Плотность дискретной случайной величины. Функция распределения вероятностей. Плотность вероятностей. Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL
Определение . Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения.
Определение. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть:
F(х) = P(X < x)
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку:
0 ≤ F(х) ≤ 1.
2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть:
если x > x ,
то F(x ) ≥ F(x ).
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале . Вероятность такого события
P (х ≤ X ≤ х + Δх ) = F (х + Δх ) – F (х ),
т.е. равна приращению функции распределения F (х ) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х до х + Δх , равна
Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х :
представляющую производную функции распределения F (х ). Напомним, что для непрерывной случайной величины F (х ) – дифференцируемая функция.
Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения ) f (x ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения
f (x ) = F ′(x ). | (4.8) |
Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f (x ) на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности f (x ), как и функция распределения F (x ) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.
Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения . График плотности вероятности называется кривой распределения .
Пример 4.4. По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х .
Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f (x ) = F "(x ).
◄
Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
1. Плотность вероятности – неотрицательная функция , т.е.
Геометрически вероятность попадания в интервал [α , β ,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α , β ,] (рис.4.4).
Рис. 4.4 Рис. 4.5
3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле :
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Пример 4.5. Функция f (x ) задана в виде:
Найти: а) значение А ; б) выражение функции распределения F (х ); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .
Решение. а) Для того, чтобы f (x ) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х , она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А . С учетом свойства 4 находим:
, откуда А = .
б) Функцию распределения находим, используя свойство 3 :
Если x ≤ 0, то f (x ) = 0 и, следовательно, F (x ) = 0.
Если 0 < x ≤ 2, то f (x ) = х /2 и, следовательно,
Если х > 2, то f (x ) = 0 и, следовательно
в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке находим, используя свойство 2 .