Что показывает ранг матрицы. Понятие о ранге матрицы. Идея практического метода вычисления ранга матрицы

Элементарными называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы А и В эквивалентны, то это записывается так: A ~ B.

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 2 Найти ранг матрицы

А=

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 2 и 5:

;

из третьей строки вычтем первую; получим матрицу

В = ,

которая эквивалентна матрице А, так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы В равен 2, а следовательно, и r(A)=2. Матрицу В легко привести к канонической. Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются. Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

Теоре́ма Кро́некера - Капе́лли - критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец является линейной комбинацией столбцов матрицы . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы . Тогда, согласно теореме о базисном миноре , последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Однородная система уравнений

Предложение 15 . 2 Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство . Для этой системы набор чисел , , , является решением.

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: .

Предложение 15 . 3 Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

Доказательство . Пусть и служат решениями системы . Тогда и . Пусть . Тогда

Так как , то -- решение.

Пусть -- произвольное число, . Тогда

Так как , то -- решение.

Следствие 15 . 1 Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.

Определение 15 . 5 Будем говорить, что решения системы образуют фундаментальную систему решений , если столбцы образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.

Определение 15 . 6 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда выражение

где -- произвольные числа, будем называть общим решением системы .

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)" .

Теорема 15 . 3 Пусть -- фундаментальная система решений однородной системы . Тогда , где -- число неизвестных в системе.

Теорема (о линейном решении однородных систем). Пусть - решения однородной системы (1), - произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы.

Ранг матрицы

Определение 1

Система строк/столбцов некоторой матрицы называется линейно независимой, если ни одна из этих строк (ни один из этих столбцов) линейно не выражается через другие строки/столбцы.

Рангом системы строк/столбцов некоторой матрицы $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется наибольшее количество линейно независимых строк/столбцов.

Ранг системы столбцов всегда совпадает с рангом системы строк. Этот ранг называется рангом рассматриваемой матрицы.

Ранг матрицы - это максимальный из порядков миноров заданной матрицы, для которых определитель отличен от нуля.

Для обозначения ранга матрицы используют следующие записи: $rangA$, $rgA$, $rankA$.

Ранг матрицы обладает следующими свойствами:

Для нулевой матрицы ранг матрицы равен нулю, для остальных - ранг есть некоторое положительное число.
Ранг прямоугольной матрицы порядка $m\times n$ не больше меньшего из количества строк или столбцов матрицы, т.е. $0\le rang\le \min (m,n)$.
Для невырожденной квадратной матрицы некоторого порядка ранг этой матрицы совпадает с порядком данной матрицы.
Определитель квадратной матрицы некоторого порядка, имеющей ранг меньший порядка матрицы, равный нулю.

Существует два способа нахождения ранга матрицы:

окаймлять с помощью определителей и миноров (метод окантовки);
посредством элементарных преобразований.

Алгоритм метода окантовки включает следующее:

В случае, когда все миноры первого порядка являются равными нулю, имеем ранг рассматриваемой матрицы равным нулю.
В случае, когда хотя бы один из миноров первого порядка не является равным нулю, и при этом все миноры второго порядка являются равными нулю, ранг матрицы равен 1.
В случае, когда хотя бы один из миноров второго порядка не является равным нулю, выполняется исследование миноров третьего порядка. В результате находится минор порядка $k$ и проверяется, не являются ли равными нулю миноры порядка $k+1$. Если все миноры порядка $k+1$ является равными нулю, то ранг матрицы равен $k$.

Как определить ранг матрицы: примеры

Пример 1

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 3.

Среди миноров первого порядка имеются миноры не равные нулю, например, $M_{1} =\left|-2\right|=-2$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {-2} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right|=-2\cdot 0-1\cdot 1=0-1=-1\ne 0$

$M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right|=-2\cdot 0\cdot 3+1\cdot 3\cdot 1+1\cdot 2\cdot 4-1\cdot 0\cdot 4-1\cdot 1\cdot 3-2\cdot 3\cdot (-2)=3+8-0-3+12=20\ne 0$

Следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Пример 2

Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccccc} {1} & {2} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {4} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$.

Решение:

Отметим, что ранг исходной матрицы не может быть более 4 (строк 4, столбцов 5).

Среди миноров первого порядка имеются отличные от нуля, например, $M_{1} =\left|1\right|=1$. Рассмотрим миноры второго порядка.

$M_{2} =\left|\begin{array}{cc} {1} & {2} \\ {0} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 2=1-0=1\ne 0$

Выполним окаймление минора второго порядка и получим минор третьего порядка.

$M_{3} =\left|\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {1} & {2} \\ {2} & {3} & {1} \end{array}\right|=1\cdot 1\cdot 1+2\cdot 2\cdot 2+0\cdot 3\cdot 3-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot 1\cdot 2-2\cdot 3\cdot 1=1+8+0-6-0-6=-3\ne 0$

Выполним окантовывание минора третьего порядка и получим минор четвертого порядка.

$M_{4} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {0} \\ {0} & {1} & {2} & {3} \\ {2} & {3} & {1} & {4} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

$M_{5} =\left|\begin{array}{cccc} {1} & {2} & {3} & {1} \\ {0} & {1} & {2} & {4} \\ {2} & {3} & {1} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {0} \end{array}\right|=0$ (содержит нулевую строку)

Все миноры четвертого порядка матрицы равны нулю, следовательно, ранг рассматриваемой матрицы равен 3.

Нахождение ранга матрицы посредством элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному (ступенчатому) виду. Ранг полученной в результате преобразований матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.

Пример 3

Определить ранг матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.

Решение:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим со второй строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим с третьей строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)$

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим с третьей строкой:

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида

Количество ненулевых диагональных элементов равно 3, следовательно, $rang=3$.

Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора
элемента. Напомним, что так был назван определитель порядка
, полученный из определителя
вычеркиванием-й строки и-го столбца.

Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудьномеров строк
иномеров столбцов
.

Определение . Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк
и столбцов
.

Определение . В матрице размеров
минор порядканазываетсябазисным , если он отличен от нуля, а все миноры порядка
равны нулю или миноров порядка
у матрицывообще нет.

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка
равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка
, а, следовательно, и всех бόльших порядков.

Определение . Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы будем обозначать символом
. Из определения ранга следует, что для матрицыразмеров
справедливо соотношение.

Два способа вычисления ранга матрицы

а) Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден минор
-го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры
-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор
: если все они равны нулю, то ранг матрицы равен. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
-го порядка, и вся процедура повторяется.

Пример 9 . Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Выберем минор второго порядка
. Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор
. Вычислим его.

Значит, минор
базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований

Определение . Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

умножение строки на число, отличное от нуля;

прибавление к одной строке другой строки;

перестановку строк;

такие же преобразования столбцов.

Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.

Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

Теорема . Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

(Без доказательства)

Идея практического метода вычисления ранга матрицы

заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

, (5)

в котором «диагональные» элементы
отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицутакого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицык треугольному виду можно сразу записать, что
.

В самом деле,
(т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицысуществует отличный от нуля минор порядка:

а любой минор порядка
содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицыследует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Тогда ранг матрицыбудет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

Пример 10. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

Решение.

Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки −1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

Обозначим -тую строку матрицы –. Нам необходимо привести исходную матрицу к треугольному виду. Первую строку будем считать ведущей, она будет участвовать во всех преобразованиях, но сама остается без изменений.

На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2
, к третьей строке прибавим первую
, а из третьей вычтем первую, умноженную на 3
Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой:

Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что
, т. е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим образом:

Определение. Рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк, рассматриваемых как векторы.

Теорема 1 о ранге матрицы. Рангом матрицы называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы.

Понятие минора мы уже разбирали на уроке по определителям , а сейчас обобщим его. Возьмём в матрице сколько-то строк и сколько-то столбцов, причём это "сколько-то" должно быть меньше числа строк и стобцов матрицы, а для строк и столбцов это "сколько-то" должно быть одним и тем же числом. Тогда на пересечении скольки-то строк и скольки-то столбцов окажется матрица меньшего порядка, чем наша исходная матрица. Определитель это матрицы и будет минором k-го порядка, если упомянутое "сколько-то" (число строк и столбцов) обозначим через k.

Определение. Минор (r +1)-го порядка, внутри которого лежит выбранный минор r -го порядка, называется называется окаймляющим для данного минора.

Наиболее часто используются два способа отыскания ранга матрицы . Это способ окаймляющих миноров и способ элементарных преобразований (методом Гаусса).

При способе окаймляющих миноров используется следующая теорема.

Теорема 2 о ранге матрицы. Если из элементов матрицы можно составить минор r -го порядка, не равный нулю, то ранг матрицы равен r .

При способе элементарных преобразований используется следующее свойство:

Если путём элементарных преобразований получена трапециевидная матрица, эквивалентная исходной, то рангом этой матрицы является число строк в ней кроме строк, полностью состоящих из нулей.

Отыскание ранга матрицы способом окаймляющих миноров

Окаймляющим минором называется минор большего порядка по отношению к данному, если этот минорм большего порядка содержит в себе данный минор.

Например, дана матрица

Возьмём минор

окаймляющими будут такие миноры:

Алгоритм нахождения ранга матрицы следующий.

1. Находим не равные нулю миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы будет равен единице (r =1 ).

2. Если существует хотя бы один минор второго порядка, не равный нулю, то составляем окаймляющие миноры третьего порядка. Если все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум (r =2 ).

3. Если хотя бы один из окаймляющих миноров третьего порядка не равен нулю, то составляем окаймляющие его миноры. Если все окаймляющие миноры четвёртого порядка равны нулю, то ранг матрицы равен трём (r =2 ).

4. Продолжаем так, пока позволяет размер матрицы.

Пример 1. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка .

Окаймляем его. Окаймляющих миноров будет четыре:

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю, следовательно, ранг данной матрицы равен двум (r =2 ).

Пример 2. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 1, так как все миноры второго порядка этой матрицы равны нулю (в этом, как и в случаях окаймляющих миноров в двух следующих примерах, дорогим студентам предлагается убедиться самостоятельно, возможно, используя правила вычисления определителей), а среди миноров первого порядка, то есть среди элементов матрицы, есть не равные нулю.

Пример 3. Найти ранг матрицы

Решение. Минор второго порядка этой матрицы , в все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум.

Пример 4. Найти ранг матрицы

Решение. Ранг данной матрицы равен 3, так как единственный минор третьего порядка этой матрицы равен 3.

Отыскание ранга матрицы способом элементарных преобразований (методом Гаусса)

Уже на примере 1 видно, что задача определения ранга матрицы способом окаймляющих миноров требует вычисления большого числа определителей. Существует, однако, способ, позволяющий свести объём вычислений к минимуму. Этот способ основан на использовании элементарных преобразований матриц и ещё называется также методом Гаусса.

Под элементарными преобразованиями матрицы понимаются следующие операции:

1) умножение какой-либо строки или какого либо столбца матрицы на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки или какого-либо столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами двух строк или столбцов матрицы;

4) удаление "нулевых" строк, то есть таких, все элементы которых равны нулю;

5) удаление всех пропорциональных строк, кроме одной.

Теорема. При элементарном преобразовании ранг матрицы не меняется. Другими словами, если мы элементарными преобразованиями от матрицы A перешли к матрице B , то .

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Если в этой матрице выделить произвольно k строк и k столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу k-го порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы А. Очевидно, что матрица А обладает минорами любого порядка от 1 до наименьшего из чисел m и n. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы А найдется по крайней мере один минор, порядок которого будет наибольшим. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Если ранг матрицы А равен r , то это означает, что в матрице А имеется отличный от нуля минор порядка r , но всякий минор порядка, большего чем r , равен нулю. Ранг матрицы А обозначается через r(A). Очевидно, что выполняется соотношение

Вычисление ранга матрицы с помощью миноров

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований. При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор D k-го порядка матрицы А, отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры (k+1)-го порядка, окаймляющие минор D, т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k .

Пример 1. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение. Начинаем с миноров 1-го порядка, т.е. с элементов матрицы А. Выберем, например, минор (элемент) М 1 = 1, расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор M 2 = , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам 3-го порядка, окаймляющим М 2 . Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их: = 0. Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы А равен двум.