Аппроксимация функции. Нужна помощь по изучению какой-либы темы? Что такое интерполяция

Пусть y является функцией аргумента х. Это означает, что любому значению х из области определения поставлено в соответствие значение x. На практике иногда невозможно записать зависимость y(x) в явном виде. Вместе с тем, нередко эта зависимость задается в табличном виде. Это означает, что дискретному множеству значений {xi) поставлено в соответствие множество значений {yi), 0 < i < m. Эти значения — либо результаты расчета, либо набор экспериментальных данных.

В часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, иногда требуется определить значения функции в других точках, отличных от узловых. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации ). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции

существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае подбирают соответствующие параметры таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х. Запишем общий вид полинома n-й степени:

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация — замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой.

6.7.3. Технология решения задач аппроксимации функций средствами математических пакетов

6.7.3.1. Технология решения задач аппроксимации средствами MathCad

6.7.3.2. Технология решения задач аппроксимации функций в среде MatLab

6.7.4. Тестовые задания по теме «Аппроксимация функций»

Постановка задачи аппроксимации

Задача аппроксимации (приближения) функции заключается в замене некоторой функции y=f(x) другой функцией g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) таким образом, чтобы отклонение
g(x, a0, a1, ..., an) от f(x) удовлетворяло в некоторой области (на множестве Х) определённому условию. Если множество Х дискретно (состоит из отдельных точек), то приближение называется точечным, если же Х есть отрезок , то приближение называется интегральным.

Если функция f(x)задана таблично, то аппроксимирующая функция
g(x, a 0 , a 1 , ..., a n) должна удовлетворять определённому критерию соответствия ее значений табличным данным.

Подбор эмпирических формул состоит из двух этапов – выбора вида формулы и определения содержащихся в ней коэффициентов.

Если неизвестен вид аппроксимирующей зависимости, то в качестве эмпирической формулы обычно выбирают один из известных видов функций: алгебраический многочлен, показательную, логарифмическую или другую функцию в зависимости от свойств аппроксимируемой функции. Поскольку аппроксимирующая функция, полученная эмпирическим путем, в ходе последующих исследований, как правило, подвергается преобразованиям, то стараются выбирать наиболее простую формулу, удовлетворяющую требованиям точности. Часто в качестве эмпирической формулы выбирают зависимость, описываемую алгебраическим многочленом невысокого порядка.

Наиболее распространен способ выбора функции в виде многочлена:

где φ(x,a 0 ,a 1 ,...,a n)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x), а

φ 0 (x), φ 1 (x), ..., φ m (x) – базисные функции (m-степень аппроксимирующего полинома).

Один из возможных базисов – степенной: φ 0 (x)=1, φ 1 (x)=х, ..., φ m (x)=х m .

Обычно степень аппроксимирующего полинома m<e , то количество базисных функций выбирается так, чтобы . Здесь S – численное значение критерия близости аппроксимирующей функции φ(x, a 0 , a 1 , ..., a n) и табличных данных. Отклонения между опытными данными и значениями эмпирической функции

e i = φ(x i , a 0 , a 1 , ..., a m) – y i , i = 0,1,2,...,n.

Методы определения коэффициентов выбранной эмпирической функции различаются критерием минимизации отклонений.

Метод наименьших квадратов

Одним из способов определения параметров эмпирической формулы является метод наименьших квадратов. В этом методе параметры a 0 , a 1 , ..., a n определяются из условия минимума суммы квадратов отклонений аппроксимирующей функции от табличных данных.

Вектор коэффициентов a T определяют из условия минимизации

где (n+1) – количество узловых точек.

Условие минимума функции Е приводит к системе линейных уравнений относительно параметров a 0 , a 1 , ..., a m . Эта система называется системой нормальных уравнений, её матрица – матрица Грама . Элементами матрицы Грама являются суммы скалярных произведений базисных функций

Для получения искомых значений параметров следует составить и решить систему (m+1) уравнения

Пусть в качестве аппроксимирующей функции выбрана линейная зависимость y= a 0 +a 1 x . Тогда

Условия минимума:

Тогда первое уравнение имеет вид

Раскрывая скобки и разделив на постоянный коэффициент, получим

.

Первое уравнение принимает следующий окончательный вид:

.

Для получения второго уравнения,приравняем нулю частную производную по а1:

.

.

Система линейных уравнений для нахождения коэффициентов многочлена (линейная аппроксимация):

Введем следующие обозначения - средние значения исходных данных. Во введенных обозначениях решениями системы являются

.

В случае применения метода наименьших квадратов для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена второй степени y=a 0 +a 1 x+а 2 х 2 критерий минимизации имеет вид

.

Из условия получим следующую систему уравнений:

Решение этой системы уравнений относительно а 0 , а 1 , а 2 позволяет найти коэффициенты эмпирической формулы - аппроксимирующего многочлена 2-го порядка. При решении системы линейных уравнений могут быть применены численные методы.

В случае степенного базиса (степень аппроксимирующего полинома равна m) матрица Грама системы нормальных уравнений G и столбец правых частей системы нормальных уравнений имеют вид

G =

В матричной форме система нормальных уравнений примет вид:

Решение системы нормальных уравнений

найдется из выражения

В качестве меры уклонения заданных значений функции y 0 , y 1 , ..., y n от многочлена степени m - φ(x)=a 0 φ 0 (x)+a 1 φ 1 (x)+...+a m φ m (x) ,

принимается величина

(n+1) – количество узлов, m – степень аппроксимирующего многочлена, n+1>=m.

На рис.6.7.2-1 приведена укрупненная схема алгоритма метода наименьших квадратов.

Рис. 6.7.2-1. Укрупненная схема алгоритма метода наименьших квадратов

Данная схема алгоритма метода наименьших квадратов является укрупненной и отражает основные процессы метода, где n+1 – количество точек, в которых известны значения х i , y i ; i=0,1,…, n.

Блок вычисления коэффициентов предполагает вычисление коэффициентов при неизвестных с 0 , с 1 , …, с m и свободных членов системы из m+1 линейных уравнений.

Следующий блок – блок решения системы уравнений – предполагает вычисление коэффициентов аппроксимирующей функции с 0 , с 1 , …, с m .

Пример 6.7.2-1. Аппроксимировать следующие данные многочленом второй степени, используя метод наименьших квадратов.

x	0.78	1.56	2.34	3.12	3.81
y	2.50	1.20	1.12	2.25	4.28

Запишем в следующую таблицу элементы матрицы Грамма и столбец свободных членов:

i	x	x 2	x 3	x 4	y	xy	x 2 y
	0.78	0.608	0.475	0.370	2.50	1.950	1.520
	1.56	2.434	3.796	5.922	1.20	1.872	2.920
	2.34	5.476	12.813	29.982	1.12	2.621	6.133
	3.12	9.734	30.371	94.759	2.25	7.020	21.902
	3.81	14.516	55.306	210.72	4.28	16.307	62.129
∑	11.61	32.768	102.76	341.75	11.35	29.770	94.604

Система нормальных уравнений выглядит следующим образом

Решением этой системы являются:

а0 = 5.022; а1 =-4.014; а2=1.002.

Искомая аппроксимирующая функция

Сравним исходные значения yсо значениями аппроксимирующего многочлена, вычисленными в тех же точках:

Вычислим среднеквадратическое отклонение (невязку)

.

Пример 6.7.3-1. Получить аппроксимирующие полиномы первой и второй степени методом наименьших квадратов для функции, заданной таблично.

Пример 6.7.3-2. Осуществить аппроксимацию таблично заданной функции многочленом 1-й, 2-й и 3-й степени.

В этом примере рассмотрено использование функции linfit(x,y,f), где x,y- соответственно векторы значений аргументов и функции, а f – символьный вектор базисных функций. Использование этой функции позволяет определить вектор коэффициентов аппроксимации методом наименьших квадратов и далее невязку - среднеквадратическую погрешность приближения исходных точек к аппроксимирующей функции (сkо). Степень аппроксимирующего многочлена задается при описании символьного вектора f. В примере представлена аппроксимация таблично заданной функции многочленом 1-й, 2-й и 3-й степени. Вектор s представляет собой набор аппроксимирующих коэффициентов, что позволяет получить аппроксимирующую функцию в явном виде.

В Mathcad имеется также большое количество встроенных функций, предназначенных для получения аналитического выражения функции регрессии. Однако в этом случае необходимо знать форму аналитического выражения. Ниже приведены встроенные функции, различающиеся видом регрессии, позволяющие (при заданных начальных приближениях) определить аналитическую зависимость функции, то есть возвращающие набор аппроксимирующих коэффициентов:

expfit(X,Y,g) Решение ОДУ 2-го порядка вида у”=F(x, y, z), где z=y’ также может быть получено методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Ниже приведены формулы для решения ОДУ:

В этих функциях: х – вектор аргументов, элементы которого расположены в порядке возрастания; y – вектор значений функции; g – вектор начальных приближений коэффициентов a, b и с; t - значение аргумента, при котором определяется функция.

В приведенных ниже примерах для оценки связи между массивами данных и значениями аппроксимирующей функции подсчитывается коэффициент корреляции corr(). Если табличные данные неплохо аппроксимируется каким-либо видом регрессии, то коэффициент корреляции близок к единице. Чем меньше коэффициент, тем хуже связь между значениями этих функций.

Пример 6.7.3-3. Найти аппроксимирующие полиномы первой, второй, третьей и четвертой степени и вычислить коэффициенты корреляции.

Помимо вычисления значений функций в пределах интервала данных все рассмотренные ранее функции могут осуществлять экстраполяцию (прогнозирование поведения функции за пределами интервала заданных точек) с помощью зависимости, основанной на анализе расположения нескольких исходных точек на границе интервала данных. В Mathcad имеется и специальная функция предсказания predict(Y, m, n), где Y – вектор заданных значений функции, обязательно взятых через равные интервалы аргумента, а m – число последовательных значений Y, на основании которых функция predict возвращает n значений Y.

Значений аргумента для данных не требуется, поскольку по определению функция действует на данных, идущих друг за другом с одинаковым шагом. Функция использует линейный алгоритм предсказания, который точен, когда экстраполируемая функция гладкая. Функция может быть полезна, когда требуется экстраполировать данные на небольшие расстояния. Вдали от исходных данных результат чаще всего оказывается неудовлетворительным.

Пример 6.7.3-4. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.

В этом примере рассмотрено использование функции p=polyfit(x,y,n), где x,y – соответственно векторы значений аргументов и функции, n – порядок аппроксимирующего полинома, а p – полученный в результате вектор коэффициентов аппроксимирующего полинома длинной n+1.

>> x=; >> x x = 1.2000 1.4000 1.6000 1.8000 2.0000 >> y=[-1.15,-0.506,0.236,0.88,1.256]; >> y y = -1.1500 -0.5060 0.2360 0.8800 1.2560 >> % >> % >> p1=polyfit(x,y,1); >> p1 p1 = 3.0990 -4.8152 >> y1=polyval(p1,x); >> y1 y1 = -1.0964 -0.4766 0.1432 0.7630 1.3828 >> cko1=sqrt(1/5*sum((y-y1).^2)); >> cko1 cko1 = 0.0918 >> plot(x,y,"ko",x,y1,"r-") >> p2=polyfit(x,y,2); >> p2 p2 = -1.1321 6.7219 -7.6229 >> y2=polyval(p2,x); >> y2 y2 = -1.1870 -0.4313 0.2338 0.8083 1.2922 >> cko2=sqrt(1/5*sum((y-y2).^2)); >> cko2 cko2 = 0.0518 >> plot(x,y,"ko",x,y2,"r-")

Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, многочленом по МНК.

Пример 6.7.3-5. Аппроксимировать функцию, заданную таблично, полиномами различной степени по МНК.

6.7.4. Тестовые задания по теме
«Аппроксимация функций»

Аппроксимация – это

1) получение функции более простого вида, описывающей исходную с достаточной степенью точности

2) частный случай интерполяции

3) замена исходной функции функцией другого вида

4) в списке нет правильного ответа

Тема 6.7. Аппроксимация функций

6.7.1. Постановка задачи аппроксимации

6.7.2. Метод наименьших квадратов

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418 , что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844 ), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418 ). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

В предыдущих разделах был рассмотрен один из способов приближения функции к табличным данным - интерполяция. Отличительной особенностью ее являлось то, что интерполирующая функция строго проходила через узловые точки таблицы, т. е. рассчитанные значения совпадали с табличными - у,=/(х,). Эта особенность обусловливалась тем, что количество коэффициентов в интерполирующей функции (/и) было равно количеству табличных значений (л). Однако, если для описания табличных данных будет выбрана функция с меньшим количеством коэффициентов (т), что часто встречается на практике, то уже нельзя подобрать коэффициенты функции так, чтобы функция проходила через каждую узловую точку. В лучшем случае она будет проходить каким-либо образом между ними и очень близко к ним (рис. 5.4). Такой способ описания табличных данных называется аппроксимацией, а функция - аппроксимирующей.

Рис. 5.4

• --интерполирующая функция;
• -----аппроксимирующая функция

Казалось бы, с помощью метода интерполяции можно описать табличные данные более точно, чем аппроксимации, тем не менее на практике возникают ситуации, когда последний метод предпочтительнее. Перечислим эти ситуации.

• 1. Когда количество табличных значений очень велико. В этом случае интерполирующая функция будет очень громоздкой. Удобнее выбрать более простую в применении функцию с небольшим количеством коэффициентов, хотя и менее точную.
• 2. Когда вид функции заранее определен. Такая ситуация возникает, если требуется описать экспериментальные точки какой-либо теоретической зависимостью. Например, константа скорости химической реакции зависит от температуры по уравнению Аррениуса к=кц - елр(-E/RT), в котором два определяемых параметра к 0 - предэкспоненциальный множитель, Е - энергия активации. А так как почти всегда экспериментальных точек бывает больше двух, то и возникает необходимость в аппроксимации.
• 3. Аппроксимирующая функция может сглаживать погрешности эксперимента, в отличие от интерполирующей функции. Так, на рис. 5.5 точками показаны табличные данные - результат некоторого эксперимента. Очевидно, что Y монотонно возрастает с увеличением X, а разброс данных объясняется погрешностью эксперимента.

Рис. 5.5

Однако интерполирующая функция, проходя через каждую точку, будет повторять ошибки эксперимента, иметь множество экстремумов - минимумов и максимумов - и в целом неверно отображать характер зависимости У от X. Этого недостатка лишена аппроксимирующая функция.

4. И наконец, интерполирующей функцией невозможно описать табличные данные, в которых есть несколько точек с одинаковым значением аргумента. А такая ситуация возможна, если один и тот же эксперимент проводится несколько раз при одних и тех же исходных данных.

Постановка задачи. Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость y=J{x), был произведен ряд измерений величин х и у.

Если аналитическое выражение функции Дх) неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти такую эмпирическую формулу

значения которой при х=х, возможно мало отличались бы от опытных данных у, (/ = 1,2, ..., п).

Как правило, указывают достаточно узкий класс функций К (например, множество функций линейных, степенных, показательных и т. п.), которому должна принадлежать искомая функция /(х). Таким образом, задача сводится к нахождению наилучших значений параметров.

Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведении кривой Г, «возможно ближе» примыкающей к системе точек (рис. 5.6) Mi(Xi,y,) (/=1,2, ..., л).

Рис. 5.6

Следует отметить, что задача построения эмпирической формулы отлична от задачи интерполирования. Известно, что эмпирические данные х, и y h как правило, приближенные и содержат ошибки. Поэтому интерполяционная формула повторяет эти ошибки и не является идеальным решением поставленной задачи. Весьма вероятно, что более простая эмпирическая зависимость будет сглаживать данные и не будет повторять ошибки, как в случае интерполирования. График эмпирической зависимости не проходит через заданные точки, как это имеет место в случае интерполяции.

Построение эмпирической зависимости слагается из двух этапов:

• выяснение общего вида формулы;
• определение наилучших параметров эмпирической зависимости.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами х и у, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Если отсутствуют сведения о промежуточных данных, то обычно предполагается, что эмпирическая функция аналитическая, без точек разрыва, и график ее - плавная кривая.

Удачный подбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от опыта и искусства составителя. Во многих случаях задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между х и у многочленом заданной степени т

Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно- линейная, степенная, показательная, логарифмическая и т. п.). Что касается определения наилучших значений параметров, входящих в эмпирическую формулу, то эта задача более легкая и решается регулярными методами. Наиболее часто применяемым методом определения параметров эмпирической формулы является метод наименьших квадратов.

"Что такое аппроксимация?" – один из нередко задаваемых в сети интернет вопросов. Жаждущие получить ответ, обычно хотят его иметь в форме: точной, всеобъемлющей и короткой. О содержательности ответа как-то забывают.

Если спросить: "Что такое музыка?", то я, как дилетант, скажу, что музыка – это то, что приятно слушать. А профессионал возможно будет поставлен в тупик таким "простым" вопросом. Однако, ближе к теме.

Аппроксимация – это приближение. Приближение чего-то к чему-то с той или иной точностью. Более пространно: аппроксимация, как процесс, – это построение объекта, с той или иной точностью воспроизводящего те или иные свойства исходного, т.е. аппроксимируемого, объекта. Причем, построение объекта в том или ином отношении более удобного, чем исходный объект.

У аппроксимации может быть множество направлений и приложений. Я могу кратко рассказать о той аппроксимации, которой занимался десятки лет. Более всего, это относилось к процессам топливоиспользования на ТЭС. Десятки, а порой и сотни, разных графиков и таблиц, характеризующих работу энергетического оборудования, приходилось переводить в форму аппроксимирующих уравнений или формул. То есть, одни математические объекты – графики и таблицы – воспроизводились другими математическими объектами – аппроксимирующими формулами. После чего формулы заводились на ЭВМ или персональный компьютер, и по ним можно было получить все нужные выходные данные, не водя пальцем по исходным графикам или делая какие-то грубые оценки по таблицам.

Кроме этого, мне, как программисту (или алгоритмисту), приходилось создавать довольно сложные программы – модели, описывающие технологический процесс. Порой эти программы были весьма неудобны для обычного пользователя. Но полученные расчетным путем данные вполне удавалось воспроизвести достаточно точной и простой в обращении аппроксимирующей формулой.

Вы можете в Excel построить график и щелкнуть по нему правой кнопкой мыши. Появится запрос: Вставить линию тренда. Там же можно будет разместить на графике и уравнение тренда. Это и будет примером аппроксимирующей формулы. На нашем сайте вы также можете найти десятки примеров аппроксимации.

Но чтобы получить более или менее содержательное представление, скажем, о пилке дров, надо сначала обрести хотя бы какие-то навыки владения пилой. Тоже самое и с аппроксимацией.

P.S. Решил посмотреть как интерпретируется слово "аппроксимация" в сети интернет. Более других мне понравилась интерпретация в Большом Энциклопедическом Словаре (БЭС):

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов (напр., чисел или функций) другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным (напр., кривых линий близкими к ним ломаными)".

Только "замена" – это, в моем понимании, нечто вторичное. А первичное – "приближение". Я, например, порой строил десятки аппроксимирующих формул, добиваясь наилучшего приближения к исходной таблице данных. А собственно "замена" в основном касалась замены одной аппроксимирующей формулы на другую, более удачную. Впрочем, пользователь уже мог использовать мою аппроксимирующую формулы "взамен" исходной таблицы.

В Большой Советской Энциклопедии (БСЭ) находим более развернутое определение:

"Аппроксимация (от лат. approximo - приближаюсь), замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии и топологии рассматриваются аппроксимации кривых, поверхностей, пространств и отображений. Некоторые разделы математики целиком посвящены аппроксимации; например, приближение и интерполирование функций, численные методы анализа. Роль аппроксимации в математике непрерывно возрастает. В настоящее время аппроксимация может рассматриваться как одно из основных понятий математики". С. Б. Стечкин.

Осталось только поинтересоваться что означают "диофантовы приближения" и прочие специальные термины и все станет окончательно понятно.

В Википедии (свободной энциклопедии) очень короткое определение:

"Аппроксимация, или приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми".

Позволю себе заметить, что "приближение" – это не есть "замена" или это "замена" в каком-то очень узком и специальном смысле, например в смысле "использование вместо".

В словаре бизнес-терминов находим весьма расплывчатое, на мой взгляд, определение:

"Аппроксимация – приближенное решение сложной функции с помощью более простых, что резко ускоряет и упрощает решение задач. В экономике целью аппроксимации часто является укрупнение характеристик моделируемых экономических объектов".

В философской энциклопедии:

"АППРОКСИМАЦИЯ (от лат. approximare - приближаться) - метод сознательного упрощения "слишком точного" теоретического знания с целью привести его в соответствие с потребностями и возможностями практики. Например, использование числа "пи" с точностью до пятого знака после запятой достаточно для решения поставленной практической задачи. Аппроксимация первоначально использовалась в математике и затем распространилась на все науки. Аппроксимация противоположна идеализации". Г. Д. Левин.

В научной диалектике есть положение: "Истина всегда конкретна". Так и с аппроксимацией – нет аппроксимации "вообще". Ее содержательная часть – в конкретных приложениях и в конкретных областях. Я, например, занимался аппроксимацией графиков и табличных данных посредством подбора подходящих для этого формул с использованием метода наименьших квадратов, встроенного в электронные таблицы Quattro Pro и Excel. А способов подбора – десятки, и это уже не только наука, но и искусство. Ваш, Протасов Н.Г.

P.P.S. Вот еще информация, дополняющая в достаточно простой и понятной форме тему аппроксимации. Эта информация находится по адресу http://univer-nn.ru/ , а здесь я привожу ее в несколько сокращенном виде:

Задача аппроксимации (задача о приближении)

Пусть y = f(x) является функцией аргумента х. Нередко эта зависимость задается в табличном виде. В контрольных по математике на аппроксимацию также часто требуется найти некоторую аналитическую функцию, которая приближенно описывает заданную табличную зависимость. Кроме того, требуется определить значения функции в других точках, отличных от заданных табличных значений. Этой цели служит задача о приближении (аппроксимации). В этом случае находят некоторую функцию f(х), такую, чтобы отклонения ее от заданной табличной функции было наименьшим. Функция f(х) называется аппроксимирующей.

Вид аппроксимирующей функции существенным образом зависит от исходной табличной функции. В разных случаях функцию f(х) выбирают в виде экспоненциальной, логарифмической, степенной, синусоидальной и т.д. В каждом конкретном случае выбирают таким образом, чтобы достичь максимальной близости аппроксимирующей и табличной функций. Чаще всего, однако, функцию представляют в виде полинома по степеням х:

f(x) = ao + a1x + a2x2 + ... + anxn

Коэффициенты aj подбираются таким образом, чтобы достичь наименьшего отклонения полинома от заданной функции.

Таким образом, аппроксимация – замена одной функции другой, близкой к первой и достаточно просто вычисляемой".

Лично я редко пользуюсь полиномами в их классическом виде, как и другими стандартными представлениями, указанными в статье. Однако это уже нюансы технологии построения аппроксимирующих формул.

Еще раз – с пожеланиями успехов!