Как рассчитать энергию системы зарядов. Энергетическая система (энергосистема). Электроэнергетическая (электрическая) система. Работа электрического поля по перемещению заряда

Энергетический подход к взаимодействию. Энергетический подход к взаимодействию электрических зарядов является, как мы увидим, весьма плодотворным по своим практическим применениям, а кроме того, открывает возможность по-иному взглянуть и на само электрическое поле как физическую реальность.

Прежде всего мы выясним, как можно прийти к понятию о энергии взаимодействия системы зарядов.

1. Сначала рассмотрим систему из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил F, и F2, с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в 1гекоторой К-системе отсчета за время cU заряды совершили перемещения dl, и dl 2. Тогда соответствующая работа этих сил

6Л, 2 = F, dl, + F2 dl2.

Учитывая, что F2 = - F, (по третьему закону Ньютона) , перепишем предыдущее выражение: Mlj, = F,(dl1-dy.

Величина в скобках - это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда/в /("-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной /(-системе. Действительно, перемещение dl, заряда 1 в /(-системе может быть представлено как перемещение dl2 /("-системы плюс перемещение dl, заряда / относительно этой /("-системы: dl, = dl2+dl,. Отсюда dl, - dl2 = dl", и

Итак, оказывается, что сумма элементарных работ в произвольной /(-системе отсчета всегда равна элементарной работе, которую совершает сила, действующая на один заряд, в системе отсчета, где другой заряд покоится. Иначе говоря, работа 6Л12 не зависит от выбора исходной /(-системы отсчета.

Сила F„ действующая на заряд / со стороны заряда 2, консервативная (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении dl, может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия рассматриваемой пары зарядов:

где 2 - величина, зависящая только от расстояния между этими зарядами.

2. Теперь перейдем к системе из т р е х точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. 6Л = 6Л (2 + 6Л, 3 + 6Л 2 3. Но для каждой пары взаимодействий, как только что было показано, 6Л ik = - d Wik, поэтому

где W - энергия взаимодействия данной системы зарядов,

W «= wa + Wtз + w23.

Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W

данной системы зарядов есть функция ее конфигурации.

Подобные рассуждения, очевидно, справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W и работа всех сил взаимодействия при изменении этой конфигурации равна убыли энергии W:

бл = -аг. (4.1)

Энергия взаимодействия. Найдем выражение для энергии W. Сначала рассмотрим опять систему из трех точечных зарядов, для которой мы показали, что W = - W12+ ^13+ ^23- Преобразуем эту сумму следующим образом. Представим каждое слагаемое Wik в симметричном виде: Wik= ]/2{Wlk+ Wk), поскольку Wik=Wk, Тогда

Сгруппируем члены с одинаковыми первыми индексами:

Каждая сумма в круглых скобках - это энергия Wt взаимодействия г-го заряда с остальными зарядами. Поэтому последнее выражение можно переписать так:

Обобщение произвольного

полученного выражения на систему из числа зарядов очевидно, ибо ясно, что проведенные рассуждения совершенно не зависят от числа зарядов, составляющих систему. Итак, энергия взаимодействия системы точечных зарядов

Имея в виду, что Wt = <7,9, где qt - i-й заряд системы; ф,- потенциал, создаваемый в месте нахождения г-го заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Пример. Четыре одинаковых точечных заряда q находятся в вершинах тетраэдра с ребром а (рис. 4.1). Найти энергию взаимодействия зарядов этой системы.

Энергия взаимодействия каждой пары зарядов здесь одинакова и равна = q2/Але0а. Всего таких взаимодействующих пар, как видно из рисунка, шесть, поэтому энергия взаимодействия всех точечных зарядов данной системы

W = 6№, = 6<72/4яе0а.

Иной подход к решению этого вопроса основан на использовании формулы (4.3). Потенциал ф в месте нахождения одного из зарядов, обусловленный полем всех остальных зарядов, равен ф = 3<7/4яе0а. Поэтому

Полная энергия взаимодействия. Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = р dV и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

где ф - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов, например, по поверхности; для этого достаточно в формуле (4.4) заменить р на о и dV на dS.

Можно ошибочно подумать (и это часто приводит к недоразумениям), что выражение (4.4) -это только видоизмененное выражение (4.3), соответствующее замене представления о точечных зарядах представлением о непрерывно распределенном заряде. В действительности это не так - оба выражения отличаются по своему содержанию. Происхождение этого различия - в разном смысле потенциала ф, входящего в оба выражения, что лучше всего пояснить на следующем примере.

Пусть система состоит из двух шариков, имеющих заряды д, и q2" Расстояние между шариками значительно больше их размеров, поэтому заряды ql и q2 можно считать точечными. Найдем энергию W данной системы с помощью обеих формул.

Согласно формуле (4.3)

W= "AUitPi + 2> где, ф[ - потенциал, создаваемый зарядом q2 в месте

нахождения заряда аналогичный смысл имеет

и потенциал ф2.

Согласно же формуле (4.4) мы должны разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы р AV и каждый из них умножить на потенциал ф, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Ясно, что результат будет совершенно другим, а именно:

W=Wt + W2+Wt2, (4.5)

где Wt - энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; W2 - то же, но для второго шарика; Wi2 - энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии W, и W2 называют собственными энергиями зарядов qx и q2, a W12-энергией взаимодействия заряда с зарядом q2.

Таким образом, мы видим, что расчет энергии W по формуле (4.3) дает только Wl2, а расчет по формуле (4.4)-полную энергию взаимодействия: кроме W{2 еще и собственные энергии IF, и W2. Игнорирование этого обстоятельства зачастую является источником грубых ошибок.

К данному вопросу мы еще вернемся в § 4.4, а сейчас получим с помощью формулы (4.4) несколько важных результатов.

Область экономики, которая охватывает ресурсы, добычу, преобразование и использование различных видов энергии.

Энергетику можно представить следующими взаимосвязанными блоками:

1. Природные энергетические ресурсы и добывающие предприятия;

2. Перерабатывающие предприятия и транспортировка готового топлива;

3. Выработка и передача электрической и тепловой энергии;

4. Потребители энергии, сырья и продукции.

Краткое содержание блоков:

1) Природные ресурсы делятся на:

возобновляемые (солнце, биомасса, гидроресурсы);

не возобновляемые (уголь, нефть);

2) Добывающие предприятия (шахты, рудники, газовые вышки);

3) Топливно-перерабатывающие предприятия (обогащение, перегонка, очистка топлива);

4) Транспортировка топлива (железная дорога, танкеры);

5) Выработка электрической и тепловой энергии (ТЭЦ, АЭС, ГЭС);

6) Передача электрической и тепловой энергии (электрические сети, рубопроводы);

7) Потребители энергии, тепла (силовые и промышленные процессы, отопление).

Часть энергетики, занятая проблемами получения больших количеств электроэнергии, передача ее на расстояние и распределение между потребителями, развитие ее идет за счет электроэнергетических систем.

Это совокупность взаимосвязанных электрических станций, электрических и тепловых систем, а также потребителей электрической и тепловой энергии, объединяющиеся единством процесса производства, передачи и потребления электроэнергии.

Электроэнергетическая система: ТЭЦ - теплоэлектроцентраль, АЭС - атомная электростанция, КЭС - конденсационная электростанция, 1-6 - потребители электроэнергии ТЭЦ

Схема тепловой конденсационной электростанции

Электрическая система (электросистема, ЭС) - электрическая часть электроэнергетической системы.

Схема приведена в однолинейном изображении, т. е. под одной линией имеются в виду три фазы.

Технологический процесс в энергосистеме

Технологический процесс – это процесс преобразования первичного энергетического ресурса (органического топлива, гидроэнергии, ядерного топлива) в конечную продукцию (электрическую энергию, тепловую энергию). Параметры и показатели технологического процесса определяют эффективность производства.

Схематично технологический процесс показан на рисунке, откуда видно, что имеется несколько этапов преобразования энергии.

Схема технологического процесса в энергосистеме: К – котел, Т – турбина, Г – генератор, Т – трансформатор, ЛЭП – линии электропередачи

В котле К энергия горения топлива преобразуется в тепловую. Котел – это парогенератор. В турбине тепловая энергия преобразуется в механическую. В генераторе механическая энергия преобразуется в электрическую. Напряжение электрической энергии в процессе ее передачи по ЛЭП от станции к потребителю трансформируется, что обеспечивает экономичность передачи.

Эффективность технологического процесса зависит от всех этих звеньев. Следовательно, имеется комплекс режимных задач, связанных с работой котлов, турбин ТЭС, турбин ГЭС, ядерных реакторов, электрического оборудования (генераторов, трансформаторов, ЛЭП и др.). Необходимо выбирать состав работающего оборудования, режим его загрузки и использования, соблюдать все ограничения.

Электроустановка - установка в которой производится, образуется или потребляется, распределяется электроэнергия. Может быть: открытая или закрытая (в помещении).

Электрическая станция - сложный технологический комплекс на котором энергия природного источника преобразуется в энергию электрического тока или тепла.

Необходимо отметить, что электростанции (особенно тепловые, работающие на угле) являются основными источниками загрязнения окружающей среды энергетикой.

Электроподстанция - электроустановка, предназначенная для преобразования электроэнергии одного напряжения в другую при той же частоте.

Электропередача (ЛЭП) - сооружение состоят из повышенных подстанций ЛЭП и понизительных подстанций (система проводов, кабелей, опор), предназначенных для передачи электроэнергии от источника к потребителю.

Электрические сети - совокупность ЛЭП и подстанций, т.е. устройства, соединяющие источник питания с .

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов (см. рисунок) согласно принципу суперпозиции в любой точке пространства:

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов исоответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная
, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной
.

В отличие от вектора энергия электрического поля – величина не аддитивная. Энергию взаимодействия можно представить более простым соотношением. Для двух точечных зарядов энергия взаимодействия равна:

которую можно представить как сумму:

где
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда, а
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где -
заряд системы,- потенциал, создаваемый в месте нахождения
заряда,всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , сумму следует заменить объёмным интегралом:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом
. Полученное выражение соответствуетполной электрической энергии системы.

Примеры.

Заряженный металлический шар в однородном диэлектрике .

На этом примере мы выясним почему электрические силы в диэлектрике меньше чем в вакууме и рассчитаем электрическую энергию такого шара.

Напряжённость поля в диэлектрике меньше напряжённости в вакууме враз
.

Это связано с поляризацией диэлектрика и возникновением у поверхности проводника связанного заряда противоположного знака заряда проводника(см. рисунок). Связанные зарядыэкранируют поле свободных зарядов, уменьшая его всюду. Напряжённость электрического поля в диэлектрике, равна сумме
, где
- напряжённость поля свободных зарядов,
- напряжённость поля связанных зарядов. Учитывая, что
, находим:

→
→

→
→
→

Поделив на площадь поверхности проводника, находим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов
и поверхностной плотностью свободных зарядов:

Полученное соотношение пригодно для проводника любой конфигурации в однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что
, а элементарный объём с учётом сферической симметрии поля выбран в форме шарового слоя.– ёмкость шара.

Так как зависимость напряжённости электрического поля внутри и вне шара от расстояния до центра шара rописывается различными функциями:

вычисление энергии сводится к сумме двух интегралов:

Отметим, что на поверхности и в объёме диэлектрического шара возникают связанные заряды:

,
,

где
- объёмная плотность свободных зарядов в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно, используя связи
,
и теорему Гаусса
.

Собственная энергия каждой оболочки равны соответственно (см. пример 1.):

,
,

а энергия взаимодействия оболочек:

Полная энергия системы равна:

Если оболочки заряжены одинаковыми по величине зарядами противоположного знака
(сферический конденсатор), полная энергия будет равна:

где
- ёмкость сферического конденсатора.

Напряжение, приложенное к конденсатору равно:

где и- напряжённость электрического поля в слоях.

Электрическая индукция в слоях:

- поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая связь
из определения ёмкости, получаем:

Полученная формула легко обобщается на случай многослойного диэлектрика:

Электрическая энергия системы зарядов.

Работа поля при поляризации диэлектрика.

Энергия электрического поля.

Как и всякая материя, электрическое поле обладает энергией. Энергия является функцией состояния, а состояние поля задается напряженностью. Откуда следует, что энергия электрического поля является однозначной функцией напряжённости. Так как, то крайне важно ввести представление о концентрации энергии в поле. Мерой концентрации энергии поля является её плотность:

Найдём выражение для. Рассмотрим для этого поле плоского конденсатора, считая его всюду однородным. Электрическое поле в любом конденсаторе возникает в процессе его зарядки, который можно представить как перенос зарядов от одной пластины к другой (см. рисунок). Элементарная работа͵ затраченная на перенос заряда равна:

где, а полная работа:

которая идет на увеличение энергии поля:

Учитывая, что (электрического поля не было), для энергии электрического поля конденсатора получаем:

В случае плоского конденсатора:

так как, - объём конденсатора, равный объёму поля. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, плотность энергии электрического поля равна:

Эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика.

Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности. Эта формула, хотя и получена для однородного поля, верна для любого электрического поля. В общем случае энергию поля можно вычислить по формуле:

В выражении входит диэлектрическая проницаемость. Это означает, что в диэлектрике плотность энергии больше чем в вакууме. Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике совершается дополнительная работа͵ связанная с поляризацией диэлектрика. Подставим в выражение для плотности энергии значение вектора электрической индукции:

Первое слагаемое связано с энергией поля в вакууме, второе – с работой, затраченное на поляризацию единицы объема диэлектрика.

Элементарная работа͵ затраченная полем на приращение вектора поляризации равна.

Работа по поляризации единицы объема диэлектрика равна:

так как, что и требовалось доказать.

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов и соответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.

которую можно представить как сумму:

где - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда, а - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где - заряд системы, - потенциал, создаваемый в месте нахождения заряда, всеми остальными зарядами системы.

В случае если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, сумму следует заменить объёмным интегралом:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом. Полученное выражение соответствует полной электрической энергии системы.

В пределах электростатики невозможно дать ответ на вопрос, где сосредоточена энергия конденсатора. Поля и заряды, их образовавшие, не могут существовать обособленно. Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …), и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является электростатическое поле .

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу dА . Работа, совершенная системой, определяется убылью энергии взаимодействия -dW зарядов

(5.5.1)

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r 12 , численно равна работе по перемещению заряда q 1 в поле неподвижного заряда q 2 из точки с потенциалом в точку с потенциалом :

(5.5.2)

Удобно записать энергию взаимодействия двух зарядов в симметричной форме

(5.5.3)

Для системы из n точечных зарядов (рис. 5.14) в силу принципа суперпозиции для потенциала, в точке нахождения k -го заряда, можно записать:

Здесь φ k , i - потенциал i -го заряда в точке расположения k -го заряда. В сумме исключен потенциал φ k , k , т.е. не учитывается воздействие заряда самого на себя, равное для точечного заряда бесконечности.

Тогда взаимная энергия системы n зарядов равна:

(5.5.4)

Данная формула справедлива лишь в случае, если расстояние между зарядами заметно превосходит размеры самих зарядов.

Рассчитаем энергию заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из двух, первоначально незаряженных, пластин. Будем постепенно отнимать у нижней пластины заряд dq и переносить его на верхнюю пластину (рис. 5.15).

В результате между пластинами возникнет разность потенциалов При переносе каждой порции заряда совершается элементарная работа

Воспользовавшись определением емкости получаем

Общая работа, затраченная на увеличение заряда пластин конденсатора от 0 до q , равна:

Эту энергию можно также записать в виде