Как определить нули функции по уравнению. Как найти нули функции

Значения аргумента z при которыхf (z ) обращается в ноль наз. нулевой точкой , т.е. если f (a ) = 0 , то а - нулевая точка .

Опр. Точка а наз. нулём порядка n , если ФКП можно представить в виде f (z ) = , где
аналитическая функция и
0.

В этом случае в разложении функции в ряд Тейлора (43) первые n коэффициентов равны нулю

= =

Пр. Определить порядок нуля для
и (1 –cos z ) при z = 0

=
=

ноль 1 порядка

1 – cos z =
=

ноль 2 порядка

Опр. Точка z =
наз. бесконечно удаленной точкой и нулем функции f (z ), если f (
) = 0. Такая функция разлагается в ряд по отрицательным степеням z : f (z ) =
. Если первые n коэффициентов равны нулю, то приходим к нулю порядка n в бесконечно удаленной точке: f (z ) = z - n
.

Изолированные особые точки делятся на: а) устранимые особые точки ; б) полюса порядка n ; в) существенно особые точки .

Точка а наз. устранимой особой точкой функции f (z ) , если при z
a lim f (z ) = с - конечное число .

Точка а наз. полюсом порядка n (n 1) функции f (z ), если обратная функция
= 1/ f (z ) имеет нуль порядка n в точке а. Такую функцию всегда можно представить в виде f (z ) =
, где
- аналитическая функция и
.

Точка а наз. существенно особой точкой функции f (z ), если при z
a lim f (z ) не существует.

Ряд Лорана

Рассмотрим случай кольцевой области сходимости r < | z 0 – a | < R с центром в точке а для функции f (z ). Введем две новые окружности L 1 (r ) и L 2 (R ) вблизи границ кольца с точкой z 0 между ними. Сделаем разрез кольца, по кромкам разреза соединим окружности, перейдем к односвязной области и в

интегральной формуле Коши (39) получим два интеграла по переменной z

f (z 0) =
+
, (42)

где интегрирование идет в противоположных направлениях.

Для интеграла по L 1 выполняется условие | z 0 – a | > | z – a |, а для интеграла по L 2 обратное условие | z 0 – a | < | z – a |. Поэтому множитель 1/(z – z 0) разложим в ряд (а) в интеграле по L 2 и в ряд (b) в интеграле по L 1 . В результате получаем разложение f (z ) в кольцевой области в ряд Лорана по положительным и отрицательным степеням (z 0 – a )

f (z 0) =
A n (z 0 – a ) n (43)

где A n =
=
;A -n =

Разложение по положительным степеням (z 0 – а )наз. правильной частью ряда Лорана (ряд Тейлора), а разложение по отрицательным степеням наз. главной частью ряда Лорана.

Если внутри круга L 1 нет особых точек и функция аналитична, то в (44) первый интеграл равен нулю по теореме Коши и в разложении функции останется только правильная часть. Отрицательные степени в разложении (45) появляются лишь при нарушении аналитичности в пределах внутреннего круга и служат для описания функции вблизи изолированных особых точек.

Для построения ряда Лорана (45) для f (z ) можно вычислять коэффициенты разложения по общей формуле или использовать разложения элементарных функций, входящих в f (z ).

Число слагаемых (n ) главной части ряда Лорана зависит от типа особой точки: устранимая особая точка (n = 0) ; существенно особая точка (n
); полюс n – ого порядка (n - конечное число).

а) Для f (z ) = точка z = 0 устранимая особая точка, т.к. главной части нет. f (z ) = (z -
) = 1 -

б) Для f (z ) = точка z = 0 - полюс 1 – ого порядка

f (z ) = (z -
) = -

с) Для f (z ) = e 1 / z точка z = 0 - существенно особая точка

f (z ) = e 1 / z =

Если f (z ) аналитична в области D за исключением m изолированных особых точек и |z 1 | < |z 2 | < . . . < |z m | , то при разложении функции по степеням z вся плоскость разбивается на m + 1 кольцо | z i | < | z | < | z i + 1 | и ряд Лорана имеет разный вид для каждого кольца. При разложении по степеням (z – z i ) областью сходимости ряда Лорана является круг | z – z i | < r , где r – расстояние до ближайшей особой точки.

Пр. Разложим функцию f (z ) =в ряд Лорана по степенямz и (z - 1).

Решение. Представим функцию в виде f (z ) = - z 2 . Используем формулу для суммы геометрической прогрессии
. В круге |z| < 1 ряд сходится и f (z ) = - z 2 (1 + z + z 2 + z 3 + z 4 + . . .) = - z 2 - z 3 - z 4 - . . . , т.е. разложение содержит только правильную часть. Перейдем во внешнюю область круга |z| > 1 . Функцию представим в виде
, где 1/|z | < 1, и получим разложение f (z ) = z
=z + 1 +

Т.к. , разложение функции по степеням (z - 1) имеет вид f (z ) = (z - 1) -1 + 2 + (z - 1) для всех
1.

Пр. Разложить в ряд Лорана функцию f (z ) =
: а)по степеням z в круге |z | < 1; b) по степеням z кольце 1 < |z | < 3 ; c) по степеням (z – 2).Решение. Разложим функцию на простейшие дроби
= =+=
. Из условий z =1
A = -1/2 , z =3
B = ½.

а) f (z ) = ½ [
] = ½ [
-(1/3)
], при |z |< 1.

b) f (z ) = - ½ [
+
] = - (
), при 1 < |z | < 3.

с) f (z ) = ½ [
]= - ½ [
] =

= - ½ = -
, при |2 - z | < 1

Это круг радиуса 1 с центром в точке z = 2 .

В ряде случаев степенные ряды можно свести к набору геометрических прогрессий и после этого легко определить область их сходимости.

Пр. Исследовать сходимость ряда

. . . + + + + 1 + () + () 2 + () 3 + . . .

Решение. Это сумма двух геометрических прогрессий с q 1 = , q 2 = () . Из условий их сходимости следует < 1 , < 1 или |z | > 1 , |z | < 2 , т.е. область сходимости ряда кольцо 1 < |z | < 2 .

Содержимое:

Нуль функции - значение х, при котором значение функции равно нулю. Обычно поиск нулей функции выполняется через решение полиномиального уравнения, например, x 2 + 4x +3 = 0. Вот несколько способов нахождения нулей функции.

Шаги

1 Разложение на множители

1. 1 Запишите уравнение, чтобы оно выглядело примерно так x 2 + 5x + 4. Начните с члена высшего порядка (такого, как x 2) и далее со снижением порядка до свободного члена (константа без переменной; число). Приравняйте полученное выражение к 0.
   • Многочлены (уравнения), записанные правильно:
     • x 2 + 5x + 6 = 0
     • x 2 - 2x – 3 = 0
   • Многочлены (уравнения), записанные неправильно:
     • 5x + 6 = -x 2
     • x 2 = 2x + 3
2. 2 a ", "b ", "c ". Это упростит задачу разложения на множители. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0. Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения. Вот несколько примеров:
   • x 2 + 5x + 6 = 0
     • a
     • b = 5
     • c = 6
   • x 2 - 2x – 3 = 0
     • a = 1 (нет коэффициента перед "x", значит коэффициент = 1)
     • b = -2
     • c = -3
3. 3 Запишите все пары множителей коэффициента "с ". Пара множителей данного числа - два числа, которые при перемножении дают это число. Обратите особое внимание на отрицательные числа. Два отрицательных числа, будучи перемножены, дают положительное число. Порядок перемножения не имеет значения ("1 х 4" то же самое, что и "4 х 1").
   • Уравнение: x 2 + 5x + 6 = 0
   • Пары множителей 6, или c :
     • 1 x 6 = 6
     • -1 x -6 = 6
     • 2 x 3 = 6
     • -2 x -3 = 6
4. 4 Найдите пару множителей, сумма которых равна "b " . Посмотрите на значение b и найдите, какая из пар при суммировании даст это число.
   • b = 5
   • Пара множителей, сумма которых равна 5, это 2 and 3
     • 2 + 3 = 5
5. 5 Из этой пары множителей составьте 2 двучлена и объедините в бином. Бином – произведение двучленов вида (х ± число)(х ± число). Как узнать, какой знак (плюс или минус) выбрать? Просто посмотрите на знак чисел из пары множителей: положительное число - знак плюс, отрицательное число - минус. Вот пара множителей, с которыми мы составили бином:
   • (x + 2)(x + 3) = 0
6. 6 Решите каждый двучлен, перенеся неизвестное на другую сторону уравнения. Приравняйте каждый двучлен к 0: (х + 2) = 0 и (х + 3) = 0, а затем решите уравнение:
   • (x + 2) = 0; x = -2
   • (x + 3) = 0; x = -3
7. 7 Это и есть нули функции.

2 Решение квадратного уравнения

1. 1 Квадратное уравнение выглядит следующим образом:
2. 2 Обозначьте коэффициенты в вашем уравнении через "a ", "b ", "c ". Это упростит задачу решения уравнения. Запишите уравнение в таком формате: a x 2 ± b x ± c = 0.
3. 3 Теперь найдите a , b , c из данного вам уравнения.
4. 4 Решите уравнение. Чтобы решить квадратное уравнение, необходимо знать формулу решения такого уравнения. Все остальное - просто подстановка и вычисление.
   • Другой вариант решения квадратного уравнения - полный квадрат. Некоторые считают этот метод более простым, чем решение по формуле.
5. 5 Результатом решения квадратного уравнения по формуле будут "нули" функции, которые Вы ищете. Формула дает ответ в виде двух чисел, которые и являются решением (нулями) данной функции.

3 График квадратного уравнения

1. 1 Постройте график функции. Функция записывается в виде x 2 + 8x + 12 = 0.
2. 2 Найдите точки пересечения с осью х. Эти две точки будут нулями функции.
3. 3 Используйте график как способ проверки, а не как способ решения уравнения. Если вы строите график, чтобы показать на нем нули функции, воспользуйтесь этим для двойной проверки полученных результатов.

• Вы можете проверить ваши вычисления, подставив найденные решения в начальное уравнения. Если при этом уравнение равно нулю, то решения правильные.

В котором она принимает нулевое значение. Например, для функции , заданной формулой

Является нулём, поскольку

.

Нули функции также называются корнями функции .

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс .

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона , градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана .

Корень многочлена

См. также

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Нуль функции" в других словарях:

Точка, где заданная функция f (z) обращается в нуль; таким образом, Н. ф. f (z) это то же самое, что и корни уравнения f (z) = 0. Например, точки 0, π, π, 2π, 2π,... суть нули функции sinz. Нули аналитической функции (См. Аналитические… …

Нуль функция, нуль функции … Орфографический словарь-справочник

У этого термина существуют и другие значения, см. Нуль. Необходимо перенести содержимое этой статьи в статью «Нуль функции». Вы можете помочь проекту, объединив статьи. В случае необходимости обсуждения целесообразности объединения, замените этот … Википедия

Или C строка (от названия языка Си) или ASCIZ строка (от названия директивы ассемблера.asciz) способ представления строк в языках программирования, при котором вместо введения специального строкового типа используется массив символов, а концом… … Википедия

В квантовой теории поля принятое (жаргонное) название для свойства обращения в нуль фактора перенормировки константысвязи где g0 затравочная константа связи из лагранжиана взаимодействия, физ. константа связи, одетая взаимодействием. Равенство Z … Физическая энциклопедия

Нуль-мутация н-аллель - Нуль мутация, н. аллель * нуль мутацыя, н. алель * null mutation or n. allel or silent a. мутация, ведущая к полной потере функции в той последовательности ДНК, в которой она произошла … Генетика. Энциклопедический словарь

Утверждение в теории вероятностей о том, что всякое событие (т. н. остаточное событие), наступление к рого определяется лишь сколь угодно удаленными элементами последовательности независимых случайных событий или случайных величин, имеет… … Математическая энциклопедия

1) Число, обладающее тем свойством, что любое (действительное или комплексное) число при сложении с ним не меняется. Обозначается символом 0. Произведение любого числа на Н. равно Н.: Если произведение двух чисел равно Н., то один из сомножителей … Математическая энциклопедия

Функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение x2 + y2 1 = 0 задаёт Н. ф. … Большая советская энциклопедия

Множество тех и только тех точек, ни в какой окрестности к рых обобщенная функция не обращается в нуль Обобщенная функция из обращается в нуль в открытом множестве если для всех. С помощью разложения единицы показано, что если обобщенная функция … Математическая энциклопедия

2. Найдем нули функции.

f(x) при х .

Ответ f(x) при х .

2) х 2 >-4x-5;

x 2 +4x +5>0;

Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

D=-4 Нет нулей.

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)<0, то другая часть плоскости.

3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

.

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4) Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а): точка х=α делит числовую ось на две части - справа от точки α двучлен (х‑α)>0, а слева от точки α (х-α)<0.

Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n - фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 < α 2 <...< α n-1 < α n . Для решения неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем - знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)<0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где – многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

3. < 20.

Решение. Область допустимых значений определяется системой неравенств:

Для функции f(x) = – 20. Находим f(x):

откуда x = 29 и x = 13.

f(30) = – 20 = 0,3 > 0,

f(5) = – 1 – 20 = – 10 < 0.

Ответ: . Основные методы решения рациональных уравнений. 1) Простейшие: решаются путём обычных упрощений - приведение к общему знаменателю, приведение подобных членов и так далее. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по...

X изменяется на промежутке (0,1], и убывает на промежутке }