Индекс корреляции онлайн. Корреляционное отношение и индекс корреляции. Индекс Доу Джонса

Иллюзия корреляции Представьте, что вы являетесь участником исследования того, как люди устанавливают связи между событиями. Психологи Уильям Уорд и Герберт Дженкинс показывают вам результаты гипотетического пятидесятидневного эксперимента по засеву облаков

Корреляции и причинность

Корреляции и причинность Тот факт, что два события происходят одновременно и коррелируют между собой, не обязательно означает, что одно из них является причиной другого. Вообще, события А и Б могут произойти одновременно по одной из четырех причин: (I) А является причиной

При парных нелинейных зависимостях для определения тесноты связи между результативным и факторным признаками и оценки степени влияния факторного признака на результативный используются индексы корреляции и детерминации.

ЗАДАНИЕ 1 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (ССЧ работающих, чел.) (табл. 2).

Таблица 2

Таблица 3

Таблица 4

Так как при параболическом виде связи j= 1,23, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 5

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 1) к эмпирическим данным близко лежит график гиперболической зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,14 > 0,11 корреляционное отношение при линейной зависимости, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,14

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,02.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если результативный признак с увеличением факторного признака возрастает не бесконечно, а стремится к конечному пределу, то для анализа такого признака применяется уравнение гиперболы.

5. Таким образом, применяется гиперболический тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 2 : Исследуем зависимость между X (среднегодовой стоимостью основных производственных фондов, млрд. руб.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 6).

Таблица 6

Таблица 7

Таблица 8

Так как при параболическом виде связи j= 1,81, то мы не будем рассматривать этот вид связи (j должно быть меньше или равно 1).

Таблица 9

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график линейной зависимости, потому что корреляционное отношение при этом равно 0,80 > 0,45 корреляционное отношение при гиперболической зависимости, а значит его значение близко к 1.

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,63.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если с увеличением факторного признака результативный признак равномерно возрастает, то такая зависимость является линейной и выражается уравнением прямой.

5. Таким образом, применяется линейный тип зависимости.

ЗАДАНИЕ 3 : Исследуем зависимость между X (ССЧ работающих, чел.) и Y (Товарной продукцией, млрд. руб.) (табл. 10).

Таблица 10

Таблица 11

Таблица 12

Таблица 13

1. Исходя из данных таблицы (Таблица 6) к эмпирическим данным близко лежит график параболической зависимости. Потому что корреляционное отношение при этом равно 0,90 > 0,09 и >0,06 корреляционное отношение при гиперболической и линейной зависимостях, а значит его значение близко к 1.

2. О более тесной говорит коэффициент корреляции, r = 0,80

3. Коэффициент детерминации показывает долю влияния фактора, D=0,80.

4. График свидетельствует о выше приведенных выводах: Если связь между признаками нелинейная и с возрастанием факторного признака происходит ускоренное возрастание или убывание результативного признака, то корреляционная зависимость может быть выражена параболой второго порядка.

5. Таким образом, применяется параболический тип зависимости.

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20

Показатель множественной корреляции характеризует тесноту рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком, или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат.

Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

где s 2 y – общая дисперсия результативного признака;

s ост 2 – остаточная дисперсия для уравнения у = ¦(х 1, х 2 ,….,x p).

Методика построения индекса множественной корреляции аналогична построению индекса корреляции для парной зависимости. Границы его изменения те же: от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции:

При правильном включении факторов в регрессионной анализ величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции.

При линейной зависимости признаков формула индекса корреляции может быть представлена следующим выражением:

(3.8)

где - стандартизованные коэффициенты регрессии;

Парные коэффициенты корреляции результата с каждым фактором.

Индекс корреляции - нормированный показатель тесноты связи. Коэффициент индекса корреляции показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной.Чем ближе индекс корреляции к 1 , тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

Общая дисперсия результативного признака y,

Остаточная дисперсия, определяемая по уравнению нелинейной регрессии.

Тест Бокса – Кокса. При сравнении моделей с использованием в качестве зависимой переменной y и ln y проводится такое преобразование масштаба наблюдений y, при котором можно непосредственно сравнивать СКО в линейной и логарифмической моделях. Выполняются следующие шаги:

Вычисляется среднее геометрическое значений y в выборке. Оно совпадает с экспонентой среднего арифметического логарифмов y.

Все значения y пересчитываются делением на среднее геометрическое, получаем значения y*.

Оцениваются две регрессии:

Для линейной модели с использованием y* в качестве зависимой переменной;

Для логарифмической модели с использованием ln y * вместо ln y .

Во всех других отношениях модели должны оставаться неизменными. Теперь значения СКО для двух регрессий сравнимы, и модель с меньшей остаточной СКО обеспечивает лучшее соответствие исходным данным.

Для проверки, обеспечивает ли одна из моделей значимо лучшее соответствие, можно вычислить величину (n/2)lnz,

где z – отношение значений остаточной СКО в перечисленных регрессиях.

Эта статистика имеет распределение хи – квадрат с одной степенью свободы. Если она превышает критическое значение при выбранном уровне значимости α, то делается вывод о наличии значимой разницы в качестве оценивания. Величина коэффициента эластичности показывает, на сколько процентов изменится результативный признак Y, если факторный признак изменится на 1 %

Исторически первым показателем тесноты связи был парный коэффициент корреляции, предложенный К. Пирсоном. Он основан на показателе ковариации, который представляет собой среднее значение произведения отклонений индивидуальных значений результативного и факторного признаков от своих средних значений. Показатель ковариации оценивает совместное изменение двух признаков, результата и фактора:

где - значение признака-результата у i-й единицы совокупности; - значение признака-фактора у i-й единицы совокупности; - среднее значение признака-результата; - среднее значение признака-фактора.

Показатель ковариации содержательно сложно интерпретировать. Нормированное значение показателя ковариации – это и есть показатель парной корреляции Пирсона.

, (53)

или после преобразований:

, (54)

где - стандартное отклонение признака-результата; - стандартное отклонение признака-фактора.

Достоинством коэффициента корреляции является то, что он имеет пределы изменения, следовательно, его величина легко может быть интерпретирована. Значения показателя изменяются от -1 до +1. Близость коэффициента к нулю свидетельствует об отсутствии корреляционной зависимости. Близость к единице – о тесной корреляционной зависимости. Знак коэффициента корреляции указывает на прямую, либо обратную зависимость. Величина конкретных значений интерпретируется следующим образом:

- связь практически отсутствует;

- связь заметная;

- связь умеренная;

- связь тесная.

Парный коэффициент корреляции – симметричный показатель, т.е. . Это означает, что высокое значение коэффициента корреляции не может свидетельствовать о наличии причинно-следственной связи, а говорит лишь о наличии параллельной вариации признаков (показателей). Что есть фактор, а что есть результат, не имеет значения. Наличие причинно-следственной связи обосновывается теоретическим анализом изучаемого объекта на основе положений экономической теории.

Расчет коэффициента корреляции, как и большинства статистических показателей, рассчитываемых по ограниченному объему совокупности, сопровождается оценкой его значимости (существенности). Необходимо подтвердить, что полученное значение коэффициента – не результат действия случайных факторов. Для оценки значимости рассчитывается t-статистика, как отношение оцениваемой характеристики (в данном случае - r) к ее стандартной ошибке (). Иными словами, осуществляется проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между изучаемыми переменными, т.е. предполагается, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю ():

(55)

При условии справедливости нулевой гипотезы, распределение t-статистики соответствует закону распределения вероятностей Стьюдента с n-2 степенями свободы. Исходя из этого, находится табличное значение t-статистики, соответствующее заданному аналитиком уровню вероятности и полученному числу степеней свободы. Если расчетное значение t окажется больше табличного, то гипотеза об отсутствии связи должна быть отвергнута (с вероятностью ошибки =1- принятый уровень вероятности) и принята альтернативная гипотеза о значимости полученного коэффициента корреляции, т.е. о наличии статистически значимой связи между изучаемыми признаками.

В практике экономических исследований и анализа часто приходится изучать множественную корреляционную зависимость, т.е. оценивать влияние двух и более факторов на признак-результат. Теснота связи между комплексом факторов и зависимой переменной оценивается с помощью множественного коэффициента корреляции (). При двухфакторной зависимости множественный коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:

где - парные коэффициенты корреляции результата и каждого из факторов, - коэффициент корреляции между факторами.

Множественный коэффициент корреляции изменяется от нуля до единицы, не может быть отрицательным. Интерпретация конкретных значений множественного коэффициента корреляции аналогична интерпретации значений парного коэффициента с той только разницей, что оценивается теснота корреляционной зависимости между результативным признаком и всей совокупностью анализируемых факторов.

Квадрат коэффициента корреляции (r 2 ; ) – это показатель, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю объясненной (факторной) дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака.

При изучении множественной корреляционной зависимости рассчитываются также частные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи между результатом и одним признаком-фактором, при условии элиминирования влияния других факторов, включенных в анализ. Элиминирование выполняется путем закрепления значений факторов (кроме оцениваемого) на неизменном уровне (как правило, на среднем).

При двухфакторной корреляционной зависимости рассчитывается два частных коэффициента корреляции:

, (57)

- данный частный коэффициент характеризует степень тесноты корреляционной зависимости между результатом (y) и фактором x 1 при элиминировании фактора x 2.

, (58)

Этот коэффициент характеризует тесноту зависимости признака-результата (y) от признака- фактора x 2 при элиминировании фактора x 1.

Коэффициенты корреляции, в большей степени, пригодны для оценки линейной зависимости между изучаемыми признаками. Если связь нелинейная, то следует отдать предпочтение универсальному показателю, который называется корреляционное отношение() . Оно может быть:

Ø Эмпирическое, рассчитанное по данным аналитической группировки, как отношение межгрупповой дисперсии () к общей ():

. (59)

Ø Теоретическое, рассчитанное по результатам регрессионного анализа, как отношение факторной дисперсии () к общей ():

. (60)

Корреляционное отношение изменяется так же от нуля до единицы и интерпретируется аналогично коэффициенту корреляции. Квадрат корреляционного отношения () - коэффициента детерминации.

Для понимания сути корреляционного отношения и коэффициента детерминации, следует сформулировать правило сложения дисперсий в терминах регрессионного анализа. Оно звучит так: общая дисперсия признака-результата есть сумма факторной и остаточной дисперсий:

. (61)

Факторная дисперсия () – это аналог межгрупповой дисперсии. Показатель характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией признаков-факторов, включенных в анализ.

Остаточная дисперсия( ) – аналог внутригрупповой дисперсии. Характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией факторов, не включенных в анализ, т.е. оставшихся за пределами внимания аналитика.

Общая дисперсияпризнака-результата () обусловлена вариацией всех факторов, объективно влияющих на результат (зависимую переменную).

Коэффициент детерминации ( , )– это важный аналитический показатель, характеризующий долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака, т.е. долю объясненной вариации зависимой переменной, которую удается объяснить вариацией факторов, включенных в анализ.

Величина коэффициента детерминации реагирует на число факторов, включенных в уравнение регрессии. Поэтому для ответа на вопрос, какую часть дисперсии результативного признака удается объяснить в каждом конкретном случае, исходят из величины скорректированного коэффициента детерминации. Корректировка коэффициента осуществляется с учетом числа степеней свободы, т.е. с учетом объема изучаемой совокупности и числа факторов, включенных в анализ:

, (62)

где - коэффициента детерминации, скорректированный с учетом числа степеней свободы; n – объем изучаемой совокупности; k – число факторов, включенных в анализ.

Оценка корреляционной зависимости может быть также дана на основе индекса корреляции ( - «ро»), который рассчитывается с использованием величины остаточной дисперсии по следующей формуле:

. Суть данного показателя также вытекает из правила сложения дисперсий, т.е. - аналог коэффициента корреляции, а - коэффициента детерминации.

Коэфф. (индекс) множественной корреляции

R = –

Свойства R:

R ху = R ух.

1 . До 0,3 связь слабая 2 . 0,3-0,5 связь умеренная

3 . 0,5-0,7 связь заметная 4. 0,7-0,9 связь высокая

5

R 2 скорр =

R 2 скорр всегда больше, чем R 2 факт.

22. Показатели частной корреляции

Корень из R 2 = R = корень из (SS R / SS T)= корень из (1 - SS E / SS T);

R = – чем ближе к 1, тем теснее связь (а в парной = [-1; 1]).

Свойства R:

R - стандартизованный коэффициент регрессии;

Если связи между х и у нет, то R = 0; НО если R = 0, то нет только линейной связи;

R ху = R ух.

Шкала значения коэфф. корреляции:

1 . До 0,3 связь слабая 2 . 0,3-0,5 связь умеренная

3 . 0,5-0,7 связь заметная 4. 0,7-0,9 связь высокая

5 . 0,9-1,0 связь весьма высокая, близкая к функциональной.

Скорректированный (нормированный) коэфф. детерминации R 2 скорр:

По R 2 можно сравнивать модели, НО необходимо пересчитать его на число степеней свободы, т.к. модели м. иметь разный набор факторов и разные числовые наблюдения.

R 2 скорр = 1 – (SS E: (n-m-1) / SS T: (n-1)) = 1 – (1- R 2) * ((n-1) / (n-m-1))

R 2 скорр всегда больше, чем R 2 факт.

Показатели частной корреляции о снованы на соотношении сокращения остаточной вариации за счет дополнительно включенного в модель фактора к остаточной вариации до включения в модель соответствующего фактора.

Частные коэфф. корреляции (рекуррентные формулы - выражающие каждый член последовательности через предыдущих членов):

r yx 2. x 1 = корень из ((SS E yx 1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 1) = к. из ((1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 1), х 2 зафиксирован;

r yx 1. x 2 = корень из ((SS E yx 2 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 2) = к. из ((1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 2), х 1 зафиксирован.

!!! Матрица частных коэфф. корреляции м.б. использована для отбора факторов в модель.

23. Оценка значимости уравнения множественной регрессии и его параметров

Значение коэфф. детерминации R 2 может отражать истинную зависимость, а может – стечение обстоятельств, т.к. при построении уравнения используются выборочные данные. Поэтому необходимо определить, насколько выборочные показатели (оценки) достоверны, значимы. Для этого используют вероятностные оценки стат. гипотез.

Статистическая гипотеза (Н) - предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки.

Этапы проверки статистических гипотез :

1. формулируется задача исследования в виде стат. гипотезы;

2 . выбирается статистическая характеристика гипотезы;

3. выдвигаются испытуемая и альтернативная Н 0 и Н 1 ;

4. определяется ОДЗ, критическая область и критическое значение статистического критерия;

5. вычисляется фактическое значение статистического критерия;

6. испытуемая Н 1 проверяется на основе сравнения значений фактического и критического критерия, и в зависимости от результатов проверки Н 1 либо отклоняется, либо принимается.

Критическая область – область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к отклонению Н 0 . Вероятность попадания значения критерия в эту область равна уровню значимости (1 минус доверительная вероятность).

ОДЗ - область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к принятию Н 0 .

I. Статистическая оценка достоверности регрессионной модели:

А. 1 . выдвигается H 0: r 2 в генеральной совокупности = 0;

2. выдвигается H 1: r 2 в генеральной совокупности не = 0;

3. определяется ОДЗ или уровень значимости;

4. рассчитывается критерий Фишера F (n – число единиц совокупности, m – число факторов):

F = MS R / MS E = (Σ(y с крыш – y ср) 2 / m) / (Σ(y– y с крыш) 2 / (n-m-1))

F = R 2 /(1-R 2) * (n-m-1)/m = R 2 / (1-R 2) * (n-2) ;

5 . определяется табличное значение критерия Фишера F табл;

6 . фактическое значение сравнивается с табличным.

а. Если F>Fтабл.

б. Если F