Третий центральный момент случайной величины. Моменты случайных величин

Математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х , принимающей конечное число значений х i с вероятностями р i , называется сумма:

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х называется интеграл от произведения ее значений х на плотность распределения вероятностей f (x ):

(6б )

Несобственный интеграл (6б ) предполагается абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что математическое ожидание М (Х ) не существует). Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины Х . Его размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Свойства математического ожидания:

Дисперсия. Дисперсией случайной величины Х называется число:

Дисперсия является характеристикой рассеяния значений случайной величины Х относительно ее среднего значения М (Х ). Размерность дисперсии равна размерности случайной величины в квадрате. Исходя из определений дисперсии (8) и математического ожидания (5) для дискретной случайной величины и (6) для непрерывной случайной величины получим аналогичные выражения для дисперсии:

(9)

Здесь m = М (Х ).

Свойства дисперсии:

Среднее квадратичное отклонение:

(11)

Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.

Моменты распределения. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения . Моменты распределения случайной величины вводятся как математические ожидания некоторых простейших функций от случайной величины. Так, моментом порядка k относительно точки х 0 называется математическое ожидание М (Х – х 0 )k . Моменты относительно начала координат х = 0 называются начальными моментами и обозначаются:

(12)

Начальный момент первого порядка есть центр распределения рассматриваемой случайной величины:

(13)

Моменты относительно центра распределения х = m называются центральными моментами и обозначаются:

(14)

Из (7) следует, что центральный момент первого порядка всегда равен нулю:

Центральные моменты не зависят от начала отсчета значений случайной величины, так как при сдвиге на постоянное значение С ее центр распределения сдвигается на то же значение С , а отклонение от центра не меняется: Х – m = (Х – С ) – (m – С ).
Теперь очевидно, что дисперсия – это центральный момент второго порядка :

Асимметрия. Центральный момент третьего порядка:

(17)

служит для оценки асимметрии распределения . Если распределение симметрично относительно точки х = m , то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков). Поэтому, если центральный момент третьего порядка отличен от нуля, то распределение не может быть симметричным. Величину асимметрии оценивают с помощью безразмерного коэффициента асимметрии :

(18)

Знак коэффициента асимметрии (18) указывает на правостороннюю или левостороннюю асимметрию (рис. 2).

Рис. 2. Виды асимметрии распределений.

Эксцесс. Центральный момент четвертого порядка:

(19)

служит для оценки так называемого эксцесса , определяющего степень крутости (островершинности) кривой распределения вблизи центра распределения по отношению к кривой нормального распределения. Так как для нормального распределения, то в качестве эксцесса принимается величина:

(20)

На рис. 3 приведены примеры кривых распределения с различными значениями эксцесса. Для нормального распределения Е = 0. Кривые, более островершинные, чем нормальная, имеют положительный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.

Рис. 3. Кривые распределения с различной степенью крутости (эксцессом).

Моменты более высоких порядков в инженерных приложениях математической статистики обычно не применяются.

Мода дискретной случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Модой непрерывной случайной величиныназывается ее значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2). Если кривая распределения имеет один максимум, то распределение называется унимодальным . Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным . Иногда встречаются распределения, кривые которых имеют не максимум, а минимум. Такие распределения называются антимодальными . В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, для модального , т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Медиана случайной величины Х – это ее значение Ме , для которого имеет место равенство: т.е. равновероятно, что случайная величина Х окажется меньше или больше Ме . Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределения делится пополам (рис. 2). В случае симметричного модального распределения медиана, мода и математическое ожидание совпадают.

Центральными называются моменты распределения, при вычислении которых за исходную величину принимаются отклонение вариантов от средней арифметической данного ряда.

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле:

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле:

где - значение середины интервалов;

Это среднее взвешенное;

Fi-число значений.

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле:

где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле:

где - значение середины интервалов; - это среднее взвешенное; - fi-число значений.

Расчет для таблицы 3.2

Расчет для таблицы 3.4

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):

Расчет для таблицы 3.6

1. Рассчитаем центральный момент первого порядка по формуле (7.1):

2. Рассчитаем центральный момент второго порядка по формуле (7.2):

3. Рассчитаем центральный момент третьего порядка по формуле (7.3):

4. Рассчитаем центральный момент четвертого порядка по формуле (7.4):

Рассчитаны моменты 1,2,3,4 порядков по трем задачам. Где момент третьего порядка понадобиться для расчета асимметрии, а момент четвертого порядка понадобиться для расчета эксцесса.

РАСЧЕТ АСИММЕТРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В статистической практике встречаются разнообразные распределения. Различают следующие разновидности кривых распределения:

· одновершинные кривые: симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные;

· многовершинные кривые.

Для однородных совокупностей, как правило, характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух или более вершин делает необходимой перегруппировку данных с целью выделения более однородных групп.

Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных распределений частоты любых двух вариант, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Рассчитанные для таких распределений средняя, мода и медиана также равны.

При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии ():

где -это среднее взвешенное; Mo-мода; -среднеквадратичная взвешенная дисперсия; Me-медиана.

Его величина может быть положительной и отрицательной. В первом случае речь идет о правосторонней асимметрии, а во втором- о левосторонней.

При правосторонней асимметрии Mo>Me >x. Наиболее широко (как показатель асимметрии) применяется отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе:

где -центральный момент третьего порядка; -среднее квадратическое отклонение в кубе.

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной; если она меньше 0,25, то незначительной.

Оценка существенности производится на основе средней квадратической ошибки, коэффициента асимметрии (), которая зависит от числа наблюдений (n) и рассчитывается по формуле:

где n-число наблюдений.

В случае асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами.

Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Левосторонняя, значительная асимметрия.

Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

1. Определим асимметрии по формуле (7.5):

Правосторонняя, значительная асимметрия.

Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

1. Определим асимметрии по формуле (7.5):

Правосторонняя, незначительная асимметрия.

РАСЧЕТ ЭКСЦЕССА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса ():

где - центральный момент четвертого порядка; - средне квадратическое отклонение в четвертой степени.

Расчет для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Расчет для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)

Островершинное распределение.

Расчет для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

Рассчитаем показатель эксцесса по формуле (7.7)

Плосковершинное распределение.

ОЦЕНКА ОДНОРОДНОСТИ СОВОКУПНОСТИ

Оценка однородности для таблицы 3.2 Группировка населения по среднемесячной заработной плате, руб.

Необходимо отметить, что хотя показатели асимметрии и эксцесса характеризуют непосредственно лишь форму распределения признака в пределах изучаемой совокупности, однако их определение имеет не только описательное значение. Часто асимметрия и эксцесс дают определенные указания для дальнейшего исследования социально - экономических явлений. Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и отрицательной по своему характеру асимметрии, нужно заметить, что асимметрия является левосторонней. Кроме того совокупность имеет плос-ковершинное распределение.

Оценка однородности для таблицы 3.4 Группировка магазинов по розничному товарообороту, млн. руб.

Полученный результат свидетельствует о наличии значительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. А так же совокупность имеет остро-вершинное распределение.

Оценка однородности для таблицы 3.6 Группировка транспортных организаций по грузообороту транспорта общего пользования (млн.т.км)

Полученный результат свидетельствует о наличии незначительной по величине и положительной по своему характеру асимметрии, нужно заметить что асимметрия является правосторонней. Кроме того совокупность имеет плосковершинное распределение.

Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, - употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т.д.). Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины называется сумма вида:

. (5.7.1)

Очевидно, это определение совпадает с определением начального момента порядка s в механике, если на оси абсцисс в точках сосредоточены массы .

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

. (5.7.2)

Нетрудно убедиться, что введенная в предыдущем n° основная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины .

Пользуясь знаком математического ожидания, можно объединить две формулы (5.7.1) и (5.7.2) в одну. Действительно, формулы (5.7.1) и (5.7.2) по структуре полностью аналогичны формулам (5.6.1) и (5.6.2), с той разницей, что в них вместо и стоят, соответственно, и . Поэтому можно написать общее определение начального момента -го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

, (5.7.3)

т.е. начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -й степени этой случайной величины.

Перед тем, как дать определение центрального момента, введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина с математическим ожиданием . Центрированной случайной величиной, соответствующей величине , называется отклонение случайной величины от её математического ожидания:

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком наверху.

Нетрудно убедиться, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю. Действительно, для прерывной величины

аналогично и для непрерывной величины.

Центрирование случайной величины, очевидно, равносильно переносу начала координат в среднюю, «центральную» точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они аналогичны моментам относительно центра тяжести в механике.

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины называется математическое ожидание -й степени соответствующей центрированной случайной величины:

, (5.7.6)

а для непрерывной – интегралом

. (5.7.8)

В дальнейшем в тех случаях, когда не возникает сомнений, к какой случайной величине относится данный момент, мы будем для краткости вместо и писать просто и .

Очевидно, для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

, (5.7.9)

так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Выведем соотношения, связывающие центральные и начальные моменты различных порядков. Вывод мы проведем только для прерывных величин; легко убедится, что точно те же соотношения справедливы и для непрерывных величин, если заменить конечные суммы интегралами, а вероятности – элементами вероятности.

Рассмотрим второй центральный момент:

Аналогично для третьего центрального момента получим:

Выражения для и т.д. могут быть получены аналогичным путем.

Таким образом, для центральных моментов любой случайной величины справедливы формулы:

(5.7.10)

Вообще говоря, моменты могут рассматриваться не только относительно начала координат (начальные моменты) или математического ожидания (центральные моменты), но и относительно произвольной точки :

. (5.7.11)

Однако центральные моменты имеют перед всеми другими преимущество: первый центральный момент, как мы видели, всегда равен нулю, а следующий за ним, второй центральный момент при этой системе отсчета имеет минимальное значение. Докажем это. Для прерывной случайной величины при формула (5.7.11) имеет вид:

. (5.7.12)

Преобразуем это выражение:

Очевидно, эта величина достигает своего минимума, когда , т.е. когда момент берется относительно точки .

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение :

Согласно определению центрального момента

т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (5.7.13) величину её выражением, имеем также:

. (5.7.14)

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Соответственно для прерывных и непрерывных величин.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около её математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины . Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :

, (5.7.17)

Для упрощения записей мы часто будем пользоваться сокращенными обозначениями среднего квадратического отклонения и дисперсии: и . В случае, когда не возникает сомнения, к какой случайной величине относятся эти характеристики, мы будем иногда опускать значок х у и и писать просто и . Слова «среднее квадратическое отклонение» иногда будем сокращенно заменять буквами с.к.о.

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через её второй начальный момент (вторая из формул (5.7.10)). В новых обозначениях она будет иметь вид:

Математическое ожидание и дисперсия (или среднее квардратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины. Они характеризуют наиболее важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Для более подробного описания распределения применяются моменты высших порядков.

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (или «скошенности») распределения. Если распределение симметрично относительно математического ожидания (или, в механической интерпретации, масса распределена симметрично относительно центра тяжести), то все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю. Действительно, в сумме

при симметричном относительно законе распределения и нечетном каждому положительному слагаемому соответствует равное ему по абсолютной величине отрицательное слагаемое, так что вся сумма равна нулю. То же, очевидно, справедливо и для интеграла

,

который равен нулю, как интеграл в симметричных пределах от нечетной функции.

Естественно поэтому в качестве характеристики асимметрии распределения выбрать какой-либо из нечетных моментов. Простейший из них есть третий центральный момент. Он имеет размерность куба случайной величины: чтобы получить безразмерную характеристику, третий момент делят на куб среднего квадратического отклонения. Полученная величина носит название «коэффициент асимметрии» или просто «асимметрии»; мы обозначим её :

На рис. 5.7.1 показано два асимметричных распределения; одно из них (кривая I) имеет положительную асимметрию (); другое (кривая II) – отрицательную ().

Четвертый центральный момент служит для характеристики так называемой «крутости», т.е. островершинности или плосковершинности распределения. Эти свойства распределения описываются с помощью так называемого эксцесса. Эксцессом случайной величины называется величина

Число 3 вычитается из отношения потому, что для весьма важного и широко распространенного в природе нормального закона распределения (с которым мы подробно познакомимся в дальнейшем) . Таки образом, для нормального распределения эксцесс равен нулю; кривые, более островершинные по сравнении с нормальной, обладают положительным эксцессом; кривые более плосковершинные – отрицательным эксцессом.

На рис. 5.7.2 представлены: нормальное распределение (кривая I), распределение с положительным эксцессом (кривая II) и распределение с отрицательным эксцессом (кривая III).

Кроме рассмотренных выше начальных и центральных моментов, на практике иногда применяются так называемые абсолютные моменты (начальные и центральные), определяемые формулами

Очевидно, абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

Из абсолютных моментов наиболее часто применяется первый абсолютный центральный момент

, (5.7.21)

называемый средним арифметическим отклонением. Наряду с дисперсией и средним квадратическим отклонением среднее арифметическое отклонение иногда применяется как характеристика рассеивания.

Математическое ожидание, мода, медиана, начальные и центральные моменты и, в частности, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, асимметрия и эксцесс представляют собой наиболее употребительные числовые характеристики случайных величин. Во многих задачах практики полная характеристика случайной величины – закон распределения – или не нужна, или не может быть получена. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощь. Числовых характеристик, каждая из которых выражает какое-либо характерное свойство распределения.

Очень часто числовыми характеристиками пользуются для приближенной замены одного распределения другим, причем обычно стремятся произвести эту замену так, чтобы сохранились неизменными несколько важнейших моментов.

Пример 1. Производится один опыт, в результате которого может появиться или не появиться событие , вероятность которого равна . Рассматривается случайная величина – число появлений события (характеристическая случайная величина события ). Определить её характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

где - вероятность непоявления события .

По формуле (5.6.1) находим математическое ожидание величины :

Дисперсию величины определяем по формуле (5.7.15):

(Предлагаем читателю получить тот же результат, выразив дисперсию через второй начальный момент).

Пример 2. Производится три независимых выстрела по мишени; вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. случайная величина – число попаданий. Определить характеристики величины – математическое ожидание, дисперсию, с.к.о., асимметрию.

Решение. Ряд распределения величины имеет вид:

Вычисляем числовые характеристики величины .

3.4. Моменты случайной величины.

Выше мы познакомились с исчерпывающими характеристиками СВ: функцией распределения и рядом распределения - для дискретной СВ, функцией распределения и плотностью вероятности - для непрерывной СВ. Эти попарно эквивалентные по информационному содержанию характеристики представляют собой функции и полностью описывают СВ с вероятностной точки зрения. Однако, во многих практических ситуациях или невозможно, или нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Зачастую бывает достаточно указать один или несколько числовых параметров, до некоторой степени описывающих основные черты распределения, а иногда нахождение исчерпывающих характеристик является хотя и желательным, но слишком трудным математически, и оперируя числовыми параметрами, мы ограничиваемся хотя и приближенным, но более простым описанием. Указанные числовые параметры называются числовыми характеристиками случайной величины и играют большую роль в применениях теории вероятности к различным областям науки и техники, облегчая решение задач и позволяя представить результаты решения в простой и наглядной форме.

Наиболее часто применяемые числовые характеристики можно условно разбить на два вида: моменты и характеристики положения. Существует несколько видов моментов, из них наиболее часто применяются два вида: начальные и центральные . Другие виды моментов, например, абсолютные моменты, факториальные моменты , мы не рассматриваем. Чтобы избегнуть применения обобщения интеграла - так называемого интеграла Стильтьеса, дадим определения моментов по отдельности для непрерывных и дискретных СВ.

Определения. 1. Начальным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

где f (x ) - плотность вероятности данной СВ.

3. Центральным моментом k -го порядка дискретной СВ называется величина

В случаях, когда одновременно в рассмотрении находятся несколько СВ, удобно, во избежание недоразумений, указывать принадлежность момента; мы будем это делать, указывая обозначение соответствующей СВ в скобках, например, , и т. д. Не следует путать это обозначение с записью функции, а букву в скобках - с аргументом функции. Суммы и интегралы в правых частях равенств (3.4.1 - 3.4.4) могут сходиться или расходиться в зависимости от значенияk и конкретного распределения. В первом случае говорят, что момент не существует или расходится , во втором - что момент существует или сходится. Если у дискретной СВ конечное число конечных значений (N конечно), то все ее моменты конечного порядка k существуют. При бесконечном N , начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков, моменты дискретной СВ (одновременно начальные и центральные) могут не существовать. Моменты непрерывной СВ, как видно из определений, выражаются несобственными интегралами, которые могут расходится, начиная с некоторого k и для бо¢льших порядков (одновременно начальные и центральные). Моменты нулевого порядка всегда сходятся.

Рассмотрим более подробно сначала начальные, а затем центральные моменты. С математической точки зрения начальный момент k -го порядка есть «взвешенное среднее» k -ых степеней значений СВ; в случае дискретной СВ весами являются вероятности значений, в случае непрерывной СВ весовой функцией является плотность вероятности. Такого рода операции широко применяются в механике для описания распределения масс (статические моменты, моменты инерции и т. д.); возникающие в связи с этим аналогии рассмотрены ниже.

Для лучшего понимания начальных моментов рассмотрим их отдельно при заданных k . В теории вероятностей наиболее важны моменты низших порядков, т. е. при малых k , поэтому рассмотрение следует вести в порядке возрастаниязначенийk . Начальный момент нулевого порядка равен

1 , для дискретной СВ;

=1 , для непрерывной СВ,

т.е. для любой СВ он равен одному и тому же значению - единице, и поэтому не несет никакой информации о статистических свойствах СВ.

Начальный момент первого порядка (или первый начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Этот момент - важнейшая числовая характеристика любой СВ, чему есть несколько взаимосвязанных причин. Во-первых, согласно теореме Чебышёва (см. п. 7.4), при неограниченном числе испытаний над СВ среднее арифметическое наблюденных значений стремится (в некотором смысле) к , таким образом, для любой СВ- это характерное число, вокруг которого группируются ее значения на опыте. Во-вторых, для непрерывной СВчисленно равенх -овой координате центра тяжести криволинейной трапеции, образуемой кривой f (x ) (аналогичное свойство имеет место и для дискретной СВ), поэтому этот момент можно было бы назвать «центром тяжести распределения». В-третьих, этот момент имеет замечательные математические свойства, которые выяснятся в процессе прохождения курса, в частности, поэтому его величина входит в выражения для центральных моментов (см. (3.4.3) и (3.4.4)).

Важность этого момента для теоретических и практических задач теории вероятностей и его замечательные математические свойства привели к тому, что кроме обозначения и названия «первый начальный момент» в литературе используются и другие обозначения и названия, в большей или меньшей мере удобные и отражающие упомянутые свойства. Наиболее часто встречаются названия:математическое ожидание , среднее значение , и обозначения: m , M [X ], . Мы будем чаще всего использовать термин «математическое ожидание» и обозначение m ; при наличии нескольких СВ будем использовать нижний индекс, указывающий принадлежность математического ожидания, например, m x , m y и т. д.

Начальный момент второго порядка (или второй начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ;

иногда он называется средним квадратом случайной величины и обозначается M .

Начальный момент третьего порядка (или третий начальный момент) равен

Для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ

иногда он называется средним кубом случайной величины и обозначается M [X 3 ].

Нет смысла продолжать дальше перечисление начальных моментов. Остановимся на важной интерпретации моментов порядка k >1. Пусть, наряду со СВ X имеется также СВ Y , причем Y=X k (k =2, 3, ...). Это равенство означает, что случайные величины X и Y связаны детерминировано в том смысле, что когда СВ X принимает значение x , СВ Y принимает значение y=x k (в дальнейшем такая связь СВ будет рассмотрена более подробно). Тогда, согласно (3.4.1) и (3.4.2)

=m y , k =2, 3, ...,

т. е. k -ый начальный момент СВ равен математическому ожиданию k -ой степени этой случайной величины . Например, третий начальный момент длины ребра случайного кубика равен математическому ожиданию объема кубика. Возможность понимания моментов как неких математических ожиданий - еще одна грань важности понятия математического ожидания.

Перейдем к рассмотрению центральных моментов. Поскольку, как выяснится несколько ниже, центральные моменты однозначно выражаются через начальные и наоборот, встает вопрос, зачем вообще нужны центральные моменты и почему недостаточно начальных моментов. Рассмотрим СВ X (непрерывную или дискретную) и другую СВ Y, связанную с первой как Y=X+a , где a 0 - неслучайное вещественное число. Каждому значению x случайной величины X соответствует значение y=x+a случайной величины Y , следовательно распределение СВ Y будет иметь ту же форму (выраженную многоугольником распределения в дискретном случае или плотностью вероятности - в непрерывном случае), что и распределение СВ X , но сдвинуто по оси абсцисс на величину a . Следовательно, начальные моменты СВ Y будут отличаться от соответствующих моментов СВ X . Например, как нетрудно видеть, m y =m x +a (моменты более высокого порядка связаны более сложными соотношениями). Итак, мы установили, что начальные моменты не инвариантны относительно сдвига распределения в целом . Тот же результат получится, если сдвигать не распределение, а начало оси абсцисс по горизонтали на величину -a , т.е. справедлив и эквивалентный вывод: начальные моменты не инвариантны относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали.

От этого недостатка свободны центральные моменты, предназначенные для описания тех свойств распределений, которые не зависят от их сдвига в целом. Действительно, как видно из (3.4.3) и (3.4.4), при сдвиге распределения в целом на величину a , или, что то же самое, сдвиге начала оси абсцисс на величину -a , все значения x , при тех же вероятностях (в дискретном случае) или той же плотности вероятности (в непрерывном случае), изменятся на величину a , но настолько же изменится величина m , так что значения скобок в правых частях равенств не изменятся. Таким образом, центральные моменты инвариантны относительно сдвига распределения в целом, или, что то же самое, относительно сдвига начала оси абсцисс по горизонтали. Название «центральные» эти моменты получили в те времена, когда первый начальный момент назывался «центром». Полезно заметить, что центральный момент СВ X можно понимать как соответствующий начальный момент СВ X 0 , равной

X 0 =X-m x .

СВ X 0 называется центрированной (по отношению к СВ X ), а приводящая к ней операция, т. е. вычитание из случайной величины ее математического ожидания, называется центрированием . Как мы увидим в дальнейшем, это понятие и эта операция будут полезны на протяжении всего курса. Заметим, что центральный момент порядка k >1 можно рассматривать как математическое ожидание (среднее) k -ой степени центрированной СВ: .

Рассмотрим по отдельности центральные моменты низших порядков. Центральный момент нулевого порядка равен

, для дискретных СВ;

, для непрерывных СВ;

т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент первого порядка (или первый центральный момент) равен

для дискретной СВ;

для непрерывной СВ; т. е. для любой СВ и не несет никакой информации о статистических свойствах этой СВ.

Центральный момент второго порядка (или второй центральный момент) равен

, для дискретной СВ;

, для непрерывной СВ.

Как выяснится ниже, этот момент - один из важнейших в теории вероятностей, т. к. используется как характеристика меры разброса (или рассеяния) значений СВ, поэтому часто называется дисперсией и обозначается D х. Заметим, что можно понимать как средний квадрат центрированной СВ.

Центральный момент третьего порядка (третий центральный момент) равен

Найдем математическое ожидание Х 2 :

М (Х 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

Видим, что М (X 2) значительно больше М (X ). Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X 2 , соответствующее значению x =100 величины X, стало равным 10 000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Таким образом, переход от М (X )к М (X 2)позволил лучше учесть влияние на математическое ожидание того возможного значения, которое велико и имеет малую вероятность. Разумеется, если бы величина X имела несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X 2 , а тем более к величинам X 3 , X 4 и т. д., позволил бы еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений. Вот почему оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной).

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X k:

v k = M (X ).

В частности,

v 1 = M (X ), v 2 = M (X 2).

Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсии D (X ) = M (X 2)- [М (X )] 2 можно записать так:

D (X )= v 2 – . (*)

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X-М (X ).

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х-М (Х )) k:

В частности,

Легко выводятся соотношения, связывающие начальные и центральные моменты. Например, сравнивая (*) и (***), получим

m 2= v 2 – .

Нетрудно, исходя из определения центрального момента и пользуясь свойствами математического ожидания, получить формулы:

m 3= v 3 – 3 v 2 v 1 + 2 ,

m 4= v 4 – 4 v 3 v 1 + 6 v 2 + 3 .

Моменты более высоких порядков применяются редко.

Замечание. Моменты, рассмотренные здесь, называют теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты, которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими. Определения эмпирических моментов даны далее (см. гл. XVII, § 2).

Задачи

1. Известны дисперсии двух независимых случайных величин: D (X ) = 4, D (Y )=3. Найти дисперсию суммы этих величин.

Отв. 7.

2. Дисперсия случайной величины X равна 5. Найти дисперсию следующих величин: а) X -1; б) -2Х; в) ЗХ + 6.

Отв. а) 5; б) 20; в) 45.

3. Случайная величина X принимает только два значения: +С и -С, каждое с вероятностью 0,5. Найти дисперсию этой величины.

Отв. С 2 .

4. , зная закон ее распределения

X	0, 1
P	0, 4	0, 2	0, 15	0, 25

Отв. 67,6404.

5. Случайная величина X может принимать два возможных значения: х 1 с вероятностью 0,3 и x 2 с вероятностью 0,7, причем х 2 > х 1 . Найти x 1 и x 2 , зная, что М (Х ) = 2, 7и D (X ) =0,21.

Отв. x 1 = 2, x 2 = 3.

6. Найти дисперсию случайной величины X -числа появлений событий А в двух независимых испытаниях, если М (Х ) = 0, 8.

Указание. Написать биномиальный закон распределения вероятностей числа появлений события А в двух независимых испытаниях.

Отв. 0, 48.

7. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов таковы: р 1 = 0,3; р 2 = 0,4; p 3 = 0,5; р 4 = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.

Отв. 1,8; 0,94.

8. Найти дисперсию случайной величины X - числа появлений события в 100 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна 0,7.

Отв. 21.

9. Дисперсия случайной величины D (Х ) = 6,25. Найти среднее квадратическое отклонение s(X ).

Отв. 2, 5.

10. Случайная величина задана законом распределения

X
P	0, 1	0, 5	0, 4

Найти среднее квадратическое отклонение этой величины.

Отв. 2, 2.

11. Дсперсия каждой из 9 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равна 36. Найти дисперсию среднего арифметического этих величин.

Отв. 4.

12. Среднее квадратическое отклонение каждой из 16 одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно 10. Найти среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих величин.

Отв. 2,5.

Глава девятая

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Предварительные замечания

Как уже известно, нельзя заранее уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания; это зависит от многих случайных причин, учесть которые невозможно. Казалось бы, поскольку о каждой случайной величине мы располагаем в этом смысле весьма скромными сведениями, то вряд ли можно установить закономерности поведения и суммы достаточно большого числа случайных величин. На самом деле это не так. Оказывается, что при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин почти утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Для практики очень важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие очень многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, так как позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название закона больших чисел. К ним относятся теоремы Чебышева и Бернулли (имеются и другие теоремы, которые здесь не рассматриваются). Теорема Чебышева является наиболее общим законом больших чисел, теорема Бернулли-простейшим. Для доказательства этих теорем мы воспользуемся неравенством Чебышева.

Неравенство Чебышева

Неравенство Чебышева справедливо для дискретных и непрерывных случайных величин. Для простоты ограничимся доказательством этого неравенства для дискретных величин.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную таблицей распределения:

X	x 1	X 2	…	x n
p	p 1	P 2	…	p n

Поставим перед собой задачу оценить вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания не превышает по абсолютной величине положительного числа e. Если e достаточно мало, то мы оценим, таким образом, вероятность того, что X примет значения, достаточно близкие к своему математическому ожиданию. П. Л. Чебышев доказал неравенство, позволяющее дать интересующую нас оценку.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше, чем 1-D (Х )/ e 2 :

Р (|Х -М (Х )|< e ) 1-D (X )/ e 2 .

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств |Х-М (Х )|и |Х-М (Х )| e, противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

Р (|Х -М (Х )|< e )+ Р (|Х -М (Х )| e )= 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

Р (|Х -М (Х )|< e )= 1- Р (|Х -М (Х )| e ). (*)

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности Р (| Х-М (Х ) | e ).

Напишем выражение дисперсии случайной величины X :

D (X )= [x 1 -M (X )] 2 p 1 + [x 2 -M (X )] 2 p 2 +…+ [x n -M (X )]2p n .

Очевидно, все слагаемые этой суммы неотрицательны.

Отбросим те слагаемые, у которых |x i -M (Х )|< e (для оставшихся слагаемых |x j -M (Х )| e ), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D (X ) [x k + 1 -M (Х )] 2 p k + 1 + [x k + 2 -M (X )] 2 p k + z + . .. +[x n -M (X )] 2 p n .

Заметим, что обе части неравенства |x j - М (Х )| e (j = k +1, k + 2, ..., п )положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x j - М (Х )| 2 e 2 Воспользуемся этим замечанием и, заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей |x j - М (Х )| 2 числом e 2 (при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D (X ) e 2 (р к+ 1 + p k + 2 + … + р n ). (**)

По теореме сложения, сумма вероятностей р к+ 1 + p k + 2 + … + р n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x k + 1 , х к+ 2 ,....х п, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x j - М (Х )| e Отсюда следует, что сумма р к+ 1 + p k + 2 + … + р n выражает вероятность

P (|X - М (Х )| e).

Это соображение позволяет переписать неравенство (**) так:

D (X ) e 2 P (|X - М (Х )| e) ,

P (|X - М (Х )| e) D (X ) / e 2 (***)

Подставляя (***) в (*), окончательно получим

P (|X - М (Х )| <e) 1- D (X ) / e 2 ,

что и требовалось доказать.

Замечание. Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение поскольку часто дает грубую, а иногда и тривиальную (не представляющую интереса) оценку. Например, если D (X )> e 2 и, следовательно, D (X )/ e 2 > 1, то 1- D (Х )/ e 2 < 0; таким образом, в этом случае неравенство Чебышева указывает лишь на то, что вероятность отклонения неотрицательна, а это и без того очевидно, так как любая вероятность выражается неотрицательным числом.

Теоретическое же значение неравенства Чебышева весьма велико. Ниже мы воспользуемся этим неравенством для вывода теоремы Чебышева.

Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если Х 1 , Х 2 ,…, Х n , ... -попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С ), то, как бы мало ни было положительное число е, вероятность неравенства

Другими словами, в условиях теоремы

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин, имеющих ограниченные дисперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину - среднее арифметическое случайных величин

=(X 1 +X 2 +…+X n )/n.

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

M = . (*)

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при , получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.

Выше, формулируя теорему Чебышева, мы предполагали, что случайные величины имеют различные математические ожидания. На практике часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. Очевидно, что если вновь допустить, что дисперсии этих величин ограничены, то к ним будет применима теорема Чебышева.

Обозначим математическое ожидание каждой из случайных величин через а; в рассматриваемом случае среднее арифметическое математических ожиданий, как легко видеть, также равно а. Мы можем сформулировать теорему Чебышева для рассматриваемого частного случая.

Если Х 1 , Х 2 , ..., Х п,... -попарно независимые случайные величины, имеющие одно и то же математическое ожидание а, и если дисперсии этих величин равномерно ограничены, то, как бы мало ни было число e > О, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы будет иметь место равенство

Сущность теоремы Чебышева

Сущность доказанной теоремы такова: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (М (X 1)+ М (Х 2) +...+М (Х п ))/п (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных величин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискретных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедливость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.