А также множество элементов которые. Множества и операции над множествами. Запись числовых множеств

Основные понятия теории множеств

Понятие множества является фундаментальным понятием современной математики. Мы будем считать его первоначальным и теорию множеств строить интуитивно. Дадим описание этого первоначального понятия.

Множество – это совокупность объектов (предметов или понятий), которая мыслится как единое целое. Объекты, входящие в эту совокупность, называются элементами множества.

Можно говорить о множестве студентов первого курса математического факультета, о множестве рыб в океане и т.д. Математика обычно интересуется множеством математических объектов: множество рациональных чисел, множество прямоугольников и т.д.

Множества будем обозначать большими буквами латинского алфавита, а его элементы малыми.

Если – элемент множества M , то говорят « принадлежит M » и пишут: . Если некоторый объект не является элементом множества, то говорят « не принадлежит M » и пишут (иногда ).

Существует два основных способа задания множеств: перечисление его элементов и указание характеристического свойства его элементов. Первый из этих способов применяется, в основном, для конечных множеств. При перечислении элементов рассматриваемого множества его элементы обрамляются фигурными скобками. Например, обозначает множество, элементами которого являются числа 2, 4 , 7 и только они. Этот способ применим не всегда, так как, например, множество всех действительных чисел таким образом задать невозможно.

Характеристическое свойство элементов множества M – это такое свойство, что всякий элемент, обладающий этим свойством, принадлежит M , а всякий элемент, не обладающий этим свойством, не принадлежит M . Множество элементов, обладающих свойством , обозначается так:

или .

Наиболее часто встречающиеся множества имеют свои особые обозначения. В дальнейшем будем придерживаться следующих обозначений:

N = – множество всех натуральных чисел;

Z = – множество всех целых чисел;

– множество всех рациональных чисел;

R – множество всех действительных (вещественных) чисел, т.е. рациональных чисел (бесконечных десятичных периодических дробей) и иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей);

– множество всех комплексных чисел.

Приведем более специальные примеры задания множеств с помощью указания характеристического свойства.

Пример 1. Множество всех натуральных делителей числа 48 можно записать так: (запись используется только для целых чисел , и означает, что делится на ).

Пример 2. Множество всех положительных рациональных чисел, меньших 7, записывается следующим образом: .

Пример 3. – интервал действительных чисел с концами 1 и 5; – отрезок действительных чисел с концами 2 и 7.

Слово «множество» наводит на мысль, что оно содержит много элементов. Но это не всегда так. В математике могут рассматриваться множества, содержащие только один элемент. Например, множество целых корней уравнения . Более того, удобно говорить о множестве, не содержащем ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается через Ø. Например, пустым является множество действительных корней уравнения .

Определение 1. Множества и называются равными (обозначается А=В ), если эти множества состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2. Если каждый элемент множества принадлежит множеству , то называют подмножеством множества .

Обозначения: (« включается в »); (« включает »).

Ясно, что Ø и само множество являются подмножествами множества . Всякое другое подмножество множества называется его правильной частью . Если и , то говорят, что « А – собственное подмножество »или что «А строго включается в » и пишут .

Очевидно следующее утверждение: множества и равны тогда и только тогда, когда и .

На этом утверждении основан универсальный метод доказательства равенства двух множеств : чтобы доказать, что множества и равны, достаточно показать, что , а является подмножеством множества .

Это наиболее употребительный способ, хотя и не единственный. Позже, познакомившись с операциями над множествами и их свойствами, мы укажем другой способ доказательства равенства двух множеств – с помощью преобразований .

В заключение заметим, что часто в той или иной математической теории имеют дело с подмножествами одного и того же множества U , которое называют универсальным в этой теории. Например, в школьной алгебре и математическом анализе универсальным является множество R действительных чисел, в геометрии – множество точек пространства.

Операции над множествами и их свойства

Над множествами можно выполнять действия (операции), напоминающие сложение, умножение и вычитание.

Определение 1. Объединением множеств и называется множество, обозначаемое через , каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств или .

Сама операция , в результате которой получается такое множество, называется объединением.

Краткая запись определения 1:

Определение 2. Пересечением множеств и называется множество, обозначаемое через , содержащее все те и только те элементы, каждый из которых принадлежит и , и .

Сама операция , в результате которой получается множество , называется пересечением.

Краткая запись определения 2:

Например, если , , то , .

Множества можно изображать в виде геометрических фигур, что позволяет наглядно иллюстрировать операции над множествами. Такой метод был предложен Леонардом Эйлером (1707–1783) для анализа логических рассуждений, широко применялся и получил дальнейшее развитие в трудах английского математика Джона Венна (1834–1923). Поэтому такие рисунки называют диаграммами Эйлера-Венна .

Операции объединения и пересечения множеств можно проиллюстрировать диаграммами Эйлера–Венна следующим образом:

– заштрихованная часть; – заштрихованная часть.

Можно определить объединение и пересечение любой совокупности множеств , где – некоторое множество индексов.

Определение . Объединением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит по крайней мере одному из множеств .

Определение . Пересечением совокупности множеств называется множество , состоящее из всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежит любому из множеств .

В случае, когда множество индексов конечно, например, , то для обозначения объединения и пересечения совокупности множеств в этом случае обычно пользуются обозначениями:

и .

Например, если , , , то , .

С понятиями объединения и пересечения множеств неоднократно встречаются в школьном курсе математики.

Пример 1. Множество М решений системы неравенств

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы: .

Пример 2. Множество М решений системы

является пересечением множеств решений каждого из неравенств этой системы. Множество решений первого уравнения – множество точек прямой , т.е. . Множество . Множество состоит из одного элемента – точки пересечения прямых.

Пример 3. Множество решений уравнения

где , является объединением множеств решений каждого из уравнений , , т.е.

Определение 3. Разностью множеств и называется множество, обозначаемое через , и состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат , но не принадлежат .– заштрихованная часть; . с операциями объединения, пересечения и дополнения. Полученную математическую структуру называют алгеброй множеств илиалгеброй Булямножеств (вчесть ирландского математика и логика Джорджа Буля (1816–1864)). Через будем обозначать множество всех подмножеств произвольного множества и называть его булеаном множества .

Перечисленные ниже равенства справедливы для любых подмножеств A, B, C универсального множества U. Поэтому их и называют законами алгебры множеств.

Из огромного многообразия всевозможных множеств особый интерес представляют так называемые числовые множества , то есть, множества, элементами которых являются числа. Понятно, что для комфортной работы с ними нужно уметь их записывать. С обозначений и принципов записи числовых множеств мы и начнем эту статью. А дальше рассмотрим, как числовые множества изображаются на координатной прямой.

Навигация по странице.

Запись числовых множеств

Начнем с принятых обозначений. Как известно, для обозначения множеств используются заглавные буквы латинского алфавита. Числовые множества, как частный случай множеств, обозначаются также. Например, можно говорить о числовых множествах A , H , W и т.п. Особую важность имеют множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел и т.п., для них были приняты свои обозначения:

N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
J – множество иррациональных чисел;
R – множество действительных чисел;
C – множество комплексных чисел.

Отсюда понятно, что не стоит обозначать множество, состоящее, к примеру, из двух чисел 5 и −7 как Q , это обозначение будет вводить в заблуждение, так как буквой Q обычно обозначают множество всех рациональных чисел. Для обозначения указанного числового множества лучше использовать какую-нибудь другую «нейтральную» букву, например, A .

Раз уж мы заговорили про обозначения, то здесь напомним и про обозначение пустого множества, то есть множества, не содержащего элементов. Его обозначают знаком ∅.

Также напомним про обозначение принадлежности и непринадлежности элемента множеству. Для этого используют знаки ∈ - принадлежит и ∉ - не принадлежит. Например, запись 5∈N означает, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел, а 5,7∉Z – десятичная дробь 5,7 не принадлежит множеству целых чисел.

И еще напомним про обозначения, принятые для включения одного множества в другое. Понятно, что все элементы множества N входят в множество Z , таким образом, числовое множество N включено в Z , это обозначается как N⊂Z . Также можно использовать запись Z⊃N , которая означает, что множество всех целых чисел Z включает множество N . Отношения не включено и не включает обозначаются соответственно знаками ⊄ и ⊅. Также используются знаки нестрогого включения вида ⊆ и ⊇, означающие соответственно включено или совпадает и включает или совпадает.

Про обозначения поговорили, переходим к описанию числовых множеств. При этом затронем лишь основные случаи, которые наиболее часто используются на практике.

Начнем с числовых множеств, содержащих конечное и небольшое количество элементов. Числовые множества, состоящие из конечного числа элементов, удобно описывать, перечисляя все их элементы. Все элементы-числа записываются через запятую и заключаются в , что согласуется с общими правилами описания множеств . Например, множество, состоящее из трех чисел 0 , −0,25 и 4/7 можно описать как {0, −0,25, 4/7} .

Иногда, когда число элементов числового множества достаточно велико, но элементы подчиняются некоторой закономерности, для описания используют многоточие. Например, множество всех нечетных чисел от 3 до 99 включительно можно записать как {3, 5, 7, …, 99} .

Так мы плавно подошли к описанию числовых множеств, число элементов которых бесконечно. Иногда их можно описать, используя все тоже многоточие. Для примера опишем множество всех натуральных чисел: N={1, 2. 3, …} .

Также пользуются описанием числовых множеств посредством указания свойств его элементов. При этом применяют обозначение {x| свойства} . Например, запись {n| 8·n+3, n∈N} задает множество таких натуральных чисел, которые при делении на 8 дают остаток 3 . Это же множество можно описать как {11,19, 27, …} .

В частных случаях числовые множества с бесконечным числом элементов представляют собой известные множества N , Z , R , и т.п. или числовые промежутки. А в основном числовые множества представляются как объединение составляющих их отдельных числовых промежутков и числовых множеств с конечным числом элементов (о которых мы говорили чуть выше).

Покажем пример. Пусть числовое множество составляют числа −10 , −9 , −8,56 , 0 , все числа отрезка [−5, −1,3] и числа открытого числового луча (7, +∞) . В силу определения объединения множеств указанное числовое множество можно записать как {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Такая запись фактически означает множество, содержащее в себе все элементы множеств {−10, −9, −8,56, 0} , [−5, −1,3] и (7, +∞) .

Аналогично, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, можно описать любое числовое множество (состоящее из действительных чисел). Здесь становится понятно, почему были введены такие виды числовых промежутков как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч: все они в купе с обозначениями множеств отдельных чисел позволяют описывать любые числовых множества через их объединение.

Обратите внимание, что при записи числового множества составляющие его числа и числовые промежутки упорядочиваются по возрастанию. Это не обязательное, но желательное условие, так как упорядоченное числовое множество проще представить и изобразить на координатной прямой. Также отметим, что в подобных записях не используются числовые промежутки с общими элементами, так как такие записи можно заменить объединением числовых промежутков без общих элементов. Например, объединение числовых множеств с общими элементами [−10, 0] и (−5, 3) есть полуинтервал [−10, 3) . Это же относится и к объединению числовых промежутков с одинаковыми граничными числами, например, объединение (3, 5]∪(5, 7] представляет собой множество (3, 7] , на этом мы отдельно остановимся, когда будем учиться находить пересечение и объединение числовых множеств .

Изображение числовых множеств на координатной прямой

На практике удобно пользоваться геометрическими образами числовых множеств – их изображениями на . Например, при решении неравенств , в которых необходимо учитывать ОДЗ, приходится изображать числовые множества, чтобы найти их пересечение и/или объединение. Так что полезно будет хорошо разобраться со всеми нюансами изображения числовых множеств на координатной прямой.

Известно, что между точками координатной прямой и действительными числами существует взаимно однозначное соответствие, что означает, что сама координатная прямая представляет собой геометрическую модель множества всех действительных чисел R . Таким образом, чтобы изобразить множество всех действительных чисел, надо начертить координатную прямую со штриховкой на всем ее протяжении:

А часто даже не указывают начало отсчета и единичный отрезок:

Теперь поговорим про изображение числовых множеств, представляющих собой некоторое конечное число отдельных чисел. Для примера, изобразим числовое множество {−2, −0,5, 1,2} . Геометрическим образом данного множества, состоящего из трех чисел −2 , −0,5 и 1,2 будут три точки координатной прямой с соответствующими координатами:

Отметим, что обычно для нужд практики нет необходимости выполнять чертеж точно. Часто достаточно схематического чертежа, что подразумевает необязательное выдерживание масштаба, при этом важно лишь сохранять взаимное расположение точек относительно друг друга: любая точка с меньшей координатой должна быть левее точки с большей координатой. Предыдущий чертеж схематически будет выглядеть так:

Отдельно из всевозможных числовых множеств выделяют числовые промежутки (интервалы, полуинтервалы, лучи и т.д.), что представляют их геометрические образы, мы подробно разобрались в разделе . Здесь не будем повторяться.

И остается остановиться лишь на изображении числовых множеств, представляющих собой объединение нескольких числовых промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел. Здесь нет ничего хитрого: по смыслу объединения в этих случаях на координатной прямой нужно изобразить все составляющие множества данного числового множества. В качестве примера покажем изображение числового множества (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ {log 2 5, 5}∪(17, +∞) :

И остановимся еще на достаточно распространенных случаях, когда изображаемое числовое множество представляет собой все множество действительных чисел, за исключением одной или нескольких точек. Такие множества частенько задаются условиями типа x≠5 или x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 и т.п. В этих случаях геометрически они представляют собой всю координатную прямую, за исключением соответствующих точек. Иными словами, из координатной прямой нужно «выколоть» эти точки. Их изображают кружочками с пустым центром. Для наглядности изобразим числовое множество, соответствующее условиям (это множество по сути есть ):

Подведем итог. В идеале информация предыдущих пунктов должна сформировать такой же взгляд на запись и изображение числовых множеств, как и взгляд на отдельные числовые промежутки: запись числового множества сразу должна давать его образ на координатной прямой, а по изображению на координатной прямой мы должны быть готовы с легкостью описать соответствующее числовое множество через объединение отдельных промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Рассмотрим теперь кратко простые теоретико-множественные понятия и теоретико-множественные операции: пересечение, объединение, дополнение, декартово произведение и др. Для случая конечных множеств они лежат в основе арифметических действий над натуральными числами и поэтому очень важны для школьной математики. Мы ограничимся совсем краткими определениями и пояснениями.

Множество не содержащее ни одного элемента называют пустым множеством. Его обозначается знаком. Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например= {х | xх}, в области множеств оно играет как бы роль нуля.

Множество N называется подмножеством множества М тогда и только тогда, когда каждый элемент множества N принадлежит множеству М. Отношение между множеством М и любым его подмножеством N называется включением и обозначается символом: МN.

Отметим следующие элементарные утверждения о понятиях подмножества и включения, прямо вытекающих из определения.

а) Каждое множество М является подмножеством самого себя: ММ. Любое подмножество N множества М, отличное от М, называется собственным подмножеством множества М; соответствующее включение также называется собственным и обозначается: МN. Принято считать, что пустое множествоявляется подмножеством любого множества М.

б) Отношение включения транзитивино, т. е. из NМ и РN следует, что РМ. Транзитивно также отношение собственного включения.

в) Очень важно не смешивать отношения принадлежностии включения: если {а}М, то аМ, и наоборот; но из {a}М не следует {а}М. Так, например, если М = {1, 2}, то это означает, что 1М и 2М, но для всех других объектов х справедливо хМ; для включения же правильны следующие утверждения:

М, {1}М, {2}М., {1, 2}М.

Другой пример. Пустое множествоне имеет элементов хM для любого объекта х. Между темсодержит одно подмножество, а именно само себя.

Введем несколько операций над множествами.

а) Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Обозначение: МN = {х|хМ и хN}.

б) Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N. Обозначение: MN = {х | хМ или хN }.

в) Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N. Обозначение: М \ N. = {х | хМ и хN}.

г)Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N.

Обозначение: MN ={ x | (xМ и хN) или (хN и хМ)}.

Введенные теоретико-множественные операции наглядно иллюстрируются рисунком 2, где множества М и N изобрансены пересекающимися кругами:

МN - точки области II;

МN - точки областей I, II, III;

М \ N - точки области I;

N \ М - точки области III;

MN - точки областей I и III.

д) В конкретных математических областях бывает полезно ввести в рассмотрение столь обширное множество U, что все рассматриваемые множества окажутся его подмножествами. Такое множество U принято называть универсальным множеством или универсумом. Отметим, что "универсальное множество" понятие относительное: оно выбирается для какого-нибудь определенного раздела науки и притом часто даже явно не определяется, а просто подразумевается.

Так, например, в элементарной планиметрии в качестве универсального множества принято рассматривать множество всех точек плоскости. Различные фигуры, изучаемые в планиметрии, можно считать множествами точек, т. е. подмножествами так выбранного универсального множества.

В элементарной арифметике универсальным множеством считается множество Z всех целых рациональных чисел и т. д.

е) Если выбрано некоторое универсальное множество U , то возникает новая теоретико-множественная операция - дополнение. Для всякого множества М (при этом подразумевается, что М - подмножество универсального множества U его дополнение, обозначаемое через М , - это множество всех элементов универсума, которые не принадлежат множеству М:

М = {х | хU и xM}

Таким образом, дополнение - это частный случай разности:

M = U \ M,
все отличие здесь состоит в том, что разность берется относительно фиксированного множества, содержащего все множества, которые в данной связи рассматриваются.

Рассмотрим теперь операции декартового произведения множеств. Пусть A и B - два множества. Тогда множество C = {(a, b) | aA, bB}
всех пар (a, b), где a и b независимо друг от друга принимают все значения соответственно из множеств A и B называется декартовым произведением множеств А и В и обозначается через А х В. Если А и В - конечные множества, содержащие соответственно m и n элементов, то сразу видно, что множество А х В содержит mn элементов.

Самостоятельный интерес представляет тот частный случай, когда множества А и В совпадают: А = В. Чтобы его рассмотреть, вы введем новый термин.

Упорядоченной парой элементов множества А будем называть объект (а 1 , а 2), состоящий из двух (не обязательно различных) элементов а 1 , а 2 А, с указанием, какой из них следует считать первым, а какой - вторым. Так, например, если А = {1, 2, 3, 4., 5}, то упорядоченные пары (2, 3) и (3, 2) следует считать по определению различными. Упорядоченными парами элементов из А считаются также объекты (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5). Упорядоченные пары мы будем заключать в круглые скобки и обозначать жирными строчными латинскими буквами: a = (а 1 а 2), в отличие от неупорядоченных пар, которые, как и множества элементов, записываются в фигурных скобках: {а 1 а 2 }.

Назовем множество

С = {(а 1 , а 2) | a 1 А, a 2 А}
всех упорядоченных пар (а 1 а 2) элементов из А декартовым квадратом множества А и будем обозначать его через A 2 .

Рассмотренные свойства множеств и операции над ними в неявном, виде присутствуют в начальном преподавании арифметики. Мы особенно подчеркиваем, что речь идет об их неявном присутствии: бессмысленно было бы в I или II классе давать явные определения арифметических действий. Само слово «действие» для арифметических операций указывает на то, что на начальном уровне развития детей сложение, вычитание, умножение и деление возникают как действия над конкретными множествами из мира, свойственного школьникам. Вековой опыт обучения на всех уровнях показывает, что человек обычно сначала делает нечто, а лишь затем задумывается над тем, какими же общими свойствами обладают его действия.

Теоретико-множественное обоснование арифметических действий над натуральными числами дается довольно элементарно, так как более строгое обоснование оказывается достаточно трудоемким и мы не имеем возможности провести его здесь со всей необходимой тщательностью. Как мы уже говорили, с точки зрения теории множеств натуральные кардинальные числа отвечают классам равнамощных конечных множеств, к ним, естественно, присоединяется и число нуль как кардинальное число, соответствующее пустому множеству. Тогда элементарные отношения и действия над натуральными числами вводятся следующим образом.

1.Отношение «равно», «больше», «меньше» . Пусть m и n - два натуральных числа и пусть М и N - два множества, кардинальные числа которых суть соответственно m и n. Тогда m меньше n (а n больше m), если множество М равномощно некоторому собственному подмножеству множества N. Как видно из этого же определения, m = n означает, что множества М и N равномощны. Для оправдания такого определения необходимо, конечно, показать, что оно не зависит от выбранных множеств М и N. Иначе говоря, надо доказать, что если М" и N" - два других множества с числом элементов m и n соответственно и если при этом М равномощно собственному подмножеству множества N", то и М" равномощно собственному подмножеству множества N", и наоборот. Это доказательство мы предоставим читателю. Отметим, что определение неравенства для бесконечных кардинальных чисел получается более сложным.

2.Сложение. Для определения суммы кардинальных чисел поступают так. Пусть m и n - два натуральных числа. Выбираем опять произвольно два непересекающихся множества М с m N с n элементами соответственно, и пусть S - их объединение: S = MN. Тогда по определению сумма s = m + n - это кардинальное число множества S. Покажем, что сумма s от выбора множеств M и N не зависит, а зависит только от их мощностей. Пусть М" и N"- другие множества, равномощные множествам М и N соответственно, и пусть при этом также M"N" =; тогда S" = М"N" равномощно множеству S = МN. Следует все время иметь в виду, что кардинальное число объединения есть сумма кардинальных чисел объединяемых множеств, только если последние не имеют общих элементов (имеют пустое пересечение). В случае пересекающихся множеств имеет место более общее, правило.

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Например, если , , ,

Что такое множество в математике? Математическое множество - это несколько отдельных элементов, рассматриваемых, как единое целое. Если обозначить такой элемент буквой a, а само множество - буквой А, то запись будет выглядеть следующим образом:

проговаривается эта запись так: a принадлежит А, или А содержит а, или а - элемент А.

Для перечисления элементов множества используются фигурные скобки - {}. То есть, например, множество, в котором а ∈ А, b ∈ A и c ∈ A, будет записываться в таком виде:

Виды множеств.

Пустые множества.

Пустое множество – это то множество, которое вообще не содержит никаких элементов. Обозначается оно цифрой 0 или специальным значком ∅.

Примером пустого множества может служить любое нелогичное понятие , противоречащее самому себе - «множество птиц, живущих на дне океана», или «множество деревьев на Луне». Поскольку оба множества лишены смысла и не отвечают реальности, то, следовательно, они являются пустыми. Скажем, количество деревьев на Луне – 0, поэтому «множество деревьев на Луне» будет пустым (не будет содержать ни одного элемента).

Равные множества.

Равные множества – это два или более множеств, состоящих из равных наборов элементов. Приведём пример. Скажем, все члены Вашей семьи находятся на кухне. Таким образом, Множество «Члены семьи на кухне» будет равно множеству «Члены семьи в квартире».

Если два множества - А и B - состоят из одинакового набора элементов, то они будут равны, то есть А = B. Элементы множеств могут перечисляться в любой последовательности, на результат это никак не влияет. Множество {a, b, c} можно с тем же успехом записать, как {a, c, b}, или {с, b, a}, или {b, c, a}.

Подмножества и надмножества.

Если множества А и B состоят из одинаковых элементов {a, b, c}, то А будет считаться подмножеством B, а B - надмножеством А. Записывается это следующим образом:

A ⊆ B, B ⊇ A.

Бывает так, что множество В содержит в себе каждый из элементов множества А, но в то же время в нем присутствуют и другие элементы, множеству А не принадлежащие. В этом случае множество В становится собственным надмножеством А, в то время как множество А становится собственным подмножеством В.

Иначе говоря, если А ⊆ В, но при этом А ≠ В, то А ⊂ В, В ⊃ А.