отрезок на прямой l.)

13) Дан параллелограмм ABCD. Через данную точку P проведите прямую, параллельную данной прямой l. (Указание: примените 10 к центру параллелограмма и воспользуйтесь 8.)

14) Дан параллелограмм; увеличьте данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13 и 11.)

15) Дан параллелограмм; разделите данный отрезок на n равных частей.

16) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку прямую, параллельную данной прямой. (Указание: примените 13.)

17) Дан неподвижный круг с центром. Увеличьте и уменьшите данный отрезок в n раз. (Указание: примените 13.)

18) Дан неподвижный круг с центром. Проведите через данную точку перпендикуляр к данной прямой. (Указание: воспользуйтесь прямоугольником, вписанным в данный круг, с двумя сторонами, параллельными данной прямой, и сведите к предшествующим задачам.)

19) Пересмотрев задачи 1–18, перечислите, какие основные задачи на построение можно выполнить с помощью двусторонней линейки (с двумя параллельными сторонами).

20) Две данные прямые l 1 и l2 пересекаются в точке P , находящейся за пределами чертежа. Постройте прямую, соединяющую данную точку Q с точкой P . (Указание: дополните заданные элементы таким образом, чтобы получилась конфигурация плоскостной теоремы Дезарга, причем P и Q стали бы точками пересечения взаимно соответствующих сторон двух треугольников.)

21) Проведите прямую через две точки, между которыми расстояние больше, чем длина линейки. (Указание: примените 20.)

22) Прямые l 1 и l2 пересекаются в точке P ; прямые m1 и m2 - в точке Q; обе точки P и Q - за пределами чертежа. Постройте ту часть прямой P Q, которая находится в пределах чертежа. (Указание: чтобы получить точку прямой P Q, постройте конфигурацию Дезарга таким образом, чтобы две стороны одного треугольника лежали соответственно на l1 и m1 , две стороны другого - соответственно на l2 и m2 ).

23) Решите 20 с помощью теоремы Паскаля (стр. 209 ). (Указание: достройте конфигурацию Паскаля, рассматривая l1 и l2 как пару противоположных сторон шестиугольника, а Q - как точку пересечения другой пары противоположных сторон.)

*24) Каждая из двух прямых, целиком лежащих за пределами чертежа, задана двумя парами прямых линий, пересекающихся за пределами чертежа

в точках соответствующей прямой. Определите точку их пересечения с помощью двух прямых, пересекающихся за пределами чертежа.

§ 8. Конические сечения и квадрики

1. Элементарная метрическая геометрия конических сечений. До сих пор мы занимались только точками, прямыми, плоскостями и фигурами, составленными из конечного числа этих элементов. Если бы проективная геометрия ограничивалась рассмотрением таких «ли-

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

нейных» фигур, она была бы сравнительно малоинтересна. Но фактом первостепенного значения является то обстоятельство, что проективная геометрия этим не ограничивается, а включает также обширную область конических сечений и их многомерных обобщений. Аполлониева метрическая трактовка конических сечений - эллипсов, гипербол и парабол - была одним из выдающихся успехов античной математики. Едва ли можно переоценить значение конических сечений как для чистой, так и для прикладной математики (например, орбиты планет и орбиты электронов в атоме водорода являются коническими сечениями). Не приходится удивляться тому, что классическая, возникшая в Древней Греции, теория конических сечений и в наши дни составляет необходимую часть математического образования. Но греческая геометрия никоим образом не сказала последнего слова. Через две тысячи лет были открыты замечательные проективные свойства конических сечений. Несмотря на простоту и изящество этих свойств, академическая инерция до настоящего времени служит препятствием их проникновению в школьное преподавание.

Начнем с того, что напомним метрические определения конических течений. Таких определений несколько, и их эквивалентность доказывается в элементарной геометрии. Наиболее распространенные определения связаны с фокусами кривых. Эллипс определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что сумма их расстояний r1 и r2 от двух данных точек F1 и F2 , называемых фокусами, имеет постоянное значение. (Если фокусы совпадают, кривая превращается в окружность.) Гипербола определяется как геометрическое место таких точек P на плоскости, что абсолютная величина разности r1 − r2 равно одной и той же постоянной величине. Парабола определяется как геометрическое место точек P , расстояние которых r от данной точки F равно расстоянию от данной прямой l.

В аналитической геометрии эти кривые представляются уравнениями второй степени относительно прямоугольных координат x, y. Нетрудно доказать, обратно, что всякая кривая, представляемая уравнением второго порядка

ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0,

есть или одно из трех названных выше конических сечений, или прямая линия, или пара прямых, или сводится к одной точке, или носит чисто мнимый характер. Как показывается во всяком курсе аналитической геометрии, для доказательства достаточно сделать надлежащим образом подобранную замену координатной системы.

Указанные выше определения конических сечений - существенно метрические, так как пользуются понятием расстояния. Но вот другое определение, устанавливающее место конических сечений в проективной

Рис. 94. Конические сечения

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

геометрии: конические сечения суть не что иное, как проекции окружности на плоскость. Если мы станем проектировать окружность C из некоторой точки O, то проектирующие прямые образуют бесконечный двойной конус, и пересечение этого конуса с плоскостью p будет проекцией окружности C. Кривая пересечения будет эллипсом или гиперболой,

смотря по тому, пересечет ли плоскость только одну «полость» конуса или обе. Возможен и промежуточный случай параболы, если плоскость p параллельна одной из проектирующих прямых, проведенных через O (рис. 94).

Проектирующий конус не обязан быть «прямым круговым» с вершиной O, расположенной вертикально над центром окружности C: он может быть и «наклонным». Но во всех случаях (как мы примем здесь, не приводя доказательства) в пересечении конуса с плоскостью получается кривая, уравнение которой - второй степени; и обратно, всякая кривая второго порядка может быть получена из окружности посредством проектирования. По этой именно причине кривые второго порядка иначе называются коническими сечениями.

Мы уже отметили, что если плоскость пересекает только одну «полость» прямого кругового конуса, то пересечение E представляет собой эллипс. Нетрудно установить, что кри-

вая E удовлетворяет обыкновенному фокальному определению эллипса, которое было сформулировано выше. Приведем очень простое и изящное доказательство, данное в 1822 г. бельгийским математиком Данделеном. Представим себе две сферы S1 и S2 (рис. 95), которые касаются плоскости сечения p соответственно в точках F1 и F2 и, кроме того, касаются конуса вдоль параллельных окружностей K1 и K2 . Взяв произвольную точку P кривой E, проведем отрезки P F1 и P F2 . Затем рассмотрим отрезок P O, соединяющий точку P с вершиной конуса O; этот отрезок целиком лежит на поверхности конуса; обозначим через Q1 и Q2 точки его пересечения с окружностями K1 и K2 . Так как P F1 и P Q1 - две

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

касательные, проведенные из точки P к одной и той же сфере S1 , то

P F1 = P Q1 .

Точно так же

P F2 = P Q2 .

Складывая эти равенства, мы получаем:

P F1 + P F2 = P Q1 + P Q2 .

Но P Q1 + P Q2 = Q1 Q2 есть расстояние между параллельными окружностями K1 и K2 на поверхности конуса: оно не зависит от выбора точки P на кривой E. Отсюда следует, что, какова бы ни была точка P на E, имеет место равенство

P F1 + P F2 = const,

а это и есть фокальное определение эллипса. Итак, E есть эллипс, a F1 и F2 - его фокусы.

Упражнение. Если плоскость пересекает обе «полости» конуса, то кривая пересечения - гипербола. Докажите это утверждение, помещая по одной сфере в каждой из «полостей» конуса.

2. Проективные свойства конических сечений. Основываясь на положениях, установленных в предыдущем пункте, примем теперь временно следующее определение: коническое сечение есть проекция окружности на плоскость. Это определение в боль-

шей степени отвечает духу проективной геометрии, чем общепринятые фокаль- Рис. 95. Сферы Данделена

ные определения, так как эти последние всецело опираются на метрическое понятие расстояния. Новое определение тоже не вполне свободно от этого недостатка, поскольку «окружность» - также метрическое понятие. Но через мгновение мы придем к чисто проективному определению конических сечений.

Раз мы приняли, что коническое сечение есть не что иное, как проекция окружности (другими словами, под термином «коническое сечение» мы понимаем любую кривую, принадлежащую проективному

			ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА
	классу окружности; см. стр. 206 ), то отсюда сейчас же следует, что
	всякое свойство окружности, инвариантное относительно проективных
						преобразований,	должно так-
						же принадлежать любому ко-
						ническому сечению. Вспомним
						теперь следующее хорошо из-
						вестное - метрическое - свой-
						ство окружности: «вписанные в
						окружность углы, опирающие-
						ся на одну и ту же дугу, рав-
						ны между собой». На рис. 96
						угол AOB, опирающийся на ду-
						гу AB, не зависит от положения
						точки O на окружности. Свя-
						ятельство с проективным поня-
	Рис. 96. Двойное отношение на окружно-					тием двойного отношения, вво-
						дя на окружности уже не две
						точки A, B, а четыре: A, B, C,
	D. Четыре прямые a, b, c, d, соединяющие эти точки с точкой O на
	окружности, имеют двойное отношение (a, b, c, d), зависящее только от
	углов, опирающихся на дуги CA, CB, DA, DB. Соединяя A, B, C, D

с какой-нибудь другой точкой O0 на окружности, получим прямые a0 , b0 , c0 , d0 . Из отмеченного ранее свойства окружности вытекает, что две четверки прямых «конгруэнтны»1 . Поэтому у них будет одно и то же двойное отношение: (a0 b0 c0 d0 ) = (abcd). Спроектируем окружность на некоторое коническое сечение K: тогда на K получится четверка точек, которые мы снова обозначим через A, B, C, D, две точки O и O0 и две четверки прямых a, b, c, d и a0 , b0 , c0 , d0 . Эти две четверки прямых уже не будут конгруэнтны, так как углы при проектировании, вообще говоря, не сохраняются. Но так как двойное отношение при проектировании не изменяется, то равенство (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ) по-прежнему имеет место. Мы пришли, таким образом, к следующей основной теореме: если четыре точки конического сечения K, например A, B, C, D, соединены

с пятой точкой O того же сечения прямыми a, b, c, d, то двойное отношение (abcd) не зависит от положения O на кривой K (рис. 97).

Это - замечательный результат. Как нам уже известно, если четыре точки A, B, C, D взяты на прямой, то двойное отношение, составленное из соединяющих эти точки с пятой точкой O прямых, не зависит от

1 Четверка прямых a, b, c, d считается конгруэнтной другой четверке a 0 , b0 , c0 , d0 , если углы между каждой парой прямых в первой четверке равны как по величине, так и по направлению отсчета углам между соответствующими прямыми второй четверки.

	КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ
выбора этой пятой точки. Это - исходное положение, лежащее в основе
проективной геометрии. Теперь мы узнали, что аналогичное утвержде-
ние справедливо и относительно четырех точек, взятых на некотором
коническом сечении K, однако с существенным ограничением: пятая
точка O уже не может свободно двигаться по всей плоскости, а может
только перемещаться по коническому сечению K.
	Не представляет особого труда доказать и обратную теорему в следу-
ющей форме: если на кривой K имеются две точки O и O0 , обладающие
тем свойством, что какова бы ни была четверка точек A, B, C, D на
кривой K, двойные отношения, составленные из прямых, соединяющих
эти точки с O, и из прямых, соединяющих эти точки с O0 , равны
между собой, то кривая K есть коническое сечение (а уж тогда, по
прямой теореме, двойное отношение, составленное из прямых, соеди-
няющих четыре данные точки с произвольной точкой O00 на K, будет
иметь одно и то же постоянное значение). Но доказательства мы здесь
приводить не будем.
	Изложенные проективные свойства конических сечений наводят на
мысль об общем методе точечного построения этих кривых. Условимся
под пучком прямых понимать совокупность всех прямых плоскости,
проходящих через данную точ-
ку O. Рассмотрим пучки прямых,
проходящих через две
	O0 , расположенные
ческом сечении K. Между пря-
мыми пучка O и прямыми пуч-
	O0 можно установить взаим-
но однозначное соответствие, со-
поставляя прямой a из первого
пучка прямую a0 из второго вся-
кий раз, как a и a0 встречаются			Рис. 97. Двойное отношение на эллипсе
в некоторой точке A кривой K.
Тогда любая четверка прямых a,
b, c, d из пучка O будет иметь то же двойное отношение, что и со-
ответствующая четверка a0 , b0 , c0 , d0 из пучка O0 . Всякое взаимно од-
нозначное соответствие между двумя пучками прямых, обладающее
этим последним свойством, называется проективным соответствием.
(Это определение двойственно по отношению к определению проектив-
ного соответствия между точками на двух прямых, см. стр. 198 –198 .)
Пользуясь этим определением, можно теперь утверждать: коническое
сечение K есть геометрическое место точек пересечения взаимно со-
ответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном
соответствии. Полученная теорема подводит фундамент под следу-
ющее чисто проективное определение конических сечений: коническим

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

сечением называется геометрическое место точек пересечения взаимно соответствующих прямых из двух пучков, находящихся в проективном соответствии1 . Как ни соблазнительно проникнуть в глубь теории конических сечений, строящейся на таком определении, однако мы вынуждены ограничиться немногими замечаниями по этому поводу.

Пары пучков, находящихся в проективном соответствии, можно получить следующим образом. Спроектируем все точки P прямой линии l из двух разных центров O и O00 и установим между проектирующими пучками взаимно однозначное соответствие, сопоставляя друг другу те прямые, которые пересекаются на прямой l. Этого достаточно, чтобы полученные пучки находились в проективном соответствии. Затем возьмем пучок O00 и перенесем его «как нечто твердое» в произвольное положение O0 . Что новый пучок O0 будет находиться в проективном соответствии с пучком O, это совершенно очевидно. Но замечательно то, что любое проективное соответствие между двумя пучками можно

Рис. 98. К построению проективных пучков прямых

получить именно таким образом. (Это обстоятельство двойственно по отношению к упражнению 1 на стр. 199 .) Если пучки O и O0 конгруэнтны, получается окружность. Если углы между соответствующими лучами в двух пучках равны, но отсчитываются в противоположных направлениях, то получается равносторонняя гипербола (рис. 99).

Следует еще заметить, что указанное определение конического сечения может, в частности, дать и прямую линию, как это показано на рис. 98. В этом случае прямая OO00 соответствует сама себе, и все ее точки должны быть рассматриваемы как принадлежащие искомому геометрическому месту. Таким образом, коническое сечение вырождается в

1 Это геометрическое место, при известных обстоятельствах, может вырождаться в прямую линию; см. рис. 98.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

пару прямых: это обстоятельство вполне согласуется с тем фактом, что существуют сечения конуса, состоящие из двух прямых (если секущая плоскость проходит через вершину конуса).

9 8 O 7

Рис. 99. Образование окружности и равносторонней гиперболы с помощью проективных пучков

Упражнения. 1) Вычертите эллипсы, гиперболы и параболы с помощью проективных пучков. (Читателю настойчиво рекомендуется экспериментировать с подобного рода построениями. Это в высшей степени способствует пониманию сути дела.)

2) Дано пять точек O, O0 , A, B, C некоторого конического сечения K. Найдите точки пересечения D произвольной прямой d пучка O с кривой K. (Указание: через O проведите прямые OA, OB, OC и назовите их a, b, c. Через O0 проведите прямые O0 A, O0 B, O0 C и назовите их a0 , b0 , c0 . Проведите через O прямую d и постройте такую прямую d0 пучка O0 , что (abcd) = (a0 b0 c0 d0 ). Тогда точка пересечения d и d0 принадлежит кривой K.)

3. Конические сечения как «линейчатые кривые». Понятие касательной к коническому сечению принадлежит проективной геометрии, так как касательная к коническому сечению есть прямая, имеющая с самой кривой только одну общую точку, а это - свойство, сохраняющееся при проектировании. Проективные свойства касательных к коническим сечениям основываются на следующей теореме:

Двойное отношение точек пересечения четырех фиксированных касательных к коническому сечению с произвольной пятой касательной

Рис. 100. Окружность как совокупность касательных

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

не зависит от выбора этой пятой касательной. Доказательство этой теоремы весьма

просто. Так как любое коническое сечение есть проекция окружности и так как в теореме идет речь только о таких свойствах, которые инвариантны относительно проектирования, то, чтобы доказать теорему в общем случае, достаточно доказать ее для частного случая окружности.

Для этого же частного случая теорема доказывается средствами элементарной геометрии. Пусть P , Q, R, S - четыре точки на окружности K; a, b, c, d - касательные в этих точках; T - еще какаянибудь точка на окружности, o - касательная в ней; пусть, далее, A, B, C, D -

точки пересечения касательной o с касательными a, b, c, d. Если M -

центр окружности, то, очевидно, T MA = 1 2 T MP , и последнее вы-

ражение представляет угол, вписанный в K, опирающийся на дугу T P . Таким же образом T MB представляет угол, вписанный в K и опирающийся на дугу T Q. Следовательно,

AMB = 1 2 ^ P Q,

где 1 2 ^ P Q обозначает угол, вписанный в K и опирающийся на ду-

гу P Q. Отсюда видно, что A, B, C, D проектируются из M четырьмя прямыми, углы между которыми имеют величины, зависящие только от положения точек P , Q, R, S. Ho тогда двойное отношение (ABCD) зависит только от четырех касательных a, b, c, d, но не от касательной o. Как раз это и нужно было установить.

Рис. 101. Свойство касательной к окружности

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

В предыдущем пункте мы имели случай убедиться, что коническое сечение может быть построено «по точкам», если станем отмечать точки пересечения взаимно соответствующих прямых двух пучков, между которыми установлено проективное соответствие. Только что доказанная теорема дает нам возможность сформулировать двойственную теорему. Возьмем две касательные a и a0 к коническому сечению K. Третья касательная t пусть пересекает a и a0 соответственно в точках A и A0 . Если t будет перемещаться вдоль кривой, то установится соответствие

A ←→ A0

между точками a и точками a0 . Это соответствие будет проективным, так как по доказанной теореме произвольная четверка точек на a будет непременно иметь то же двойное отношение, что и соответствующая четверка точек на a0 . Отсюда следует, что коническое сечение K, рас-

Рис. 102. Проективные ряды точек на двух касательных к эллипсу

сматриваемое как «совокупность своих касательных», «состоит» из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки двух точечных рядов1 на a и на a0 , находящихся в проективном соответствии. Указанное обстоятельство позволяет ввести новое определение конических сечений, рассматриваемых на этот раз как «линейчатые кривые». Сравним это определение с прежним проективным определением конического сече-

1 Совокупность точек на прямой называется точечным рядом. Это понятие двойственно по отношению к пучку прямых.

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

ния, данным в предыдущем пункте:

Коническое сечение, рассматриваемое как совокупность точек, состоит из точек пересечения взаимно соответствующих прямых в двух проективных

Коническое сечение, рассматриваемое как «совокупность прямых», состоит из прямых, соединяющих взаимно соответствующие точки в двух проективных

Если мы станем считать касательную к коническому сечению в некоторой его точке двойственным элементом по отношению к самой точке и условимся, кроме того, «линейчатую кривую» (образованную совокупностью касательных) на основе двойственности сопоставлять «точечной кривой» (образованной совокупностью точек), то предыдущие формулировки будут безупречны с точки зрения принципа двойственности. При «переводе» одной формулировки в другую с заменой всех понятий соответствующими двойственными понятиями, «коническое сечение» остается неизменным; но в одном случае оно мыслится как «точечная кривая», определяемая своими точками, в другом - как «линейчатая кривая», определяемая своими касательными.

Из предыдущего вытекает важное следствие: принцип двойственности, первоначально установленный в проективной геометрии плоскости только для точек и прямых, оказывается, может быть распространен и на конические сечения. Если в формулировке любой теоремы, касающейся точек, прямых и конических сечений, заменить каждый элемент ему двойственным (не упуская из виду, что точке конического сечения должна быть сопоставляема касательная к этому коническому сечению),

то в результате также получится справедливая теорема. Пример действия этого принципа мы встретим в пункте 4 настоящего параграфа.

Построение конических сечений, понимаемых как «линейчатые кривые», показано на рис. 103–104. В частности, если в двух проективных точечных рядах бесконечно удаленные точки соответствуют взаимно одна другой (так будет непременно, если точечные ряды конгруэнтны или подобны1

ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

принципа двойственности применительно к коническим сечениям является взаимоотношение между общими теоремами Паскаля и Брианшона. Первая из них была открыта в 1640 г., вторая - в 1806 г. И, однако, каждая из них есть непосредственное следствие другой, так как всякая теорема, формулировка которой упоминает только конические сечения, прямые и точки, непременно остается справедливой при изменении формулировки по принципу двойственности.

Теоремы, доказанные в § 5 под теми же наименованиями, представляют собой «случаи вырождения» следующих более общих теорем.

Теорема Паскаля. Противоположные стороны шестиугольника, вписанного в коническое сечение, пересекаются в трех коллинеарных точках.

Рис. 105. Общая конфигурация Паскаля. Показаны два случая: один для шестиугольника 1, 2, 3, 4, 5, 6, другой для шестиугольника 1, 3, 5, 2, 6, 4

Теорема Брианшона. Три диагонали, соединяющее противоположные вершины шестиугольника, описанного около конического сечения, конкуррентны.

Обе теоремы имеют очевидное проективное содержание. Их двойственность бросается в глаза, если сформулировать их следующим образом:

Теорема Паскаля. Дано шесть точек 1, 2, 3, 4, 5, 6 на коническом сечении. Соединим последовательные точки прямыми (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Отметим точки пересечения прямых (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три точки лежат на одной прямой.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ

Теорема Брианшона. Дано шесть касательных 1, 2, 3, 4, 5, 6 к коническому сечению. Последовательные касательные пересекаются в точках (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 1). Проведем прямые, соединяющие точки (1, 2) и (4, 5), (2, 3) и (5, 6), (3, 4) и (6, 1). Эти три прямые проходят через одну точку.

Доказательства проводятся с помощью специализации такого же рода, как и в рассмотренных раньше случаях вырождения. Докажем теорему Паскаля. Пусть A, B, C, D, E, F - вершины шестиугольника, вписанного в коническое сечение K. Посредством проектирования можно сделать параллельными прямые AB и ED, F A и CD (и тогда получится конфигурация, изображенная на рис. 107; ради удобства шестиугольник на чертеже взят самопересекающимся, хотя в этом нет никакой необходимости.) Нам нужно теперь доказать только одно: что прямая CB параллельна прямой F E; другими словами, что противоположные стороны пересекаются на бесконечно удаленной прямой. Для доказательства рассмотрим четверку точек F , A, B, D, которая, как мы знаем, при проектировании из любой точки K сохраняет одно и то же двойное отношение, скажем, k. Станем проектировать из точки C на прямую AF ; получим четверку точек F , A, Y , ∞, причем

k = (F , A, Y , ∞) = Y Y F A

(см. стр. 205 ).

Станем теперь проектировать из точки E на прямую BA; получим

	ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. АКСИОМАТИКА

Рис. 108. Построение прямых, пересекающих три данные прямые общего положения

четверку точек X, A, B, ∞, причем

k = (X, A, B, ∞) = BX BA .

BX BA= Y YF A,

что как раз и означает, что Y B k F X. Доказательство теоремы Паскаля закончено.

Теорема Брианшона, как было указано, следует из теоремы Паскаля по принципу двойственности. Но ее можно доказать и непосредственно - путем рассуждения, двойственного относительно только что приведенного. Провести это рассуждение во всех деталях будет прекрасным упражнением для читателя.

5. Гиперболоид. В трехмерном пространстве мы встречаемся с так называемыми квадриками (поверхностями второго порядка), которые в данном случае играют ту же роль, что «конические сечения» (кривые второго порядка) на плоскости.

Простейшими из них являются сфера и эллипсоид. Квадрики более разнообразны, чем конические сечения, и изучение их связано с б´ольшими трудностями. Мы рассмотрим бегло и без доказательств одну из самых интересных поверхностей этого типа: так называемый связный (или однополостный) гиперболоид.

Эта поверхность может быть получена следующим образом. Возьмем в пространстве три прямые l1 , l2 , l3 , находящиеся в общем положении. Последнее означает, что никакие две из них не параллельны и все три

Рис. 109. Гиперболоид

§ 8 КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ И КВАДРИКИ 239

не являются параллельными одной и той же плоскости. Может показаться удивительным, что существует бесконечное множество прямых в пространстве, из которых каждая пересекается со всеми тремя данными прямыми. Убедимся в этом.

Пусть p - произвольная плоскость, содержащая прямую l1 ; эта плоскость пересекает прямые l2 и l3 в двух точках, и прямая m, проведенная через эти две точки, очевидно, пересекается со всеми прямыми l1 , l2 и l3 . Когда плоскость p вращается около прямой l1 , прямая m будет изменять свое положение, однако все время продолжая пересекаться с тремя данными прямыми. При движении m возникает поверхность, неограниченно уходящая в бесконечность, которая и называется однополостным гиперболоидом. Она содержит бесконечное множество прямых типа m. Любые три такие прямые, скажем m1 , m2 и m3 , также будут находиться в общем положении, и те прямые в пространстве, которые будут пересекаться с тремя прямыми m1 , m2 и m3 одновременно,

также будут лежать на рассматриваемой поверхности. Отсюда следует основное свойство гиперболоида: он составляется из двух различных семейств прямых линий; каждые три линии одного и того же семейства находятся в общем положении и каждая прямая одного семейства пересекается со всеми прямыми другого.

Важное проективное свойство гиперболоида заключается в том, что двойное отношение тех четырех точек, в которых данная четверка прямых одного семейства пересекается с некоторой прямой второго семейства, не зависит от выбора этой последней. Это утверждение вытекает из метода построения гиперболоида с помощью вращающейся плоскости, и читатель может убедиться в его справедливости и качестве упражнения.

Отметим еще одно замечательное свойство гиперболоида: хотя он содержит два семейства прямых линий, но существование этих прямых не препятствует изгибанию поверхности - не делает ее жесткой. Если устроить модель гиперболоида из стержней, способных свободно вращаться около точек взаимных пересечений, то поверхность в целом

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, линии, которые получаются сечением прямого кругового конуса плоскостями, не проходящими через его вершину. Существуют конические сечения трёх типов. 1) Секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости (рис., а); линия пересечения есть замкнутая овальная кривая - эллипс, окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса. 2) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса (рис., б); в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая - парабола, целиком лежащая на одной полости. 3) Секущая плоскость пересекает обе полости конуса (рис., в); линия пересечения - гипербола - состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), каждая из которых лежит на своей полости конуса.

В аналитической геометрии конические сечения - действительные, нераспадающиеся линии второго порядка. В тех случаях, когда коническое сечение имеет центр симметрии (центр), то есть является эллипсом или гиперболой, его уравнение в декартовой системе координат может быть приведено (путём перенесения начала координат в центр) к виду а 11 х 2 + 2а 12 ху + а 22 y 2 = а 33 , где а 11 , а 12 , а 22 , а 33 - постоянные. Уравнения этих кривых могут быть приведены к более простому виду

Aх 2 + Βу 2 = С, (*)

если за направления осей координат выбрать так называемые главные направления - направления главных осей (осей симметрии) конического сечения. Если постоянные А и В имеют одинаковые знаки (совпадающие со знаком С), то уравнение (*) определяет эллипс; если А и В разного знака, то - гиперболу.

Уравнение параболы привести к виду (*) нельзя. При надлежащем выборе осей координат (одна ось координат - единственная ось симметрии параболы, другая - перпендикулярная к ней прямая, проходящая через вершину параболы) её уравнение можно привести к виду у 2 = 2 рх.

Конические сечения были известны математикам Древней Греции. То, что эллипс, гипербола и парабола являются сечениями конусов, открыто Менехмом (около 340 года до нашей эры). Наиболее полное сочинение, посвящённое этим кривым, - «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 года до нашей эры). Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с созданием в 17 веке проективного (Ж. Дезарг, Б. Паскаль) и координатного (Р. Декарт, П. Ферма) методов. При надлежащем выборе системы координат (ось абсцисс - ось симметрии конического сечения, ось ординат - касательная к вершине конического сечения) уравнение конического сечения приводится к виду у 2 = 2рх + λх 2 , где р и λ - постоянные, р≠0. При λ = 0 это уравнение задаёт параболу, при λ<0 - эллипс, при λ>0 -гиперболу. Это свойство конического сечения, содержащееся в последнем уравнении, было известно древнегреческим геометрам и послужило для Аполлония Пергского поводом присвоить отдельным типам конического сечения названия, сохранившиеся до сих пор: слово «парабола» означает приложение (т. к. в греческой геометрии превращение прямоугольника данной площади у 2 в равновеликий ему прямоугольник с данным основанием 2р называется приложением данного прямоугольника к этому основанию); слово «эллипс» - недостаток (приложение с недостатком); слово «гипербола» - избыток (приложение с избытком).

Стереометрическое определение конического сечения можно заменить планиметрическими определениями этих кривых как множеств точек на плоскости. Так, например, эллипс является множеством точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) имеет одно и то же значение. Можно дать и другое планиметрическое определение конического сечения, охватывающее все три типа этих кривых: коническое сечение - множество точек, для каждой из которых отношение расстояний до данной точки (фокуса) к расстоянию до данной прямой (директрисы) равно данному положительному числу (эксцентриситету) е. При е<1 коническое сечение - эллипс; при е > 1 - гипербола; при е = 1 - парабола.

Интерес к коническому сечению всегда поддерживался тем, что эти линии часто встречаются в описаниях различных явлений природы и в человеческой деятельности. Конические сечения приобрели особое значение после того, как И. Кеплер (1609) установил с помощью наблюдений, а И. Ньютон (1687) теоретически обосновал законы движения планет (один из которых утверждает, что планеты и кометы Солнечной системы движутся по коническим сечениям, в одном из фокусов которого находится Солнце).

Лит.: Варден Б. Л. ван дер. Пробуждающаяся наука. 2-е изд. М., 2006; Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. 2-е изд. М., 2008.

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω - точки A" 1 , E" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f") . Пересечение f" с линией связи дает точку F" . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Пусть требуется построить сечение поверхности конуса, стоящего на горизонтальной плоскости, плоскостью Р , которая параллельна плоскости V .

На рисунке 103 показана фронтальная плоскость Р , параллельная оси конуса и пересекающая его поверхность по гиперболе. Данная кривая проецируется на плоскость V без искажения.

Выполняя построение проекций сечения, вначале нужно найти секции характерных точек. В данном случае эти характерные точки представляют собой самые нижние и самые верхние ее точки.

Нижние точки сечения. На рисунке 103а показаны две самые нижние точки сечения, они лежат в горизонтальной плоскости проекций и отмечены цифрой 1. Эти точки лежат на пересечении окружности основания с горизонтальным следом секущей плоскости P h . На эпюре рисунке 103б изображены их горизонтальные проекции 1, а их фронтальные проекции 1́ лежат на оси х .

Верхняя точка сечения (вершина гиперболы). На этом же рисунке дана профильная проекция 3˝ вершины гиперболы, которая непосредственно видна на профильной проекции конуса как пересечение его контура со следом Pw .

Следует отметить, что если профильная проекция конуса отсутствует, то, чтобы найти проекции вершины гиперболы (линии сечения), нужны некоторые вспомогательные построения. При этом любая горизонтальная плоскость Q пересекает конус по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость Н без искажения. Эта окружность проектируется на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка, который равен ее диаметру и который заключен между контурными образующими конуса. Если провести горизонтальную плоскость Q достаточно близко к основанию конуса, то часть данной окружности будет отсечена плоскостью Р (окружностью 2–2). Если провести такую плоскость несколько ближе к вершине, тогда окружность целиком сохранится (окружность 4). Требуется найти такое положение горизонтальной плоскости, которое даст самую большую целую окружность (окружность 3). Эта плоскость будет касаться гиперболы в вершине, она же определит положение искомой точки 3́.

Горизонтальная проекция этой окружности касается следа P h , а ее радиус равен оа. Поэтому для нахождения проекций вершины гиперболы нужно:

а) повернуть радиус оа на 90° до положения оb ;

б) затем найти фронтальную проекцию b́ точки В на контурной образующей конуса;

в) после этого из точки b́ провести прямую, параллельную оси х, до встречи с осью симметрии фронтальной проекции конуса в точке 3́ .

Промежуточные точки гиперболы. Чтобы найти проекции промежуточных точек гиперболы, проводят вспомогательные горизонтальные плоскости Q между вершиной гиперболы и основанием конуса. При этом каждая такая плоскость Q определит по паре точек гиперболы. Это построение выполняется следующим образом:

1) сначала проводят фронтальный след Qv секущей горизонтальной плоскости, которая пересекает контур проекции тела в некоторой точке с́ ;

2) затем находят горизонтальную проекцию с ;

3) после чего радиусом оси проводят окружность. При этом точки, в которых след P h пересекает эту окружность, представляют собой горизонтальные проекции 2 тех точек гиперболы, которые лежат в плоскости Q , поскольку они отделяют сохранившуюся часть окружности от отсеченной плоскостью Р ;

4) в завершение находят фронтальные проекции 2́ точек гиперболы на следе Q v .

Данное построение указано на рисунке стрелками. После того как проведено несколько вспомогательных плоскостей и построено достаточное количество точек гиперболы, следует соединить их при помощи лекала.

Содержание статьи

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

РАННЯЯ ИСТОРИЯ

Открывателем конических сечений предположительно считается Менехм (4 в. до н.э.), ученик Платона и учитель Александра Македонского. Менехм использовал параболу и равнобочную гиперболу для решения задачи об удвоении куба.

Трактаты о конических сечениях, написанные Аристеем и Евклидом в конце 4 в. до н.э., были утеряны, но материалы из них вошли в знаменитые Конические сечения Аполлония Пергского (ок. 260–170 до н.э.), которые сохранились до нашего времени. Аполлоний отказался от требования перпендикулярности секущей плоскости образующей конуса и, варьируя угол ее наклона, получил все конические сечения из одного кругового конуса, прямого или наклонного. Аполлонию мы обязаны и современными названиями кривых – эллипс, парабола и гипербола.

В своих построениях Аполлоний использовал двухполостной круговой конус (как на рис. 1), поэтому впервые стало ясно, что гипербола – кривая с двумя ветвями. Со времен Аполлония конические сечения делятся на три типа в зависимости от наклона секущей плоскости к образующей конуса. Эллипс (рис. 1,а ) образуется, когда секущая плоскость пересекает все образующие конуса в точках одной его полости; парабола (рис. 1,б ) – когда секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; гипербола (рис. 1,в ) – когда секущая плоскость пересекает обе полости конуса.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

Эллипс.

Если концы нити заданной длины закреплены в точках F 1 и F 2 (рис. 2), то кривая, описываемая острием карандаша, скользящим по туго натянутой нити, имеет форму эллипса. Точки F 1 и F 2 называются фокусами эллипса, а отрезки V 1 V 2 и v 1 v 2 между точками пересечения эллипса с осями координат – большей и малой осями. Если точки F 1 и F 2 совпадают, то эллипс превращается в окружность.

Гипербола.

При построении гиперболы точка P , острие карандаша, фиксируется на нити, которая свободно скользит по шпенькам, установленным в точках F 1 и F 2 , как показано на рис. 3,а . Расстояния подобраны так, что отрезок PF 2 превосходит по длине отрезок PF 1 на фиксированную величину, меньшую расстояния F 1 F 2 . При этом один конец нити проходит под шпеньком F 1 и оба конца нити проходят поверх шпенька F 2 . (Острие карандаша не должно скользить по нити, поэтому его нужно закрепить, сделав на нити маленькую петлю и продев в нее острие.) Одну ветвь гиперболы (PV 1 Q ) мы вычерчиваем, следя за тем, чтобы нить оставалась все время натянутой, и потягивая оба конца нити вниз за точку F 2 , а когда точка P окажется ниже отрезка F 1 F 2 , придерживая нить за оба конца и осторожно потравливая (т.е. отпуская) ее. Вторую ветвь гиперболы (P ў V 2 Q ў ) мы вычерчиваем, предварительно поменяв ролями шпеньки F 1 и F 2 .

Ветви гиперболы приближаются к двум прямым, которые пересекаются между ветвями. Эти прямые, называемые асимптотами гиперболы, строятся как показано на рис. 3,б . Угловые коэффициенты этих прямых равны ± (v 1 v 2)/(V 1 V 2), где v 1 v 2 – отрезок биссектрисы угла между асимптотами, перпендикулярной отрезку F 1 F 2 ; отрезок v 1 v 2 называется сопряженной осью гиперболы, а отрезок V 1 V 2 – ее поперечной осью. Таким образом, асимптоты являются диагоналями прямоугольника со сторонами, проходящими через четыре точки v 1 , v 2 , V 1 , V 2 параллельно осям. Чтобы построить этот прямоугольник, необходимо указать местоположение точек v 1 и v 2 . Они находятся на одинаковом расстоянии, равном

от точки пересечения осей O . Эта формула предполагает построение прямоугольного треугольника с катетами Ov 1 и V 2 O и гипотенузой F 2 O .

Если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то гипербола называется равнобочной. Две гиперболы, имеющие общие асимптоты, но с переставленными поперечной и сопряженной осями, называются взаимно сопряженными.

Парабола.

Фокусы эллипса и гиперболы были известны еще Аполлонию, но фокус параболы, по-видимому, впервые установил Папп (2-я пол. 3 в.), определивший эту кривую как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки (фокуса) и заданной прямой, которая называется директрисой. Построение параболы с помощью натянутой нити, основанное на определении Паппа, было предложено Исидором Милетским (6 в.). Расположим линейку так, чтобы ее край совпал с директрисой LL ў (рис. 4), и приложим к этому краю катет AC чертежного треугольника ABC . Закрепим один конец нити длиной AB в вершине B треугольника, а другой – в фокусе параболы F . Натянув острием карандаша нить, прижмем острие в переменной точке P к свободному катету AB чертежного треугольника. По мере того, как треугольник будет перемещаться вдоль линейки, точка P будет описывать дугу параболы с фокусом F и директрисой LL ў , так как общая длина нити равна AB , отрезок нити прилегает к свободному катету треугольника, и поэтому оставшийся отрезок нити PF должен быть равен оставшейся части катета AB , т.е. PA . Точка пересечения V параболы с осью называется вершиной параболы, прямая, проходящая через F и V , – осью параболы. Если через фокус провести прямую, перпендикулярную оси, то отрезок этой прямой, отсекаемый параболой, называется фокальным параметром. Для эллипса и гиперболы фокальный параметр определяется аналогично.

СВОЙСТВА КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Определения Паппа.

Установление фокуса параболы навело Паппа на мысль дать альтернативное определение конических сечений в целом. Пусть F – заданная точка (фокус), а L – заданная прямая (директриса), не проходящая через F , и D F и D L – расстояния от подвижной точки P до фокуса F и директрисы L соответственно. Тогда, как показал Папп, конические сечения определяются как геометрические места точек P , для которых отношение D F /D L является неотрицательной постоянной. Это отношение называется эксцентриситетом e конического сечения. При e e > 1 – гипербола; при e = 1 – парабола. Если F лежит на L , то геометрические места имеют вид прямых (действительных или мнимых), которые являются вырожденными коническими сечениями.

Бросающаяся в глаза симметрия эллипса и гиперболы говорит о том, что у каждой из этих кривых есть по две директрисы и по два фокуса, и это обстоятельство навело Кеплера в 1604 на мысль, что и у параболы существует второй фокус и вторая директриса – бесконечно удаленные точка и прямая. Точно также и окружность можно рассматривать как эллипс, фокусы которого совпадают с центром, а директрисы находятся в бесконечности. Эксцентриситет e в этом случае равен нулю.

Конструкция Данделена.

Фокусы и директрисы конического сечения можно наглядно продемонстрировать, если воспользоваться сферами, вписанными в конус и называемыми сферами (шарами) Данделена в честь бельгийского математика и инженера Ж.Данделена (1794–1847), предложившего следующую конструкцию. Пусть коническое сечение образовано пересечением некоторой плоскости p с двухполостным прямым круговым конусом с вершиной в точке O . Впишем в этот конус две сферы S 1 и S 2 , которые касаются плоскости p в точках F 1 и F 2 соответственно. Если коническое сечение – эллипс (рис. 5,а ), то обе сферы находятся внутри одной и той же полости: одна сфера расположена над плоскостью p , а другая – под ней. Каждая образующая конуса касается обеих сфер, и геометрическое место точек касания имеет вид двух окружностей C 1 и C 2 , расположенных в параллельных плоскостях p 1 и p 2 . Пусть P – произвольная точка на коническом сечении. Проведем прямые PF 1 , PF 2 и продлим прямую PO . Эти прямые – касательные к сферам в точках F 1 , F 2 и R 1 , R 2 . Поскольку все касательные, проведенные к сфере из одной точки, равны, то PF 1 = PR 1 и PF 2 = PR 2 . Следовательно, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2 . Так как плоскости p 1 и p 2 параллельны, отрезок R 1 R 2 имеет постоянную длину. Таким образом, величина PR 1 + PR 2 одна и та же для всех положений точки P , и точка P принадлежит геометрическому месту точек, для которых сумма расстояний от P до F 1 и F 2 постоянна. Следовательно, точки F 1 и F 2 – фокусы эллиптического сечения. Кроме того, можно показать, что прямые, по которым плоскость p пересекает плоскости p 1 и p 2 , – директрисы построенного эллипса. Если p пересекает обе полости конуса (рис. 5,б ), то две сферы Данделена лежат по одну сторону от плоскости p , по одной сфере в каждой полости конуса. В этом случае разность между PF 1 и PF 2 постоянна, и геометрическое место точек P имеет форму гиперболы с фокусами F 1 и F 2 и прямыми – линиями пересечения p с p 1 и p 2 – в качестве директрис. Если коническое сечение – парабола, как показано на рис. 5,в , то в конус можно вписать только одну сферу Данделена.

Другие свойства.

Свойства конических сечений поистине неисчерпаемы, и любое из них можно принять за определяющее. Важное место в Математическом собрании Паппа (ок. 300), Геометрии Декарта (1637) и Началах Ньютона (1687) занимает задача о геометрическом месте точек относительно четырех прямых. Если на плоскости заданы четыре прямые L 1 , L 2 , L 3 и L 4 (две из которых могут совпадать) и точка P такова, что произведение расстояний от P до L 1 и L 2 пропорционально произведению расстояний от P до L 3 и L 4 , то геометрическое место точек P является коническим сечением. Ошибочно полагая, что Аполлоний и Папп не сумели решить задачу о геометрическом месте точек относительно четырех прямых, Декарт, чтобы получить решение и обобщить его, создал аналитическую геометрию.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ ПОДХОД

Алгебраическая классификация.

В алгебраических терминах конические сечения можно определить как плоские кривые, координаты которых в декартовой системе координат удовлетворяют уравнению второй степени. Иначе говоря, уравнение всех конических сечений можно записать в общем виде как

где не все коэффициенты A , B и C равны нулю. С помощью параллельного переноса и поворота осей уравнение (1) можно привести к виду

ax 2 + by 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Первое уравнение получается из уравнения (1) при B 2 № AC , второе – при B 2 = AC . Конические сечения, уравнения которых приводятся к первому виду, называются центральными. Конические сечения, заданные уравнениями второго вида с q № 0, называются нецентральными. В рамках этих двух категорий существуют девять различных типов конических сечений в зависимости от знаков коэффициентов.

2831) Если коэффициенты a , b и c имеют один и тот же знак, то не существует вещественных точек, координаты которых удовлетворяли бы уравнению. Такое коническое сечение называется мнимым эллипсом (или мнимой окружностью, если a = b ).

2) Если a и b имеют один знак, а c – противоположный, то коническое сечение – эллипс (рис. 1,а ); при a = b – окружность (рис. 6,б ).

3) Если a и b имеют разные знаки, то коническое сечение – гипербола (рис. 1,в ).

4) Если a и b имеют разные знаки и c = 0, то коническое сечение состоит из двух пересекающихся прямых (рис. 6,а ).

5) Если a и b имеют один знак и c = 0, то существует только одна действительная точка на кривой, удовлетворяющая уравнению, и коническое сечение – две мнимые пересекающиеся прямые. В этом случае также говорят о стянутом в точку эллипсе или, если a = b , стянутой в точку окружности (рис. 6,б ).

6) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют разные знаки, то коническое сечение состоит из двух параллельных прямых.

7) Если либо a , либо b равно нулю, а остальные коэффициенты имеют один знак, то не существует ни одной действительной точки, удовлетворяющей уравнению. В этом случае говорят, что коническое сечение состоит из двух мнимых параллельных прямых.

8) Если c = 0, и либо a , либо b также равно нулю, то коническое сечение состоит из двух действительных совпадающих прямых. (Уравнение не определяет никакого конического сечения при a = b = 0, поскольку в этом случае исходное уравнение (1) не второй степени.)

9) Уравнения второго типа определяют параболы, если p и q отличны от нуля. Если p № 0, а q = 0, мы получаем кривую из п. 8. Если же p = 0, то уравнение не определяет никакого конического сечения, поскольку исходное уравнение (1) не второй степени.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x , y , z ) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже ) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z 2 = x 2 + y 2 . Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V . Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F , основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC , где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB . Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q . Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P . Получившаяся кривая будет параболой.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

y 2 = RQ Ч QS .

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE ), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS /EB = QF /FE ). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE ; но соотношение y 2 = RQ Ч QS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a ) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b ) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x , задаваемые соотношением x 2 = a 2 , определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y , задаваемые соотношением y 2 = –b 2 , определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k .

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y 2 b 2 /a ) x , для параболы y 2 = (a ) x и для гиперболы y 2 > (2b 2 /a ) x . В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б ); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а ); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X 2 + Y 2 = a 2 с помощью подстановки X = x , Y = (a /b ) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x , Y = (ai /b ) y , где i 2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x 2 + y 2 = a 2 и эллипса (x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = p ab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b ) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.

ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД

Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V . Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP , проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.

Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке P , находится в бесконечности или бесконечно удалена.

Как мы видели, при подходящем выборе точек схода окружность может проецироваться в эллипсы различных размеров и с различными эксцентриситетами, а длины больших осей не имеют прямого отношения к диаметру проецируемой окружности. Поэтому проективная геометрия не имеет дела с расстояниями или длинами самими по себе, ее задача – изучение отношения длин, которое сохраняется при проецировании. Это отношение можно найти с помощью следующего построения. Через любую точку P плоскости проведем две касательные к любой окружности и соединим точки касания прямой p . Пусть другая прямая, проходящая через точку P , пересекает окружность в точках C 1 и C 2 , а прямую p – в точке Q (рис. 9). В планиметрии доказывается, что PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2 . (Знак минус возникает из-за того, что направление отрезка QC 1 противоположно направлениям других отрезков.) Иначе говоря, точки P и Q делят отрезок C 1 C 2 внешним и внутренним образом в одном и том же отношении; говорят также, что гармоническое отношение четырех отрезков равно - 1. Если окружность спроецировать в коническое сечение и сохранить за соответствующими точками те же обозначения, то гармоническое отношение (PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) останется равным - 1. Точка P называется полюсом прямой p относительно конического сечения, а прямая p – полярой точки P относительно конического сечения.

Когда точка P приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной; если точка P лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке P . Если точка P расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку P любую прямую, пересекающую коническое сечение в двух точках; проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения; предположим, что эти касательные пересекаются в точке P 1 . Проведем через точку P еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках; допустим, что касательные к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке P 2 (рис. 10). Прямая, проходящая через точки P 1 и P 2 , и есть искомая поляра p . Если точка P приближается к центру O центрального конического сечения, то поляра p удаляется от O . Когда точка P совпадает с O , то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на плоскости.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТРОЕНИЯ

Особый интерес для астрономов представляет следующее простое построение точек эллипса с помощью циркуля и линейки. Пусть произвольная прямая, проходящая через точку O (рис. 11,а ), пересекает в точках Q и R две концентрические окружности с центром в точке O и радиусами b и a , где b a. Проведем через точку Q горизонтальную прямую, а через R – вертикальную прямую, и обозначим их точку пересечения P P при вращении прямой OQR вокруг точки O будет эллипс. Угол f между прямой OQR и большой осью называется эксцентрическим углом, а построенный эллипс удобно задавать параметрическими уравнениями x = a cos f , y = b sin f . Исключая из них параметр f , получим уравнение (3а).

Для гиперболы построение во многом аналогично. Произвольная прямая, проходящая через точку O , пересекает одну из двух окружностей в точке R (рис. 11,б ). К точке R одной окружности и к конечной точке S горизонтального диаметра другой окружности проведем касательные, пересекающие OS в точке T и OR – в точке Q . Пусть вертикальная прямая, проходящая через точку T , и горизонтальная прямая, проходящая через точку Q , пересекаются в точке P . Тогда геометрическим местом точек P при вращении отрезка OR вокруг O будет гипербола, задаваемая параметрическими уравнениями x = a sec f , y = b tg f , где f – эксцентрический угол. Эти уравнения были получены французским математиком А.Лежандром (1752–1833). Исключив параметр f , мы получим уравнение (4a).

Эллипс, как заметил Н.Коперник (1473–1543), можно построить с помощью эпициклического движения. Если окружность катится без скольжения по внутренней стороне другой окружности вдвое большего диаметра, то каждая точка P , не лежащая на меньшей окружности, но неподвижная относительно нее, опишет эллипс. Если точка P находится на меньшей окружности, то траектория этой точки представляет собой вырожденный случай эллипса – диаметр большей окружности. Еще более простое построение эллипса было предложено Проклом в 5 в. Если концы A и B отрезка прямой AB заданной длины скользят по двум неподвижным пересекающимся прямым (например, по координатным осям), то каждая внутренняя точка P отрезка опишет эллипс; нидерландский математик Ф. ван Схотен (1615–1660) показал, что любая точка в плоскости пересекающихся прямых, неподвижная относительно скользящего отрезка, также опишет эллипс.

Б.Паскаль (1623–1662) в 16 лет сформулировал ныне знаменитую теорему Паскаля, гласящую: три точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в любое коническое сечение, лежат на одной прямой. Из этой теоремы Паскаль вывел более 400 следствий.