Построение графика в методе симпсона. Смотреть что такое "Метод Симпсона" в других словарях

Практически трудно найти такое значение с , при котором (b-a) f (c) в точности равнялось бы . Для получения более точного значения площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны y 0 , y 1 , y 2 , …,y n -1 и основания .

Если суммировать площади прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция --- неубывающая, то вместо формулы используют формулу

Если с избытком, то

Значения находят из равенств . Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным.

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников

Разделим промежуток интегрирования на 5 частей. Тогда . При помощи калькулятора или таблицы найдем значения подынтегральной функции (с точностью до 4-х знаков после запятой):

По формуле прямоугольников (с недостатком)

С другой стороны по формуле Ньютона-Лейбница

Найдем относительную погрешность вычисления по формуле прямоугольников:

Вычисление интегралов по формулам трапеций. Оценка погрешности:

Геометрический смысл следующего способа приближенного вычисления интегралов состоит в том, что нахождение площади приблизительно равновеликой «прямолинейной» трапеции.

Пусть необходимо вычислить площадь А 1 АmBB 1 криволинейной трапеции, выражаемую формулой .

Заменим дугу AmB хордой AB и вместо площади криволинейной трапеции А 1 АmBB 1 вычислим площадь трапеции А 1 АBB 1 : , где AA 1 и ВВ 1 -- основания трапеции, а A 1 В 1 –ее высота.

Обозначим f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. высота трапеции A 1 B 1 =b-a, площадь . Следовательно, или

Это так называемая малая формула трапеций .

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

Видно, что

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Определение 1

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

Решение

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Производим подстановку:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки :

Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем

-

Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(3.35)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид

(3.36)

Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.

Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл

Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим

Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).

Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .

Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона

Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.

Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.

Навигация по странице.

Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок на n элементарных отрезков длины точками . Пусть точки являются серединами отрезков соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства .

Суть метода парабол.

На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой , проходящей через точки . Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .

Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x) , синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).

В силу пятого свойства определенного интеграла имеем .

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить .

Пусть (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n ).

Сделаем чертеж.

Покажем, что через точки проходит только одна квадратичная парабола . Другими словами, докажем, что коэффициенты определяются единственным образом.

Так как - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда , а он отличен от нуля для несовпадающих точек . Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье ), то есть, коэффициенты определяются единственным образом, и через точки проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла .

Очевидно:

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.

Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).

Разберем применение метода Симпсона (парабол) при приближенном вычислении определенных интегралов.

Обычно встречается два типа заданий:

Возникает логичный вопрос: "С какой степенью точности проводить промежуточные вычисления"?

Ответ прост - точность промежуточных вычислений должна быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с точностью на 3-4 порядка выше, чем порядок . Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n - чем больше n , тем точнее следует проводить промежуточные вычисления.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение.

Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5 ; .

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид . Для ее применения нам требуется вычислить шаг , определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции .

Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг .

Переходим к узлам и значениям функции в них:

Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:

Подставляем полученные результаты в формулу метода парабол:

Мы специально взяли определенный интеграл, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить результаты.

Результаты совпадают с точностью до сотых.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона с точностью до 0.001 .

Решение.

В нашем примере a = 0 , .

Первым делом нам нужно определить n . Для этого обратимся к неравенству для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона . Можно сказать, что если мы найдем n , для которого будет выполняться неравенство , то при использовании метода парабол для вычисления исходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превысит 0.001 . Последнее неравенство можно переписать в виде .

Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль четвертой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

есть интервал , а отрезок интегрирования содержит точки экстремума, поэтому .

Подставляем найденное значение в неравенство и решим его:

Так как n является натуральным числом (это же количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 5, 6, 7, … Чтобы не делать лишних вычислений, возьмем n = 5 .

Теперь действуем как в предыдущем примере. В промежуточных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг .

Находим узлы и значения подынтегральной функции в них:

Результаты вычислений объединяем в таблицу:

Подставляем значения в формулу метода парабол:

Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное значение определенного интеграла с точностью до 0.001 .

Действительно, вычислив исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, получаем

Замечание.

Нахождение во многих случаях затруднительно. Можно обойтись без этого, применив альтернативный подход к использованию метода парабол. Его принцип описан в разделе метод трапеций , так что не будем повторяться.

Какой же метод применять при численном интегрировании?

Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.

Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на результат при больших n , что может отдалить приближенное значение от точного.