Расчет корреляции спирмена. Применение корреляции спирмена и пирсона. Проверка значимости корреляции

На практике для определения тесноты связи двух признаков часто применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Р). Значения каждого признака ранжируются по степени возрастания (от 1 до n), затем определяется разница (d) между рангами, соответствующими одному наблюдению.

Пример №1 . Зависимость между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по 10 областям одного из федеральных округов РФ в 2003 году характеризуется следующими данными.
Вычислите ранговые коэффициенты корреляции Спирмена и Кендэла . Проверить их значимость при α=0,05. Сформулируйте вывод о зависимости между объемом промышленной продукции и инвестициями в основной капитал по рассматриваемым областям РФ.

Присвоим ранги признаку Y и фактору X . Найдем сумму разности квадратов d 2 .
Используя калькулятор , вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

X	Y	ранг X, d x	ранг Y, d y	(d x - d y) 2
1.3	300	1	2	1
1.8	1335	2	12	100
2.4	250	3	1	4
3.4	946	4	8	16
4.8	670	5	7	4
5.1	400	6	4	4
6.3	380	7	3	16
7.5	450	8	5	9
7.8	500	9	6	9
17.5	1582	10	16	36
18.3	1216	11	9	4
22.5	1435	12	14	4
24.9	1445	13	15	4
25.8	1820	14	19	25
28.5	1246	15	10	25
33.4	1435	16	14	4
42.4	1800	17	18	1
45	1360	18	13	25
50.4	1256	19	11	64
54.8	1700	20	17	9
				364

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая.

Оценка коэффициента ранговой корреляции Спирмена

По таблице Стьюдента находим Tтабл.
T табл = (18;0.05) = 1.734
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве нулю коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициента ранговой корреляции Спирмена статистически - значим.

Интервальная оценка для коэффициента ранговой корреляции (доверительный интервал)
Доверительный интервал для коэффициента ранговой корреляции Спирмена: p(0.5431;0.9095).

Пример №2 . Исходные данные.

5	4
3	4
1	3
3	1
6	6
2	2

Так как в матрице имеются связанные ранги (одинаковый ранговый номер) 1-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производиться без изменения важности ранга, то есть между ранговыми номерами должны сохраниться соответствующие соотношения (больше, меньше или равно). Также не рекомендуется ставить ранг выше 1 и ниже значения равного количеству параметров (в данном случае n = 6). Переформирование рангов производится в табл.

		Новые ранги
1	1	1
2	2	2
3	3	3.5
4	3	3.5
5	5	5
6	6	6

Так как в матрице имеются связанные ранги 2-го ряда, произведем их переформирование. Переформирование рангов производится в табл.

Номера мест в упорядоченном ряду	Расположение факторов по оценке эксперта	Новые ранги
1	1	1
2	2	2
3	3	3
4	4	4.5
5	4	4.5
6	6	6

Матрица рангов.

ранг X, d x	ранг Y, d y	(d x - d y) 2
5	4.5	0.25
3.5	4.5	1
1	3	4
3.5	1	6.25
6	6	0
2	2	0
21	21	11.5

Поскольку среди значений признаков х и у встречается несколько одинаковых, т.е. образуются связанные ранги, то в таком случае коэффициент Спирмена вычисляется как:

где


j - номера связок по порядку для признака х;
А j - число одинаковых рангов в j-й связке по х;
k - номера связок по порядку для признака у;
В k - число одинаковых рангов в k-й связке по у.
A = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
B = [(2 3 -2)]/12 = 0.5
D = A + B = 0.5 + 0.5 = 1

Связь между признаком Y и фактором X умеренная и прямая.

Краткая теория

Ранговая корреляция – это метод корреляционного анализа, отражающий отношения переменных, упорядоченных по возрастанию их значения.

Ранги - это порядковые номера единиц совокупности в ранжированном ряду. Если проранжировать совокупность по двум признакам, связь между которыми изучается, то полное совпадение рангов означает максимально тесную прямую связь, а полная противоположность рангов - максимально тесную обратную связь. Ранжировать оба признака необходимо в одном и том же порядке: либо от меньших значений признака к большим, либо наоборот.

Для практических целей использование ранговой корреляции весьма полезно. Например, если установлена высокая ранговая корреляция между двумя качественными признаками изделий, то достаточно контролировать изделия только по одному из признаков, что удешевляет и ускоряет контроль.

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.

Величина коэффициента корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Он может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

Разность между рангами по двум переменным

– число сопоставляемых пар

Первым этапом расчета коэффициента ранговой корреляции является ранжирование рядов переменных. Процедура ранжирования начинается с расположения переменных по возрастанию их значений. Разным значениям присваиваются ранги, обозначаемые натуральными числами. Если встречается несколько равных по значению переменных, им присваивается усредненный ранг.

Преимущество коэффициента корреляции рангов Спирмена состоит в том, что ранжировать можно и по таким признакам, которые нельзя выразить численно: можно проранжировать кандидатов на занятие определенной должности по профессиональному уровню, по умению руководить коллективом, по личному обаянию и т. п. При экспертных оценках можно ранжировать оценки разных экспертов и найти их корреляции друг с другом, чтобы затем исключить из рассмотрения оценки эксперта, слабо коррелированные с оценками других экспертов. Коэффициент корреляции рангов Спирмена применяется для оценки устойчивости тенденции динамики. Недостатком коэффициента корреляции рангов является то, что одинаковым разностям рангов могут соответствовать совершенно отличные разности значений признаков (в случае количественных признаков). Поэтому для последних следует считать корреляцию рангов приближенной мерой тесноты связи, обладающей меньшей информативностью, чем коэффициент корреляции числовых значений признаков.

Пример решения задачи

Условие задачи

Опрос случайно выбранных 10 студентов, проживающих в общежитии университета, позволяет выявить зависимость между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку.

Определите тесноту связи при помощи коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Если возникли сложности с решением задач, то сайт сайт оказывает онлайн помощь студентам по статистике с домашними контрольными или экзаменами.

Решение задачи

Рассчитаем коэффициент корреляции рангов.

№

Ранжирование

Сравнение рангов

Разность рангов

1

26

4.7

8

1

3.1

1

8

10

-2

4

2

22

4.4

10

2

3.6

2

7

9

-2

4

3

8

3.8

12

3

3.7

3

1

4

-3

9

4

12

3.7

15

4

3.8

4

3

3

0

0

5

15

4.2

17

5

3.9

5

4

7

-3

9

6

30

4.3

20

6

4

6

9

8

1

1

7

20

3.6

22

7

4.2

7

6

2

4

16

8

31

4

26

8

4.3

8

10

6

4

16

9

10

3.1

30

9

4.4

9

2

1

1

1

10

17

3.9

31

10

4.7

10

5

5

0

0

Сумма

60

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

Подставляя числовые значения, получаем:

Вывод к задаче

Связь между средним баллом по результатам предыдущей сессии и числом часов в неделю, затраченных студентом на самостоятельную подготовку, умеренной тесноты.

Если сроки со сдачей контрольной работы поджимают, на сайте всегда можно заказать cрочное решение задач по статистике .

Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.

Заявку можно оставить прямо в чате, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.

Примеры близких по теме задач

Коэффициент Фехнера
Приведена краткая теория и рассмотрен пример решения задачи на расчет коэффициента корреляции знаков Фехнера.

Коэффициенты взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона
Страница содержит сведения по методам изучения взаимосвязей между качественными признаками с помощью коэффициентов взаимной сопряженности Чупрова и Пирсона.

Назначение рангового коэффициента корреляции

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тес­ноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя призна­ками или двумя профилями {иерархиями) признаков.

Описание метода

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть:

1) два признака, измеренные в одной и той же группе испытуемых;

2) две индивидуальные иерархии признаков, выявленные у двух испы­туемых по одному и тому же набору признаков (например, личност­ные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.);

3) две групповые иерархии признаков;

4) индивидуальная и групповая иерархии признаков.

Вначале показатели ранжируются отдельно по каждому из признаков. Как правило, меньшему значению признака начисляется меньший ранг.

Рассмотрим случай 1 (два признака). Здесь ранжируются ин­дивидуальные значения по первому признаку, полученные разными ис­пытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.

Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имею­щие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из призна­ков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги. Для под­счета r s необходимо определить разности (d) между рангами, получен­ными данным испытуемым по обоим признакам. Затем эти показатели d определенным образом преобразуются и вычитаются из 1. Чем меньше разности между рангами, тем больше будет r s , тем ближе он будет к +1.

Если корреляция отсутствует, то все ранги будут перемешаны и между ними не будет никакого соответствия. Формула составлена так, что вэтом случае r s , окажется близким к 0.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.

Чем больше несовпадение между рангами испытуемых по двумя переменным, тем ближе r s к -1.

Рассмотрим случай 2 (два индивидуальных профиля). Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемым по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг - признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно. Например, невозможно проранжировать показатели по личностному опроснику Кеттелла (16PF ), если они вы­ражены в "сырых" баллах, поскольку по разным факторам диапазоны значений различны: от 0 до 13, от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не мо­жем сказать, какой из факторов будет занимать первое место по выра­женности, пока не приведем все значения к единой шкале (чаще всего это шкала стенов).

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны поло­жительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е (доминантность) имеет самый низкий ранг, то иу другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого фактор С (эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.

Рассмотрим случай 3 (два групповых профиля). Здесь ранжи­руются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуе­мых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.

Рассмотрим случай 4 (индивидуальный и групповой профили). Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого исреднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые полу­чены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого - он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N. В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборки п. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случае N - это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах. Подробные пояснения даны в примерах.

Если абсолютная величина r s достигает критического значения или превышает его, корреляция достоверна.

Гипотезы

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к случаю 1, второй - к трем остальным случаям.

Первый вариант гипотез

H 0: Корреляция между переменными А и Б не отличается от нуля.

H 1: Корреляция между переменными А и Б достоверно отличается от нуля.

Второй вариант гипотез

H 0: Корреляция между иерархиями А и Б не отличается от нуля.

H 1: Корреляция между иерархиями А и Б достоверно отличается от нуля.

Графическое представление метода ранговой корреляции

Чаще всего корреляционную связь представляют графически в виде облака точек или в виде линий, отражающих общую тенденцию размещения точек в пространстве двух осей: оси признака А и призна­ка Б (см. Рис. 6.2).

Попробуем изобразить ранговую корреляцию в виде двух рядов ранжированных значений, которые попарно соединены линиями (Рис. 6.3). Если ранги по признаку А и по признаку Б совпадают, то между ними оказывается горизонтальная линия, если ранги не совпадают, то линия становится наклонной. Чем больше несовпадение рангов, тем бо­лее наклонной становится линия. Слева на Рис. 6.3 отображена макси­мально высокая положительная корреляция (r в =+1,0) - практически это "лестница". В центре отображена нулевая корреляция - плетенка с неправильными переплетениями. Все ранги здесь перепутаны. Справа отображена максимально высокая отрицательная корреляция (r s =-1,0) -паутина с правильным переплетением линий.

Рис. 6.3. Графическое представление ранговой корреляции:

а) высокая положительная корреляция;

б) нулевая корреляция;

в) высокая отрицательная корреляция

Ограничения коэффициента ранговой корреляции

1. По каждой переменной должно быть представлено не менее 5 на­блюдений. Верхняя граница выборки определяется имеющимися таб­лицами критических значений (Табл.XVI Приложения 1), а именно N ≤40.

2. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена r s при большом коли­честве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым пе­ременным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпа­дающих значений. В случае, если это условие не соблюдается, необ­ходимо вносить поправку на одинаковые ранги. Соответствующая формула дана в примере 4.

Пример 1 - корреляция между двумя признаками

Висследовании, моделирующем деятельность авиадиспетчера (Одерышев Б.С., Шамова Е.П., Сидоренко Е.В., Ларченко Н.Н., 1978), группа испытуемых, студентов физического факультета ЛГУ проходила подготовку перед началом работы на тренажере. Испытуе­мые должны были решать задачи по выбору оптимального типа взлет­но-посадочной полосы для заданного типа самолета. Связано ли коли­чество ошибок, допущенных испытуемыми в тренировочной сессии, с показателями вербального и невербального интеллекта, измеренными по методике Д. Векслера?

Таблица 6.1

Показатели количества ошибок в тренировочной сессии и показатели уровня вербального и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)

Испытуемый		Количество ошибок	Показатель вербального интеллекта	Показатель невербального интеллекта

Сначала попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и вербального интеллекта.

Сформулируем гипотезы.

H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта не отличается от нуля.

H 1 : Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интеллекта статистически значимо отличается от нуля.

Далее нам необходимо проранжировать оба показателя, Приписы­вая меньшему значению меньший ранг, затем подсчитать разности меж­ду рангами, которые получил каждый испытуемый по двум переменным (признакам), и возвести эти разности в квадрат. Произведем все необ­ходимые расчеты в таблице.

В Табл. 6.2 в первой колонке слева представлены значения по показателю количества ошибок; в следующей колонке - их ранги. В третьей колонке слева представлены значения по показателю вербаль­ного интеллекта; в следующем столбце - их ранги. В пятом слева пред­ставлены разности d между рангом по переменной А (количество оши­бок) и переменной Б (вербальный интеллект). В последнем столбце представлены квадраты разностей - d 2 .

Таблица 6.2

Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и вербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)

Испытуемый		Переменная А количество ошибок			Переменная Б вербальный интеллект.				d (ранг А -	J 2
		Индивидуальные значения				Индивидуальные значения

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где d - разность между рангами по двум переменным для каж­дого испытуемого;

N - количество ранжируемых значений, в. данном случае ко­личество испытуемых.

Рассчитаем эмпирическое значение r s:

Полученное эмпирическое значение г s близко к 0. И все же определим критические значения r s при N=10 по Табл. XVI Приложения 1:

Ответ: H 0 принимается. Корреляция между показателем коли­чества ошибок в тренировочной сессии и уровнем вербального интел­лекта не отличается от нуля.

Теперь попробуем ответить на вопрос, связаны ли между собой показатели количества ошибок и невербального интеллекта.

Сформулируем гипотезы.

H 0: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта не отличается от 0.

H 1: Корреляция между показателем количества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интеллекта статистически значимо отличается от 0.

Результаты ранжирования и сопоставления рангов представлены в Табл. 6.3.

Таблица 6.3

Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена r s при сопоставлении показателей количества ошибок и невербального интеллекта у студентов-физиков (N=10)

Испытуемый		Переменная А количество ошибок		Переменная Е невербальный интеллект		d (ранг А -	d 2
		Индивидуальные		Индивидуальные
		значения		значения

Мы помним, что для определения значимости r s неважно, являет­ся ли он положительным или отрицательным, важна лишь его абсолют­ная величина. В данном случае:

r s эмп

Ответ: H 0 принимается. Корреляция между показателем коли­чества ошибок в тренировочной сессии и уровнем невербального интел­лекта случайна, r s не отличается от 0.

Вместе с тем, мы можем обратить внимание на определенную тенденцию отрицательной связи между этими двумя переменными. Возможно, мы смогли бы ее подтвердить на статистически значимом уровне, если бы увеличили объем выборки.

Пример 2 - корреляция между индивидуальными профилями

В исследовании, посвященном проблемам ценностной реориента-ции, выявлялись иерархии терминальных ценностей по методике М. Рокича у родителей и их взрослых детей (Сидоренко Е.В., 1996). Ранги терминальных ценностей, полученные при обследовании пары мать-дочь (матери - 66 лет, дочери - 42 года) представлены в Табл. 6.4. Попытаемся определить, как эти ценностные иерархии коррелиру­ют друг с другом.

Таблица 6.4

Ранги терминальных ценностей по списку М.Рокича в индивидуальных иерархиях матери и дочери

Терминальные ценности	Ранг ценностей в	Ранг ценностей в		d 2
	иерархии матери	иерархии дочери
1 Активная деятельная жизнь
2 Жизненная мудрость
3 Здоровье
4 Интересная работа
5 Красота природы и искусство
7 Материально обеспеченная жизнь
8 Наличие хороших и верных друзей
9 Общественное признание
10 Познание
11 Продуктивная жнзнь
12 Развитие
13 Развлечения
14 Свобода
15 Счастливая семейная жизнь
16 Счастье других
17 Творчество
18 Уверенность в себе

Сформулируем гипотезы.

H 0: Корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери не отличается от нуля.

H 1: Корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически значимо отличается от нуля.

Поскольку ранжирование ценностей предполагается самой проце­дурой исследования, нам остается лишь подсчитать разности между рангами 18 ценностей в двух иерархиях. В 3-м и 4-м столбцах Табл. 6.4 представлены разности d и квадраты этих разностей d 2 .

Определяем эмпирическое значение r s по формуле:

где d - разности между рангами по каждой из переменных, в данном случае по каждой из терминальных ценностей;

N - количество переменных, образующих иерархию, в дан­ном случае количество ценностей.

Для данного примера:

По Табл. XVI Приложения 1 определяем критические значения:

Ответ: H 0 отвергается. Принимается H 1 . Корреляция между иерархиями терминальных ценностей матери и дочери статистически значима (р<0,01) и является положительной.

По данным Табл. 6.4 мы можем определить, что основные рас­хождения приходятся на ценности "Счастливая семейная жизнь", "Общественное признание" и "Здоровье", ранги остальных ценностей достаточно близки.

Пример 3 - корреляция между двумя групповыми иерархиями

Джозеф Вольпе в книге, написанной совместно с сыном (Wolpe J., Wolpe D., 1981) приводит упорядоченный перечень из наиболее час­то встречающихся у современного человека "бесполезных", по его обо­значению, страхов, которые не несут сигнального значения и лишь ме­шают полноценно жить и действовать. В отечественном исследовании, проведенном М.Э. Раховой (1994) 32 испытуемых должны были по 10-балльной шкале оценить, насколько актуальным для них является тот или иной вид страха из перечня Вольпе 3 . Обследованная выборка состояла из студентов Гидрометеорологического и Педагогического ин­ститутов Санкт-Петербурга: 15 юношей и 17 девушек в возрасте от 17 до 28 лет, средний возраст 23 года.

Данные, полученные по 10-балльной шкале, были усреднены по 32 испытуемым, и средние проранжированы. В Табл. 6.5 представлены ранговые показатели, полученные Дж. Вольпе и М. Э. Раховой. Сов­падают ли ранговые последовательности 20 видов страха?

Сформулируем гипотезы.

H 0: Корреляция между упорядоченными перечнями видов страха в аме­риканской и отечественных выборках не отличается от нуля.

H 1: Корреляция между упорядоченными перечнями видов страха в аме­риканской и отечественной выборках статистически значимо отли­чается от нуля.

Все расчеты, связанные с вычислением и возведением в квадрат разностей между рангами разных видов страха в двух выборках, пред­ставлены в Табл. 6.5.

Таблица 6.5

Расчет d для рангового коэффициента корреляции Спирмена при со­поставлении упорядоченных перечней видов страха в американской и отечественной выборках

Виды страха		Ранг в американской выборке	Ранг в российской
	Страх публичного выступления
	Страх полета
	Страх совершить ошибку
	Страх неудачи
	Страх неодобрения
	Страх отвержения
	Страх злых люден
	Страх одиночества
	Страх крови
	Страх открытых ран
	Страх дантиста
	Страх уколов
	Страх прохождения тестов
	Страх полиции ^милиции)
	Страх высоты
	Страх собак
	Страх пауков
	Страх искалеченных людей
	Страх больниц
	Страх темноты

Определяем эмпирическое значение r s:

По Табл. XVI Приложения 1 определяем критические значения г s при N=20:

Ответ: H 0 принимается. Корреляция между упорядоченными перечнями видов страха в американской и отечественной выборках не достигает уровня статистической значимости, т. е. значимо не отличает­ся от нуля.

Пример 4 - корреляция между индивидуальным и среднегрупповым профилями

Выборке петербуржцев в возрасте от 20 до 78 лет (31 мужчина, 46 женщин), уравновешенной по возрасту таким образом, что лица в возрасте старше 55 лет составляли в ней 50% 4 , предлагалось ответить на вопрос: "Какой уровень развития каждого из перечисленных ниже качеств необходим для депутата Городского собрания Санкт-Петербурга?" (Сидоренко Е.В., Дерманова И.Б., Анисимова О.М., Витенберг Е.В., Шульга А.П., 1994). Оценка производилась по 10-балльной шкале. Параллельно с этим обследовалась выборка из депута­тов и кандидатов в депутаты в Городское собрание Санкт-Петербурга (n=14). Индивидуальная диагностика политических деятелей и претен­дентов производилась с помощью Оксфордской системы экспресс-видеодиагностики по тому же набору личностных качеств, который предъявлялся выборке избирателей.

В Табл. 6.6 представлены средние значения, полученные для ка­ждого из качеств в выборке избирателей ("эталонный ряд") и индиви­дуальные значения одного из депутатов Городского собрания.

Попытаемся определить, насколько индивидуальный профиль де­путата К-ва коррелирует с эталонным профилем.

Таблица 6.6

Усредненные эталонные оценки избирателей (п=77) и индивидуальные показатели депутата К-ва по 18 личностным качествам экспресс-видеодиагностики

Наименование качества	Усредненные эталонные оценки избирателей	Индивидуальные показатели депутата К-ва
1. Общий уровень культуры
2. Обучаемость
4. Способность к творчеству нового
5.. Самокритичность
6. Ответственность
7. Самостоятельность
8. Энергия, активность
9. Целеустремленность
10. Выдержка, самообладание
И. Стойкость
12. Личностная зрелость
13. Порядочность
14. Гуманизм
15. Умение общаться с людьми
16. Терпимость к чужому мнению
17. Гибкость поведения
18. Способность производить благоприятное впечатление

Таблица 6.7

Расчет d 2 для рангового коэффициента корреляции Спирмена между эталонным и индивидуальным профилями личностных качеств депутата

Наименование качества	ранг качества в эталонном профиле		Ряд 2: ранг качества в индивидуальном профиле				d 2
1 Ответственность
2 Порядочность
3 Умение общаться с людьми
4 Выдержка, самообладание
5 Общий уровень культуры
6 Энергия, активность
8 Самокритичность
9 Самостоятельность
10 Личностная зрелость
И Целеустремленность
12 Обучаемость
13 Гуманизм
14 Терпимость к чужому мнению
15 Стойкость
16 Гибкость поведения
17 Способность производить благоприятное впечатление
18 Способность к творчеству нового

Как видно из Табл. 6.6, оценки избирателей и индивидуальные показатели депутата варьируют в разных диапазонах. Действительно оценки избирателей были получены по 10-балльной шкале, а индивидуальные показатели по экспресс-видеодиагностике измеряются по 20-ти балльной шкале. Ранжирование позволяет нам перевести обе шкалы измерения в единую шкалу, где единицей измерения будет 1 ранг, а максимальное значение составит 18 рангов.

Ранжирование, как мы помним, необходимо произвести отдельно по каждому ряду значений. В данном случае целесообразно начислять большему значению меньший ранг, чтобы сразу можно было увидеть, на каком месте по значимости (для избирателей) или по выраженности (у депутата) находится то или иное качество.

Результаты ранжирования представлены в Табл. 6.7. Качества перечислены в последовательности, отражающей эталонный профиль.

Сформулируем гипотезы.

H 0: Корреляция между индивидуальным профилем депутата К-ва и эталонным профилем, построенным по оценкам избирателей, не от­личается от нуля.

H 1: Корреляция между индивидуальным профилем депутата К-ва и эталонным профилем, построенным по оценкам избирателей, стати­стически значимо отличается от нуля. Поскольку в обоих сопоставляемых ранговых рядах присутствуют

группы одинаковых рангов, перед подсчетом коэффициента ранговой

корреляции необходимо внести поправки на одинаковые ранги Т а и Т b :

где а - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду А,

b - объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом ряду В.

В данном случае, в ряду А (эталонный профиль) присутствует одна группа одинаковых рангов - качества "обучаемость" и "гуманизм" имеют один и тот же ранг 12,5; следовательно, а =2.

T а =(2 3 -2)/12=0,50.

В ряду В (индивидуальный профиль) присутствует две группы одинаковых рангов, при этом b 1 =2 и b 2 =2.

T a =[(2 3 -2)+(2 3 -2)]/12=1,00

Для подсчета эмпирического значения r s используем формулу

В данном случае:

Заметим, что если бы поправка на одинаковые ранги нами не вносилась, то величина r s была бы лишь на (на 0,0002) выше:

При больших количествах одинаковых рангов изменения г 5 могут оказаться гораздо более существенными. Наличие одинаковых рангов означает меньшую степень дифференцированное™ упорядоченных переменных и, следовательно, меньшую возможность оценить степень связи между ними (Суходольский Г.В., 1972, с.76).

По Табл. XVI Приложения 1 определяем критические значения г, при N=18:

Ответ: Hq отвергается. Корреляция между индивидуальным профилем депутата К-ва и эталонным профилем, отвечающим требова­ниям избирателей, статистически значима (р<0,05) и является положи­тельной.

Из Табл. 6.7 видно, что депутат К-в имеет более низкий ранг по шкалам Умения общаться с людьми и более высокие ранги по шкалам Целеустремленности и Стойкости, чем это предписывается избиратель­ским эталоном. Этими расхождениями, главным образом, и объясняется некоторое снижение полученного r s .

Сформулируем общий алгоритм подсчета r s .

Студента-психолога (социолога, менеджера, управленца и др.) нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых группах.

В математике для описания связей между переменными величинами используют понятие функции F, которая ставит в соответствие каждому определенному значению независимой переменной X определенное значение зависимой переменной Y. Полученная зависимость обозначается как Y=F(X).

При этом виды корреляционных связей между измеренными признаками могут быть различны: так, корреляция бывает линейной и нелинейной, положительной и отрицательной. Она линейна - если с увеличением или уменьшением одной переменной X,вторая переменная Y в среднем либо также растет, либо убывает. Она нелинейна, если при увеличении одной величины характер изменения второй не линеен, а описывается другими законами.

Корреляция будет положительной, если с увеличением переменной X переменная Y в среднем также увеличивается, а если с увеличением X переменная Y имеет в среднем тенденцию к уменьшению, то говорят о наличии отрицательной корреляции. Возможна ситуация, когда между переменными невозможно установить какую-либо зависимость. В этом случае говорят об отсутствии корреляционной связи.

Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.

Ранговый коэффициент линейной корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);
D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;
D2 - сумма квадратов разностей рангов.

Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена представлены ниже:

Величина коэффициента линейной корреляции Спирмена лежит в интервале +1 и -1. Коэффициент линейной корреляции Спирмена может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

Если коэффициент корреляции по модулю оказывается близким к 1, то это соответствует высокому уровню связи между переменными. Так, в частности, при корреляции переменной величины с самой собой величина коэффициента корреляции будет равна +1. Подобная связь характеризует прямо пропорциональную зависимость. Если же значения переменной X будут распложены в порядке возрастания, а те же значения (обозначенные теперь уже как переменная Y) будут располагаться в порядке убывания, то в этом случае корреляция между переменными Х и Y будет равна точно -1. Такая величина коэффициента корреляции характеризует обратно пропорциональную зависимость.

Знак коэффициента корреляции очень важен для интерпретации полученной связи. Если знак коэффициента линейной корреляции - плюс, то связь между коррелирующими признаками такова, что большей величине одного признака (переменной) соответствует большая величина другого признака (другой переменной). Иными словами, если один показатель (переменная) увеличивается, то соответственно увеличивается и другой показатель (переменная). Такая зависимость носит название прямо пропорциональной зависимости.

Если же получен знак минус, то большей величине одного признака соответствует меньшая величина другого. Иначе говоря, при наличии знака минус, увеличению одной переменной (признака, значения) соответствует уменьшение другой переменной. Такая зависимость носит название обратно пропорциональной зависимости. При этом выбор переменной, которой приписывается характер (тенденция) возрастания - произволен. Это может быть как переменная X, так и переменная Y. Однако если считается, что увеличивается переменная X, то переменная Y будет соответственно уменьшаться, и наоборот.

Рассмотрим пример корреляции Спирмена.

Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.

Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в таблице:

Подставляем полученные данные в вышеприведенную формулу, и производим расчет. Получаем:

Для нахождения уровня значимости обращаемся к таблице «Критические значения коэффициента корреляции рангов Спирмена,» в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.

Строим соответствующую «ось значимости»:

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью - иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Н0) гипотезу о сходстве и принять альтернативную (Н1) о наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Корреляция спирмена. Корреляционный анализ по методу спирмена. Ранги спирмена. Коэффициент корреляции Спирмена. Ранговая корреляция Спирмена

- это количественная оценка статистического изучения связи между явлениями, используемая в непараметрических методах.

Показатель показывает, как отличается полученная при наблюдении сумма квадратов разностей между рангами от случая отсутствия связи.

Назначение сервиса . С помощью данного онлайн-калькулятора производится:

• расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена;
• вычисление доверительного интервала для коэффициента и оценка его значимости;

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена относится к показателям оценки тесноты связи. Качественную характеристику тесноты связи коэффициента ранговой корреляции, как и других коэффициентов корреляции, можно оценить по шкале Чеддока .

Расчет коэффициента состоит из следующих этапов:

Свойства коэффициента ранговой корреляции Спирмена

Область применения . Коэффициент корреляции рангов используется для оценки качества связи между двумя совокупностями. Кроме этого, его статистическая значимость применяется при анализе данных на гетероскедастичность .

Пример . По выборке данных наблюдаемых переменных X и Y:

1. составить ранговую таблицу;
2. найти коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверить его значимость на уровне 2a
3. оценить характер зависимости

Решение. Присвоим ранги признаку Y и фактору X .

X	Y	ранг X, d x	ранг Y, d y
28	21	1	1
30	25	2	2
36	29	4	3
40	31	5	4
30	32	3	5
46	34	6	6
56	35	8	7
54	38	7	8
60	39	10	9
56	41	9	10
60	42	11	11
68	44	12	12
70	46	13	13
76	50	14	14

Матрица рангов.

ранг X, d x	ранг Y, d y	(d x - d y) 2
1	1	0
2	2	0
4	3	1
5	4	1
3	5	4
6	6	0
8	7	1
7	8	1
10	9	1
9	10	1
11	11	0
12	12	0
13	13	0
14	14	0
105	105	10

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:

Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.
По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.


Связь между признаком Y и фактором X сильная и прямая
Значимость коэффициента ранговой корреляции Спирмена
Для того чтобы при уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена при конкурирующей гипотезе H i . p ≠ 0, надо вычислить критическую точку:

где n - объем выборки; ρ - выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена: t(α, к) - критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n-2.
Если |p| < Т kp - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками не значима. Если |p| > T kp - нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
По таблице Стьюдента находим t(α/2, k) = (0.1/2;12) = 1.782

Поскольку T kp < ρ , то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции Спирмена. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - значим и ранговая корреляционная связь между оценками по двум тестам значимая.