Определить критерием гурвица устойчивость системы. Алгоритмическая форма критерия гурвица. Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях

Является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста . К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам - малая наглядность.

Формулировка

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от до

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше ставятся нули.

Тогда согласно критерию Гурвица :

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

См. также

Система находится на границе апериодической устойчивости, если a с индексом n будет равна 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.

Литература

Четаев Н.Г. Устойчивость движения.- Москва: Наука, 1965.-234 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Критерий Гурвица" в других словарях:

критерий Гурвица - Hurwitzo kriterijus statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Hurwitz s criterion vok. Hurwitzkriterium, n rus. критерий Гурвица, m pranc. critère de Hurwitz, m ryšiai: sinonimas – Hurvico kriterijus … Automatikos terminų žodynas

Критерий Сэвиджа один из критериев принятия решений в условиях неопределённости. Условиями неопределённости считается ситуация, когда последствия принимаемых решений неизвестны, и можно лишь приблизительно их оценить. Для принятия решения… … Википедия

Критерий устойчивости Рауса Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицом. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства… … Википедия

Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия

Критерий устойчивости Гурвица один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических… … Википедия - Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по её разомкнутой АФЧХ. Является одним из частотных критериев устойчивости. С помощью этого критерия оценить устойчивость… … Википедия

Критерий устойчивости Найквиста Михайлова один из способов судить об устойчивости замкнутой системы управления по амплитудно фазовой частотной характеристике её разомкнутого состояния. Является одним из частотных критериев… … Википедия

Критерии устойчивости

Определение устойчивости АСУ по корням характеристического уравнения сопряжено с большими трудностями, связанными с решением дифференциального уравнения и большим объемом вычислений. Поэтому в практике ТАУ для определения устойчивости чаще используют критерии устойчивости.

Критерием устойчивости называется совокупность правил, методов или алгоритмов, которые позволяют судить об устойчивости АСУ без решения характеристического уравнения, используя другие признаки. Все критерии можно разделить на две группы: алгебраические критерии устойчивости и частотные критерии устойчивости. К алгебраическим критериям устойчивости относятся:

1) критерий устойчивости Вишнеградского;

2) критерий устойчивости Гурвица;

3) критерий устойчивости Рауса.

К частотным критериям устойчивости относятся:

4) частотный критерий устойчивости Найквиста;

5) частотный критерий устойчивости Михайлова.

Критерий устойчивости Гурвица можно сформулировать в форме, предложенной автором:

Если система описывается линейным дифференциальным уравнением, характеристическое уравнение которого имеет вид:

то для того, чтобы она была устойчива, т.е. чтобы все действительные корни и действительные части комплексных корней характеристического уравнения были бы отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты уравнения имели бы один и тот же знак, а диагональный детерминант порядка п-1 , составленный из коэффициентов уравнения, и все его диагональные миноры были бы положительными.

Диагональный детерминант составляется следующим образом: по диагонали определителя выписывают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a n -1 по а 1 . Таким образом, получается матрица, содержащая n-1 строку и n-1 столбец. Столбцы заполняют следующим образом: вверх выписывают коэффициенты с убывающими индексами, а вниз – с возрастающими. При достижении нулевого или n -го индекса далее ставят нули.

(8.6)

Таким образом, получается квадратная матрица размером (n-1 )* (n-1 ), на главной диагонали которой расположены коэффициенты от a n -1 по a 1 .

Каждый диагональный минор получают из предыдущего минора путем вычеркивания последней строки и последнего столбца.

(8.7)

(8.8)

(8.9)

D 1 =a n -1 (8.10)

Для решения вопроса об устойчивости АСУ выполняется анализ матрицы по следующим правилам:

1) если определители матрицы и всех диагональных миноров положительны, то АСУ устойчива;

2) если определитель или хотя бы один минор равен нулю, то АСУ находится на границе устойчивости;

3) если определитель или хотя бы один минор отрицательны, то АСУ неустойчива.

Рассмотрим конкретные примеры исследования систем на устойчивость с помощью критерия Гурвица.

Пример №1. АСУ включает статический объект второго порядка с передаточной функцией и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.

Запишем передаточную функцию замкнутой системы, при этом неважно по какому каналу будет записана передаточная функция, так как нас будет интересовать только знаменатель передаточной функции.

(811)

Знаменатель передаточной функции, приравненный к нулю, является характеристическим уравнением, т.е.

(8.12)

Подставим в уравнение (8.12) значения передаточных функций:

(8.13)

Приводя уравнение (8.13) к общему знаменателю и приравнивая числитель к нулю, получим характеристическое уравнение для системы

Составим главный детерминант, который для данного случая имеет второй порядок:

(8,15)

Из последнего равенства получим

(8.16)

В уравнении (8.16) слева записан параметр настройки регулятора, а справа параметры объекта. Чтобы система была более устойчивой, необходимо иметь как можно меньшее значение коэффициента передачи регулятора. Но в этом случае регулятор будет медленно воздействовать на объект. Поэтому приходится принимать компромиссное решение: чтобы система была устойчивой и регулятор достаточно быстро воздействовал на объект.

Если в уравнении (8.16) поставить знак равенства, т.е. , то система окажется на границе устойчивости. Если , то система будет неустойчивой. Поскольку параметры объекта изменяются довольно медленно, то воздействовать на характер переходного процесса можно, изменяя параметры регулятора.

Коэффициент передачи регулятора, при котором система оказывается на границе устойчивости, называется критическим.

Условие (8.17) можно записать и так

(8.18)

Уравнение (8.18) перепишем в форме

Уравнение (8.19) является уравнением гиперболы Вышнеградского, который сформулировал критерий устойчивости для систем, описываемых уравнениями не выше третьего порядка.

При переходе от уравнения (8.18) к уравнению (8.19) необходимо соблюдать следующие правила:

1) параметры X и Y должны быть безразмерными;

2) параметр X должен быть пропорционален коэффициенту передачи регулятора.

(8.20)

Построим гиперболу Вышнеградского в полученных координатах (рис. 8.4).

Рисунок 8.4 – Гипербола Вышнеградского для систем третьего порядка

Пример №2. Рассмотрим задачу, сформулированную в примере №1, но для случая, когда объект имеет передаточную функцию вида

Приравняв в уравнении (8.14) Т 2 к нулю, получим характеристическое уравнение

(8.22)

Составим главный детерминант, который для данного случая имеет первый порядок:

Получено условие, которое выполняется при любых параметрах системы.

Системы, которые при определенных значениях своих параметров могут быть устойчивыми, называются структурно-устойчивыми.

Пример №3. АСУ включает астатический объект второго порядка с передаточной функцией и интегральный регулятор с передаточной функцией . Определить, при каком значении коэффициента передачи регулятора система будет устойчивой.

Используя уравнение (8.13) и подставляя в него значения передаточных функций, получим

(8.23)

(8.24)

Перепишем уравнение (8.24) следующим образом:

Тогда главный детерминант примет вид:

В данном случае главный детерминант отрицательный, т.е. система неустойчивая, при этом она неустойчивая при любых своих параметрах. О таких системах говорят, что она структурно-неустойчивая.

Из последнего примера можно сделать вывод: что интегральный регулятор нельзя устанавливать на астатическом объекте, так как в любом случае мы получим неустойчивую систему.

Несмотря на простоту применения критерия Гурвица, он обладает рядом недостатков:

1) необходимо рассматривать передаточную функцию замкнутой системы, которая получается достаточно сложной;

2) с помощью критерия можно анализировать системы, у которых в знаменателе передаточной функции стоит рациональный многочлен.

Действительно, если передаточная функция объекта , а регулятора , то характеристическое уравнение имеет вид:

С помощью критерия устойчивости Гурвица эту систему исследовать нельзя. В этом случае нужны другие критерии.

Его представители находятся в невыгодном положении в сравнении с большей частью населения вследствие дискриминации, которая, как правило, не декларируется.

Иногда права проксенов давались всем гражданам дружественного государства. Как правило, звания ксенов и проксенов были наследственными.

Как правило, сложные белки классифицируют по небелковому компоненту.

Келейное правило, заповеданное преподобным Серафимом инокиням Дивеевского монастыря

Краткое молитвенное правило преподобного Серафима для мирян.

Критерий MAXIMAX не учитывает при принятии инвестиционного решения риска, связанного с неблагоприятным развитием внешней среды.

В соответствии с этим правилом правила максимакс и максимин сочетаются связыванием максимума минимальных значений альтернатив. Это правило называют ещё правилом оптимизма – пессимизма. Оптимальную альтернативу можно рассчитать по формуле:

а* = maxi [(1-α) minj Пji+ α maxj Пji]

где α- коэффициент оптимизма, α =1…0 при α =1 альтернатива выбирается по правилу максимакс, при α =0 – по правилу максимин. Учитывая боязнь риска, целесообразно задавать α =0,3. Наибольшее значение целевой величины и определяет необходимую альтернативу.

Правило Гурвица применяют, учитывая более существенную информацию, чем при использовании правил максимин и максимакс.

Таким образом, при принятии управленческого решения в общем случае необходимо:

· спрогнозировать будущие условия, например, уровни спроса;

· разработать список возможных альтернатив

· оценить окупаемость всех альтернатив;

· определить вероятность каждого условия;

· оценить альтернативы по выбранному критерию решения.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица устанавливает баланс между критерием MAXIMIN и критерием MAXIMAX посредством выпуклой линейной комбинации. При использовании этого метода из всего множества ожидаемых сценариев развития событий в инвестиционном процессе выбираются два, при которых ИПj достигает минимальной и максимальной эффективности. Выбор оптимального ИП по показателю NPV осуществляется по формуле:

где - коэффициент пессимизма-оптимизма, который принимает значение в зависимости от отношения ЛПР к риску, от его склонности к оптимизму или к пессимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности λ = 0,5. При λ = 0 (точка Вальда) критерий Гурвица совпадает с максиминым критерием, при λ = 1 - с максимаксным критерием.

Общий недостаток рассмотренных выше методов теории игр состоит в том, что предполагается ограниченное количество сценариев развития (конечное множество состояний окружающей среды).

При выборе решения из двух крайностей, связанных с пессимистической стратегией по критерию Вальда и чрезмерным оптимизмом по критерию Сэвиджа можно выбрать некоторую промежуточную позицию, граница которой определяется показателем пессимизма-оптимизма х, находящимся в пределах 0 ≤ х ≤ 1. Такой критерий называется критерием Гурвица. Как частный случай при х=1 из него следует максиминный критерий Вальда, а при х=0 – минимаксный критерий Сэвиджа.

В соответствии с критерием Гурвица для каждой стратегии выбирается линейная сумма взвешенных минимального и максимального выигрышей по формуле:

где g ij – размер прибыли (убытков) от спроса (продаж) (табл. 1), i – строка, j – столбец.

Положим х=0,8 (близкий к пессимистическому критерий) и рассчитаем G i для трех стратегий S 1 , S 2 , S 3 по данным табл. 1

G 1 =0,8(1020)+(1-0,8)4200=1656 д.е.

G 2 =0,8(-60)+(1-0,8)6300=1212 д.е.

G 3 =0,8(-1140)+(1-0,8)8400=768 д.е.

Затем выбирается такая стратегия, для которой величина G i получается наибольшей, т.е. S i опт →G imax . В нашем примере G imax =G 1 , следовательно S опт =S 1 , т.е. как по критерию Вальда. Если выбрать х близким к нулю, то получим S опт =S 2 , т.е. как по критерию Сэвиджа.

Обычный (или простой) критерий Гурвица учитывает только крайние исходы x i max и x i min каждой альтернативы:

x i max = max (x ij ) , x i min = min (x ij ) , j = 1..M

Он позволяет учесть субъективное отношение применяющего данный критерий ЛПР за счет придания этим исходам разных "весов". Для этого в расчет критерия введен "коэффициент оптимизма" λ, 0 ≤ λ ≤ 1 . Формула для расчета критерия Гурвица для i -й альтернативы с коэффициентом оптимизма λ выглядит следующим образом:

H i (λ) = λ x i max + (1 - λ) x i min

Если исходы представляют возможные выигрыши, то оптимальной признается альтернатива с максимальным значением критерия Гурвица:

Х* = Х k , H k (λ) = max (H i (λ) ) , i = 1..N

Как видно из формулы, правильный выбор коэффициента оптимизма λ оказывает существенное влияние на результат применения критерия. Остановимся подробнее на логике подбора λ .

Если ЛПР настроен пессимистически, то для него важнее меньше потерять при плохом развитии событий, пусть даже это означает не такой большой выигрыш при удачном состоянии. Значит, удельный вес наихудшего исхода x i min в оценке альтернативы должен быть выше, чем для x i mах . Это обеспечивается, когда λ находится в пределах от 0 до 0.5 , исключая последнее значение.

При λ = 0 критерий Гурвица "вырождается" в критерий Вальда и подходит только для очень пессимистично настроенных ЛПР.

Оптимистичный ЛПР, напротив, ориентируется на лучшие исходы, так как для него важнее больше выиграть, а не меньше проиграть. Больший удельный вес в оценке наилучшего исхода достигается при λ больше 0.5 и до 1 включительно. При λ = 1 критерий Гурвица становится критерием "максимакса", который учитывает исключительно наибольший исход каждой альтернативы.

Если у ЛПР нет ярко выраженного уклона ни в сторону пессимизма, ни оптимизма, коэффициент λ принимается равным 0.5 .

Пример применения критерия Гурвица

В условиях задачи из п.2.7 (табл.2.2) рассмотрим принятие решения по критерию Гурвица для ЛПР, настроенного оптимистически (λ = 0.8 ), и ЛПР-пессимиста (λ = 0.3 ). Порядок действий таков:

1. Найдем максимальные x i max и минимальные x i min исходы для каждого проекта:

x 1 max = max (45, 25, 50) = 50 x 1 min = min (45, 25, 50) = 25

x 2 max = max (20, 60, 25) = 60 x 2 min = min (20, 60, 25) = 20

2. Рассчитаем величину критерия Гурвица при заданных значениях коэффициента оптимизма:

ЛПР-оптимист (λ=0.8 ):

H 1 (0.8) = λ x 1 max + (1 - λ) x 1 min = 0.8×50 + (1 - 0.8) ×25 = 45

H 2 (0.8) = λ x 2 max + (1 - λ) x 2 min = 0.8×60 + (1 - 0.8) ×20 = 52

ЛПР-пессимист (λ=0.3 ):

H 1 (0.3) = λ x 1 max + (1- λ) x 1 min = 0.3×50 + (1 - 0.3) ×25 = 32.5

H 2 (0.3) = λ x 2 max + (1- λ) x 2 min = 0.3×60 + (1 - 0.3) ×20 = 32

3. Сравним полученные величины. Оптимальными для каждого ЛПР будут альтернативы с максимальным значением критерия Гурвица:

ЛПР-оптимист (λ = 0.8 ):

45 < 52 => H 1 (0.8) < H 2 (0.8) => X* = X 2

ЛПР-пессимист (λ = 0.3 ):

32.5 < 32 => H 1 (0.3) > H 2 (0.3) => X* = X 1

Как мы видим, выбор оптимальной альтернативы в одних и тех же условиях существенным образом зависит от отношения ЛПР к риску. Если для пессимиста оба проекта примерно равноценны, то оптимист, который надеется на лучшее, выберет второй проект. Его высокая наилучшая прибыль (60 ) при больших значениях коэффициента λ значительно повышает ценность данного проекта по критерию Гурвица.

Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени и в 1877 году – полностью.

Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сформулированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин.

Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения (5.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую п строк и п столбцов:

Эта таблица составляется следующим образом.

По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписывают­ся все коэффициенты по порядку от а 1 до а п. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль.

Критерий устойчивости сводится к тому, что при а 0 > 0 должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матри­цы коэффициентов.

Определители Гурвица составляются по следующему правилу (см. (5.11)):

(5.12)

(5.13)

(5.14)

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний сле­дующим образом:

(5.15)

Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего опреде­лителя сводится к условию а п > 0, т. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения.

Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель:
, при положительности всех остальных определителей. Как следует из (5.15), это условие распадает­ся на два условия:а п =0 и
. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа (апериодическая граница устойчивости) и вто­рое – границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчи­вости).

Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более них порядков.

1. Уравнение первого порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица дает

т. е. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными.

2. Уравнение второго порядка

Для этого уравнения критерий Гурвица требует

Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента: а 2 >0.

Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимым и достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.

3. Уравнение третьего порядка

Для этого уравнения получаем условия

Третий (последний) определитель Δ 3 дает условие а 3 > 0. Условие Δ 2 >0 , при а 0 > 0, а 1 > 0 и а 3 > 0 может выполняться только при а 2 >. 0.

Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами:

4. Уравнение четвертого порядка

На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия

5. Уравнение пятого порядка

Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффи­циентов, должны выполняться еще два условия:

Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка.

Существенным недостатком крите­рия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива си­стема автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы бо­лее удобными в инженерной практике.

Для иллюстрации применения кри­терия Гурвица рассмотрим пример на определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципи­альная и структурная схемы изображены на рис. 5.4. В качестве чувстви­тельного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффи­циенту передачи схемы:

где
ошибка, равная разности углов поворота командной и испол­нительной осей.

Передаточная функция усилителя:

где k 2 – коэффициент усиления и Т у – постоянная времени усилителя.

Передаточная функция двигателя (Д):

где
коэффициент передачи двигателя но скорости, аT M – электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каска­дом усилителя.

Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением:

Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

где
общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.

Характеристическое уравнение:

После подстановки
получаем

В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выпол­няется всегда, если выполнено условие К >0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования.

Дополнительное условие
, накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов ( и
) к неравенству

которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы.

Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффи­циента усиления К, при котором система еще остается устойчивой.