Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Где y x - расчетное значение по уравнению.

Значение средней ошибки аппроксимации до 15% свидетельствует о хорошо подобранной модели уравнения.

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков.

Требуется:
1. Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
а) линейной;
б) степенной;
в) показательной;
г) равносторонней гиперболы (так же нужно придумать как предварительно линеаризовать данную модель).
2. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации А ср и F-критерий Фишера.

Решение проводим при помощь онлайн калькулятора Линейное уравнение регрессии .
а) линейное уравнение регрессии;
Использование графического метода .
Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.
Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).
Причины существования случайной ошибки:
1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;
2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.
3. Неправильное описание структуры модели;
4. Неправильная функциональная спецификация;
5. Ошибки измерения.
Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:
1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β
2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;
Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Получаем b = -0.35, a = 76.88
Уравнение регрессии:
y = -0.35 x + 76.88

x	y	x 2	y 2	x y	y(x)	(y i -y cp) 2	(y-y(x)) 2	|y - y x |:y
45,1	68,8	2034,01	4733,44	3102,88	61,28	119,12	56,61	0,1094
59	61,2	3481	3745,44	3610,8	56,47	10,98	22,4	0,0773
57,2	59,9	3271,84	3588,01	3426,28	57,09	4,06	7,9	0,0469
61,8	56,7	3819,24	3214,89	3504,06	55,5	1,41	1,44	0,0212
58,8	55	3457,44	3025	3234	56,54	8,33	2,36	0,0279
47,2	54,3	2227,84	2948,49	2562,96	60,55	12,86	39,05	0,1151
55,2	49,3	3047,04	2430,49	2721,36	57,78	73,71	71,94	0,172
384,3	405,2	21338,41	23685,76	22162,34	405,2	230,47	201,71	0,5699

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(45.1) = -0.35*45.1 + 76.88 = 61.28
y(59) = -0.35*59 + 76.88 = 56.47
... ... ...

Ошибка аппроксимации
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

F-статистики. Критерий Фишера.










3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

< Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

б) степенная регрессия ;
Решение проводится с помощью сервиса Нелинейная регрессия . При выборе укажите Степенная y = ax b
в) показательная регрессия;
г) модель равносторонней гиперболы.
Система нормальных уравнений.

Для наших данных система уравнений имеет вид
7a + 0.1291b = 405.2
0.1291a + 0.0024b = 7.51
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение
Получаем b = 1054.67, a = 38.44
Уравнение регрессии:
y = 1054.67 / x + 38.44
Ошибка аппроксимации.
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 15%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Критерий Фишера.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m – число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H 0: R 2 =0 на уровне значимости α.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=5, Fkp = 6.61
Поскольку фактическое значение F < Fkp, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Excel располагает средствами, позволяющими прогнозировать процессы. Задача аппроксимации возникает в случае необходимости аналитически описать явления, имеющие место в жизни и заданные в виде таблиц, содержащих значения аргумента (аргументов) и функции. Если зависимость удается найти, можно сделать прогноз о поведении исследуемой системы в будущем и, возможно, выбрать оптимальное направление ее развития. Такая аналитическая функция (называемая еще трендом) может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности системы и желаемой точности представления.

10.1. Линейная регрессия

Самый простой и популярной является аппроксимация прямой линией – линейная регрессия.

Пусть мы имеем фактическую информацию об уровнях прибыли Y в зависимости от размера X капиталовложений – Y(X). На рис. 10.1-1 показаны четыре такие точки М(Y,X). Пусть также у нас имеются основания предполагать, что зависимость эта линейная, т.е. имеет вид Y=А+ВX. Если бы нам удалось найти коэффициенты A и B и по ним построить прямую (например, такую, как на рисунке), в дальнейшем мы могли бы сделать осознанные предположения о динамике бизнеса и возможном коммерческом состоянии предприятия в будущем. Очевидно, что нас бы устроила прямая, находящаяся как можно ближе к известным точкам М(Y,X), т.е. имеющая минимальную сумму отклонений или сумму ошибок (на рисунке отклонения показаны пунктирными линиями). Известно, что существует только одна такая прямая.

Для решения этой задачи используют метод наименьших квадратов ошибок. Разность (ошибка) между известным значением Y1 точки М1(Y1,X1) и значением Y(X1), вычисленным по уравнению прямой для того же значения X1, составит

D1 = Y1 – A – B X1.

Такая же разность

для X=X2 составит D2 = Y2 – A – B X2;

для X=X3 D3 = Y3 – A – B X3;

и для X=X4 D4 = Y4 – A – B X4.

Запишем выражение для суммы квадратов этих ошибок

Ф(A,В)=(Y1–A–B X1) 2 +(Y2–A–B X2) 2 +(Y3–A–B X3) 2 +(Y4–A–B X4) 2

или сокращенно Ф(B,A) = å(Yi – A – BXi) 2 .

Здесь нам известны все X и Y и неизвестны коэффициенты A и B. Проведем искомую прямую так (т.е. выберем A и B такими), чтобы эта сумма квадратов ошибок Ф(A,B) была минимальной. Условиями минимальности являются известные соотношения

¶Ф(A,B)/¶A=0 и ¶Ф(A,B)/¶B=0.

Выведем эти выражения (индексы при знаке суммы опускаем):

¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶A = å(Yi–A–B Xi)(–1)

¶[å(Yi–A–B Xi) 2 ]/¶B = å(Yi–A–B Xi)(–Xi).

Преобразуем полученные формулы и приравняем их нулю

Среди различных методов прогнозирования нельзя не выделить аппроксимацию. С её помощью можно производить приблизительные подсчеты и вычислять планируемые показатели, путем замены исходных объектов на более простые. В Экселе тоже существует возможность использования данного метода для прогнозирования и анализа. Давайте рассмотрим, как этот метод можно применить в указанной программе встроенными инструментами.

Наименование данного метода происходит от латинского слова proxima – «ближайшая» Именно приближение путем упрощения и сглаживания известных показателей, выстраивание их в тенденцию и является его основой. Но данный метод можно использовать не только для прогнозирования, но и для исследования уже имеющихся результатов. Ведь аппроксимация является, по сути, упрощением исходных данных, а упрощенный вариант исследовать легче.

Главный инструмент, с помощью которого проводится сглаживания в Excel – это построение линии тренда. Суть состоит в том, что на основе уже имеющихся показателей достраивается график функции на будущие периоды. Основное предназначение линии тренда, как не трудно догадаться, это составление прогнозов или выявление общей тенденции.

Но она может быть построена с применением одного из пяти видов аппроксимации:

• Линейной;
• Экспоненциальной;
• Логарифмической;
• Полиномиальной;
• Степенной.

Рассмотрим каждый из вариантов более подробно в отдельности.

Способ 1: линейное сглаживание

Прежде всего, давайте рассмотрим самый простой вариант аппроксимации, а именно с помощью линейной функции. На нем мы остановимся подробнее всего, так как изложим общие моменты характерные и для других способов, а именно построение графика и некоторые другие нюансы, на которых при рассмотрении последующих вариантов уже останавливаться не будем.

Прежде всего, построим график, на основании которого будем проводить процедуру сглаживания. Для построения графика возьмем таблицу, в которой помесячно указана себестоимость единицы продукции, производимой предприятием, и соответствующая прибыль в данном периоде. Графическая функция, которую мы построим, будет отображать зависимость увеличения прибыли от уменьшения себестоимости продукции.

Сглаживание, которое используется в данном случае, описывается следующей формулой:

В конкретно нашем случае формула принимает такой вид:

y=-0,1156x+72,255

Величина достоверности аппроксимации у нас равна 0,9418 , что является довольно приемлемым итогом, характеризующим сглаживание, как достоверное.

Способ 2: экспоненциальная аппроксимация

Теперь давайте рассмотрим экспоненциальный тип аппроксимации в Эксель.

Общий вид функции сглаживания при этом такой:

где e – это основание натурального логарифма.

В конкретно нашем случае формула приняла следующую форму:

y=6282,7*e^(-0,012*x)

Способ 3: логарифмическое сглаживание

Теперь настала очередь рассмотреть метод логарифмической аппроксимации.

В общем виде формула сглаживания выглядит так:

где ln – это величина натурального логарифма. Отсюда и наименование метода.

В нашем случае формула принимает следующий вид:

y=-62,81ln(x)+404,96

Способ 4: полиномиальное сглаживание

Настал черед рассмотреть метод полиномиального сглаживания.

Формула, которая описывает данный тип сглаживания, приняла следующий вид:

y=8E-08x^6-0,0003x^5+0,3725x^4-269,33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Способ 5: степенное сглаживание

В завершении рассмотрим метод степенной аппроксимации в Excel.

Данный способ эффективно используется в случаях интенсивного изменения данных функции. Важно учесть, что этот вариант применим только при условии, что функция и аргумент не принимают отрицательных или нулевых значений.

Общая формула, описывающая данный метод имеет такой вид:

В конкретно нашем случае она выглядит так:

y = 6E+18x^(-6,512)

Как видим, при использовании конкретных данных, которые мы применяли для примера, наибольший уровень достоверности показал метод полиномиальной аппроксимации с полиномом в шестой степени (0,9844 ), наименьший уровень достоверности у линейного метода (0,9418 ). Но это совсем не значит, что такая же тенденция будет при использовании других примеров. Нет, уровень эффективности у приведенных выше методов может значительно отличаться, в зависимости от конкретного вида функции, для которой будет строиться линия тренда. Поэтому, если для этой функции выбранный метод наиболее эффективен, то это совсем не означает, что он также будет оптимальным и в другой ситуации.

Если вы пока не можете сразу определить, основываясь на вышеприведенных рекомендациях, какой вид аппроксимации подойдет конкретно в вашем случае, то есть смысл попробовать все методы. После построения линии тренда и просмотра её уровня достоверности можно будет выбрать оптимальный вариант.

Microsoft Excel (также иногда называется Microsoft Office Excel) -- программа для работы с электронными таблицами, созданная корпорацией Microsoft для Microsoft Windows, Windows NT и Mac OS. Она предоставляет возможности экономико-статистических расчетов, графические инструменты и, за исключением Excel 2008 под Mac OS X, язык макропрограммирования VBA (Visual Basic для приложений). Microsoft Excel входит в состав Microsoft Office и на сегодняшний день Excel является одним из наиболее популярных приложений в мире.

В MS Excel аппроксимация экспериментальных данных осуществляется путем построения их графика (x - отвлеченные величины) или точечного графика (x - имеет конкретные значения) с последующим подбором подходящей аппроксимирующей функции (линии тренда).

Возможны следующие варианты функций:

· Линейная - y=ax+b. Обычно применяется в простейших случаях, когда экспериментальные данные возрастают или убывают с постоянной скоростью.

· Полиномиальная - y=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +…+a n x n , где до шестого порядка включительно (n?6), a i - константы. Используется для описания экспериментальных данных, попеременно возрастающих и убывающих. Степень полинома определяется количеством экстремумов (максимумов или минимумов) кривой. Полином второй степени можно описать только один максимум или минимум, полином третьей степени может иметь один или два экстремума, четвертой степени - не более трех экстремумов и т.д.

· Логарифмическая - y=a·lnx+b, где a и b - константы, ln - функция натурального логарифма. Функция применяется для описания экспериментальных данных, которые вначале быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются.

· Степенная - y=b·x a , где a и b - константы. Аппроксимация степенной функцией используется для экспериментальных данных с постоянно увеличивающейся (или убывающей) скоростью роста. Данные не должны иметь нулевых или отрицательных значений.

· Экспоненциальная - y=b·e ax , a и b - константы, e - основание натурального логарифма. Применяется для описания экспериментальных данных, которые быстро растут или убывают, а затем постепенно стабилизируются. Часто ее использование вытекает из теоретических соображений.

Степень близости аппроксимации экспериментальных данных выбранной функцией оценивается коэффициентом детерминации (R 2). Таким образом, если есть несколько подходящих вариантов типов аппроксимирующих функций, можно выбрать функцию с большим коэффициентом детерминации (стремящимся к 1).

Аппроксимация экспериментальных данных в программе MathCAD

MathCAD -- это специфический язык программирования, который позволяет облегчить решение математических уравнений. MathCAD -- система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. MathCAD идеально подходит для осуществления математического моделирования -- осуществляя решение разного рода уравнений и создавая отчет о полученных результатах.

В MathCAD совсем немного типов данных по сравнению с универсальными языками программирования -- всего три. Кратко охарактеризуем их (более детально они будут описаны позже).

Числа (как действительные, так и комплексные): все числа MathCAD хранит в одном формате (с плавающей точкой двойной точности), не разделяя их на целые и действительные. На одно число выделяется 64 бита. При этом десятичная часть не может превышать по длине 17 знаков, а порядок должен лежать между -307 и 307. Комплексные числа на уровне реализации представляют собой пару действительных чисел. При этом во многих видах расчетов число воспринимается как комплексное, даже если у него нет мнимой части. Описанные особенности чисел в MathCAD касаются только численных расчетов. При работе в символьном режиме совершенно другие уровни точности.

Строки: в общем случае любой текст, заключенный в кавычки. На практике строки используются в основном для задания сообщений об ошибках, возникших при работе программ на языке MathCAD.

Массивы: к ним относятся матрицы, векторы, тензоры, таблицы -- любые упорядоченные последовательности элементов произвольного типа. К данным этого типа можно отнести и ранжированные переменные. В отдельную группу следует выделить так называемые размерные переменные, то есть единицы измерения, имеющие огромное значение в науке и технике. В MathCAD нет логического типа данных. Для обозначения истины и лжи логическими операторами и функциями используются числа -- 0 и 1.

В MathCAD существует несколько функций, позволяющих выполнить регрессию с использованием зависимостей, наиболее часто встречающихся на практике. Таких функций в MathCAD всего шесть. Вот некоторые из них:

· expfit(vx,vy,vg) - регрессия экспоненциальной функцией y = a*e b*x +c.

· sinfit(vx,vy,vg) - регрессия синусоидальной функцией y = a*sin(x+b)+c.

· pwrfit(vx,vy,vg) - регрессия степенной функцией e = a*x b +c.

Перечисленные функции используют трехпараметрическую аппроксимирующую функцию, нелинейную по параметрам. При вычислении оптимальных значений трех параметров регрессионной функции по методу наименьших квадратов возникает необходимость в решении сложной системы из трех нелинейных уравнений. Такая система часто может иметь несколько решений. Поэтому в функциях MathCAD, которые проводят регрессию трехпараметрическими зависимостями, введен дополнительный аргумент vg. Данный аргумент - это трехкомпонентный вектор, содержащий приблизительные значения параметров a,b и c, входящих в аппроксимирующую функцию. Неправильный выбор элементов вектора vg может привести к неудовлетворительному результату регрессии. В MathCAD существуют средства для проведения регрессии самого общего вида. Это означает, что можно использовать любые функции в качестве аппроксимирующих и находить оптимальные значения любых их параметров, как линейных, так и нелинейных. В том случае, если регрессионная функция является линейной по всем параметрам, т.е. представляет линейную комбинацию жестко заданных функций, провести регрессию можно с помощью встроенной функции linfit(vx,vy,F). Аргумент F - это векторная функция, из элементов которой должна быть построена линейная комбинация, наилучшим образом аппроксимирующая заданную последовательность точек. Результатом работы функции linfit является вектор линейных коэффициентов. Каждый элемент этого вектора - коэффициент при функции, стоящей на соответствующем месте в векторе F. Таким образом, для того чтобы получить регрессионную функцию, достаточно скалярно перемножить эти два вектора.

По территориям региона приводятся данные за 200Х г.

Номер региона	Среднедушевой прожиточный минимум в день одного трудоспособного, руб., х	Среднедневная заработная плата, руб., у
1	78	133
2	82	148
3	87	134
4	79	154
5	89	162
6	106	195
7	67	139
8	88	158
9	73	152
10	87	162
11	76	159
12	115	173

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнения линейной регрессии

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

Решение:

Решим данную задачу с помощью Excel.

1. Сопоставив имеющиеся данные х и у, например, ранжировав их в порядке возрастания фактора х, можно наблюдать наличие прямой зависимости между признаками, когда увеличение среднедушевого прожиточного минимума увеличивает среднедневную заработную плату. Исходя из этого, можно сделать предположение, что связь между признаками прямая и её можно описать уравнением прямой. Этот же вывод подтверждается и на основе графического анализа.

Чтобы построить поле корреляции можно воспользоваться ППП Excel. Введите исходные данные в последовательности: сначала х, затем у.

Выделите область ячеек, содержащую данные.

Затем выберете: Вставка / Точечная диаграмма / Точечная с маркерами как показано на рисунке 1.

Рисунок 1 Построение поля корреляции

Анализ поля корреляции показывает наличие близкой к прямолинейной зависимости, так как точки расположены практически по прямой линии.

2. Для расчёта параметров уравнения линейной регрессии
воспользуемся встроенной статистической функцией ЛИНЕЙН .

Для этого:

1) Откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;
2) Выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики.
3) Активизируйте Мастер функций : в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию .
4) В окне Категория выберете Статистические , в окне функция - ЛИНЕЙН . Щёлкните по кнопке ОК как показано на Рисунке 2;

Рисунок 2 Диалоговое окно «Мастер функций»

5) Заполните аргументы функции:

Известные значения у

Известные значения х

Константа - логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щёлкните по кнопке ОК ;

Рисунок 3 Диалоговое окно аргументов функции ЛИНЕЙН

6) В левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем на комбинацию клавиш ++ .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента b	Значение коэффициента a
Стандартная ошибка b	Стандартная ошибка a
Стандартная ошибка y
F-статистика
Регрессионная сумма квадратов

Рисунок 4 Результат вычисления функции ЛИНЕЙН

Получили уровнение регрессии:

Делаем вывод: С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

Означает, что 52% вариации заработной платы (у) объясняется вариацией фактора х - среднедушевого прожиточного минимума, а 48% - действием других факторов, не включённых в модель.

По вычисленному коэффициенту детерминации можно рассчитать коэффициент корреляции: .

Связь оценивается как тесная.

4. С помощью среднего (общего) коэффициента эластичности определим силу влияния фактора на результат.

Для уравнения прямой средний (общий) коэффициент эластичности определим по формуле:

Средние значения найдём, выделив область ячеек со значениями х, и выберем Формулы / Автосумма / Среднее , и то же самое произведём со значениями у.

Рисунок 5 Расчёт средних значений функции и аргумент

Таким образом, при изменении среднедушевого прожиточного минимума на 1% от своего среднего значения среднедневная заработная плата изменится в среднем на 0,51%.

С помощью инструмента анализа данных Регрессия можно получить:
- результаты регрессионной статистики,
- результаты дисперсионного анализа,
- результаты доверительных интервалов,
- остатки и графики подбора линии регрессии,
- остатки и нормальную вероятность.

Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к Пакету анализа . В главном меню последовательно выберите: Файл/Параметры/Надстройки .

2) В раскрывающемся списке Управление выберите пункт Надстройки Excel и нажмите кнопку Перейти.

3) В окне Надстройки установите флажок Пакет анализа , а затем нажмите кнопку ОК .

Если Пакет анализа отсутствует в списке поля Доступные надстройки , нажмите кнопку Обзор , чтобы выполнить поиск.

Если выводится сообщение о том, что пакет анализа не установлен на компьютере, нажмите кнопку Да , чтобы установить его.

4) В главном меню последовательно выберите: Данные / Анализ данных / Инструменты анализа / Регрессия , а затем нажмите кнопку ОК .

5) Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода:

Входной интервал Y - диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал X - диапазон, содержащий данные факторного признака;

Метки - флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа - ноль - флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал - достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

6) Новый рабочий лист - можно задать произвольное имя нового листа.

Затем нажмите кнопку ОК .

Рисунок 6 Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных задачи представлены на рисунке 7.

Рисунок 7 Результат применения инструмента регрессия

5. Оценим с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений. Воспользуемся результатами регрессионного анализа представленного на Рисунке 8.

Рисунок 8 Результат применения инструмента регрессия «Вывод остатка»

Составим новую таблицу как показано на рисунке 9. В графе С рассчитаем относительную ошибку аппроксимации по формуле:

Рисунок 9 Расчёт средней ошибки аппроксимации

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается по формуле:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 - 10%.

6. Из таблицы с регрессионной статистикой (Рисунок 4) выпишем фактическое значение F-критерия Фишера:

Поскольку при 5%-ном уровне значимости, то можно сделать вывод о значимости уравнения регрессии (связь доказана).

8. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведём с помощью t-статистики Стьюдента и путём расчёта доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу Н 0 о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

.

для числа степеней свободы

На рисунке 7 имеются фактические значения t-статистики:

t-критерий для коэффициента корреляции можно рассчитать двумя способами:

I способ:

где - случайная ошибка коэффициента корреляции.

Данные для расчёта возьмём из таблицы на Рисунке 7.

II способ:

Фактические значения t-статистики превосходят табличные значения:

Поэтому гипотеза Н 0 отклоняется, то есть параметры регрессии и коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Доверительный интервал для параметра a определяется как

Для параметра a 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как

Для коэффициента регрессии b 95%-ные границы как показано на рисунке 7 составили:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры a и b, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Тогда прогнозное значение прожиточного минимума составит:

Ошибку прогноза рассчитаем по формуле:

где

Дисперсию посчитаем также с помощью ППП Excel. Для этого:

1) Активизируйте Мастер функций : в главном меню выберете Формулы / Вставить функцию .

3) Заполните диапазон, содержащий числовые данные факторного признака. Нажмите ОК .

Рисунок 10 Расчёт дисперсии

Получили значение дисперсии

Для подсчёта остаточной дисперсии на одну степень свободы воспользуемся результатами дисперсионного анализа как показано на Рисунке 7.

Доверительные интервалы прогноза индивидуальных значений у при с вероятностью 0,95 определяются выражением:

Интервал достаточно широк, прежде всего, за счёт малого объёма наблюдений. В целом выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надёжным.

Условие задачи взято из: Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 192 с.: ил.