Определитель вронского для системы дифференциальных уравнений. Определитель Вронского. Общие теоремы

Рассмотрим ЛОУ.

Какие-то решения ЛОУ.

Определителем Вронского (вронскиан) называется W(x)=

Теорема о вронскиане линейно зависимой системы функций . Если система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на интервале (a, b), то вронскиан этой системы тождественно равен нулю на этом интервале.

Док-во . Если функции y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависимы на интервале (a, b), то найдутся числа c1,c2,...,cn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие что

Продифференцируем по x равенство n - 1 раз и составим систему уравнений:

Будем рассматривать эту систему как однородную линейную систему алгебраических уравнений относительно c1,c2,...,cn. Определитель этой системы - определитель Вронского W(x).

При эта система имеет нетривиальное решение c1,c2,...,cn, следовательно, в каждой точке её определитель равен нулю. Итак, W(x) = 0 при , т.е.W(x) на (a, b).

Теорема Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения. Если определитель Вронского этой системы функций равен нулю в некоторой точке , то система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима, и её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Док-во:

Пусть . Тогда однородная система линейных алгебраических уравнений, для которой W() является определителем,

имеет нетривиальное решение относительно C1, C2, …, Cn. Рассмотрим линейную комбинацию функций y1(x), y2(x), …, yn(x) с этими коэффициентами C1, C2, …, Cn:

y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x).

Эта функция удовлетворяет уравнению и, как следует из приведённой выше системы, имеет нулевые начальные условия в точке x0, т.е. является решением задачи Коши

Этой же задаче Коши удовлетворяет и функция y(x) = 0, тождественно равная нулю на интервале (a, b). Вследствие единственности решения задачи Коши y(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + …+ Cn yn(x) = 0 для . Таким образом, система функций y1(x), y2(x), …, yn(x) линейно зависима на (a, b), и по Теореме о вронскиане линейно зависимой системы её определитель Вронского тождественно равен нулю на (a, b).

Теорема. Если определитель Вронского W(x) системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения отличен от нуля в некоторой точке , то W(x) отличен от нуля в любой точке этого интервала.

Док-во легко проводится от противного. Если предположить, что в некоторой точке определитель Вронского равен нулю, то по предыдущей теореме он тождественно равен нулю на (a, b), что противоречит условию .

Теорема. Если W(x) - определитель Вронского системы y1(x), y2(x), …, yn(x) частных решений линейного однородного дифференциального уравнения, то либо на интервале (a, b) (что означает линейную зависимость этих решений на (a, b)), либо в любой точке этого интервала (что означает линейную независимость этих решений на (a, b)).

Существование фундаментальной системы решений линейного однородного уравнения.

Теорема о существовании фундаментальной системы решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Любое линейное однородное дифференциальное уравнение n -го порядка с непрерывными коэффициентами имеет фундаментальную систему решений, т.е. систему из n линейно независимых решений.

Док-во. Возьмём любой числовой определитель n -го порядка, не равный нулю

Возьмём любую точку и сформулируем для уравнения n задач Коши, причём начальные условия в точке x0 для i-ой задачи возьмём из i-го столбца этого определителя:

Пусть y1(x), y2(x), …, yn(x) - решения этих задач. Эта система линейно независима на (a, b), так как её определитель Вронского в точке x0 равен взятому числовому определителю и отличен от нуля, следовательно, это фундаментальная система решений. Теорема доказана.

Пусть имеем совокупность функций: ,,...,и необходимо установить, зависима или нет эта совокупность. Оказывается, использование определителя Вронского позволяет решить вопрос о линейной зависимости (и независимости) совокупности функций.

Теорема :

Если функции ,,..., линейно зависимы на интервале
, и имеют производные до
- го порядка, то определитель (Вронского):

тождественно равен нулю для всех
.

Доказательство теоремы:

Запишем функцию: =. Так как по условию функции ,,...,линейно зависимы на
, то существуют такие числа
, не все равные нулю, что выполняются тождество: 0 для всех
. Дифференцируя
раз функцию , получим тождества 0,
0,...,
0, которые также выполняются для всех
. Полученные тождества эквивалентны системе линейных однородных уравнений:

. . . . . . . . . . . . . , (13)

В соответствии с определением линейной зависимости функций ,,..., система уравнений (13) должна иметь ненулевое решение
для любого
. Но это возможно только в случае, если определитель этой системы равен нулю (вспомним теорему Кронекера-Капелли!), причём для всех
. Нетрудно заметить, что определитель системы (13) есть определитель Вронского
. Это значит, что теорема доказана! ◄

Следствие : Если
хотя бы в одной точке
, то функции ,,..., – линейно независимы на интервале
.

Итак, определитель Вронского позволяет установить свойство
для совокупности функций,,...,, которые являютсяфункциями-решениями некоторого линейного однородного дифференциального уравнения- го порядка.

Более того, используя результаты теории линейных векторных пространств (вспомним курс Линейная алгебра!), можем установить, что совокупность функций-векторов ,,...,естьбазис в пространстве решений линейного дифференциального уравнения- го порядка. Но, тогдалюбое решение такого уравнения может быть записано в виде линейной комбинации:=. Это значит, что свойство
мы также доказали.

Остаётся доказать свойство
ФСР, но, прежде познакомимся поближе с определителем Вронского, рассмотрев несколько Примеров.

Пример 8 –02
,
,
.

Решение :

1). Для исследования линейной зависимости совокупности функций ,, составим линейную комбинацию заданных функций: .

2). Так как
, то при любом значении
указанное равенство выполняется. Это значит, что совокупность функций зависима.

Ответ

Замечание : В рассмотренном примере не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –03 : Исследовать на линейную зависимость систему функций:
,
.

Решение :

1). Нетрудно заметить, что
. Но, тогда
. Согласно второму определению линейной зависимости совокупности функций, можем утверждать, что совокупность функций , зависима.

2). И в этом примере определитель Вронского равен нулю, хотя вычислять его не пришлось.

Ответ : совокупность функций зависима.

Замечание : В рассмотренных примерах не потребовалось вычислять определитель Вронского, но мы знаем, что в этом случае он равен нулю, так как установлена линейная зависимость совокупности функций.

Пример 8 –04
,
,

Решение :

=
=
= 3
.

2). Видим: определитель Вронского не равен (тождественно) нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима.

Ответ : совокупность функций независима.

В Теореме 8.4 рассмотрена произвольная совокупность функций. А что, если совокупность функций ,,...,составлена из решений линейного однородного уравнения? Оказывается верна следующая Теорема.

Теорема :

Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения:

с непрерывными коэффициентами
,
были линейно независимы на интервале
, необходимо и достаточно, чтобы определитель
для всех
.

Доказательство теоремы:

1). Пусть
для всех
. В таком случае функции ,,..., линейно независимы на интервале
, в любом случае: будут эти функции решениями уравнения (14), или нет.

2). Пусть теперь имеем решения ,,..., уравнения (14), причем известно, что они линейно независимы на
. Допустим, что все-таки нашлось значение = такое, что
=0. Составим систему уравнений (формально ):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , (15)

Система (15) есть система линейных однородных уравнений. По предположению
=0, следовательно, для точки = она имеет ненулевое решение.

Обозначим строки системы уравнений (15) через:
=0,
=0, ... ,
=0. Теперь учтем, что линейная комбинация = есть тоже решение уравнения (14): в соответствии с доказанными Теоремами 8.2 и 8.3. Примем для функции в качестве начальных условий:
=0,
=0, ... ,
=0.

Но для уравнения (14) решением будет и такая функция : 0 (очевидно !), причем с начальными условиями: y (x 0)=0, y ′ (x 0)=0, ... , y (n –1) (x 0)=0. Так как для уравнения (14) выполняются условия Теоремы о существовании и единственности решений (для нас сейчас важно второе!), то функции = и y ≡ 0 должны совпадать для всех
. Но это значит, что решения ,,..., – линейно зависимы. Противоречие! ..

Итак, если решения уравнения (14) линейно независимы, то определитель не может быть равным нулю ни в одной точке области определения:
. ◄

Пример 8 –05 : Задана совокупность функций:
,
,
. Исследовать линейную зависимость этой совокупности.

Решение :

1). Для решения вопроса о независимости системы функций построим определитель Вронского:

=
=
.

2). Видим: определитель Вронского не равен нулю. Это значит, что заданная совокупность функций линейно независима для любых значений .

Ответ : совокупность функций независима для любых значений .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Метод Бернулли

Дифференциальные уравнения вида называются линейными. Существуют несколько методов их решения: метод Бернулли, метод Лагранжа, метод интегрирующего множителя.
МетодБернулли
Решение уравнения ищется в виде . При этой замене получаем: Функцию выбирают из условия .Полученную функцию подставляют в уравнение (учитываем ), решая которое находят функцию .

Однородные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным , если правая часть удовлетворяет соотношению

для всех значений t . Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y :

Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде

или через дифференциалы:

где P (x,y ) и Q (x,y ) − однородные функции одинакового порядка.

Определение однородной функции

Функция P (x,y ) называется однородной функцией порядка n , если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение:

32.Линейная зависимость и независимость системы функций на интервале. Функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x), определённые на отрезке [ a ; b ], называются линейно зависимыми на [ a ; b ] , если существуют постоянные α 1 , α 2 , ..., α n , не равные нулю одновременно и такие, что α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + ... + α n y n (x) = 0 для всех x из отрезка [ a ; b ]. В противном случае функции y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x a ;b ] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других.

Очевидны следующие утверждения.

Если среди функций y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ) линейно зависимы, то при любых y k + 1 (x ), y k + 2 (x ), ..., y n (x ) функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y k (x ), y k + 1 (x ), ..., y n (x ) также линейно зависимы.

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно зависимы на отрезке [a ;b ] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a ;b ] .

Если функции y 1 (x ), y 2 (x ), ..., y n (x ) линейно независимы на [a ;b ] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b ] (если, они определены на этом отрезке).

Определитель Вронского. Общие теоремы

Дадим признак линейной независимости n частных решений однородного линейного уравнения n -го порядка. С этой целью введем в рассмотрение определитель, составленный из данных частных решений и их производных до порядка n – 1 включительно:

W (x ) =

Этот определитель называется определителем Вронского решений y 1 , y 2 , …, y n .

Теорема. Для того чтобы решения были линейно независимы в (a , b ), т. е. в интервале непрерывности коэффициентов уравнения L (y ) = 0, необходимо и достаточно, чтобы W (x ) не обращался в нуль ни в одной точке из (a , b ).

Значение определителя Вронского n решений однородного линейного уравнения L (y ) = 0 тесно связано с самим уравнением, а именно: имеет место следующая формула Остроградского-Лиувилля:

W (x ) = W (x 0) .

Из формулы видно, что определитель Вронского n решений уравнения L (y ) = 0 обладает двумя замечательными свойствами:

Если W (x ) обращается в нуль в одной точке из интервала (a , b ), то он равен нулю во всех точках этого интервала.
Если W (x ) не равен нулю в одной точке из интервала (a , b ), то он отличен от нуля во всех точках этого интервала.

Таким образом, для того, чтобы n решений составляли фундаментальную систему решений уравнения L (y ) = 0 в интервале (a , b ), достаточно, чтобы их определитель Вронского был отличен от нуля в одной точке x 0 ∈ (a , b ).

Лекции 13. Линейные дифференциальные уравнения n -ого порядка с переменными коэффициентами.

Линейное однородное

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n –ого порядка с переменными коэффициентами может быть записано в виде

Если коэффициенты и правая часть – непрерывные функции и , то условия теоремы Коши выполнены, решения однородного и неоднородного уравнений существуют и единственны.

Введем линейный дифференциальный оператор

Здесь обозначает оператор дифференцирования .

Тогда линейное однородное уравнение можно записать в виде , а линейное неоднородное – в виде .

Так как линеен, то

Пользуясь линейностью оператора, легко доказать теоремы о свойствах решений однородного и неоднородного уравнений (ниже обозначено - решение однородного уравнения, - решение неоднородного уравнения).

Теоремы о свойствах решений .

1) сумма или разность решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения,

2) разность решений неоднородного уравнения есть решение однородного уравнения,

3) сумма решений однородного и неоднородного уравнений есть решение неоднородного уравнения.

Докажем эти теоремы.

Теорема. Решения линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами образуют линейное пространство.

Доказательство. Так как сумма любых двух решений однородного уравнения и произведение любого решения на число вновь есть решения однородного уравнения, то операции сложения и умножения на число на множестве решений определены корректно (не выводят за множество решений).

Решения образуют аддитивную группу по сложению (абелев модуль). В самом деле, ассоциативность по сложению очевидна, (тривиальное решение) является решением однородного уравнения, для каждого решения противоположное решение тоже является решением. Следовательно, решения однородного уравнения – группа по сложению. Аддитивность решений очевидна, поэтому эта группа аддитивна. Справедливость четырех аксиом из восьми показана. Существует число «1», такое что - решение, справедлива ассоциативность по умножению на число . Это – две аксиомы относительно операции умножения на число. Наконец, справедливы две аксиомы дистрибутивности, связывающие операции сложения и умножения на число .

Итак, налицо полный набор из восьми аксиом. Продумайте их еще раз подробнее дома.

Линейная зависимость и независимость.

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n -ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n -ого порядка равна n .

Доказательство.

1. Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

2. Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

..........................................................................

Второе решение – это линейная комбинация решений с теми же коэффициентами .

Вычисляя начальные условия в точке для решения , убеждаемся, что они совпадают с начальными условиями для решения . Следовательно, по теореме Коши, произвольное решение представляется в виде линейной комбинации линейно независимых решений .

Таким, образом, существует n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка, и произвольное решение линейно выражается через эти решения. Поэтому размерность пространства решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка равна n. .

Любые n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка представляют собой базис пространства решений или фундаментальную систему решений.

Теорема о структуре общего решения однородного уравнения.

Общее решение линейного однородного уравнения есть линейная комбинация решений фундаментальной системы.

Доказательство. Покажем, что линейная комбинация

Является общим решениям (удовлетворяет пунктам определения общего решения)

1. - решение линейного однородного уравнения как линейная комбинация решений.

2. Зададим произвольные начальные условия , покажем, что можно подобрать константы такие, что удовлетворяет этим начальным условиям.

.........................................................................

Это – система линейных алгебраических уравнений относительно констант . Определитель этой системы – определитель Вронского. Он не равен нулю, так как решения линейно независимы. Поэтому константы определяются из этой системы по начальным условиям – правым частям системы единственным образом.

Следовательно, - общее решение.

Замечание. Определитель Вронского (как всякий определитель) представляет собой ориентированный n – мерный объем, натянутый на векторы решений фундаментальной системы решений.

Формула Остроградского – Лиувилля.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

Определитель Вронского можно вычислить по формуле Остроградского – Лиувилля

Вывод формулы Остроградского – Лиувилля.

Известна формула для производной определителя

Вычислим ...+

0+...+0+ .

, .

Замечание . В формуле Остроградского – Лиувилля участвуют только коэффициенты при двух старших производных.

Рассмотрим частный случай уравнения второго порядка .

Здесь формулу Остроградского – Лиувилля можно вывести проще. Рассмотрим - два частных решения

Умножим первое уравнение на , а второе на и вычтем первое уравнение из второго.

Так как , то = .

Теперь уравнение можно переписать в виде . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем формулу Остроградского – Лиувилля

Формула для построения второго частного решения по известному

(построение фундаментальной системы).

Разделим обе части уравнения на

Отсюда . Нам надо найти частное решение, поэтому выберем С=1, C 1 =0, получим .

Теорема о структуре общего решения неоднородного уравнения.

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство. Покажем, что - общее решение неоднородного уравнения.

1. - решение неоднородного уравнения как сумма решений однородного и неоднородного уравнений (теоремы о свойствах решений).

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

, что выполнены соотношения

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

поэтому решения линейно зависимы.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

a) Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

b) Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение