Решение систем уравнений с помощью метода подстановки. Примеры систем линейных уравнений: метод решения Как решать систему линейных уравнений методом подстановки

1 . Ф.И.О. учителя: ____Ткачук Наталья Петровна _________________________________________________________________________________________________

2. Класс: _8 Дата: .11.03________Предмет_-математика, №71 урока по расписанию:

3. Тема урока Решение систем способом подстановки 4 . Место и роль урока в изучаемой теме :. Урок закрепления знаний . Цель урока :

Образовательная: развить знания решения систем уравнений способом подстановки. Знать/понимать: если графики имеют общие точки, то система имеет решения; если у графиков нет общих точек, то система решений не имеет; алгоритм решения систем уравнений. Уметь решать системы способом подстановки Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных (типовых) условиях Развивающая: Способствовать развитию умений учащихся обобщать полученные знания, проводить анализ, синтез, сравнения, делать необходимые выводы. Содействовать развитию умений применять полученные знания в нестандартных и типовых условиях. Воспитательная: Способствовать развитию творческого отношения к учебной деятельности

Характеристика этапов урока

Деятельность

учеников

Самоопределение.

Активизировать познавательную активность

Решить систему

словесный

Фронтальная

Приветствие учащихся. проведение. Создание ситуации готовности к уроку, успеха на предстоящем уроке.

Проверяют готовность к уроку.

2.Актуализация знаний.

Выявить качество и уровень овладения знаниями и умениями, полученными на предыдущих уроках по теме

Выяснить, является ли пара чисел решением системы. х=5 у=9

Какие операции можно производить с уравнениями?

(умножать обе части уравнения на одно и тоже число, делить на число не равное нулю ….)

Работа в группе

Фронтальная. Гупповая-разбор алгоритмов решения задач;

При необходимости задает наводящие вопросы.

Отвечают на поставленные вопросы.

3.Постановка учебной задачи, целей урока.

Формирование

и развитие умения

определять и формулировать

проблему, цель и тему

для изучения линий

Как решается система уравнений способом сложения, способом подстановки.

Какой способ целесообразно применить при решении. данной системы?

Работа в группе.

Индивидуальная.

Фронтальная.

Какие действия мы проделали, чтобы узнать стоимость покупки?

Какую тему мы будем изучать?

Высказываются.

4. Этап актуализации знаний по теме

Содействовать развитию умений различать и сопоставлять линии. Обеспечить условия для развития умений грамотно, чётко и точно выражать свои мысли.

№ 621

Выяснить взаимное расположение прямых

2х+0.5у= 1,2 и х- 4у=0

Можно ли определить пересекаются прямые или нет по их коэффициентам?

2. составь уравнения прямых которые параллельны между собой.

Работа с учнбником

Работа в парах с самопроверкой

Фронтальная, индивидуальная. практикум по решению задач

При необходимости задает наводящие вопросы. Проводит параллель с ранее изученным материалом.

Обеспечивает мотивацию выполнения предложенных задач.

Подводит обучающихся к выводу о существованию формул.

Решают задачи, отвечают на вопросы учителя при необходимости Выполняют упражнение в тетради.

По очереди комментируют, анализируют, определяют причины и способы решения.

5.Работа по самостоятельному

применению полученных знаний. Актуализация знаний и умений в решении задач.

Формирование и развитие умений чтения чисел.Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, само регуляция

1 вар –

2 вар

Самостоятельная работа. Проверка соседа.

«мозговой штурм»,

Контролирует выполнение работы.

Осуществляет: индивидуальный контроль; выборочный контроль.

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Решают задачи. Осуществляют: самооценку;взаимопроверку; выставляют предварительную оценку.

6.Оценка урока, самооценка.

Формирование и развитие умения анализировать и осмысливать свои достижения.

Умение определять уровень овладения учебным материалом.

Оценка промежуточных результатов и само регуляция для повышения мотивации учебной деятельности

Оценка на каждом этапе

1. умеешь ли ты строить графики линейных уравнений?

2.Умеешь ли ты определять, пересекаются они или нет.

3.знаешь ли ты алгоритм решения систем уравнений?

4. какие способы ты знаешь решения систем уравнений?

Работа в группе.

Групповая и индивидуальная..

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Осуществляют: самооценку и оценку товарища.

7.Итоги урока. Домашнее задание.

Умение соотносить цели и результаты собственной дея-тельности. Под-держание здоро-вого духа сопер-ничества для под-держания мотива-ции учебной дея-тельности; участие в коллективном обсуждении проблем.

п п. 4.4 №623

Работа в группе.

Фронтальная-Выделение и формулиров-ание поз-навательной цели рефлексия способов и условий действия

Анализ и синтез объектов

Побуждает к высказыванию своего мнения.

Дает комментарий к домашнему заданию; задание на поиск в тексте особенностей...

Дети участвуют в дискуссии, анализируют, проговаривают. Осмысливают и фиксируют свои достижения.

Сегодня на уроке я узнал…

Сегодня на уроке я научился…

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”

Тип урока: изучения новых знаний

Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо

Метод обучения: исследование

Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения

Задачи:

• предметные : формирование практических навыков в решении систем линейных уравнений способом подстановки;
• метапредметные : развивать мышление, сознательное восприятие учебного материала;
• личностные : воспитание познавательной активности, культуры общения и привитие интереса к предмету.

В результате ученик:

• Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;
• Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;
• Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;
• Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько;
• Знает алгоритм решения систем линейных уравнений способом подстановки, алгебраического сложения, графическим способом.

Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”

Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?

Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.

Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович

Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная

Критерии оценивания:

• А – знание и понимание +
• В – применение и рассуждение
• С – сообщение +
• D – рефлексия и оценка

Области взаимодействия:

• ATL - Уметь эффективно использовать время, планировать свою деятельность в соответствии с поставленными целями и задачами, определять наиболее рациональную последовательность деятельности. Умение отвечать на вопросы, приводить доводы, аргументировать. Уметь анализировать и оценивать собственную учебно-познавательную деятельность, находить пути решения проблем.
• HI учащиеся исследуют последствия деятельности человека

Ход урока

I. Организация урока

II. Проверка самоподготовки

a) № 12.2(б, в).

Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).

Ответ: (4;2)

Выразите одну переменную через другую:

• p = р /(g * h) – плотность жидкости
• р = g * p * h - давление жидкости на дно сосуда
• h = р /(g * p) – высота
• p = m / V - плотность
• m = V * p -масса
• p = m / V – плотность

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:

1. Выразить y через x из первого (или второго) уравнения системы.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе (первое) уравнение системы.
3. Решить полученное на втором шаге уравнение относительно х.
4. Подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге.
5. Записать ответ в виде пары значений (x; y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шагах.

Самостоятельная работа:

В рабочей тетради стр. 46 – 47.

• на “3” № 6(а);
• на “4” № 6(б);
• на “5” № 7.

III. Актуализация опорных знаний

Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?

Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.

Что является решением системы уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?

Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.

Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).

Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.

IV. Изучение нового материала

Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)

V. Работа по теме урока

В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).

VI. Домашнее задание

Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).

VII. Итог урока

• Ура!!! Мне всё понятно!
• Есть моменты, над которыми мне надо поработать!
• Были неудачи, но я все преодолею!

VIII. Решение задач на военную составляющую

Основной боевой танк Т-80.

Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.

Основные тактико-технические данные (ТТД):

Масса, т – 46

Скорость, км/ч – 70

Запас хода, км – 335-370

Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);

12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);

7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)

Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?

Системы уравнений получили широкое применение в экономической отрасли при математическом моделировании различных процессов. Например, при решении задач управления и планирования производства, логистических маршрутов (транспортная задача) или размещения оборудования.

Системы уравнения используются не только в области математики, но и физики, химии и биологии, при решении задач по нахождению численности популяции.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Такую последовательность чисел, при которых все уравнения станут верными равенствами или доказать, что последовательности не существует.

Линейное уравнение

Уравнения вида ax+by=c называют линейными. Обозначения x, y - это неизвестные, значение которых надо найти, b, a - коэффициенты при переменных, c - свободный член уравнения.
Решение уравнение путем построение его графика будет иметь вид прямой, все точки которой являются решением многочлена.

Виды систем линейных уравнений

Наиболее простыми считаются примеры систем линейных уравнений с двумя переменными X и Y.

F1(x, y) = 0 и F2(x, y) = 0, где F1,2 - функции, а (x, y) - переменные функций.

Решить систему уравнений - это значит найти такие значения (x, y), при которых система превращается в верное равенство или установить, что подходящих значений x и y не существует.

Пара значений (x, y), записанная в виде координат точки, называется решением системы линейных уравнений.

Если системы имеют одно общее решение или решения не существует их называют равносильными.

Однородными системами линейных уравнений являются системы правая часть которых равна нулю. Если правая после знака "равенство" часть имеет значение или выражена функцией, такая система неоднородна.

Количество переменных может быть гораздо больше двух, тогда следует говорить о примере системы линейных уравнений с тремя переменными или более.

Сталкиваясь с системами школьники предполагают, что количество уравнений обязательно должно совпадать с количеством неизвестных, но это не так. Количество уравнений в системе не зависит от переменных, их может быть сколь угодно много.

Простые и сложные методы решения систем уравнений

Не существует общего аналитического способа решения подобных систем, все методы основаны на численных решениях. В школьном курсе математики подробно описаны такие методы как перестановка, алгебраическое сложение, подстановка, а так же графический и матричный способ, решение методом Гаусса.

Основная задача при обучении способам решения - это научить правильно анализировать систему и находить оптимальный алгоритм решения для каждого примера. Главное не вызубрить систему правил и действий для каждого способа, а понять принципы применения того или иного метода

Решение примеров систем линейных уравнений 7 класса программы общеобразовательной школы довольно простое и объяснено очень подробно. В любом учебнике математике этому разделу отводится достаточно внимания. Решение примеров систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера более подробно изучают на первых курсах высших учебных заведений.

Решение систем методом подстановки

Действия метода подстановки направлены на выражение значения одной переменной через вторую. Выражение подставляется в оставшееся уравнение, затем его приводят к виду с одной переменной. Действие повторяется в зависимости от количества неизвестных в системе

Приведем решение примера системы линейных уравнений 7 класса методом подстановки:

Как видно из примера, переменная x была выражена через F(X) = 7 + Y. Полученное выражение, подставленное во 2-е уравнение системы на место X, помогло получить одну переменную Y во 2-е уравнении. Решение данного примера не вызывает трудностей и позволяет получить значение Y. Последний шаг это проверка полученных значений.

Решить пример системы линейных уравнений подстановкой не всегда возможно. Уравнения могут быть сложными и выражение переменной через вторую неизвестную окажется слишком громоздким для дальнейших вычислений. Когда неизвестных в системе больше 3-х решение подстановкой также нецелесообразно.

Решение примера системы линейных неоднородных уравнений:

Решение с помощью алгебраического сложения

При поиске решении систем методом сложения производят почленное сложение и умножение уравнений на различные числа. Конечной целью математических действий является уравнение с одной переменной.

Для применений данного метода необходима практика и наблюдательность. Решить систему линейных уравнений методом сложения при количестве переменных 3 и более непросто. Алгебраическое сложение удобно применять когда в уравнениях присутствуют дроби и десятичные числа.

Алгоритм действий решения:

1. Умножить обе части уравнения на некое число. В результате арифметического действия один из коэффициентов при переменной должен стать равным 1.
2. Почленно сложить полученное выражение и найти одно из неизвестных.
3. Подставить полученное значение во 2-е уравнение системы для поиска оставшейся переменной.

Способ решения введением новой переменной

Новую переменную можно вводить, если в системе требуется найти решение не более чем для двух уравнений, количество неизвестных тоже должно быть не больше двух.

Способ используется, чтобы упростить одно из уравнений, вводом новой переменной. Новое уравнение решается относительно введенной неизвестной, а полученное значение используется для определения первоначальной переменной.

Из примера видно, что введя новую переменную t удалось свести 1-е уравнение системы к стандартному квадратному трехчлену. Решить многочлен можно отыскав дискриминант.

Необходимо найти значение дискриминанта по известной формуле: D = b2 - 4*a*c, где D - искомый дискриминант, b, a, c - множители многочлена. В заданном примере a=1, b=16, c=39, следовательно, D=100. Если дискриминант больше нуля, то решений два: t = -b±√D / 2*a, если дискриминант меньше нуля, то решение одно: x= -b / 2*a.

Решение для полученных в итоге системы находят методом сложения.

Наглядный метод решения систем

Подходит для систем с 3-мя уравнениями. Метод заключается в построении на координатной оси графиков каждого уравнения, входящего в систему. Координаты точек пересечения кривых и будут общим решением системы.

Графический способ имеет ряд нюансов. Рассмотрим несколько примеров решения систем линейных уравнений наглядным способом.

Как видно из примера, для каждой прямой было построено две точки, значения переменной x были выбраны произвольно: 0 и 3. Исходя из значений x, найдены значения для y: 3 и 0. Точки с координатами (0, 3) и (3, 0) были отмечены на графике и соединены линией.

Действия необходимо повторить для второго уравнения. Точка пересечения прямых является решением системы.

В следующем примере требуется найти графическое решение системы линейных уравнений: 0,5x-y+2=0 и 0,5x-y-1=0.

Как видно из примера, система не имеет решения, потому что графики параллельны и не пересекаются на всем своем протяжении.

Системы из примеров 2 и 3 похожи, но при построении становится очевидно, что их решения разные. Следует помнить, что не всегда можно сказать имеет ли система решение или нет, всегда необходимо построить график.

Матрица и ее разновидности

Матрицы используются для краткой записи системы линейных уравнений. Матрицей называют таблицу специального вида, заполненную числами. n*m имеет n - строк и m - столбцов.

Матрица является квадратной, когда количество столбцов и строк равно между собой. Матрицей - вектором называется матрица из одного столбца с бесконечно возможным количеством строк. Матрица с единицами по одной из диагоналей и прочими нулевыми элементами называется единичной.

Обратная матрица - это такая матрица при умножении на которую исходная превращается в единичную, такая матрица существует только для исходной квадратной.

Правила преобразования системы уравнений в матрицу

Применительно к системам уравнений в качестве чисел матрицы записывают коэффициенты и свободные члены уравнений, одно уравнение - одна строка матрицы.

Строка матрицы называется ненулевой, если хотя бы один элемент строки не равен нулю. Поэтому если в каком-либо из уравнений количество переменных разнится, то необходимо на месте отсутствующей неизвестной вписать нуль.

Столбцы матрицы должны строго соответствовать переменным. Это означает что коэффициенты переменной x могут быть записаны только в один столбец, например первый, коэффициент неизвестной y - только во второй.

При умножении матрицы все элементы матрицы последовательно умножаются на число.

Варианты нахождения обратной матрицы

Формула нахождения обратной матрицы довольно проста: K -1 = 1 / |K|, где K -1 - обратная матрица, а |K| - определитель матрицы. |K| не должен быть равен нулю, тогда система имеет решение.

Определитель легко вычисляется для матрицы "два на два", необходимо лишь помножить друг на друга элементы по диагонали. Для варианта "три на три" существует формула |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Можно воспользоваться формулой, а можно запомнить что необходимо взять по одному элементу из каждой строки и каждого столбца так, чтобы в произведении не повторялись номера столбцов и строк элементов.

Решение примеров систем линейных уравнений матричным методом

Матричный способ поиска решения позволяет сократить громоздкие записи при решении систем с большим количеством переменных и уравнений.

В примере a nm - коэффициенты уравнений, матрица - вектор x n - переменные, а b n - свободные члены.

Решение систем методом Гаусса

В высшей математике способ Гаусса изучают совместно с методом Крамера, а процесс поиска решения систем так и называется метод решения Гаусса - Крамера. Данные способы используют при нахождении переменных систем с большим количеством линейных уравнений.

Метод Гаусса очень похож на решения с помощью подстановок и алгебраического сложения, но более систематичен. В школьном курсе решение способом Гаусса применяется для систем из 3 и 4 уравнений. Цель метода состоит в приведении системы к виду перевернутой трапеции. Путем алгебраических преобразований и подстановок находится значение одной переменной в одном из уравнении системы. Второе уравнение представляет собой выражение с 2-мя неизвестными, ну а 3 и 4 - соответственно с 3-мя и 4-мя переменными.

После приведения системы к описанному виду, дальнейшее решение сводится к последовательной подстановке известных переменных в уравнения системы.

В школьных учебниках для 7 класса пример решения методом Гаусса описан следующим образом:

Как видно из примера, на шаге (3) было получено два уравнения 3x 3 -2x 4 =11 и 3x 3 +2x 4 =7. Решение любого из уравнений позволит узнать одну из переменных x n .

Теорема 5, о которой упоминается в тексте, гласит что если одно из уравнений системы заменить равносильным, то полученная система будет также равносильна исходной.

Метод Гаусса труден для восприятия учеников средней школы, но является одним из наиболее интересных способов для развития смекалки детей, обучающихся по программе углубленного изучения в математических и физических классах.

Для простоты записи вычислений принято делать следующим образом:

Коэффициенты уравнений и свободные члены записываются в виде матрицы, где каждая строка матрицы соотносится с одним из уравнений системы. отделяет левую часть уравнения от правой. Римскими цифрами обозначаются номера уравнений в системе.

Сначала записывают матрицу, с которой предстоит работать, затем все действия проводимые с одной из строк. Полученную матрицу записывают после знака "стрелка" и продолжают выполнять необходимые алгебраические действия до достижения результата.

В итоге должна получиться матрица в которой по одной из диагоналей стоят 1, а все другие коэффициенты равны нулю, то есть матрицу приводят к единичному виду. Нельзя забывать производить вычисления с цифрами обеих частей уравнения.

Данный способ записи менее громоздкий и позволяет не отвлекаться на перечисление многочисленных неизвестных.

Свободное применение любого способа решения потребует внимательности и определенного опыта. Не все методы имеют прикладной характер. Какие-то способы поиска решений более предпочтительны в той иной области деятельности людей, а другие существуют в целях обучения.

2. Метод алгебраического сложения.
3. Метод введения нового переменного (метод замены переменной).

Определение: Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:

— система двух уравнений с двумя переменными x и y .
Решением системы являются корни . При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:

Решение систем линейных уравнений.

Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.

Метод подстановки.

Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:

Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y из второго уравнения системы.
Замечание: «Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:

Оставим слева только y :

И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у выражение, которому оно равно, т.е. .
Первое уравнение:

Подставим :

Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений. .

Итак, значения переменной x найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y . Здесь получилось два значения x , т.е. для каждого из них следует находить значение y .
1) Пусть
Подставляем в выражение .

2) Пусть
Подставляем в выражение .

Все можно составлять ответ:
Замечание: Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ:
Замечание: В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.

Оформим решение этой системы по-школьному:

Замечание: Знак «» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.