Большая энциклопедия нефти и газа. Задачи для самостоятельного решения

Cтраница 1

Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.  

Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.  

Теорема Фробениуса доказана полностью.  

Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.  

Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.  

Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.  

Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.  

По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.  

По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.  

По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.  

Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.

Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях

Теорема — теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь Ушакова

Теорема Ж. — 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь Ефремовой

Вторая Теорема Экономики Благосостояния — - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарь

Двухфондовая Теорема Разделения — Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарь

Разделительная Теорема Фишера — Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарь

Теорема Взаимного Фонда — Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарь

Теорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона) — - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарь

Теорема Коуза — - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарь

Теорема О Разделении — (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарь

Теорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem) — утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарь

Теорема Паритета Процентных Ставок — Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарь

Теорема Равенства Цен Спот И Фьючерс — Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарь

Теорема Разделения — Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарь

Теорема Разделения (separation Theorem) — свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарь

Теорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля — Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарь

Теорема Рыбчинского — (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарь

Теорема Самуэльсона-джонса — (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарь

Теорема Столпера-сэмюэльсона — экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарь

Теорема — -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь Кузнецова

Великая Теорема Ферма — , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........

Теорема — , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарь

Безу Теорема — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.

Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарь

Вариньона Теорема — момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарь

Виета Теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарь

Гаусса Теорема — основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарь

Жуковского Теорема: — подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарь

Ирншоу Теорема — сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарь

Косинусов Теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарь

Лапласа Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарь

:

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:

  Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.

  Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :

  Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .

  Следствия и замечания

  Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .

  Алгебры с делением над полем комплексных чисел

  Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .

  Гипотеза Фробениуса

  В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.

  Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.

  См. также

  Литература

  • Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
  • Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
  • Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).

  Счётные множества
  Вещественные числа и их расширения
  Инструменты расширения числовых систем
  Иерархия чисел	− 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots }

  Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.

  Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то a = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент a, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре.

  Из определения a непосредственно следует, что = а, а также =ka, где k R.

  Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, . R , .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент a. Покажем, что а совпадает с a.

  Элементы а и a, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:

  а+a = 2а* 1, где а R, (14)

  а* a = d*1, где d R. (15)

  Элементы а и a, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:

  а+ a = 2а 1 * 1, где а 1 R, (14")

  а * a = d 1 *1, где d 1 R. (15 /)

  Вычтем из (14) и (15) соответственно (14 /) и (15"). Тогда:

  a - a = 2(a - a1)*1.

  а (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1.

  a(a - a), то a = *1,

  т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.

  Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры.

  Точно так же |а| 2 = аa как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры, так, что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры.

  Тогда для любых a, b А справедливы равенства:

  A+ и = a *. (16)

  Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры.

  Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = ba, откуда

  a + ba = с* 1, где с R.

  Определим в (A, +, . R , .) скалярное произведение (а, b) как

  a + ba = 2(а, b) * 1.

  Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:

  1) (а, а) > 0 при а? 0 и (0, 0) = 0.

  В самом деле,

  (а, а) * 1 = (аa + аa) = аa = |а|* 1,

  а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а? 0 и равен 0 при а = 0.

  2) (a, b) = (b. а), так как

  a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

  a + ba = ba + a, тогда (a, b) = (b, a).

  3) (a, kb) = k(a, b) при k R.

  Действительно,

  (a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

  4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

  следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).

  Из (а, а) = |а| 2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.

  Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то

  |ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

  Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.

  Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.

  Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.

  Если I = f0g, то F = R.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Если I = f0g, то F = R.

  Если размерность подпространства I равна 1, то F = C.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Если I = f0g, то F = R.

  Если размерность подпространства I равна 1, то F = C. Пусть размерностьподпространства I больше 1.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  пространства I . Положим i = p1 u. Тогда

  

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =
  i2 =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u 2 (u2 ) =

  i2 = p1 u 2 u

  p 1 u 2 u =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u 2 (u2 ) = 1:

  i2 = p1 u 2 u

  p 1 u 2 u =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i = p1 u. Тогда i2 = 1:

  По в сумму i v = + x, где 2 R, x 2 I.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
  			лемме о разложении элементов из F
  			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
  					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
  			(i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =										u. Тогда i2 = 1:
  			лемме о разложении элементов из F
  			i v = + x, где				2 R, x 2 I . Согласно
  					(i + v) 2 I , в		частности, (i + v)2 < 0.
  			(i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  лемме о разложении элементов из F

  i v = + x, где

  2 R, x 2 I .

  Согласно

  (i + v) 2 I ,

  в частности, (i + v)2 < 0.

  (i + v)2

  (i + v)!

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  лемме о разложении элементов из F

  i v = + x, где

  2 R, x 2 I .

  Согласно

  (i + v) 2 I ,

  в частности, (i + v)2 < 0.

  (i + v)2

  (i + v)!

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
  					о разложении				элементов из
  				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
  					(i + v). Имеем j2 = 1,
  		(i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  о разложении

  элементов из

  i v = + x, где

  2 R, x 2 I .

  (i1 + v). Имеем j2 = 1,

  (i + v)2

  i j = i

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  о разложении элементов

  i v = + x, где

  x 2 I .

  (i1 + v). Имеем j2 = 1,

  (i + v)2

  i j = i

  (i + v)2

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  о разложении

  элементов

  i v = + x, где

  x 2 I .

  (i1 + v). Имеем j2 = 1,

  (i + v)2

  i j = i

  (i + v)2

  (i + v)2

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =

  u. Тогда i2 = 1:

  о разложении

  элементов

  i v = + x, где

  x 2 I .

  (i1 + v). Имеем j2 = 1,

  (i + v)2

  i j = i

  (i + v)2

  (i + v)2

  x 2 I :

  (i + v)2

  (i + v)2

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
  					о разложении				элементов из
  				i v = + x, где					2 R, x 2 I .

  (i + v)2

  Значит, ,

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
  					о разложении				элементов из
  				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
  					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
  		(i + v)2

  I + j + i j ; ; ; 2 R

  тело кватернионов.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Пусть размерность подпространства I больше 1.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fu; vg линейного

  пространства I . Положим i =								u. Тогда i2 = 1:
  					о разложении				элементов из
  				i v = + x, где					2 R, x 2 I .
  					(i + v). Имеем j2 = 1, i j 2I :
  		(i + v)2
  Значит, по лемме о вложении тела кватернионов вF ,

  I + j + i j ; ; ; 2 R

  тело кватернионов.

  Таким образом, если линейное пространство I имеет размерность 3, то F это тело кватернионов.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  подпространства I больше 3.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I

  Возьмем линейно независимую

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  							x; y; z 2 I :

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  							x; y; z 2 I :

  В силу леммы о подпространстве I t = m + i + j + k 2I . Излинейной независимости системы векторов fi; j; k; mg сле-

  дует, что t 6= 0.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  							x; y; z 2 I :

  лемме о подпространстве I

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  							x; y; z 2 I :

  Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

  i t = i m + k j =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  							x; y; z 2 I :

  Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

  i t = i m + k j = x + k j

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  							x; y; z 2 I :

  Доказано, что 0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпространстве I

  i t = i m + k j = x + k j 2 I:

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  Аналогично можно доказать, что j t 2 I, k t 2 I.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  В силу леммы о разложении элементов из F в сумму

  											x; y; z 2 I :
  Доказано, что			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Полемме о подпро-
  странстве I			i t 2 I, j t 2 I,
  Положим n =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  N i j = i n j =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  N k = n i j = i n j =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  VII.6. Доказательство теоремы Фробениуса

  Осталось рассмотреть случай, когда размерность подпространства I больше 3. Мы доказали, что тогда F включает в себя тело кватернионов.

  Возьмем линейно независимую систему векторов fi; j; k; mg, где i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

  Мы нашли такой n 2 I, что n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

  По лемме о вложении тела кватернионов в F

  i n = n i; j n = n j; k n = n k:

  k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

  Следовательно, 2k n = 0, противоречие.

  VII. Теорема Фробениуса

  Теорема 2. Пусть F тело , причем R F ,

  9i1 ; i2 ; : : : ; in		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
  z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n in :

  Тогда F это либо R, либо C, либо тело кватернионов .

  Теорема доказана.

  

  внимание!

  e-mail: [email protected]; [email protected]

  сайты: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru