Способ моментов в статистике пример. Cредние величины в статистике. Многомерное нормальное распределение

Для таких “популярных” параметров случайных величин как математическое ожидание и дисперсия найдены явные формулы статистических оценок –и s 2 , соответственно. Однако часто необходимы оценки и других параметров. Например, в теории массового обслуживания часто используется так называемое гамма-распределение, формула плотности которого имеет вид:

где a, b – параметры, оценки которых надо найти для идентификации закона распределения; – гамма-функция Эйлера. Для оценок a и b, а также многих других параметров специальных формул не разработано. Следовательно, необходимы методы поиска оценок для произвольных параметров. Одним из наиболее простых является метод моментов (Пирсона).

Def. Теоретическим начальным моментом

Например, математическое ожидание – начальный момент 1-го порядка.

Def. Теоретическим центральным моментом k-го порядка СВ x называется величина

Например, дисперсия – центральный момент 2-го порядка, центральный момент 1-го порядка любой СВ равен 0.

Def. Эмпирическим начальным моментом k-го порядка СВ x называется величина

Def. Эмпирическим центральным моментом k-го порядка СВ x называется величина

При больших N эмпирические моменты можно приравнять к теоретическим. На основании таких равенств составляется система уравнений для оценок параметров СВ, если есть выражения искомых параметров через теоретические моменты. На этом и основан метод моментов. Его главное достоинство – простота. Кроме того, не нужно знания закона распределения СВ. Единственное требование – большой объем выборки.

Пример. Методом моментов найдем параметры гамма-распределения a и b. Известны следующие формулы:

Подставляем вместо теоретических моментов эмпирические – получаем систему уравнений относительно оценок a и b:

Поделим первое уравнение на второе – получим ; подставим в 1-е уравнение – получим .

4.3. Регрессионный анализ: синтез уравнения регрессии

Пример. Имеются экспериментальные данные (Таблица 4.1). Построить функцию, отражающую зависимость у от х , т.е её аппроксимацию . (приближение).

Если нанести точки на график и соединить их, то получим зигзагообразную линию, которая, впрочем, не слишком отличается от прямой (см. рис. 3.1). Поэтому аппроксимирующую функцию будем искать в классе многочленов первой степени, т.е. положим Y (x ) = b 1 x + b 2 . Для идентификации (нахождения) этой зависимости надо найти статистические оценки коэффициентов модели. Согласно методу наименьших квадратов (МНК) эти оценки находят из условия минимума функции

В данном случае на искомые коэффициенты не наложено никаких ограничений, т.е. мы имеем классическую задачу минимизации функции нескольких переменных – b 1 и b 2 . Из курса математики известно, что для минимизации таких функций надо вычислить частные производные минимизируемой функции, приравнять их к 0 и решить полученные уравнения.

Рис. 4.1. График данных примера

Раскроем скобки, разобьем каждое выражение на несколько сумм и перенесем члены, зависящие от искомых коэффициентов налево, а независящие – направо.

Подставим данные из таблицы 4.1 – получим линейную систему относительно искомых коэффициентов:

Решив систему, получим b 1 = 1.596; b 2 = 2.725, а аппроксимирующая функция примет вид Y (x ) = 1.596 x + 2.725. На рис. 3.2 приведены графики исходных данных (точки) и аппроксимирующей функции (сплошная линия).

Рис. 4.2. Графики исходных данных и аппроксимирующей функции

Описанный метод нахождения коэффициентов основан на минимизации функции Q (b 1 , b 2), представляющую собой сумму квадратов. Поэтому он называется методом наименьших квадратов (МНК ).

Матричная запись МНК. В более общем случае будем искать уравнение регрессии в виде функции, линейно зависящей от коэффициентов, т.е.

у = b 1 f 1 (x) + … + b k f k (x), (4.1)

где f u (x ) – заданные функции; b u – неизвестные коэффициенты. Для идентификации этой зависимости надо найти статистические оценки коэффициентов модели. Согласно методу наименьших квадратов (МНК) эти оценки находят из условия минимума функции

Q(b) = ,

где у i – наблюдаемое значение выходного параметра в i-м эксперименте.

Обозначим: Ф = [Ф ij ] = – регрессионная (N ´ k)-матрица ; b – вектор коэффициентов; у – вектор значений выхода. Тогда для вектора оценок коэффициентов имеем уравнение

(Ф T Ф) = Ф T y. (4.2)

Пусть, как и прежде, - исследуемая -мерная случайная величина, подчиняющаяся закону распределения где функция - плотность вероятности, если непрерывна, и вероятность если дискретна, зависит от некоторого, вообще говоря, многомерного параметра . И пусть мы хотим оценить неизвестное значениехэтого параметра, т. е. построить оценку 0 по имеющейся в нашем распоряжении выборке, состоящей из независимых наблюдений где

Метод моментов заключается в приравнивании определенного количества выборочных моментов к соответствующим теоретическим (т. е. вычисленным с использованием функции моментам исследуемой случайной величины, причем последние, очевидно, являются функциями от неизвестных параметров Рассматривая количество моментов, равное числу k подлежащих оценке параметров, и решая полученные уравнения относительно этих параметров, мы получаем искомые оценки. Таким образом, оценки по методу моментов неизвестных параметров являются решениями системы уравнений:

(очевидно, если анализируемая случайная величина дискретна, интегралы в левых частях (8.25) следует заменить соответствующими суммами типа

Число уравнений в системе (8.25) должно быть равным числу k оцениваемых параметров. Вопрос о том, какие именно моменты включать в систему (8.25) (начальные, центральные или их некоторые модификации типа коэффициентов асимметрии или эксцесса), следует решать, руководствуясь конкретными целями исследования и сравнительной простотой формы зависимости альтернативных теоретических характеристик от оцениваемых параметров . В статистической практике дело редко доходит даже до моментов четвертого порядка (исключение составляет, пожалуй, практика эксплуатации так называемой «системы кривых Пирсона», см., например, , однако этот чисто формальный аппарат подгонки эмпирического распределения под одну из теоретических кривых практически не в состоянии, с нашей точки зрения, решать сколь-нибудь интересные задачи содержательного статистического анализа данных).

К достоинствам метода моментов следует отнести его сравнительно простую вычислительную реализацию, а также то, что оценки, полученные в качестве решений системы (8.25), являются функциями от выборочных моментов. Это упрощает исследование статистических свойств оценок метода моментов: можно показать (см. ), что при довольно общих условиях распределение оценки такого рода при больших асимптотически-нормально, среднее значение такой оценки отличается от истинного значения параметра на величину порядка , а стандартное

отклонение асимптотически имеет вид , где с - некоторая постоянная величина.

В то же время, как показал Р. Фишер (см. ), асимптотическая эффективность оценок, полученных методом моментов, оказывается, как правило, меньше единицы, и в этом отношении они уступают оценкам, полученным методом максимального правдоподобия. Тем не менее метод моментов часто очень удобен на практике. Иногда оценки, получаемые с помощью метода моментов, принимаются в качестве первого приближения, по которому можно определять другими методами оценки более высокой эффективности.

Вернемся к нашим примерам.

В примере 8.3 в качестве системы (8.25) имеем:

что дает уже знакомые нам по методу максимального правдоподобия оценки для параметров:

Нормальное распределение, так же как и распределение Пуассона (в чем легко убедиться, обратившись к примеру 8.4), относится к тем редким случаям, когда оценки по методу моментов совпадают с оценками по методу максимального правдоподобия.

Построение системы (8.25) в примере 8.5 дает:

Откуда легко получаем оценки:

Можно сравнить асимптотическую эффективность оценок, полученных методом максимального правдоподобия и методом моментов: учитывая, что дисперсия оценок (8.26) как дисперсия функций выборочных моментов имеет порядок (см. ), и принимая во внимание соотношение (8.22), в соответствии с которым дисперсии оценок по методу максимального правдоподобия тех же параметров имеют порядок получаем, что эффективность в сравнении с эффективностью и стремится к нулю при

Реализация метода моментов в примере 8.6 дает

Формулы по статистике

Тема 1: Группировка статистических данных

Определение числа групп (если группи-ка по непрер. приз-ку или дискрет. со многими знач-ями)

Определение величины равного интервала :

Тема 2: Абсолютные и относительные величины

Относительные величины :

1) относит. вел-на структуры :

2) относит. вел-на планового задания :

3) относит. вел-на выполнения плана :

4) относит. вел-на динамики или темп роста :

5) относит. вел-на сравнения

6) относит. вел-на интенсивности (пример: фондоотдача = объем/стоимость (один год))

Тема 3: Средние величины и показатели вариации

Средняя арифметическая

простая :

взвешенная :

Средняя гармоническая

простая :

взвешенная : , сумма значений признака по группе

Свойства средн. арифметической:

если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть на одно и то же число, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется на это же число;

если каждую вари-ту х умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на умен-ется или увел-ется в одно и то же число раз;

если каждую частоту f умен-ть или увел-ть в одно и то же число раз, то ср. вел-на не изменится.

Ср. вел-на зависит от вар-ты х и структуры совок-сти , кот. харак-ется долями d .

Ряд распределения имеет 3 центра :

1) ср. аримет-кое ;

2) мода – наиболее часто встречающаяся вар-та ;

3) медиана – вар-та, стоящая в середине ряда распре-ния. Сначала находят N медианы, кот. равен n/2, если число еди-ц совок-сти n – чётное, или , если число еди-ц совок-сти нечетное .

Осн. пока-ли вариации :

1) размах вариации :

2) ср. линейное отклонение (ср. арифм-кая из абсолют. откл-ний отдел. значений)

Для несгруппир. данных:

Для сгруппир. данных:

3) ср. квадратическое отклонение (хар-ет ср. абсол. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны)

Для несгруппир. данных :

Для сгруппир. данных :

4) Дисперсия – квадрат среднеквадр-ного откл-ния

Для несгруппир. данных :

Для сгруппир. данных :

Общая дисперсия: (для сгрупп.) (для несгрупп.)

– ср. вел-на резул. приз-ка в сово-сти, - частота (в совокупности!)

Внутригрупповая дисперсия: - кол-во вариант в группе i

Междугрупповая дисперсия: - кол-во вариант в группе i

Правило сложения дисперсий:

Не имеет еди-ц измерения.

5) Коэффициент вариации хар-ет ср. относит. откл-ние вар-ты от ср. вел-ны.

Способ моментов

Часто мы сталкиваемся с расчетом средней арифметической упрощенным способом.

В этом случае используются свойства средней величины. Метод упрощенного расчета называется способом моментов, либо способом отсчета от условного нуля.

Способ моментов предполагает следующие действия :

1) Выбирается начало отсчета (из х ) – условный нуль (A ). Обычно как можно ближе к середине распре-ния.

2) Находятся отклонения вариантов от условного нуля ().

4) Если эти отклонения содержат общий множитель (k ), то рассчитанные

отклонения делятся на этот множитель.

Способ моментов :

Средняя:

Дисперсия:

Тема 4: Выборочное наблюдение

Обозначения в теории выборки:

N – числи-ль генер. выборки	n – числи-ль генер. выборки
Генер. средняя (оценивают)	– выбор. средняя (рассчитывают)
p – генер. доля (оценивают)	w – выбор. доля (рассчитывают)
P (t ) – задаваемый уровень веро-сти

Генер. средняя: с задан. уровнем вероя-сти P(t)

– ошибка выборки для ср. вел-ны

, t – критерий надеж-сти, его вел-на зав-т от уровня задан. вероя-сти P(t)

Если 1) P (t ) = 0,683, то t =1 ; 2) P (t ) = 0,954, то t =2 ; 3) P (t ) = 0,997, то t =3

– среднеквадр. ошибка выборки

– верна для повторного отбора в выборке.

- для бесповторного отбора

Доказано: с задан. уровнем вероя-сти P(t)

– ошибка выборки для доли

, – среднеквадр. ошибка выборки для доли

–для повторного отбора

- для бесповторного отбора

Тема 5: Ряды динамики

Аналит. пока-ли:

1) Абсолют. прирост (разница уровней)

(цепной) ; (базисный)

2) Темп роста (отношение уровней)

(цепной) ; (базисный)

3) Темп прироста

(цепной) ; (базисный)

4) Абсолютное значение 1% прироста

(цепной) ; (базисный)

Средние показатели:

1) ср. уровни динам. ряда ;

2) ср. аналитич. показ-ли динам. ряда .

Расчет ср. уровня зав-т от вида РД:

а) для интерв. РД с равн. периодами вре-ни – ср. арифмет. простая

б) для интерв. РД с неравн. периодами вре-ни – ср. арифмет. взвешенная

в) для моментных РД с равноотстоящими датами – ср. хронологическая

г) для моментных РД с неравноотстоящими датами – ср. арифмет. взвешенная

Расчет ср. аналит. показ-лей:

а) ср. абсолют. прирост

б) ср. темп роста

в) ср. темп прироста

Смыкание РД

Для проведения смыкания РД в смыкаемых рядах находится временной момент (дата, период), когда им-ся сведения об изучаемом признаке как в прежних, так и в новых условиях. Рассчитывается коэфф-т, дальнейш. расчеты – по сомкнутом. ряду.

В ходе обработки РД важн. задачей яв-ся выявление основ. тенденции раз-тия явления (тренда) и сглаживание случ. колебаний. Для решения этой задачи сущ-ют особые способы, кот. наз-ют методами выравнивания.

3 основн. способа обработки динамического ряда:

а) укрупнение интервалов РД и расчет средних для кажд. укрупненного интервала;

(переход от менее продолжит.инт-лов к более продолжит. Средняя, рассчитанная по укрупненным инт-лам, позволяет выявить направление и характер (ускорение или замедление) основ. тенденции развития. Средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.

б) метод скользящей средней;

(вычисл-ся ср. уровень из опред. числа, обычно нечетного, первых по счету уровней ряда. Затем - из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее - начиная с третьего и т. д. Т/о, средняя как бы «скользит» по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

в) аналитическое выравнивание.

Сезонные колебания и волны

Индексами сезонности яв-ся процентные отношения фактических внутригодовых уровней к постоянной или переменной средней. Совокупность этих показателей отражает сезонную волну.

Для выявления сезон. колебаний обычно испо-ют данные за несколько лет, распределенные по месяцам. Для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня, например за 3 года ( ), затем из них вычисляется средний уровень для всего ряда ( ), далее определяется процентное отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:

где - средний уровень для каждого месяца;

Среднемесячный уровень для всего ряда.

Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображают в виде графиков.

Индивидуальные индексы:

		себестоимости	стоимости	денежных затрат	затрат труда
i q	i p	i z	i pq	i qz	i qt

Общие индексы:

Общий индекс физического объема (как в среднем изм-лось кол-во товаров на рынке)
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния кол-ва товаров
Общий индекс цен (агрегатный) (как в среднем изм-лись цены на рынке)
Абсолютное изм-ние стои-сти за счет изм-ния цен
Общий индекс товарооборота (стоимости) общ. относит. изме-ния стои-сти товаров на рынке
Общ. абсолют. изм-ние стои-сти товаров на рынке
Взаимосвязь индексов	I pq = I p I q
Общий индекс себестоимости
Общий индекс физич. объема (по себестоимости)
Взаимосвязь между индексами
Общий индекс затрат на производство

Точечная оценка в математической статистике - это число, вычисляемое на основе наблюдений, предположительно близкое оцениваемому параметру. Пусть - выборка из распределения, зависящего от параметра. Тогда статистику называют точечной оценкой параметра.

Свойства точечных оценок:

1. Оценка называется несмещённой, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру генеральной совокупности:

2. Оценка называется эффективной, если она обладает минимальной дисперсией среди всех возможных точечных оценок.

3. Оценка называется состоятельной, если она по вероятности с увеличением объема выборки n стремится к параметру генеральной совокупности.

Существует несколько методов определения оценок.

Наиболее распространен метод максимального правдоподобия, теоретически обоснованный математиком Р. Фишером. Идея метода заключается в следующем. Вся получаемая в результате многократных наблюдений информация об истинном значении измеряемой величины и рассеивании результатов сосредоточена в ряде наблюдений, где n - число наблюдений. Их можно рассматривать как n независимых случайных величин с одной и той же дифференциальной функцией распределения. Вероятность получения в эксперименте некоторого результата, лежащего в интервале, где - некоторая малая величина, равна соответствующему элементу вероятности.

Независимость результатов наблюдений позволяет найти априорную вероятность появления одновременно всех экспериментальных данных, т.е. всего ряда наблюдений как произведение этих вероятностей:

Если рассматривать Q и как неизвестные параметры распределения, то, подставляя различные значения Q и в эту формулу, мы будем получать различные значения вероятности при каждом фиксированном ряде наблюдений. При некоторых значениях и вероятность получения экспериментальных данных достигает наибольшего значения. В соответствии с методом максимального правдоподобия именно эти значения и принимаются в качестве точечных оценок истинного значения и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений. Таким образом, метод максимального правдоподобия сводится к отысканию таких оценок и, при которых функция правдоподобия достигает наибольшего значения. Постоянный сомножитель не оказывает влияния на решение и поэтому может быть отброшен. Полученные оценки и истинного значения и среднеквадратического отклонения называются оценками максимального правдоподобия.

Метод моментов К.Пирсона. Любой теоретический начальный или центральный момент случайной величины, распределение которой зависит от параметра, также зависит от этого параметра.Оценка компонент векторного параметра по методу К.Пирсона осуществляется по определенному количеству моментов различных порядков (начальных, центральных или тех и других). В качестве оценки (приближения) параметра принимается такой вектор, при котором каждый из выбранных теоретических моментов совпадает с соответствующим эмпирическим моментом, вычисленным по выборке. Приравниваем выборочные и теоретические моменты:

41-44. Интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Дана выборка (x 1 , x 2 , …, x n) объема n из генеральной совокупности с генеральным средним a и генеральной дисперсией? 2 . Ищется интервал [И 1 , И 2 ], в котором a может находиться с доверительной вероятностью г.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания a при известной дисперсии

Предполагая, что предварительно определена точечная оценка a - выборочное среднее, в качестве статистики для получения И 1 = И 1 (x 1 , x 2 , …, x n) и И 2 =И 2 (x 1 , x 2 , …, x n) рассмотрим нормированное выборочное среднее, имеющее нормальное распределение ().

Где - функция Лапласа.

Полагаем.

доверительный интервал:

Точность оценки: .

2.3.1. Метод моментов проверки гипотез

К методу моментов относят все статистические процедуры, основанные на использовании выборочных моментов и функций от них. Метод моментов оценивания параметров распределения рассмотрен в главе 2.2. В непараметрической статистике на основе выборочных моментов проводится точечное и интервальное оценивание характеристик распределения, таких, как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации (глава 3.1). Для проверки гипотез в непараметрической статистике также используется метод моментов. Примером является критерий Крамера-Уэлча, предназначенный для проверки равенства математических ожиданий по двум независимым выборкам (глава 3.1).

В практике применения статистических методов (согласно классическим схемам) довольно часто возникает необходимость проверки гипотезы о том, что функция распределения результатов наблюдений Х 1 , Х 2 , … , Х n принадлежит параметрическому семейству распределений {F (x , θ), θ Θ}, где Θ R k . Как проверять эту гипотезу?

Давно разработан универсальный метод – критерий минимума хи-квадрат . Однако у него имеется существенный недостаток – необходимость группирования наблюдений, что приводит к потере информации. Как хорошо известно , это приводит к существенному снижению мощности критерия минимума хи-квадрат по сравнению с критериями типа Колмогорова и типа омега-квадрат. Кроме того, нахождение минимума статистики хи-квадрат – достаточно сложная вычислительная процедура. Поэтому иногда вместо оценок, получаемых при указанной оптимизации, подставляют оценки максимального правдоподобия или какие-либо еще. Такая замена приводит к тому, что распределение рассматриваемой статистики существенно отличается от классического, причем различие не исчезает при росте объема выборки. Предложенная член-корр. АН СССР Л.Н. Большевым и проф. М.С. Никулиным модификация критерия минимума хи-квадрат не снимает недостатков, связанных с группированием и необходимостью существенной вычислительной работы.

Общий подход, основанный на дистанционном методе, предложен Дж. Вольфовицем (США) в 1950-х годах. Согласно этому методу следует основываться на том или ином расстоянии между эмпирической функцией распределения и параметрическим семейством распределений (как многообразием в пространстве всех функций распределения). Конкретная реализация этого подхода приводит к критериям типа Колмогорова и типа омега-квадрат. Однако для каждого конкретного параметрического семейства приходится разрабатывать самостоятельную теорию и рассчитывать только ему соответствующие предельные и точные распределения . Предельные распределения найдены лишь для нескольких семейств, а точных почти ничего не известно. До сих пор часто делают ошибку, применяя для произвольных семейств предельные распределения, найденные для проверки согласия с фиксированным распределением (см. подробности в главе 1.2).

Отметим, что критерии минимума хи-квадрат и аналогичные им не являются состоятельными, поскольку вероятности попадания в области группирования не задают однозначно функцию распределения. С этим недостатком можно бороться, увеличивая число интервалов группирования вместе с ростом объема выборки, однако на этом пути еще не выработаны рекомендации, пригодные для широкого практического использования. Критерии типа Колмогорова и типа омега-квадрат – состоятельные, т.е. любую альтернативную функцию распределения, не входящую в рассматриваемое параметрическое семейство, они отвергают с вероятностью, стремящейся к 1 при росте объема выборки.

Для конкретности обсудим проверку согласие результатов наблюдений с трехпараметрическим семейством гамма-распределений с плотностями

(1)

Здесь a >2 - параметр формы, b >0 - параметр масштаба и с - параметр сдвига, Γ(а) - одна из используемых в математике специальных функций, так называемая "гамма-функция". Критерий минимума хи-квадрат имеет указанные выше недостатки. Критерии типа Колмогорова и типа омега-квадрат для этого случая не разработаны.

В подобных ситуациях целесообразно строить критерии согласия на основе функций от выборочных моментов, т.е. пользоваться методом моментов. Для оценивания параметров метод моментов хорошо известен и обычно рассматривается в учебной литературе по теории вероятностей и математической статистике. Реализацией метода моментов для проверки нормальности являются известные критерии асимметрии и эксцесса .

Пример 1. Если случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией σ 2 , то, как известно ,

где δ – нормированное среднее абсолютное отклонение, γ 1 – коэффициент асимметрии и (β 1 – 3) – коэффициент эксцесса. Таким образом, если выборочные оценки указанных моментных отношений существенно отличаются от соответствующих теоретических значений, то следует признать, что распределение результатов наблюдений отлично от нормального. Так как указанные выше значения моментных отношений могут приниматься и для распределений, отличных от нормальных, то близость выборочных значений к только что выписанным не обязательно свидетельствует о нормальности распределения результатов наблюдений. Критерии, полученные методом моментов, служат не столько для проверки нормальности, сколько для выявления отклонений распределения от нормального, или, точнее, для проверки гипотез δ ≠ , γ 1 ≠ 0, β 1 ≠ 3. Рассматриваемые критерии построены на основе выборочных моментных отношений:

Здесь, как обычно, - выборочное среднее арифметическое и s 2 – выборочная дисперсия, соответственно, s – выборочное среднее квадратическое отклонение. Как вытекает из результатов главы 1.4, все три статистики являются асимптотически нормальными. Выражения для параметров их асимптотических распределений приведены в . Процентные точки распределений рассматриваемых выборочных моментных отношений при конечных объемах выборки найдены в предположении нормальности результатов наблюдений .

Как и критерии минимума хи-квадрат, критерии метода моментов никогда не являются состоятельными. Однако они, как и в случае критериев асимметрии и эксцесса, позволяют в ряде случаев отвергнуть гипотезу согласия. Использование несостоятельных критериев часто встречается в прикладной статистике. Отметим, например, что применение критерия Вилкоксона для проверки гипотезы однородности двух выборок широко распространено, хотя против общей альтернативы он является несостоятельным (см. главу 3.1).

Критерии метода моментов основаны на использовании функций от выборочных моментов, имеющих асимптотически нормальные распределения, параметры которых легко могут быть вычислены по методике, описанной в главе 1.4. Метод моментов по сравнению с другими методами проверки согласия требует существенно меньше вычислений (число операций пропорционально объему выборки). Поэтому он может быть рекомендован для использования при проверке согласия с семействами распределений, для которых не разработаны более совершенные методы, а также в качестве быстрого (экспрессного) метода. Что же касается хорошо изученных семейств, например, нормального, то основанные на использовании моментов критерии асимметрии и эксцесса применять для проверки нормальности нецелесообразно. Судя по специальным исследованиям, следует рекомендовать критерий W Шапиро - Уилка.

Продемонстрируем применение метода моментов на примере проверки гипотезы согласия с двухпараметрическим семейством гамма-распределений без сдвига, т.е. выделяемого из семейства (1) условием с =0. Поскольку для трехпараметрического семейства гамма-распределений (1)

М (Х ) =ab + c, D (X ) = ab 2 , μ 3 = M (X – M (X )) 3 = 2ab 3 ,

то при справедливости гипотезы Н 0: с = 0 выполнено соотношение

. (2)

Для специалистов по техническим наукам большое значение имеет альтернативная гипотеза

H 1: c > 0.

В частности, она связана с дискуссией о выборе нормируемых показателей надежности технических устройств. Альтернативная гипотеза соответствует предположению, что в течение некоторого времени (до момента c > 0) отказы невозможны, а нулевая – с отрицанием этого предположения и признанием того, что отказы возможны в любой момент.

При справедливости альтернативной гипотезы

поэтому для проверки гипотезы согласия в рассматриваемой постановке целесообразно использовать критерий со статистикой

С помощью описанной в главе 1.4 методики вычисления предельного распределения функции от выборочных моментов можно установить, что при n → ∞ распределение статистики сходится к нормальному, причем при справедливости нулевой гипотезы, т.е. соотношения (2), асимптотическое распределение имеет нулевое математическое ожидание и дисперсию

. (3)

Поскольку параметр формы а неизвестен статистику, необходимо в выражении (3) заменить а на его состоятельную оценку, например, на оценку метода моментов (см. главу 2.2)

Рассмотрим критерий с критической областью вида

, (4)

где u (1 - α) – квантиль порядка 1 - α стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При n →∞ уровень значимости этого критерия стремится к α.

Если альтернативная гипотеза является двусторонней, т.е. , то аналогично строится двусторонняя критическая область.

Критерий (4) состоятелен против альтернативы H 1: c > 0, а также против непараметрической альтернативы

в которой не предполагается, что функция распределения элементов выборки имеет гамма-распределение (1) с какими-либо конкретными значениями параметров, но не является состоятельным против общей альтернативы.

Пример 2. Применим критерий (4) для проверки согласия с гамма-распределением при с = 0, т.е. с двухпараметрическим семейством, данных о наработке n = 50 резцов до предельного состояния (в часах), приведенных в табл.2 подраздела 2.2.1.

Для рассматриваемых данных = 57,88, s 2 = 663,00, выборочный третий центральный момент m 3 = 14927,91, откуда Z = - 0,01719. При этом a * = 5,05, и потому

Следовательно, гипотеза согласия рассматриваемых данных с двухпараметрическим гамма-распределением не отвергается на любом из обычно используемых уровней значимости, как для односторонней критической области, так и для двухсторонней.