетворительную точность (>15%), и её не рекомендуется использовать для анализа и прогнозирования.

В итоге, несмотря на то, что большинство статистических характеристик удовлетворяют предъявляемым к ним критериям, линейная модель парной регрессии непригодна для прогнозирования объёма продаж в зависимости от температуры воздуха. Нелинейный характер зависимости между указанными переменными по данным наблюдений достаточно хорошо виден на Рис.1. Проведённый анализ это подтвердил.