Большая энциклопедия нефти и газа. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Пусть - тело , содержащее в качестве подтела тело R {\displaystyle \mathbb {R} } вещественных чисел, причём выполняются два условия:
Другими словами, L {\displaystyle \mathbb {L} } является конечномерной алгеброй с делением над полем вещественных чисел.
Теорема Фробениуса утверждает, что всякое такое тело L {\displaystyle \mathbb {L} } :
Отметим, что теорема Фробениуса относится только к конечномерным расширениям R {\displaystyle \mathbb {R} } . Например, она не охватывает поле гипервещественных чисел нестандартного анализа , которое тоже является расширением R {\displaystyle \mathbb {R} } , но не конечномерным. Другой пример, алгебра рациональных функций .
Следствия и замечания
Три последних утверждения образуют так называемую обобщённую теорему Фробениуса .
Алгебры с делением над полем комплексных чисел
Алгебра размерности n над полем комплексных чисел является алгеброй размерности 2n над R {\displaystyle \mathbb {R} } . Тело кватернионов не является алгеброй над полем C {\displaystyle \mathbb {C} } , так как центром H {\displaystyle \mathbb {H} } является одномерное вещественное пространство. Поэтому единственной конечномерной алгеброй с делением над C {\displaystyle \mathbb {C} } является алгебра C {\displaystyle \mathbb {C} } .
Гипотеза Фробениуса
В теореме есть условие ассоциативности. Что будет, если отказаться от этого условия? Гипотеза Фробениуса утверждает, что и без условия ассоциативности при n, отличном от 1, 2, 4, 8, в вещественном линейном пространстве R n нельзя определить структуру алгебры с делением. Гипотеза Фробениуса доказана в 60-х гг. XX века.
Если при n>1 в пространстве R n определено билинейное умножение без делителей нуля, то на сфере S n-1 существует n-1 линейно независимых векторных полей . Из результатов, полученных Адамсом о количестве векторных полей на сфере , следует, что это возможно только для сфер S 1 , S 3 , S 7 . Это доказывает гипотезу Фробениуса.
См. также
Литература
- Бахтурин Ю. А. Основные структуры современной алгебры. - М. : Наука, 1990. - 320 с.
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. 2-е изд . - М. : Наука, 1973. - 400 с.
- Понтрягин Л. С. Обобщения чисел . - М. : Наука, 1986. - 120 с. - (Библиотечка «Квант» , выпуск 54).
Счётные
множестваВещественные числа
и их расширенияИнструменты расширения
числовых системИерархия чисел − 1 , 0 , 1 , … {\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots } Cтраница 1
Теорема Фробениуса дает характеризацию двудольных графов, обладающих совершенным паросочетанием. Теорема Холла содержит характеризацию двудольных графов, имеющих паросочетание из А в В. Теорема Кенига дает формулу для числа паросочетания в двудольном графе.
Теорема Фробениуса устанавливает связь между инвалютивностью и интегрируемостью системы линейно независимых векторов.
Теорема Фробениуса доказана полностью.
Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом.
Теорема Фробениуса 1.43 изначально появилась как теорема о природе решений определенных систем однородных линейных уравнений с частными производными первого порядка; см. Fro-benius и обсуждение инвариантов в § 2.1. Ее превращение в теорему из дифференциальной геометрии впервые произошло в важной книге Chevalley по группам Ли. В этой книге в первый раз была собрана вместе большая часть современных определений и теорем по этому предмету. Впоследствии он был еще обобщен - см. Sussmann , - однако осталось еще много работы, в частности, по выяснению структуры особых множеств. В этих и других работах термины распределение или дифференциальная система применяются к тому, что мы просто называем системой векторных полей.
Теоремы Фробениуса и Шура имеют сложное комбинаторное доказательство.
Из теоремы Фробениуса следует расщепляемость групп Фробениуса. Если Н - дополнительный множитель группы Фробени уса, то нормализатор любой подгруппы Ях из Н содержится в последней. Так как то же самое справедливо для любой подгруппы, сопряженной с Я, то сильно изолирован инвариантный множитель группы Фробениуса. Следовательно, любой неединичлый элемент, не содержащийся в инвариантном множителе, индуцирует в нем регулярный автоморфизм.
По теореме Фробениуса - Перрона любая положительная матрица (или неотрицательная, но неразложимая) имеет положительное действительное собственное значение A mas, которому отвечает единственный (с точностью до множителя) собственный вектор с положительными компонентами. Тем самым существование вектора приоритетов (весов элементов) обеспечивается во всех случаях, когда в матрице суждений имеются лишь положительные элементы.
По теореме Фробениуса все числа (129) отличны от нуля и одного знака.
По теореме Фробениуса [ 1, § 10, 9J кажущийся более общим случай dwj i /, Л Wk сводится к только что рассмотренному с помощью подходящих линейных комбинаций, и эти условия необходимы и достаточны для локальной интегрируемости. Они гарантируют, что элемент поверхности может быть продолжен с инфинитезимального на локальный уровень; вопрос же о возможности продолжения на глобальный уровень остается открытым. В этом случае N характеризуется векторным полем X Т 1, и, как показано в параграфе 2.3, в X локально всегда существуют интегральные кривые. В общем случае n - мерные подмногообразия инвариантны относительно локальных потоков Фх, порожденных векторным полем X, удовлетворяющим условию (wj Х) 0, и даже локально порожденных, если Фх могут действовать на точку.
Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что:
1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля.
2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля.
Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля:
3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля.
Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8.Лит. : Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973.
О. А. Иванова."ФРОБЕНИУСА ТЕОРЕМА" в книгах
Теорема Понтрягина
Из книги Звезды и немного нервно автора Жолковский Александр КонстантиновичТеорема Понтрягина Одновременно с Консерваторией папа учился в МГУ, на мехмате. Он с успехом его окончил и даже некоторое время колебался в выборе профессии. Победило музыковедение, в результате выигравшее от его математического склада ума.Одним из папиных сокурсников
Теорема
Из книги Своими глазами автора Адельгейм ПавелТеорема Теорема о праве религиозного объединения выбирать священника нуждается в доказательстве. Читается она так: "Православная община создается… под духовным руководством избранного общиной и получившего благословение епархиального архиерея священника".
3.3. Теорема Коуза
Из книги Институциональная экономика автора Одинцова Марина Игоревна3.3. Теорема Коуза 3.3.1. Внешние эффектыПри использовании собственности одним человеком могут возникать негативные или благоприятные последствия для других людей. Если действия одной стороны влияют или могут с определенной вероятностью повлиять на изменение
12.4.3. Теорема Коуза
Из книги Экономическая теория: учебник автора Маховикова Галина Афанасьевна12.4.3. Теорема Коуза Еще один путь устранения внешних эффектов – установление прав собственности на ресурсы. Будучи установленными, права собственности могут быть проданы. Ясно, что цена, которую человек готов уплатить за получение права собственности, зависит от
Теорема Геделя
Из книги Новый ум короля [О компьютерах, мышлении и законах физики] автора Пенроуз РоджерТеорема Геделя Часть доказательства, приведенного Геделем, содержало некий очень сложный и детализированный кусок. Однако нам не обязательно разбираться во всех его тонкостях. Основная идея, в то же время, была проста, красива и глубока. И ее мы сможем оценить по
Теорема (Théoréme)
Из книги Философский словарь автора Конт-Спонвиль АндреII. Теорема Декарта
Из книги О начале человеческой истории (Проблемы палеопсихологии) [изд. 1974, сокр.] автора Поршнев Борис ФёдоровичII. Теорема Декарта О «Декартовой пропасти» здесь надо сказать несколько слов, так как это поможет читателю понять весь замысел данной книги. Хотя у Декарта были гиганты предтечи - Коперник и Бруно, Бэкон и Галилей, Везалий и Гарвей, все же именно Декарт заложил основу
Крымская теорема
Из книги Романовы. Ошибки великой династии автора Шумейко Игорь НиколаевичКрымская теорема Крымское ханство даёт прекрасную базу для сравнительного анализа. Войдя, по определению Гумилёва, в стадию «гомеостаза», состояния равновесия со средой обитания, Крымское ханство замечательно тем, что более 200 лет ставило перед Россией задачу с одними и
«АШ-ТЕОРЕМА»
Из книги 100 великих научных открытий автора Самин Дмитрий«АШ-ТЕОРЕМА» Людвиг Больцман, автор «аш-теоремы», без сомнения, был величайшим ученым и мыслителем, которого дала миру Австрия. Еще при жизни Больцман, несмотря на положение изгоя в научных кругах, был признан великим ученым, его приглашали читать лекции во многие страны.
Теорема
БСЭТеорема СРТ
Из книги Большая Советская Энциклопедия (ТЕ) автора БСЭСРТ-теорема
Из книги Большая Советская Энциклопедия (СР) автора БСЭГлава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма
Из книги Апология математики, или О математике как части духовной культуры автора Успенский Владимир АндреевичГлава 2. Теорема Пифагора и теорема Ферма В кажущемся противоречии с настойчивым подчёркиванием, что в данном очерке нас интересует именно непрактический, неприкладной аспект математики, мы предполагаем весьма и весьма поучительным включение в «джентльменский набор»
ТЕОРЕМА
Из книги Конец четырехвекового заблуждения о Христе автора Логинов ДмитрийТЕОРЕМА Здесь Коннер не совсем прав. Ведь из его текста можно понимать так, что версия еврейского происхождения Девы менее достоверна, нежели какая-либо иная. На деле же такая версия вовсе недостоверна. Предположение о еврейском происхождении Матери Христа не имеет
Теорема
Из книги Понять Россию умом автора Калюжный Дмитрий ВитальевичТеорема Под свободным мировым рынком понимается ситуация, когда товары и капиталы могут свободно перемещаться по всему миру, валюты свободно конвертируются, пошлины на границах невелики, или вообще ни пошлин, ни границ нет, и предприятия, независимо от формы
Теорема, описывающая все конечномерные ассоциативные действительные алгебры без делителей нуля, доказана Г. Фробениусом . Ф. т. утверждает, что: 1) Поле действительных чисел и поле комплексных чисел являются единственными конечномерными действительными ассоциативно-коммутативными алгебрами без делителей нуля. 2) Тело кватернионов является единственной конечномерной действительной ассоциативной, но не коммутативной алгеброй без делителей нуля. Существует также описание альтернативных конечномерных алгебр без делителей нуля: 3) Алгебра Кэли является единственной конечномерной действительной альтернативной, но не ассоциативной алгеброй без делителей нуля. Объединение этих трех утверждений нал. обобщенной теоремой Фробениуса. Все участвующие в формулировке теоремы алгебры оказываются алгебрами с однозначным делением и с единицей. Ф. т. не может быть обобщена на случаи неальтернативных алгебр. Доказано, однако, что размерность любой конечномерной действительной алгебры без делителей нуля может принимать лишь значения, равные 1, 2, 4 или 8. Лит.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973. О. А. Иванова.
Смотреть значение Фробениуса Теорема в других словарях
Теорема — теоремы, ж. (от греч. theorema, букв. зрелище) (науч.). Положение, справедливость к-рого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных........
Толковый словарь УшаковаТеорема Ж. — 1. Положение, истинность которого нуждается в доказательстве и устанавливается путем доказательства (в математике).
Толковый словарь ЕфремовойВторая Теорема Экономики Благосостояния — - утверждает, что всякое Парето-оптимальное состояние является равновесным для некоторого первоначального распределения вкладов факторов производства.
Экономический словарьДвухфондовая Теорема Разделения — Теоретическое утверждение о том, что все
инвесторы предпочитают вкладывать средства в комбинацию двух активов: безрискового
актива и рыночного портфеля.
Экономический словарьРазделительная Теорема Фишера — Выбор компанией инвестиций не зависит от отношения владельцев к данным
инвестициям. Также называется теоремой раздельного портфеля (portfolio separation theorem).
Экономический словарьТеорема Взаимного Фонда — Результат, сопряженный с
моделью определения стоимости
капитала и утверждающий, что
инвесторы предпочтут составить весь рискованный
портфель из акций........
Экономический словарьТеорема Выравнивания Цен На Факторы Производства (теорема Хекшера-олина- Самуэльсона) — - согласно ей под воздействием развития международной торговли происходит
выравнивание абсолютных и относительных цен на
факторы производства в участвующих в торговле странах
Экономический словарьТеорема Коуза — - дает решение того, как на основе прав собственности можно бороться с "внешними эффектами": шумом аэродрома, нарушающим покой; фабричным дымом, отравляющим воздух и........
Экономический словарьТеорема О Разделении — (separation theorem) – в модели оценки капитальных активов – утверждение согласно которому
оптимальный
портфель рискованных активов для любого
инвестора не зависит........
Экономический словарьТеорема Об Эффективном Множестве (efficient Set Theorem) — утверждение о том, что инвесторы будут выбирать портфели только из эффективного множества.
Экономический словарьТеорема Паритета Процентных Ставок — Разница в процентных
ставках двух стран равна разнице между форвардным валютным курсом и наличным курсом.
Экономический словарьТеорема Равенства Цен Спот И Фьючерс — Теорема, описывающая идеальную
зависимость между текущими ценами "
спот" и фьючерсными ценами. Там, где происходит
отклонение от такой идеальной зависимости,........
Экономический словарьТеорема Разделения — Теорема, утверждающая, что
стоимость
инвестиции для каждого индивидуального
инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет........
Экономический словарьТеорема Разделения (separation Theorem) — свойство САРМ, состоящее в том, что оптимальная для инвестора комбинация рискованных активов не зависит от его отношения к риску и доходности.
Экономический словарьТеорема Разделения Портфеля / Теорема Раздельного Портфеля — Выбор инвестором рискованного инвестиционного портфеля осуществляется независимо от его отношения к
риску. Ср. Fishers separation theorem (
разделительная теорема Фишера)
Экономический словарьТеорема Рыбчинского — (в теории международной торговли) - согласно ей увеличение
предложения и использования одного из факторов производства приводит к непропорционально большому увеличению........
Экономический словарьТеорема Самуэльсона-джонса — (в теории международной торговли) - согласно ей
развитие международной торговли приводит к
росту доходов владельцев факторов, специфических для
экспорто-ориентированных........
Экономический словарьТеорема Столпера-сэмюэльсона — экономическое положение, согласно которому повышение цены любого товара при неизменных остальных факторах приводит к повышению цен тех ресурсов, которые используются........
Экономический словарьТеорема — -ы; ж. [греч. theōrēma] Математическое положение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Геометрическая т. Доказать теорему.
Толковый словарь КузнецоваВеликая Теорема Ферма — , гипотеза, впервые высказанная ФЕРМА, что для всех целых чисел n2 не существует таких натуральных чисел х, у и z, которые удовлетворяли бы уравнению хn+уn=zn. На полях одной........
Теорема — , утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ФЕРМА.
Научно-технический энциклопедический словарьБезу Теорема — остаток от деления многочлена Pn(x) степени n на двучлен x - b, где b - число, равен Pn(b). Установлена Э. Безу.
Бернулли Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей;простейший случай закона больших чисел, относится к распределениюотклонений частоты появления некоторого случайного........
Большой энциклопедический словарьВариньона Теорема — момент равнодействующей системы сил относительнолюбого центра (или оси) равен сумме моментов сил этой системы относительнотого же центра (оси).
Большой энциклопедический словарьВиета Теорема — установленная Ф. Виетом теорема: сумма корней приведенногоквадратного уравнения равна коэффициенту при x, взятому с противоположнымзнаком, а произведение - свободному члену.
Большой энциклопедический словарьГаусса Теорема — основная теорема электростатики, устанавливающая связьмежду потоком напряженности электрического поля через замкнутуюповерхность и электрическим зарядом внутри этой поверхности.
Большой энциклопедический словарьЖуковского Теорема: — подъемная сила - действующая на тело в потоке жидкостиили газа, обусловлена связанными с телом вихрями (т. н. присоединеннымивихрями), возникающими из-за вязкости жидкости........
Большой энциклопедический словарьИрншоу Теорема — сформулированная английским ученым С. Ирншоу в 19 в.теорема электростатики, согласно которой система покоящихся точечныхзарядов, расположенных на любом расстоянии........
Большой энциклопедический словарьКосинусов Теорема — теорема тригонометрии, устанавливающая соотношениямежду сторонами a, b, c произвольного треугольника и косинусом угла Смежду сторонами a и b: c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Большой энциклопедический словарьЛапласа Теорема — одна из предельных теорем теории вероятностей. Если прикаждом из n независимых испытаний вероятность появления некоторогослучайного события Е равна р (0"р"1) и m - число........
Большой энциклопедический словарьОчевидно, что если, то для. Более того, мы покажем, что для достаточно больших p
Лемма № 1. Если матрица неотрицательна и неприводима, то
Доказательство:
Если взять произвольный вектор и, то. И пусть вектор имеет место, очевидно, что Z имеет по крайней мере столько же нулевых положительных элементов, что и y. В самом деле, если предположить, что Z имеет меньше нулевых компонент, то обозначим, тогда и разбив матрицу А на блоки следующим образом
мы будем иметь
Учитывая, что, то, тогда получаем, что, что противоречит неприводимости матрицы
Для следующего вектора повторим рассуждения и т.д. В итоге получим, что для некоторого ненулевого вектора y
Для ненулевой неприводимой матрицы А рассмотрим действительную функцию r(x), определенную для ненулевых векторов следующим образом: , (Ax) i - i-я координата вектора Ах
Из определения следует, что и кроме того, r(x) -такое наименьшее значение, что
Очевидно, что r(x) инвариантна относительна замены x на, поэтому в дальнейшем можно рассматривать замкнутое множество, такое
Однако, r(x) может иметь разрывы в точках, где координата x обращается в 0, поэтому рассмотрим множество векторов и обозначим. По лемме № 1 каждый вектор из N будет положительным, а поэтому
Обозначим через наибольшее число, для которого, . - спектральный радиус матрицы А. Если Можно показать, что существует вектор y, что
Замечание. Могут существовать и другие векторы в L для которых r(x) принимает значение r, поэтому любой такой вектор называется экстремальным для матрицы А (Az=rz)
Интерес к числу r объясняется следующим результатом
Лемма № 2. Если матрица неотрицательна и неприводима, то число является собственным значением матрицы А, кроме того каждый экстремальный вектор для А положителен и является правым собственным вектором для А, отвечающим собственному значению r
Основным результатом является теорема Фробениуса-Перона для непрерывных матриц
Теорема Фробениуса-Перона. Если матрица неотрицательна и неприводима, то:
А имеет положительное собственное значение, равное спектральному радиусу матрицы А;
существует положительный правый собственный вектор, соответствующий собственному значению r.
собственное значение имеет алгебраическую кратность равную 1.
Теорема Перона (следствие). Положительная квадратная матрица А имеет положительное и действительное собственное значение r, имеющее алгебраическую кратность 1 и превосходит модули всех других собственных значений матрицы А. Этому r соответствует положительный собственный вектор
Используя теорему Фробениуса-Перона, можно найти максимальное действительное значение матрицы, не используя характеристического многочлена матрицы.